%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
\Monograph
\Russian
\TagsOnRight
\NoRunningHeads
\magnification=\magstep2
\pageno1
\topmatter
\endtopmatter
\headline={\hss\tenrm\folio\hss}


\midinsert
%\vspace{0.3 cm}
\botcaption{}
\endcaption
\endinsert
%\bigskip
\noindent
��� 514.17
\nopagebreak
\smallskip
\noindent
{\bf �.~�.~��p����᪨�}
\nopagebreak
\smallskip
\noindent
{\bf ����� ����� �����������}
\nopagebreak
\newline
{\bf �� �������� ������� -- ��������}
\nopagebreak
\newline
{\bf � �� L-������������� �������� �������}
%\footnote"*" {����� �믮����� �p� 䨭��ᮢ�� �����p��� ����
%(�p���� 96-01-166).}
\medskip
\quad \underbar {1. ������ ����砭��.} � ���� p��� ���� � ����
p��������� ��������� �p���p���⢠ $E^n$, ��p�������� �������� � ���
$n$--��p��� p��⪨ $\Gamma^n$: � p�������� �� ������ (������p�)
��p�嫥 -- ��p����� � p�������� �� $L$--������p������ ($L$--p��������).
������� �� ���ᠭ�� ���� ����, � �. 2; ���p������ �⭮�⥫쭮 ����
᢮��� p��ᬠ�p������� p�������� � ���ᠭ�� �� ��p����� � p拉
����p���� ��砥� ����� ���� � p����� [2--11]. ����p���� ���稬����
p�����  �.�.��p����� [3], ��� ������� �㭤�����
�祭�� �� $L$-������p�������, � ���� �.�.������ [5] ��� ������᪮��
�祡���� �� ������p�� p��⮪, � ⮬ �᫥ � �� �p������ ������ ����.

\quad ��������� �� ������p� ��p�嫥 -- ��p����� � $L$--p�������� �������筮 ��������
��p�����饩 �� p��⪮� $\Gamma^n$, � ��p����� ������ �������筮 ��p������
��p����� �p㣮��. ����p�� ����p����� ������ p�������� �� �p㣮�� ��⥪���
�� �裡 ����� ����, ���p���� ���ᠭ��� � p���� [5] � ��������� ⠬
��������p��-���p��᪮� �����⢥�������. ���⮬� �����筮 ��� �p�
��᫥������� ����p���� p��⮪ ������������� ���ᠭ��� ������ p��������,
�� �ᥣ� 㤮����� ��� �뢮�� � �p�������� -- $L$-p��������; ᮮ⢥�����饥
��p�� p�������� ���p��㬥������ ⠪�� 㦥 �������. ����� � ⥬
��������p��-���p��᪠� ��� ��� ���� p�������� ᮤ�p��� �����p� �� ⠪
� � ������ ᫥��⢨� ��饣� �p���p�, ��������饣� ����� ��㡮��
��᫥������ p��������. � ������ ���� 㪠���� ��᪮�쪮 ⠪�� ᫥��⢨�;
���� �� ��� � �����-� ��p� �p����p������� ⥮p���� �.�.���㡥�� [4] �
���������� �������� $L$-������p������� � ������p ��p�嫥 -- ��p����� (�. 3,
�p��������� 1).

\quad \underbar {2. ��騥 ᢥ����� � p��������� �� ������p� ��p�嫥 -- }
%\nopagebreak
%\newline
\break
\underbar {��p����� � �� $L$--������p������ p��⮪.} ������p�� ��p�嫥 -- ��p�����
$D(\overline {t}_o)$ \linebreak
������ �窨 $\overline {t}_o$ p��⪨ $\Gamma^n \subset E^n$
���뢠���� ������⢮ ��� �� �祪 $\overline {x} \in E^n$,
p����ﭨ� ������ �� ���p�� �� �窨 $\overline {t}_o$ �� �p����室�� ��
p����ﭨ� �� ���� �p㣨� �祪 p��⪨:
$$
|\overline x - \overline t_o| \le |\overline x - \overline t_p|,
\quad \overline t_p \in \Gamma^n, \quad \overline t_p \ne \overline t_o.
$$

\quad ������p ��p�嫥 -- ��p����� (�-�-������p) �p���⠢��� ᮡ��
��p���祭��
�������� ����筮�p���� ������p�����, ��ꥬ ���p��� p���� ��ꥬ�
�᭮����� (����᭮��) ��p������������ p��⪨. �-�-������p � ��� �p���
��� p����p���⥩ ����� 業�p� ᨬ���p�� (�., ���p., [1]). ����p
ᨬ���p�� ������p� $D(\overline t_o)$ --- �窠 $\overline t_o$; �� ��
�㤥� ���뢠�� 業�p�� ������p�. �-�-������p� p������� �祪 p��⪨
$\Gamma ^n$ ���������� �⭮�⥫쭮 p��⪨, �.�. ᮢ������� �p� �
�p㣮� ��p������묨 ��p���ᠬ� �� ����p� p��⪨.

\quad �����㯭���� ��� �-�-������p�� ������ p��⪨ $\Gamma^n$ ��p����
p��������
�p���p���⢠; �� p�������� �� �㤥� ���뢠�� �-�-p��������� p��⪨. ��
p�������� ��p���쭮, �.�. ��p����騥 ��� ������p�, �᫨ �� ��p��祭��
�� ����, ��p�ᥪ����� �� 楫� �p��� ⮩ ��� ���� p����p����.

\quad $L$--������p������� p��⪨ $\Gamma^n$���뢠���� ��㪫�� �����窠 
\break
$Conv~T=Conv(\overline t_1,~\dots,~\overline t_p)$ �祪 $\overline t_1,
~\dots,~\overline t_p$ p��⪨, ��������� ᢮��⢠��: 1) $Conv~T$ --- 
$n$-��p�� ������p�����, ���p� ���p��� ����� ����� ��p�; 2) ����p� � ��
����p孮�� ���ᠭ��� ��p�, �p��� �祪 $\overline t_1,~\dots,~\overline t_p$,
��� �p㣨� �祪 p��⪨. ����p ��p�, ���ᠭ��� ���p� $L$--������p������,
�㤥� ���뢠�� ��� 業�p��. ������⢮ $L$--������p�������, ��� � ������⢮
�-�-������p��, ��p���� ��p���쭮� p�������� �p���p���⢠ $E^n$, ���뢠����
$L$--p��������� p��⪨ $\Gamma^n$.

\quad �����㯭���� $L$--������p�������, ������ ᢮�� ��饩 ��p設�� �����p��
��� $\overline t$ p��⪨, ���뢠���� ������� $L$--p�������� �窨
$\overline t$. ����� �� ����p�� ������������� �⭮�⥫쭮 p��⪨
������p������� $L$--p�������� �p���⠢��� � ������ ��᪮�쪨�� ᢮���
����ﬨ; ������⢮ ����� p���� ��� ��p設 $L$--������p������, �᫨ ��
����� 業�p ᨬ���p��, � p���� 㤢������� ��� ��p設 � �p�⨢��� ��砥.
���� $\overline t$ ������� 業�p�� ������.

\quad �-�-p�������� � $L$--p��������, ��������� ����� � ⮩ �� p��⪮�,
�易�� ����� ᮡ�� ⠪ ���뢠���� ��������p��-���p��᪮� �����⢥�������
(�.�.������ [5]). �� �������� ���p��㬥����, �� ���筠� ��������p���
�����⢥������ p�������� ���������� ��ﬨ ���p��᪮�� �p���p�.
������ ��� �����⢥������ ����� ᫥���騬 ��p����. ����� $\overline t$ --
�����p�� �窠 p��⪨, $D(\overline t)$ --- �-�-������p, $S(\overline t)$
-- ������ $L$--p��������, ��� ������p������ -- � 業�p�� � �窥
$\overline t$.
����� ��p設� �-�-������p� ���� 業�p� �� $L$--������p��\-��\-��� ������,
���p� ��� �⠢���� � ᮮ⢥��⢨�, p��p� ������p� $D(\overline t)$
ᮮ⢥������ �p⮣������ �� ����p�p��� $L$--p�������� (����p� ������
$S(\overline t)$), �p�祬 �p����� p���p ����� 業�p��� ��p, ���ᠭ���
���p� ᮮ⢥������� ����p�p����, � �.�., ����p�p��� �-�-������p�
ᮮ⢥������ �p⮣������ �� p��p�� $L$--p�������� ("p����ᠬ" ������
$S(\overline t)$), �p�祬 業�p� ᨬ���p�� ����p�p���� ����� �p�������
$L$--p���p, �������, ᠬ �-�-������p ᮮ⢥����� ��p設� $\overline t$
$L$--p�������� --- ᢮��� 業�p�.

\quad \underbar {3. ���������� $L$--������p������� � �-�-������p.}
���� �����- \break ���� ��� ������p������ �� $L$--p�������� 
p��⪨ � �-�-������p �⮩ p��⪨ ��
����p㦥� � 1974 �. �.�.���㡥��; ��᪮��� ��� �㡫����� [4] �뫠
�����⢫���
� �������, �� ����襬 �p����� p��p���\-p������, �p�������� ���� �p��������� 1
� ��������� ������ � �����, ��� � �⫨�� �� ������� � [4],
������⥫��⢮�.

\proclaim{\indent �p��������� 1} ����� $P$ --- �����p� $L$--������p����� $n$--��p\-���
p��⪨ $\Gamma ^n$, $D(\overline t)$ --- ���� �� �� �-�-������p��,
$V(D(\overline t))$ --- ������⢮ ��p設 ������p�. ����� ��p�� $P^*$
������p������ $P$ �p� ��p�����쭮� ��p���� �� ����p $\overline t$ --
$\overline c$, ��� $\overline c$ --- 業�p ������p������ $P$, ᮤ�p�����
� ������p� $D(\overline t)$, �p�祬 ������⢮ ��p設 ������p������  $P^*$
ᮤ�p����� � ������⢥ $V(D(\overline t))$.
\endproclaim

\quad ����� $V(P)=\{\overline t_1,~\dots,~\overline t_m\}$ --- ������⢮ ��p設
������p������ $P$. ��� �-�-������p�� $D(\overline t_k), ~k=1,~\dots,~m$
�窠 $\overline c$ ���� ��饩 ��p設��.

\quad �p�������� ��p������� ��p����� ������p������ $P$ ��᫥����⥫쭮 ��
����p� $\overline t_k -\overline c ~(k=1,~\dots,~m)$; ⥬ ᠬ� �� ����稫�
$m$ ��p���� $P_k=P+\overline t_k-\overline c$ �⮣� ������p������. ����p��
��p��� $P_k$ ���� �窠 $\overline t_k$ --- 業�p ������p� $D(\overline
t_k)$, ��p設� �� $\overline t_k$ ������p������ $P$ ��p�室�� � ��p設�
������p� $D(\overline t_k)$ --- ��� $\overline c_k$, ᨬ���p����
�⭮�⥫쭮 $\overline t_k$ ��p設� $\overline c$. �⠪, ����� ��
������p������� $P_k$ ����� ��p設�, ᮢ�������� � ��p設�� �-�-������p�
$D(\overline t_k)$, --- ��� $\overline c_k$.

\quad �믮���� ��p������� ��p����� �� ����p� $\overline t -\overline t_k$
���
�-�-������\-p��� $D(\ol t_k)$ � ������p�������� $P_k$ ᮮ⢥��⢥��� ���
������� \linebreak
$k=1,~\dots,~m$. � p������ ��p���ᮢ ��p��� ������p�� $D(\ol t_k)$
ᮢ����� � ������p�� $D(\ol t)$, � ��p��� ������p������� $P_k$ ᮫����� �
������p����� $P^*=P+\ol t$. �p� �⮬ �� ��p設� ������p������ $P^*$ ���
��p��� ��p設 $\ol c_k \in D(\ol t_k)\cap P_k$ ᮢ����� � ��p設���
�-�-������p� $D(\ol t)$. ����� ��p����, $P^*\subseteq D(\ol t),~ V(P^*)
\subseteq V(D(\ol t))$ � �p��������� ��������.\quad\qed

\proclaim {\indent �����⢨� 1} ��ꥬ ��� $L$-- ������p������ ��类� ��筮�
p��⪨ �� �p����室�� ��ꥬ� �-�-������p� �⮩ p��⪨, �p�祬 p�����⢮
��ꥬ�� ���⨣����� ⮫쪮 � ��砥 ᮢ�������, � �筮���� �� ��p�����쭮��
��p����, $L$-- ������p������ � �-�-������p�.
\endproclaim
\proclaim {\indent �����⢨� 2} ��㪫�� �����窠 $L$--������p������� ������,
��\-p�����쭮 ��p���ᥭ��� ⠪, �⮡� �� 業�p� ᮢ���� � 業�p�� ������, ����
�-�-������p.
\endproclaim
\proclaim {\indent �p��������� 2} ���������� (� �筮���� �� ��p����)
$L$--�����\-�p������ � �-�-������p� ����� ���� ⮫쪮 � ��砥 �pאַ㣮�쭮�
p��⪨.
\endproclaim

\quad �᫨ $L$-������p����� ᮢ��� � �-�-������p��, � �� ����p� p���p
������p� ���� ����p� ᬥ����� p��⪨, �.�. ����p� p���p $L$-p��������.
����� ��p����, � ������ ��p設� �-�-������p� p��p� ��p����� ����p�� �����
㣫�. � ⠪ ��� �� �p���, � ⮬ �᫥ � 2-�p���, ������p� ����� 業�p�
ᨬ���p��, � �p� ������⢨� ���� 㣫�� ��� 2-�p���� �� �������� ⮫쪮
� ��砥, ����� �� ��� �pאַ㣮�쭨��. ��� � ᫥��� �p���������.\quad
\qed

\quad \underbar {4. �-������p� ��窮� � ������p�������}.
\proclaim {\indent ��p�������� 1}
����� $AB$ --- ��p���� � ���栬� $A$ � $B$, p�ᯮ������� � ����������
�p���p���⢥ $E^n$. {\it ����ᮩ ��p����} $AB$ ���뢠���� ������⮥ ������⢮
$\pi(AB)$ �祪 ����� ����p���᪮��ﬨ, �p�������묨 �p�� �窨 $A$ � $B$
��p��������p�� ��p����.
\endproclaim
\proclaim {\indent ��p�������� 2} $n$--{\it ��p�� ��窮�}, ��� �p��� {\it ��窮�}
$R \subset E^n$, ���뢠���� ᮢ��㯭���� ��p����� $A_iB_i,~i=1,~\dots,~m;~
m \ge n$, ���p� ��p�ᥪ����� ᢮��� �p������� � �� ����� � �����
����p���᪮��. ��窠 ��p��祭�� ��p����� ��窠 ���뢠���� {\it 業�p��
��窠}. �-{\it ������p�� ��窠} $R$ ���뢠���� ��p��祭�� ����� $\pi_i$
��p����� $A_iB_i$, ��⠢����� ��箪:
$$
\Pi(R)=\bigcap _i \pi _i.
$$
\endproclaim
\noindent �����p���⢥��� �� ᢮��� �-�-������p�� p��⮪ �����
\proclaim {\indent �p��������� 3} �-�-������p p��⪨ �p���⠢��� ᮡ�� 
�-����\-��p ��窠, ��p���������� ������⢮� ��� ����p�� ������������� p���p
$L$-p��������, �p� ᮢ������� 業�p�� \break ��窠 � �-�-������p�.
\endproclaim
\proclaim {\indent ��p�������� 3} ����� $P$ --- $n$-��p�� ��㪫� ������p�����.
$\Pi$-{\it ������p��} $\Pi(P)$ {\it ������p������} $P$ ���뢠���� ��p��祭��
����� ��� ��� p���p.
\endproclaim
\proclaim {\indent ��p�������� 4} �-������p $\Pi(P)$ ������p������ $P$ ���뢠����
{\it �����} ��� {\it �������} � ����ᨬ��� �� ⮣�, �� ��� ��� �� ��
��� ����p���᪮����, ��p���稢���� ������, p�ᯮ������ �p��� �-������\-p�.
����� �-������p ���뢠���� {\it ����� ����p�������}, �᫨ �� ��� �p���,
p�ᯮ������� �� ����p���᪮����, � ���p�� ����p����� ���, �����
p����p����� $n-1$, � �p�⨢��� ��砥 ������p ���뢠���� {\it �����
��p�������}.
\endproclaim

\quad �� ��p�������� ��⥪���, �� �-������p� $L$-������p������� (� \linebreak
������ ��� ��� ����� ���p�����) ����� ����묨 ����p������묨.

\proclaim {\indent �p��������� 4} �-������p ������p������ $P$, ���p� ���p���
����� ���� ���ᠭ� ��p�, ����� 業�p ᨬ���p��, � ��� 業�p ᮢ������
� 業�p�� ���ᠭ��� ��p�.
\endproclaim

\quad ����� $H_{ij}$ --- ����p���᪮���, ��p�����쭠� ����p���᪮���,
��p���稢��騬 ������ �����p��� p��p� $A_iA_j$ ������p������ $P$, �
�p�室��� �� ���������� �� ��� p����ﭨ�, �.�. �p�� �p�����
p��p� $A_iA_j$. �������⥫쭮, ����p���᪮��� $H_{ij}$ �p�室�� �p��
業�p $Q$ ��\-p�, ���ᠭ��� ���p� ������p������ $P$, � ��p��祭��
����p���᪮�⥩ $\bigcap_{i,j}H_{i,j}$ ��⮨� �� ����� �窨 $Q$.
��� ��� �窠 $Q$ ���� ����� �� 業�p�� ᨬ���p�� ������ �� �����,
� ��� ���� � 業�p�� ᨬ���p�� �� ��p��祭��, �.�.
�-������p� $\Pi (P)$.\quad \qed
\proclaim {\indent �p��������� 5} �᫨ ������p����� $P$ ����
$L$-�����\-�p��\-��\-��� �����p�� p��⪨, � ��� �-������p ᮤ�p���
�-�-������p �⮩ p��⪨.
\endproclaim

\quad �p��������� 5 ᫥��� �� �p���⠢����� �-�-������p� ��� �-������p� ��窠
p���p $L$-p�������� � ⮣�, �� p��p� $L$-�����\-�p��\-���� ����� p��p���
$L$-p��������. \quad \qed
\proclaim {\indent �����⢨�} �-������p $L$-������p������ p��⪨ ᮢ������
� �-�-������p�� �⮩ p��⪨ ⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, ����� ������⢮
��� ����p�� ������������� p���p $L$-p�������� �室�� � ������⢮ p���p
$L$-������p������.
\endproclaim

\quad ��������� � ᫥��⢨� ᮢ������� ����� ���� � ��砥 ���᪨� p��⮪
� ��� ���p�� ����� ᯥ樠���� �p�嬥p��� p��⮪. ��᪮��� � ����
�p�嬥p��� p��⮪ ����p�� ������������� p���p $L$-p�������� 7, �.�. ��
���� �����, 祬 p���p � ��p���p�, � �-������p $L$-��p���p� ⠪��
p��⪨ 㦥 �� ᮢ������ � �������� �-�. � $n$-��p��� ��砥 ᮢ�������
����� ����, ���p���p, ��� ��p��� ᮢ�p襭��� p��⪨ ��p����� [2].

\quad \underbar {5. �-������p �p����쭮�� ᨬ�����.}  �����
$S=\{A_0A_1\hdots
A_n\}$ --- $n$-��p�� ᨬ�����, $h(A_i)_j$ --- �p�室��� �p�� ���
$A_i$ ����p���᪮���, ��p��������p��� p��p� $A_iA_j$  � �p�室��� �p��
��� �p�����, � ᫥����⥫쭮, � �p�� 業�p $G$ ᨬ����� $S$.

\proclaim {\indent ��p�������� 5} {\it ��p������������� ��p設� $A_i$ ᨬ�����}
$S$ ������� ��p�����������, ����p�p��� ���p��� p�ᯮ������ �� ����p���᪮����
$H_{ij},~i,j \in 0,1,~\hdots,n,~i \ne j$, �p�室��� �p�� ��� $G$, � ��
����p���᪮���� $h(A_i)_j$, �p�室��� �p�� ��p設� $A_i$, ��� $j=0,1,
~\hdots,n$.
\endproclaim

\quad �᫨ p����� �-������p ᨬ����� $S$ �p�室�騬� �p�� ��� \break 業�p $G$
����p���᪮��ﬨ $H_{i,j}$ �� $n+1$ ��᮪, ����� �� ���p�� ᮮ⢥�����
⮩ �� ��p設 ᨬ����� $S$, ���p�� � ��� ᮤ�p�����, � �祢����, ��
����� �� ��� ��᪮� ������� � ��p����������� ᮮ⢥�����饩 ��p設�
ᨬ�����. � ��砥, ����� ᨬ����� $S$ �p������, ����� ���� ᮢ�������
����祭��� �� p���祭�� ��᪮� � ��p������������� ��p設. ����� ��p����,
�-������p �p����쭮�� ᨬ����� ���� ��ꥤ������ ��p������������� ��� ��p設.
� �� ⮣�, �� �-������p �p����쭮�� ᨬ����� ᮢ������ � �-�-������p��
����p������ �� ��� p��⪨ --- ��p��� ᮢ�p襭��� p��⪨, �����

\proclaim {\indent �p��������� 6} �-�-������p $n$-��p��� ��p��� ᮢ�p襭���
p��⪨ ��p����� �p���⠢��� ᮡ�� ��ꥤ������ $n+1$ ��p������������, �����
�� ���p�� ����p��� �� $n$ ����p�� �� ������⢠ ⠪��, ������ ��饥 ��砫�,
����p�� $\ol e_0, \ol e_1,~\hdots,\ol e_n$, ��� ���p��
$$|\ol e_i|=|\ol e_j|,\quad i,j \in \{0,1,~\hdots,n\},\quad i \ne j,~
\text {�}~
\sum \sb {0 \le i \le n} \ol e_i = \ol 0.$$
\endproclaim

\bigskip
\centerline{\bf ���᮪ �ᯮ�짮������ ���p���p�}
\nopagebreak
\medskip

\noindent 1. {\it ����ᠭ�p�� �.�.} ��㪫� ������p������. �.; �.
 1950. 428 �.

\noindent 2. {\it ��p����᪨� �.�.} ��������� ���������� �p���p���� ��
$L$-�����-
\phantom{2 �}�p������ �����p�� ᮢ�p襭��� p��⮪ // �p. ���� ����.
1991. \phantom{2 �}�. 196. �. 27 -- 46.

\noindent 3. {\it ��p���� �.�.} ��᫥������� � �p���⨢��� ��p��������p�� //
���p.
\phantom{2 �}��. ����, 1952. �.2. �.239 -- 368.

\noindent 4. {\it ���㡥� �.�.} ���� ᢮��⢮ p��⮪, ��뢠�饥
������p������ ��
\phantom{2 �}$L$- � $V$-p��������. // �祭.���. ����. ���. �-�.
1974, �. 89. �.71 -- \phantom{2 �}75.

\noindent 5. {\it ������ �.�.} ������p�� ������⥫��� ����p����� �p� //
���.
\phantom{2 �}1937. ��.3. �. 16 -- 62;~ 1938. ��.4. �. 102 -- 164.

\noindent 6. {\it ������ ��., ����� �.} �������� �p��, p��⪨ � �p㯯�.
�. 1990.
\phantom{2 �}�. 1. 416 �.; �. 2. 375 �.

\noindent 7. {\it ��誮� �.�.} ��p����� $n$-��p���� ��p��������p� ��p����
⨯� //
\phantom{2 �}��� ����. 1962. �. 162. \No 5. �. 1027 -- 1030.

\noindent 8. {\it ��誮� �.�., ��p����᪨� �.�.} $C$-⨯� $n$-��p��� p��⮪
� ��\-�\-��p\-�� �p���⨢�� ��p��������p�:
(C �p��������� � ⥮p��
���p�- \phantom{2 �}⨩)
 // �p. ���� ����. 1976. �. 137. �. 1 -- 130.

\noindent 9. {\it ��誮� �.�., ��衠�� �.�.} ��p����� $L$-p�������� ���
��p�� �-
\phantom{2 �}��p襭��� p��⪨ // ���. �. 1981. �. 116.
\No 2. �. 218 -- 231.

\noindent 10. {\it ��誮� �.�., �p��� �.�.} ���⠦��� ����p����� $L$-⥫
p��⮪ //
\phantom{2 �}���. 1989. �. 44. ��. 2. �. 241 -- 242.

\noindent 11. {\it Erdahl R.M., Ryshkov S.S.} The empty sphere // Can. J. Math.
1987.
\phantom{2 �}Vol. 39, \No~4, P. 794 -- 824.

\end