%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
\Monograph
\Russian
\TagsOnRight
\NoRunningHeads
\magnification=\magstep2
\pageno1
\topmatter
\endtopmatter
\headline={\hss\tenrm\folio\hss}


\newpage
%\redefine\1{\rightleftharpoons}
%\redefine\2{\leftrightarrow}
%\redefine\3{\approx}
\noindent
��� 512.8
\nopagebreak
\smallskip
\noindent
{\bf �.~�.~���������}
\nopagebreak
\smallskip
\noindent
{\bf � ��������� ����������� ���������������}
%\nopagebreak
\newline
{\bf ������ ��������������}
\newline
\medskip

\quad �� �襭�� �ப��� ����� ����� ���������  ᫮����  �孨�᪨�
��⥬ � ࠡ�� [4] �ᯮ�짮��� ������ ������  ���⨬������.
���� ������� ��᫥������� - ���� ����� ��ண�� ���᭮�����
�ᯮ��㥬�� � [4] ����⨩ �  �����  �᭮��⥫쭮  ������
ᯥ樠��� ������  ������ ���⨬������, ������� �� १�����
ࠡ��  [1 -- 3].

\quad ��� ᮪�饭�� ����� �⤥���� ��ࠦ���� �㤥� �ᯮ�짮����
᫥����� ᨬ������. ������ $\rightleftharpoons$
㯮�ॡ�� ��� ������  ᫮����⠭�� "���� �� ��।������".
��१ $P(A)$ ������稬 ᮢ��㯭����
��� ���������� ������⢠ $A$. �ᯮ��㥬 ⠪��  ᫥���騥  ������祭��:
$Map(A,B)$ - ������⢮ ��� ���������� �⮡ࠦ���� $A$ � $B$,
� $Un(A,B)$ - ����� ��� �㭪樮������ �⭮襭�� ����� ������⢠�� $A$
� $B$.

\quad ����� $U$ - �����஥ �����⮥ ������⢮, $L$ - ������ ��⪠.
����� ������ ���⨬������ � �᭮��� ����࠭�⢮� $U$ �  ����࠭�⢮�
�ਭ��������� $L$ ��।���� ��㫮�
$$
Mset_L (U) \rightleftharpoons Un(U,L).
$$

\quad �⮡ࠦ���� $\mu$, ᮯ��⠢���饥 ������� ������� ���⨬������� $A$
�� $Mset_L (U)$ �㭪�� $\mu_A$  �� $Map(U,L),$ ��।��塞��  ���
�ந����쭮�� ������� $a$ �� $U$ ��㫮�
$$
\mu_A(a) \rightleftharpoons \cases{
v, &\quad \text{�᫨}~$(\exists v \in L)~((a,v) \in A)$, \cr
0_L, &\quad \text{� �p�⨢��� ��砥}, \cr}
$$

\noindent
������� �ࠪ�����᪮� �㭪樥� $A$.

\quad �஢����� �㭪樥� ������� ���⨬�����⢠ $A$ ������� �⮡ࠦ����
$h^A$  �� $Map(L,P(U))$, ��।��塞�� ��� �ந����쭮�� $v$ �� $L$
��㫮�                                                 
$$
h^A(v) \rightleftharpoons \{a \in U~:~\mu_A(a) \geqslant v\}.
$$

\quad ����ࠪ⭮� �஢����� �㭪樥� �� ������ ��⪥ $L$ � ���祭�ﬨ
�  �㫥���  ������  $P(U)$  �������  �⮡ࠦ����  $f$   ��
$Map(L,P(U)),$ �������饥 ᫥���騬� ᢮��⢠��:
$$
(\forall ~v,m \in L)~(v \leqslant m \to f(v) \supseteq f(m))$$
\noindent
�
$$
(\forall M)~(M \subseteq L \to f(supM) = \cap \{ f(m) ~:~
m \in M \}).
$$

\proclaim{\indent ���p��� 1} ������� ⠪�� ������� �������筮�
�⮡ࠦ���� $H$
����� ��� ������ ���⨬������ $Mset_L (U)$ �� \break ����� ����ࠪ���
�஢����� �㭪権 $F(L,U)$ �� $Map(L,P(U)),$ �� ��� �ந�������  $A$
�� $Mset_L (U), ~f \in F(L,U)$ � $a \in U$  �믮������� ᫥���騥 �᫮���:
$$\gather
H(A) = h^A,\\
\mu_{H^{-1}(f)}(a) = sup \{v \in L ~:~ a \in f(v) \}.
\endgather
$$
\endproclaim

\quad ������⥫��⢮ ������ ⥮६�, �  �筮����  ��  �ନ�������᪨�
ࠧ��稩, ᮢ������ � ������⥫��⢮� ⥮६� 1.2,  �ਢ������ � ࠡ��
[3, �. 8 -- 9].

\quad ���⪠ $L,$ � ���ன �������� �� �ࠩ��� ��� ���  �ࠢ�����
������� � ��� ���� $a < b$ �� $L$ �������  �������  $c$  ��  $L$
⠪��, �� $a < c < b,$ ���뢠���� ���⭮�.

\quad ����� $L$ - ���⭠� ������ ��⪠ � $A \in  Mset_L(U).$  ���ࢠ���
����⢥����� ��� ������� ���⨬�����⢠ $A$ ������� ⠪�� ���ࢠ�
$(a,b)=\{x \in L ~:~ a < x < b \},$ �� ��� ��� $v$ � $m$ �� $(a,b)$
�ࠢ������ ࠢ���⢮ $h^A (v) = h^A (m).$

\quad ������ ������� ���⨬�����⢠ $A$ ��।���� ��㫮�
$$
Sp(A) \rightleftharpoons L \setminus \cup \{\Delta ~:~ \Delta ~-~
\text{���ࢠ� ����⢥����� ���} ~A \}.
$$

\proclaim{\indent ���p��� 2} �᫨ $U$ -- �ந����쭮� �����⮥ ������⢮,
$L$ --  ������ ���⭠� ��⪠, � ����୮� �⭮襭��
$\approx$ ��  $Mset_L(U)$ ��।������ ��㫮�
$$
A ~\approx  ~B ~\leftrightarrow~(\forall ~v,m \in L)~(v \leqslant m \to
h^A(v) \supseteq h^B(m) ~\&~ h^B(v) \supseteq h^A(m)),
$$
� $\approx$ ���� �⭮襭��� ���������⭮�� �� $Mset_L (U)$ �
��  ������
���⨬�����⢠ �� ������ � ⮣� �� �����  ���������⭮��  �����
��������� ���ࢠ�� ����⢥����� ���.
\endproclaim

\quad \underbar{������⥫��⢮.} ��䫥�ᨢ�����, ᨬ����筮���  �
�࠭��⨢- \linebreak �����
�⭮襭�� $\approx$ ��⠭���������� �����।�⢥���� �஢�મ�.

\quad ����� $(v_1, v_2)$ -- ���ࢠ� ����⢥����� ��� ������ ���⨬������
$A$ � $B.$ �������, �� ��� ��� $v$ �� $(v_1 ,v_2)$  ���祭��
�஢����� �㭪樨 $h^A(v) = T.$ ��� ��� ��⪠  $L$  ���⭠�,  �  ���
�ந����쭮�� $v$ �� $(v_1,v_2)$ �������� ⠪��  ��������  $r_1$ � $r_2$ ��                                                           A
$(v_1,v_2)$, �� $r_1 < v < r_2.$ �� ��।������ �⭮襭�� $\approx$
����� $h^A(r_1) \supseteq h^B(v)$ �
$h^B(v) \supseteq h^A (r_2)$, �.�. ��� ��� $v$ �� $L$ �ࠢ������
$T \supseteq h^B(v) \supseteq T.$ ��㤠 $h^B (v)=T.$ ���६� ��������.

\quad �⭮襭��  ����祭��  ��  㭨����㬥  ������   ���⨬������
\linebreak
$Mset_L (U)$ ��।���� ��㫮�
$$
A \subseteq B \leftrightarrow (\forall ~a \in U)~(\mu_A (a) \leqslant \mu_B (a)~).
$$

\quad ��� �ந������� $A$ � $B$ �� $Mset_L (U)$ �������
$$
[A,B] \rightleftharpoons \{~ X \in Mset(U)~:~ A \subseteq X \subseteq B \}.
$$

\quad ���������⭮��� $\approx$ �� $Mset_L (U)$ ������ �⭮襭��� "����
ᮢ�������",
� ����������� ������ ���⨬�����⢠ -  "����  ᮢ�����騬�".
�஢���� �㭪樨  "����  ᮢ�������"  ������  ���⨬������ ⠪�� �㤥�
���뢠�� "���� ᮢ�����騬�".

\quad �祢���� ��ࠧ�� ����� ������ ��।������ �⭮襭�� "����
ᮢ�������"
$\approx$ �� ��  ������⢮  $F(L,U)$  ����ࠪ���  �஢�����
�㭪権.

\proclaim{\indent ���p��� 3} ����� $U$ - �ந����쭮� �����⮥ ������⢮,
$L$ -- ������ ���⭠� ��⪠. ��� ��� ������� ���⨬�����⢠ $A$
�� $Mset_L (U)$ ����� ��������  ⠪��  ������  ���⨬�����⢠  $A^{(-)}$
� $A^{(+)}$ �� �⮣� ��  㭨����㬠 ���⨬������, ��  �믮������
ࠢ���⢮
$$
\{X \in  Mset_L (U) ~:~ X \approx A \} = [A^{(-)},A^{(+)}~].
$$
\endproclaim

\quad \underbar{������⥫��⢮.}
��� �ந����쭮��  $v$  ��  $L$  ��।����  �⮡ࠦ����
$f^{(-)}$ � $f^{(+)}$  �� $F(L,U)$ ��㫠��
$$
f^{(-)}(v) \rightleftharpoons &\bigcup _{m>v}h^A(m) \tag1$$
�
$$f^{(+)}(v) \rightleftharpoons &\bigcap _{m<v}h^A(m), \tag2$$
ᮮ⢥��⢥���.

\quad �祢����, �� ��।������ ⠪�� ��ࠧ�� �⮡ࠦ���� �����
����ࠪ�묨 �஢���묨 �㭪�ﬨ �� $Map(L,P(U))$ � �� �⮬ �믮������
������� ��ࠢ���⢮ $f^{(-)} \leqslant  h^A \leqslant f^{(+)}.$
������� ࠢ���⢮
$$
\{g \in F(L,U) ~:~ g \approx h^A \} = [~f^{(-)},f^{(+)}~],
\tag3
$$

\noindent
᫥��⢨�� ���ண�, � ᨫ�  ⥮६�  1,  �  ����  �⢥ত����
⥮�-\- \linebreak
�� 3.

\quad ������� ����祭��
$$
\{g \in F(L,U) ~:~ g \approx h^A \} \subseteq [~f^{(-)},f^{(+)}~].
\tag4
$$

\quad ����� $g \in \{g \in F(L,U) ~:~ g \approx h^A ~\}.$ �祢����, ��
$$
g^{(-)}(v) &\rightleftharpoons \bigcup _{m>v}g(m)$$
�
$$
g^{(+)}(v) &\rightleftharpoons \bigcap _{m<v}g(m).$$
\noindent
�������, �� � �⮬ ��砥 �ࠢ������ ᫥���騥 ࠢ���⢠:
$$
g^{(-)} &= f^{(-)} \tag5 $$
�
$$g^{(+)} &= f^{(+)}. \tag6
$$

\quad ����⢨⥫쭮, �.�. ��⪠ $L$ ���⭠�, � ��� ��� �������
$m > v$ ������� ⠪�� ������� $m_1$  �� $L,$ �� $m > m_1 > v.$
��  ⮣�,
�� $f \approx g$, ᫥���, �� $f(m) \subseteq g(m_1 )$
� $g(m) \subseteq f(m_1).$ �����  ��ࠧ��,
��    ��������,    ��    ����祭��
$$
\bigcup _{m>v}f(m) \subseteq \bigcup _{m>v}g(m)
\qquad \text{�} \qquad
\bigcap _{m<v}f(m) \supseteq \bigcap _{m<v}g(m)
$$

\noindent
�ࠢ������  �����६����,  �.�. ࠢ���⢮   (5)   ��������.

\quad ��������� ��ࠧ�� �����뢠���� ��㫠 (6).

\quad �⠪, �롮� $f^{(-)}$ � $f^{(+)}$  �� ������ �� �롮� �।�⠢�⥫� ��
\linebreak
$\{g \in F(L,U) ~:~ g \approx h^A \}$, � ��� �� ����ࠪ⭮� �஢����� �㭪樨
$g$
�� $\{g \in F(L,U) ~:~ g \approx  h^A \}$  �ࠢ������
$g  \in  [~f^{(-)},f^{(+)}~],$  ��  �
�����뢠�� ����祭�� (4).

\quad ������� �ࠢ��������� ����祭��
$$
\{g \in F(L,U) ~:~ g \approx h^A \} \supseteq [~f^{(-)},f^{(+)}~].
\tag7
$$

\quad ����� $v_1$  � $v_2$  ⠪�� �ந������ �������� �� $L,$ �� $v_1<v _2.$
����� �� ��।������ $f^{(-)}$ ��㫮� (1) ᫥��� ����祭��
$$
f^{(-)}(v_1) \supseteq h^A(v_2).
\tag8
$$

\quad � ��㣮� ��஭�
$f^{(-)}(v_2) = \dsize\bigcup _{m>v_2}h^A(m) \subseteq h^A(v_2)
\subseteq f(v_1),$
�.�.
$$
h^A(v_1) \supseteq f^{(-)}(v_2).
\tag9
$$

\quad �� ����祭�� (8) � (9) ᫥���, �� $h^A$  � $f^{(-)}$
"����  ᮢ������",
�.�. $f^{(-)} \in \{g \in F(L,U) ~:~ g \approx h^A \}.$
� ��㣮�  ��஭�,  �.�.
��� ��� $m < v_1$  �ࠢ������ $m < v_2$,  �
$h^A (m)  \supseteq  f(v_2),$  ���⮬�
$f^{(+)}(v_1) = \mathbreak
=\dsize\bigcap _{m<v_1}f(m) \supseteq f(v_2),$
�.�.  $f^{(+)}(v_1) \supseteq h^A(v_2),$  �  ��
����祭�� $f(v_1) \supseteq \mathbreak
\supseteq f(m)$ ᫥���,  ��
$f(v_1) \supseteq \dsize\bigcap _{m<v_1}
h^A(m)=f^{(+)}(v_1) \supseteq f(v_2),$
�.�. $h^A(v_1) \supseteq f^{(+)}(v_2),$ ���⮬�
$$
f^{(+)} \in \{g \in F(L,U) ~:~ g \approx h^A ~\}.
$$

\noindent
����� ��ࠧ��, ���� ��������, �� $f^{(-)} \approx h^A \approx f^{(+)}.$

\quad �����, ����� ����ࠪ⭠� �஢����� �㭪�� $g \in [~f^{(-)},f^{(+)}~]$  �
$v,m$ - ⠪�� �ந������ �������� �� $L,$ �� $v < m.$
���  ���  ����ࠪ�� �஢���� �㭪樨 $f^{(-)}$ � $f^{(+)}$
"���� ᮢ������", �  �����
���� ����祭��
$f^{(-)}(v) \supseteq f^{(+)}(m)$ � $f^{(+)}(v) \supseteq f^{(-)}(m).$
��  ⮣�,
�� $g \supset f^{(-)},$  ᫥��� $g(v) \supseteq f^{(-)}(v),$
�, ᫥����⥫쭮,
$g(v) \supseteq f^{(-)}(v).$
��� ��� $f^{(+)} \supset g,$ � $f^{(+)}(v) \supseteq g(v),$
��  $g(v) \supseteq g(m),$ ���⮬�  $f^{(+)}(v) \supseteq g(m).$
�⠪,  $g(v) \supseteq f^{(+)}(m)$ �
$f^{(+)}(v) \supseteq g(m).$ �� ����砥�, �� $g \approx f^{(+)},$ �.�.
$$
g \in \{~d \in F(L,U) ~:~ d \approx f^{(+)}~\} = \{~t \in F(L,U) ~:~ t \approx f~\}.
$$

\quad �祢����, ��
$$
\gather
A^{(-)} \rightleftharpoons H^{-1}(f^{(-)}~) \quad \text{�}
\quad A^{(+)} \rightleftharpoons H^{-1}(f^{(+)}~),
$$ $$
%\\
Sp(A^{(-)}~) = Sp(A) = Sp(A^{(+)}~)
\endgather
$$

\noindent
�, ⠪�� ��ࠧ��, ⥮६� ��������.

\bigskip
\centerline{\bf ���᮪ �ᯮ�짮������ ���p���p�}
\nopagebreak
\medskip

\noindent 1. {\it �������஢ �.�.} �㫥�� �������. �., 1969. 318 c.

\noindent 2. {\it ��������� �.�.} ����५�樮��� ������ ������த�⮢��
�-
\phantom{���}⥩ //
����� � �ࠪ⨪� ����⠫쭮��
��ந⥫��⢠ � �����⮢-
\phantom{���}�� ��������� ���஢:
������᪨�  ᡮ୨�  ��������  IX  ������-\phantom{���}���
���筮-�孨�᪮� ����७樨.
�������, 1991. C. 32 -- 35.

\noindent 3. {\it ��������� �.�.}
� ࠧ����� �����ࠨ�᪨� ��⥬��. �., 1979. 
\phantom{���}21 �. ���. � ������, 18.05.79, \No 1797.

\noindent 4. {\it ������������ �.�.,�㬠ન� �.�.}
������   ���⨬�����⢠   � १��-
\phantom{���}��஢���� ��⥬ �ࠢ����� // ��� ~����. 1989. T.304.
\No ~4. C. \phantom{���}815 -- 816.

\end