%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
\Monograph
\Russian
\TagsOnRight
\NoRunningHeads
\magnification=\magstep2
\pageno1
\topmatter
\endtopmatter
\headline={\hss\tenrm\folio\hss}


\midinsert
%\vspace{0.3 cm}
\botcaption{}
\endcaption
\endinsert
%\define\1{\rightleftharpoons}
%\define\2{\leftrightarrow}
%\define\3{\approx}
\noindent
��� 511.36
\nopagebreak
\smallskip
\noindent
{\bf �.~�.~��p����, �.~�.~����﫮��}
\nopagebreak
\smallskip
\noindent
{\bf �� ����� ��������������� �����������}
%\nopagebreak
\newline
{\bf ������ ������}
\newline
\medskip

\quad �᭮���� ����祩 ⥮ਨ �࠭�業������ �ᥫ ���� ��⠭�������
�����ࠨ�᪮� ������ᨬ��� ࠧ����� ᮢ��㯭��⥩ �ᥫ, � ⠪��
��宦����� ������⢥���� �ࠪ���⨪ �⮣� - ��� �����ࠨ�᪮�
������ᨬ��� (��।������ ��� �. � ����� [3]).

\quad  ��⮤ ������ (�.[5, 4, 3]), ��騩�� ����� �� �᭮���� ��⮤��
ᮢ६����� ⥮ਨ �࠭�業������ �ᥫ, �������� ��᫥������ ���\-��\-�\-��\-���
��த� (������ �業�� ��� �����ࠨ�᪮� ������ᨬ���) ���祭�� �����ண�
����� 楫�� �������᪨� �㭪権 (⠪ ���뢠���� $E$-�㭪権)
� �����ࠨ�᪨� �窠�.

\quad �᫨ $u_1,~\dots,~u_m$ -- �������� �ந����쭮�� ���� ��� �����, �
������⢮ �ந�������� �� �⥯���� ����
$$
u_1^{k_1}~\dots ~u_m^{k_m}, \quad k_1+\dots+k_m=N,
$$
��� ����� ��������, ࠢ��
$$
\varphi(N)={1 \over (m-1)!}(N+1)\dots(N+m-1).
$$
\quad �.������, ᮧ����� ᢮� ��⮤, ��ᯮ�짮����� ⥬, ��
$$
{{\varphi(N)-\varphi(N-s)}\over {\varphi(N)}} =O\Bigl({1\over N}\Bigr)
$$
�� $N \to\infty $. � ���쭥�襬, �� ��筥��� �業�� ��� �����ࠨ�᪮�
������ᨬ��� ���祭�� �-�㭪権, �뫮 �������� [3, ��.12, \S 2]
��ࠢ���⢮
$$
{{\varphi(N)-\varphi(N-s)}\over {\varphi(N)}} < {sl \over N},  \eqno(1)
$$
��� $\varphi (N)$ - �ந������ �����童� � ������⥫�묨 �����樥�⠬�,
$\deg \;\varphi(N) = l,\;N,l,s \in \Bbb N,\;N\ge s $.
� ࠡ�� [1] ��⠭������, �� �᫨ $\varphi(N) = c(N+1)\dots(N+l),\;
c\in \Bbb R $, � $N\ge (s-1)(l-1)$, � �������⥫� �ࠢ�� ��� ��ࠢ���⢠
(1) ����� �������� �� $N+l$. �� ��������� �ᨫ��� �業�� ��� �����ࠨ�᪮�
������ᨬ���, ����砥�� ��⮤�� ������.

\quad � ࠡ�� [2] �뫮 ��᪠���� �।���������, �� �筮� ���祭�� �������⥫�
�ࠢ�� ��� ��ࠢ���⢠ (1) ࠢ�� $ N+l+(l-1)(s-1)/2 $.

\quad ������� ࠡ�� ����饭� ������⥫���� �⮣� �⢥ত����. � ������,
��⠭���������� ��᪮�쪮 ����� ᨫ쭠�

\proclaim{\indent ���६�} ����� $\varphi(N) = c(N+1)\dots(N+l), \;\; c\in \Bbb R,
\;\; N,l,s\in \Bbb N $. ����� �� $ N\ge s $ ����� ���� ࠢ���⢮
$$
{{\varphi(N)-\varphi(N-s)}\over {\varphi(N)}}={{sl}\over {N+l+(s-1)(l-1)
(1+\gamma)/2}},\eqno(2)
$$
��� $0<\gamma=\gamma(N,l,s)<sl/2N$.
\endproclaim

\quad \underbar{������⥫��⢮.} �� $ s=1$ �⢥ত���� ⥮६�, ��� ����� ������,
�ࠢ������. �� $ s\ge 2$ ������⥫��⢮ �㤥� �஢����� ����樥�
�� $l$. ��९�襬 ࠢ���⢮ (2) � ����
$$
\prod_{i=1}^l \Bigl(1- {s\over N+i}\Bigr)=1-{2sl\over 2N+sl+l-s+1+\omega},
\eqno(3)
$$
��� $\omega = (s-1)(l-1)\gamma(l).

\quad �� $l=1$ ࠢ���⢮ (3), �祢����,
�믮������ ��� ��� $N,s\in \Bbb N$ � ���� $\gamma(l)$.\par

\quad �।�������, �� �⢥ত���� ⥮६� �ࠢ������ �� $l=\lambda-
%\mathbreak
1,
\;\;\lambda \in \Bbb N,\;\;\lambda \ge 2$:
$$
\prod_{i=1}^{\lambda-1} \Bigl(1- {s\over N+i}\Bigr)=1-{2s(\lambda-1)\over
2N+s\lambda+\lambda-2s+\omega^*},
$$
��� $\omega^* = (s-1)(\lambda-2)\gamma(\lambda-1),\;\;0<\gamma(\lambda-1)<
s(\lambda-1)/2N,\;\;N\ge s$.

\quad �������, �� ⮣�� �⢥ত���� ⥮६� �ࠢ������ � ��� $l=\lambda$.
�����
$$
\align
\prod_{i=1}^{\lambda} &\Bigl(1-{s\over N+i}\Bigr)=
\Bigl(1-{s\over N+\lambda}\Bigr)
\prod_{i=1}^{\lambda-1} \Bigl(1-{s\over N+i}\Bigr)=
$$ $$
&=\Bigl(1-{s\over N+\lambda}\Bigr)\Bigl(1-{{2s(\lambda-1)}\over
{2N+s\lambda+\lambda-2s+\omega^*}}\Bigr)=
$$ $$
&=1-\Bigl({s\over N+\lambda}+{{2s(\lambda-1)}\over
{2N+s\lambda+\lambda-2s+\omega^*}}-
$$ $$
&\qquad-{{2s^2(\lambda-1)}\over {(N+\lambda)\cdot
(2N+s\lambda+\lambda-2s+\omega^*)}}\Bigr)=
$$ $$
&=1-s\Bigl({{2N+s\lambda+\lambda-2s+\omega^*+2(\lambda-1)(N+\lambda)-
2s\lambda+2s}\over {(N+\lambda)(2N+s\lambda+\lambda-2s+\omega^*)}}\Bigr)=
$$ $$
&=1-s\Bigl({{2\lambda(N+\lambda)-s\lambda-\lambda+\omega^*}\over {(N+\lambda)
(2N+s\lambda+\lambda-2s+\omega^*}}\Bigr)=
$$ $$
&=1-s\lambda\Bigl({{2N+2\lambda-s-1+\omega^*/\lambda}\over {(N+\lambda)
(2N+s\lambda+\lambda-2s+\omega^*}}\Bigr).
\endalign
$$

\quad ������ ��� �����襭�� ������⥫��⢠ �����筮 ��⠭�����, ��
����稭� $\gamma(\lambda)=\omega/(s-1)(\lambda-1)$, ��� $\omega$ ��।������
ࠢ���⢮�
$$
{{2N+2\lambda-s-1+\omega^*/\lambda}\over {(N+\lambda)(2N+s\lambda+\lambda-2s+
\omega^*)}}={2 \over 2N+s\lambda+\lambda-s+1+\omega},\eqno(4)
$$
㤮���⢮��� �᫮��� ⥮६�. �८�ࠧ㥬 ࠢ���⢮ (4):
$$
\align
\split
&(2N +2\lambda-(s+1)+\omega^*/\lambda)(2N+s \lambda + \lambda -2s +
(s+1) + \omega)=
$$ $$
%\\
&\qquad=(2N+2\lambda)(2N+s\lambda+\lambda-2s+\omega^*),
\endsplit 
$$ $$
%\\
&(2N+2\lambda-(s+1)+\omega^*/\lambda)\omega+(2N+\lambda (s+1)-s+1)
\omega^*/\lambda-
$$ $$
%\\
&\qquad -(s+1)(2N+s\lambda +\lambda-s+1) +(2N+2\lambda)(s+1)+
$$ $$
%\\
&\qquad +(2N+2\lambda)(2N+s\lambda+\lambda -2s)=
$$ $$
%\\
&\qquad =(2N+2\lambda)(2N+s\lambda+\lambda -2s) +
(2N+2\lambda)\omega^*,
$$ $$
%\\
&(2N+2\lambda-s-1+\omega^*/\lambda)\omega=
(s+1)(s \lambda -\lambda-s+1)+
$$ $$
%\\
&\qquad
+(2N+2\lambda-s-1-(2N-s+1)/\lambda)\omega^*.
\endalign
$$

\quad �� $s>1,\;\;\lambda>1,\;\;N\ge s$ ��ࠦ���� ����� ��� ᪮���,
��� ����� ������, ������⥫��. ���⮬�
$$
\omega={{(s+1)(s-1)(\lambda-1)}\over {2N+2\lambda-s-1+\omega^*/\lambda}}+
{{2N+2\lambda-s-1-(2N-s+1)/\lambda}\over{2N+2\lambda-s-1+\omega^*/\lambda}}
\omega^*>0.
$$
��� ����砥�
$$
\align
\gamma(\lambda)&={{\omega}\over{(s-1)(\lambda-1)}}={{s+1}\over
{2N+2\lambda-s-1+\omega^*/\lambda}}+
$$ $$
%\\
&+{{2N+2\lambda-s-1-(2N-s+1)/\lambda}\over
{2N+2\lambda-s-1+\omega^*/\lambda}}\cdot
{{(\lambda-2)\gamma(\lambda-1)}\over
{\lambda-1}}<
$$ $$
%\\
&<{{2s}\over{2N+2\lambda-2}}+
{{(\lambda-2)s}\over{2N}}<
{{s\lambda}\over{2N}}
\endalign
$$
�, �஬� ⮣�, $\gamma(\lambda)>0$.

\quad ��� ᠬ� ⥮६� ��������� ��������.

\bigskip
\centerline{\bf ���᮪ �ᯮ�짮������ ���p���p�}
\nopagebreak
\medskip

\noindent 1. {\it ��५�� �.�.} �業�� ��� �����ࠨ�᪮� ������ᨬ��� ���祭��
\phantom{2 o}�-�㭪権 // ���. �㧮�. ��⥬�⨪�. 1992.  \No 10.  �. 6 -- 11.

\noindent 2. {\it ��५�� �.�.} ��䥪⨢�� �業�� �����童��� �� ���祭�� 
�-�㭪- \phantom{2 o}権,
�易���� �����ࠨ�᪨�� �ࠢ����ﬨ. �., 1995. 19 �.
/ ���. \phantom{2 o}� ������ 10.01.95, \No 46-�95.

\noindent 3. {\it ������᪨� �.~�.} �࠭�業����� �᫠. �., 1987. 447 c.

\noindent 4. {\it Siegel C.L.} Transcendental numbers. Princeton, 1949.

\noindent 5. {\it Siegel C.L.} Uber einige Anwendungen Diophantischer Approximationen
// \phantom{2 o}Abh.Preuss.Acad.Wiss., Phys.-Math. Kl. 1929~/~1930. \No~ 1.
S.1 -- 70.

\end