2. Для оклейки кубика 3*3*3 имеется неограниченный набор полосок ширины 1, каждая из которых состоит из целого числа клеток. Какое наименьшее число полосок необходимо взять, чтобы оклеить кубик в один слой (оклеивать разрешается так, чтобы каждая клетка полоски покрывала на поверхности кубика какую-то клетку целиком)?
3.
На острове Буяне живут племена рыцарей, лжецов и реалистов. Рыцари всегда
говорят правду, лжецы всегда лгут, а реалисты лгут и говорят правду через раз,
причем неизвестно, с правдивого или ложного ответа начинают реалисты. Однажды
репортер спросил у двух жителей А и Б этого острова, из каких они племен. Они
ответили следующее:
А: "Б - рыцарь. Извините, Б - реалист".
Б: "А - лжец. Извините, А - ...".
К сожалению, последнее слово, сказанное Б, репортер не расслышал. Что это было за слово?
4. Сумма положительных чисел x, y и z равна 11. Докажите неравенство
5. Докажите, что любой параллелограмм можно разрезать ровно на 9 равнобедренных треугольников.
2. Буратино время от времени сажает на поле чудес монеты. Из посаженной монеты из земли немедленно начинает расти дерево с постоянной скоростью 1 м в час. В полночь суммарная высота посаженных Буратино деревьев равнялась 10 м, в 5 часов утра - 16 м, а в 10 утра - 29 м. Докажите, что среди деревьев Буратино найдутся два таких, которые отличаются по высоте не более, чем на 3 м.
3. На высоте АН остроугольного треугольника АВС как на диаметре построена окружность w. Пусть В1 и С1 - вторые (кроме А) точки пересечения w со сторонами АВ и АС соответственно. Докажите, что касательные к w, проведенные в В1 и С1 высекают на стороне ВС отрезок, равный половине этой стороны.
4. На доске написано уравнение
5. Пусть Р - произвольная точка внутри D АВС. Выберем какую-либо вершину и отразим ее симметрично относительно Р, а затем полученную точку отразим симметрично относительно середины стороны, противолежащей выбранной вершине. Обозначим полученную точку Q. Докажите, что Q не зависит от выбора вершины D АВС.
1. Может ли тангенс острого угла быть в целое число раз больше как синуса, так и косинуса этого же угла?
2. На высоте АН остроугольного треугольника АВС взята точка D. Точки M и N симметричны точке D относительно сторон АВ и АС соответственно. Докажите, что окружности, описанные около треугольников АВМ и ACN, пересекаются второй раз в точке, симметричной точке D относительно стороны ВС.
3. Для оклейки кубика n*n*n имеется неограниченный набор полосок ширины 1, каждая из которых состоит из целого числа клеток. Какое наименьшее число полосок необходимо взять, чтобы оклеить кубик в один слой (оклеивать разрешается так, чтобы каждая клетка полоски покрывала на поверхности кубика какую-то клетку целиком)?
4. На доске написано уравнение
5. В пространстве даны 4 попарно не пересекающиеся прямые. Известно, что любая плоскость, не параллельная ни одной из этих прямых, пересекает их в четырех точках, являющихся вершинами параллелограмма. Докажите, что данные прямые параллельны.
1. В треугольнике сумма косинусов двух углов равна синусу третьего угла. Докажите, что треугольник - прямоугольный.
2. Биссектрисы AL, BM и CN треугольника АВС пересекаются в точке О. Какой из отрезков LO, MO или NO - наибольший, если
3. Сумма положительных чисел x, y и z равна 11. Докажите неравенство
4. На доске написаны числа от 1 до n, n ≥ 3. Разрешается стереть любые два числа одной четности и вместо них записать на доску их полусумму. Эта операция проделывается до тех пор, пока на доске не останется одно число. Докажите. что в конце на доске могло остаться любое число от 2 до n-1.
5. Пусть A1, B1, C1, D1, - соответственно середины ребер SA, SB, SC, SD четырехугольной пирамиды SABCD. Известно, что пространственные четырехугольники
В олимпиаде приняли участие 83 школьника классов. Из них 45 человек из Ивановских школ и 38 из районов области. Олимпиада проходила один день (29 января) в течениe 5 часов.
Победители олимпиады:
| 8 класс | ||
|---|---|---|
| Куцевол Виталий | лицей 22, | 1 место |
| Баранов Андрей | лицей 33 | 2 место |
| Сухарев Арсений | лицей 33 | 2 место |
| Мухин Михаил | г. Шуя, шк.8 | 3 место |
| Гусева Екатерина | г.Тейково, шк. 2 | 3 место |
| Кирьянов Антон | шк. 30, 7кл. | 3 место |
| Сироткин Алексей | шк. 35 | 3 место |
| Гасанов Руслан | шк. 35 | поощрительная премия |
| Караванов Алексей | лицей 22 | поощрительная премия |
| 9 класс | ||
| Калибин Борис | "Гармония" | 1 место |
| Разумовский Роман | "Гармония" | 1 место |
| Казаков Иван | лицей 33 | 2 место |
| Руденко Владимир | г.Родники,шк. 3 | 2 место |
| Смирнов Сергей | г. Шуя, шк. 1 | 3 место |
| Кузьмин Александр | лицей 33 | 3 место |
| Карпаков Станислав | лицей 22 | поощрительная премия |
| Корнев Илья | г. Шуя, шк.1 | поощрительная премия |
| Кузьмина Яна | лицей 33 | поощрительная премия |
| Калинин Михаил | Коляновская ср. шк. | поощрительная премия |
| 10 класс | ||
| Разумовский Роман | "Гармония" | 1 место |
| Калибин Борис | "Гармония" | 2 место |
| Нежиков Иван | г. Южа, шк.3 | 3 место |
| Яковлев Максим | г.Кинешма, гим.им.Островского | 3 место |
| Каменев Михаил | шк.29 | 3 место |
| Харин Максим | лицей 22 | 3 место |
| Шангараев Ренат | шк. 41 | поощрительная премия |
| 11 класс | ||
| Томин Дмитрий | лицей 33 | 1 место |
| Рубцов Андрей | лицей 33 | 2 место |
| Костерин Антон | лицей 33 | 2 место |
| Белов Дмитрий | лицей 33 | 3 место |
| Лебедева Анна | лицей 33 | 3 место |
| Якшов Анатолий | г.Кинешма гим. им.Овстровского | 3 место |
| Осипенко Полина | лицей 33 | поощрительная премия |
| Бабенкова Юлия | лицей 33 | поощрительная премия |
| Жамлиханов Тимур | лицей 22 | поощрительная премия |
| Капранов Владимир | лицей 33 | поощрительная премия |
Председатель жюри олимпиады____________ Н. Г. Косарев