Факультет математики и компьютерных наук, история

54 городская математическая олимпиада

(8 декабря 2002 г.)


Условия задач               :   6 класс        7 класс     8 класс     9 класс     10 класс     11 класс     Победители

Список задач

6 класс


1. Может ли окружность пересекать каждую сторону многоугольника в одной точке между вершинами, но не касаться стороны и не проходить через вершины многоугольника, если число вершин многоугольника 2003?
2. Длина карандаша равна 10 см. Как из 12 одинаковых карандашей составить многоугольник, площадь которого равна 4 кв дм?
3. Квадрат со стороной 13 см разрезали на квадратики со стороной 1 см и составили из всех полученных квадратиков два квадрата, использовав все квадратики. Какие длины сторон у этих двух полученных квадратов?
4. В классе два "двоечника" за два дня получили две двойки. Сколько двоек получат шесть "двоечников" за шесть дней, если все они также плохо учат уроки, а учительница также часто спрашивает "двоечников"?
5. Три мышки едят головку сыра. Первая и вторая мышки могут съесть этот сыр за 4 дня, первая и третья за 3 дня, а вторая и третья за 6 дней. За сколько дней будет съедена головка сыра, если это сыр три мышки едят одновременно?
6. Надо поровну разделить 7 одинаковых (круглых) порций пиццы между 12 детьми, не разрезав ни одну из порций на 12 частей. Как это сделать?
Наверх

7 класс


1. Лист бумаги согнули по прямой и прокололи иголкой в двух точках, а потом развернули и получили 4 отверстия. Положения трех из них заметны, а положение четвертого отверстия не видно. Не видна также линия сгиба листа. Где может находиться четвертое отверстие?
2. Что больше: площадь квадрата, вписанного в круг или площадь круга, вписанного в квадрат, если площади описанных фигур равны?
3. Существует ли трехзначное число, делящееся на 11, у которого первая цифра больше второй, а вторая больше третьей?
4. Перемножили два двузначных числа, затем в каждом из этих двузначных чисел переставили цифры и опять перемножили. Верно ли, что разность этих произведений обязательно делится на 99?
5. Длина спички равна 1. Как из 64 спичек составить многоугольник, площадь которого равна 64 кв.ед.?
6. Назовем автобусный билет несчастливым, если сумма цифр его шестизначного номера делится на 13. Могут ли два идущих подряд билета оказаться несчастливыми?
Наверх

8 класс


1. В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 30o, а отрезок перпендикуляра, проведенного к гипотенузе через ее середину до пересечения с катетом, равен 1. Найдите длину большего катета данного треугольника.
2. Высота треугольника в два раза меньше стороны, на которую она опущена, а один из внутренних углов треугольника, прилежащих к этой стороне равен 75o. Обязательно ли этот треугольник равнобедренный?
3. Построить окружность, равноудаленную от четырех данных точек. 4. Известно, что некоторое трехзначное число делится на 37. Первую его цифру переставили в конец. Доказать, что полученное число также делится на 37.
5. Разложить многочлен X8+X+1 на множители.
6. Если A1 £ A2, B1 £ B2 , то (A1+A2)/2 * (B1+B2)/2 £ (A1B1+A2B2)/2 . Доказать.
Наверх

9 класс


1. Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке O. Известно, что OC=AB. Найти величину угола при вершине C.
2. В трапеции провести прямую, параллельную основаниям так, чтобы ее отрезок, заключенный между боковыми сторонами, делился диагоналями на равные части.
3. Известно, что некоторое пятизначное число делится на 41. Первую его цифру переставили в конец. Доказать, что полученное число также делится на 41.
4. Остаток при делении многочлена P(x) на (x-1) равен 1, при делении P(x) на (x-2) равен 2, а при делении P(x) на (x-3) равен 3. Какой остаток будет при делении P(x) на (x-1)(x-2)(x-3) ?
5. Показать, что число N=1999*2000*2001*2002+1 - это полный квадрат некоторого целого числа n. Найти n.
6. Если A, B, C, D - положительные числа и C+D £ A, C+D £ B, то AD+BC £ AB. Доказать.
Наверх

10 класс


1. Найти наименьшее положительное число x такое, что [x]*{x} ³ 2002. ([x] - целая часть числа х, а {x} - дробная часть числа х).
2. Какую наибольшую длину может иметь геометрическая прогрессия, состоящая из семизначных чисел?
3. На листе бумаги поставили кляксу. Для каждой точки этой кляксы нашли наибольшее и наименьшее расстояние от этой точки до границы. Из всех таких наибольших расстояний выбрали наименьшее, а среди всех таких наименьших расстояний выбрали наибольшее. Оказалось, что эти два полученные значения равны. Докажите, что клякса имеет форму круга.
4. Плоскость покрыта сеткой квадратов. Можно ли построить правильный шестиугольник с вершинами в вершинах квадратов сетки?
5. Через середину каждой диагонали выпуклого четырехугольника проведена прямая, параллельная другой диагонали. Точка пересечения этих прямых соединена отрезками с серединами сторон четырехугольника. Доказать, что последними четырьмя отрезками данный четырехугольник делится на равновеликие части.
6. Если A1 £ B1 £ C1, A2 £ B2 £ C2, то (A1+B1+C1)/3* (A2+B2+C2)/3 £ (A1A2+B1B2+C1C2)/3. Доказать.
7. В вершине А единичного квадрат АВСД сидит муравей. Ему надо добраться до вершины С, где находится вход в муравейник. Точки А и С разделяет вертикальная стена, имеющая вид равнобедренного треугольника с основанием BD и острым углом при основании в 15o . Найти длину кратчайшего пути, который надо преодолеть муравью, чтобы попасть в муравейник.
Наверх

11 класс


1. Вне квадрата на его стороне построен прямоугольный треугольник, у которого сторона квадрата является гипотенузой. В каком отношении биссектриса прямого угла этого треугольника делит площадь квадрата?
2. Найти все ненулевые многочлены P(x), удовлетворяющие тождеству P(x2)=(P(x))2 для всех x из R.
3. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF пары противоположных сторон параллельны. Доказать, что треугольники ACE и BDF равновелики.
4. Дан пятиугольник АВСDE, где АВ=ВС=СD=DЕ, ÐB = ÐD =90o. Можно ли пятиугольниками, равными данному, замостить плоскость?
5. Дана правильная n-угольная пирамида. Из произвольной точки P ее основания восставлен перпендикуляр к плоскости основания. Доказать, что сумма длин отрезков от точки P до точек пересечения перпендикуляра с плоскостями боковых граней пирамиды не зависит от выбора точки P на основании (и эта сумма равна nh, где h - высота пирамиды).
6. Разложить многочлен X8+X7+1 на множители.
7. Доказать неравенство: tg x > x3 при 0 < x < p /2.
8. Существуют ли такие вещественные x, что {x}+{1/x}=1? ([a] - целая часть числа a, {a}=a-[a] - дробная часть числа a).

Наверх


Победители

6 класс

2 место

Романов Семен и Прочко Алексей (одно место) - школа № 33

3 место

Поощрительные премии

нет

7 класс

1 место

Кирьянов Антон - школа № 30

2 место

3 место

Мочалов Андрей Андреевич - школа № 30

Поощрительные премии

8 класс

1 место

Куцевал Виталий - школа № 22

2 место

Баранов Андрей - школа № 33

3 место

Караванов Алексей - школа № 22

Поощрительные премии

9 класс

1 место

2 место

Казаков Иван Николаевич - школа № 33

Поощрительные премии

10 класс

1 место

Харин Максим Алексеевич - школа № 22

2 место

3 место

Поощрительные премии

Синицын Алексей - школа № 33

11 класс

1 место

Томин Дмитрий Николаевич - школа № 33

2 место

3 место

Поощрительные премии

ИвГУ: Математический факультет. Главная страница