Д.И. МОЛДАВАНСКИЙ —
ЯРКИЙ ПРЕДСТАВИТЕЛЬ ИВАНОВСКОЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ШКОЛЫ

1 декабря 2015 исполняется 75 лет Давиду Ионовичу Молдаванскому — доктору физико-математических наук, профессору кафедры алгебры и математической логики Ивановского государственного университета. Д.И. Молдаванский – известный математик, выдающийся специалист в области комбинаторной теории групп. Вся научная и педагогическая деятельность Давида Ионовича связана с математическим факультетом Ивановского государственного университета, на который он поступил после окончания средней школы в 1959 году. С 1967 года по настоящее время он работает на кафедре алгебры и математической логики. Возглавляя кафедру на протяжении четырех десятков лет, Д.И. Молдаванский создал на ней активно и плодотворно работающий научно-педагогический коллектив.

Научные интересы Д.И. Молдаванского сформировались в студенческие и аспирантские годы под влиянием замечательных ученых и преподавателей. Научная логико-алгебраическая школа в Ивановском государственном университете возникла благодаря академику А.И. Мальцеву, который работал в Ивановском педагогическом институте с 1931 года до отъезда в Новосибирский Академгородок почти 30 лет. После отъезда А.И. Мальцева в Новосибирск в 1960 году на кафедре высшей алгебры (впоследствии алгебры и математической логики) остались работать его ученики Д.М. Смирнов, Е.А. Халезов и Д.А. Захаров, возглавивший кафедру. В том же 1960 году по приглашению А.И. Мальцева к работе на кафедре приступил М.Д. Гриндлингер – ученик В. Магнуса, одного из основателей комбинаторной теории групп, получивший к тому времени яркие, ставшие классическими результаты по проблеме равенства слов в конечноопределенных группах с малым сокращением. Благодаря тому, что научно-исследовательская работа студентов всегда была в центре внимания кафедры алгебры и математической логики, в 60-е годы появилась новая волна талантливых аспирантов, среди которых был и Д.И. Молдаванский, поступивший в аспирантуру к М.Д. Гриндлингеру в 1964 году.

Свою научную деятельность Д.И. Молдаванский начал с изучения одной обзорной статьи американского алгебраиста Г. Баумслага о группах с одним определяющим соотношением, где, в частности, ставился вопрос об описании абелевых подгрупп таких групп. Этому вопросу была посвящена одна из первых научных работ Д.И. Молдаванского «О некоторых подгруппах групп с одним определяющим соотношением», опубликованная в Сибирском математическом журнале (т. 8, вып. 6) в 1967 году (результат докладывался в 1966 году на Международном конгрессе математиков в Москве). Следует заметить, что последовавшие вскоре многочисленные ссылки на эту работу относились не только к полученной в ней теореме об абелевых подгруппах групп с одним соотношением, но и к методу ее доказательства. Этот метод основан на замеченной Давидом Ионовичем связи между группами с одним определяющим соотношением и HNN-расширениями групп. Метод Д.И. Молдаванского стал классическим инструментом для исследований групп с одним определяющим соотношением. Он был принят на вооружение как признанными лидерами в области комбинаторной теории групп, так и начинающими математиками. На этом пути были получены новые результаты и упрощены доказательства известных результатов о группах с одним определяющим соотношением. Так, например, используя метод Д.И. Молдаванского и некоторые свойства HNN-расширений, Дж. МакКулл и П. Шупп привели более короткие и более простые доказательства ряда классических результатов о группах с одним определяющим соотношением, включая теоремы Магнуса о свободе и об алгоритмической разрешимости проблемы слов.

Еще одна важная работа Давида Ионовича, опубликованная в 1969 году в журнале «Алгебра и логика», посвящена доказательству алгоритмической разрешимости проблемы сопряженности конечно порожденных подгрупп свободной группы. В дальнейшем ему удалось усилить этот результат следующим образом: свободная группа финитно аппроксимируема относительно сопряженности конечно порожденных подгрупп. Связь финитной аппроксимируемости групп относительно различных предикатов с разрешимостью соответствующих алгоритмических проблем была обнаружена значительно раньше А.И. Мальцевым.

Почти сразу после защиты кандидатской диссертации (в 1968 году) Д.И. Молдаванский включился в работу по подготовке аспирантов, считая эту деятельность чрезвычайно важной как для математической науки вообще, так и для математического факультета в частности. Его первый аспирант А.П. Горюшкин (впоследствии проректор Камчатского университета) обобщил и усилил ряд известных результатов о подгруппах обычных и обобщенных свободных произведений групп. Он доказал также вложимость произвольной счетной группы в 2-порожденную простую группу, тем самым ответив на вопрос Ф. Холла.

Следует отметить, что не все ученики Давида Ионовича занимались исключительно теорией групп. Например, Л.М. Шнеерсон (профессор Нью-Йоркского городского университета) увлекся проблемами комбинаторной теории полугрупп и будучи студентом, получил свои первые научные результаты, вошедшие потом в его кандидатскую диссертацию "Тождества в конечно определенных полугруппах". В настоящее время он является одним из ведущих экспертов по функциям роста полугрупп, построившим первые примеры относительно свободных, в том числе и нильпотентных, полугрупп промежуточного роста.

В том же направлении работал и А.И. Зимин – аспирант Д.И. Молдаванского, являющийся фактически и учеником Л.М. Шнеерсона. За время аспирантуры он решил известную проблему теории формальных языков, связанную с описанием всех слов, не исключаемых над любым конечным алфавитом. Это решение было получено почти одновременно и независимо от работы известных математиков Д.Р. Бина, А. Эренфойхта и Г. МакНалти.

В 80-е годы прошлого века существенные результаты были получены по двум нетривиальным задачам, связанным с разрешимостью уравнений над группами: первая состоит в описании всех таких групп, над которыми разрешимо любое уравнение, а вторая состоит в описании всех таких уравнений, которые разрешимы над любой группой. Были сформулированы и соответствующие гипотезы 1) над группой без кручения любое уравнение разрешимо и 2) любое степенное уравнение разрешимо над любой группой. Обе гипотезы до сих пор остаются неразрешенными. По первой из них заметное продвижение принадлежит ученику Давида Ионовича С.Д. Бродскому, доказавшему знаменитую теорему о разрешимости произвольного уравнения над любой локально индикабельной группой (результат опубликован в 1984). По второй существенных результатов добился В.Н. Егоров – ученик Д.И. Молдаванского (ныне ректор Ивановского государственного университета). К настоящему времени эти результаты улучшить никому не удалось. В.Н. Егорову принадлежит также существенное продвижение в связи со следующей гипотезой Г. Баумслага: любая группа с одним определяющим соотношением, имеющая кручение, финитно аппроксимируема. Недавно эта гипотеза была доказана канадским математиком Д. Вайсом.

В связи с понятием финитно аппроксимируемой группы заметим, прежде всего, что оно было введено А. И. Мальцевым еще в 1940 году в его знаменитой статье "О представлении бесконечных групп матрицами". Исторически одним из первых примеров финитно аппроксимируемых групп являются полициклические группы. Их финитная аппроксимируемость была установлена К. Гиршем в середине прошлого века. Более того, классические теоремы В.Н. Ремесленникова и А.Л. Шмелькина утверждают соответственно, что любая полициклическая группа финитно аппроксимируема относительно сопряженности и для каждого простого числа р содержит подгруппу конечного индекса, аппроксимируемую конечными р-группами. При этом совершенно не ясно, в каких терминах для полициклических групп может быть охарактеризовано свойство аппроксимируемости конечными р-группами и свойство аппроксимируемости конечными р-группами относительно сопряженности. В серии совместных работ Д.И. Молдаванского и его ученика Д.Н. Азарова эти два свойства исследованы для сверхразрешимых групп, составляющих важный подкласс в классе всех полициклических групп.

Начиная с 90-х годов, Д.И. Молдаванским и возглавляемым им научным коллективом, состоящим из преподавателей, аспирантов и студентов ИвГУ, проводились интенсивные исследования финитной аппроксимируемости и других аппроксимационных свойств свободных конструкций групп – обобщенных свободных произведений и HNN-расширений. Исследования в этом направлении, начатые в США более пятидесяти лет тому назад, до сих пор привлекают внимание многих специалистов в области теории групп. Систематическое изучение финитной аппроксимируемости обобщенных свободных произведений групп было начато Г. Баумслагом, которым была разработана «методика» исследований в этом направлении. В своем спецкурсе «Финитная аппроксимируемость групп и свободные конструкции», читаемом уже много лет для студентов и аспирантов, Давид Ионович усовершенствовал упомянутую выше методику – распространил ее с финитной аппроксимируемости на аппроксимируемость конечными р-группами, и применил ее не только к обобщенным свободным произведениям, но и к HNN-расширениям. Спецкурс постоянно совершенствовался, в нем ставились научные проблемы и задачи, многие из которых в дальнейшем были решены Д.И. Молдаванским и его учениками. На этом спецкурсе выросло уже не одно поколение исследователей. Давид Ионович щедро делится своими идеями и гипотезами с учениками, гордится их научными результатами. Эти результаты проходят тщательную проверку на возглавляемом Д.И. Молдаванским научном семинаре «Комбинаторная теория групп». При этом особое внимание уделяется подробным доказательствам полученных результатов, и поэтому многие доклады занимают несколько заседаний семинара.

В 2006 году Д.И. Молдаванский в диссертационном совете при Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова защитил диссертацию на тему «Аппроксимационные свойства HNN-расширений групп и групп с одним определяющим соотношением» на соискание ученой степени доктора физико-математических наук, которая стала промежуточным итогом его многолетней и плодотворной научной деятельности. В связи с этим отметим несколько результатов Давида Ионовича, относящихся к HNN-расширениям групп. В 1992 году в «Украинском математическом журнале» им опубликован критерий финитной аппроксимируемости произвольного нисходящего HNN-расширения, который лежит в основе доказательств целого ряда результатов. Так, например, с помощью этого критерия может быть доказан хорошо известный классический результат о финитной аппроксимируемости произвольного нисходящего HNN-расширения полициклической группы, а также значительно более общие результаты такого рода, полученные в последнее время А. Ремтуллой, М. Ширвани и Д.Н. Азаровым. Наряду с финитной аппроксимируемостью HNN-расширений изучается также их аппроксимируемость конечными р-группами. Большинство результатов, полученных в последнее время в данном направлении, основаны на доказанном Д.И. Молдаванским критерии аппроксимируемости конечными р-группами HNN-расширения конечной р-группы. Аналогичный критерий для обобщенных свободных произведений ранее был получен Хигманом. Важными примерами HNN-расширений являются так называемые группы Баумслага – Солитэра, представляющие собой HNN-расширения бесконечных циклических групп. Среди этих групп в свое время были найдены первые примеры групп с одним соотношением, не являющихся финитно аппроксимируемыми. Критерий финитной аппроксимируемости для таких групп хорошо известен. Ряд нетривиальных и очень глубоких результатов Давида Ионовича посвящен различным аппроксимационным свойствам групп Баумслага – Солитэра. Некоторые из этих результатов получены им совсем недавно.

За свою трудовую деятельность в Ивановском государственном университете Д.И. Молдаванский подготовил огромное количество квалифицированных специалистов, которые трудятся в самых разных сферах. Под его руководством подготовлено 11 кандидатов физико-математических наук. В настоящее время на факультете математики и компьютерных наук ИвГУ работают его ученики – Д.Н. Азаров, Е.В. Соколов, а также Е.Д. Логинова – ученица В.Н. Егорова и А.В. Розов - ученик Д.Н. Азарова. Покинули стены университета Е.А. Иванова, О.Е. Сенкевич, Д. Тьеджо и Е.А. Туманова. Большое внимание Д.И. Молдаванский уделяет учебной работе со студентами, является замечательным лектором, руководит курсовыми, дипломными и магистерскими работами. Его лекции отличаются логической выверенностью, глубоким научным содержанием и уважительным отношением к студентам. Д.И. Молдаванский остается центром притяжения для талантливых студентов и выпускников кафедры алгебры и математической логики, на которой вот уже более 50 лет он служит. Давид Ионович продолжает свою научную и педагогическую работу, полон новых идей и замыслов, является членом диссертационного совета при Ярославском государственном университете, сотрудничает с отечественными и зарубежными математическими журналами, является членом редакционной коллегии журнала «Вестник Ивановского университета». В настоящее время он готовит к печати книгу по материалам упомянутого выше спецкурса «Финитная аппроксимируемость и свободные конструкции групп».

Давид Ионович – глубоко интеллигентный человек, чрезвычайно корректный и внимательный в отношениях с окружающими. Его ум, опыт, доброта вызывают огромное уважение и признательность у коллег и учеников.