%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
\Monograph
\Russian
\TagsOnRight
\NoRunningHeads
\magnification=\magstep2
\pageno1
\topmatter
\endtopmatter
\headline={\hss\tenrm\folio\hss}


\newpage
%\redefine\1{\alpha}
%\redefine\2{\sigma}
\noindent
��� 517.521.15
\nopagebreak
\smallskip
\noindent
{\bf �.~�.~�p���p쥢}
\nopagebreak
\smallskip
\noindent
{\bf ����� ������� ������������}
%\nopagebreak
\newline
{\bf ���������� ������������� �����}
\newline
\medskip

\quad � �����饩 ���� ��� �뢮� �p��, ��p������ �㬬� ����饭���
��p�����᪨� p冷� ���� $\sum \limits_{k=1}^\infty {1\over{k^n}}$
�p�� ������ �㬬�, �� ᮤ�p��騥 �ᥫ ��p�㫫� � �ᥫ ����p�.
�p�������� ⠪�� �p���⠢����� �ᥫ ��p�㫫� � �ᥫ ����p� � ����
������� �㬬.

\underbar{1. �㬬�p������ p冷�.}

����� $m$ -- ����p��쭮� �⭮� �᫮. �p�������
$$
x^m-C_m^1x^{m-1}-C_m^2x^{m-2}+C_m^3x^{m-3}+C_m^4x^{m-4}-\ldots =0
\eqno(1)
$$
����� ��p��
$$
x_k=(-1)^{k-1}~ctg {{(2k-1) \pi}\over {4m}}
\quad (k=1,2, ~\ldots ,~m)
\eqno(2)
$$
[2, ����� 139 �].

\noindent
����襬 �p������� (1) � ����
$$
x^m- \sigma _1x^{m-1}+ \sigma _2x^{m-2}- \sigma _3x^{m-3}+
\ldots =0,
\eqno(3)
$$
��� $\sigma _k$ -- �������p�� ᨬ���p��᪨� �����童�� �� ��p���
�p������� (1).

�p�p������� �����樥��� �p������� (1) � (3), ����稬:
$$
\sigma _k = \cases{
C_m^k, &\quad\text{�᫨}~ $k=4t$ \qquad \text{���}~ $k=4t+1$, \cr
-C_m^k, &\quad\text{�᫨}~ $k=4t+2$~\text{���}~ $k=4t+3$. \cr
}
\eqno(4)
$$

����� $n$ -- �p������쭮� ����p��쭮� �᫮ �
$$
S_n=\sum_{k=1}^m x_k^n =\sum_{k=1}^m \Big [(-1)^{k-1}
ctg {{(2k-1)\pi}\over {4m}}\Big ]^n.
\eqno(5)
$$

\noindent
������� ��� ��� p�����⢠ (5) �� $\dfrac {\pi ^n}{4^nm^n}$
� ����襬 ��� � ⠪�� ����:
$$
{{\pi ^n}\over {4^nm^n}}S_n=\sum_{k=1}^m \Big [(-1)^{k-1}
{{(2k-1)\pi}\over {4m}} \cdot ctg {{(2k-1)\pi}\over {4m}} \Big ]^n
\cdot {1\over (2k-1)^n}.
\eqno(6)
$$
\noindent
�p� ������ 䨪�p������� $k$ � $m \to \infty$
$$
\Big [(-1)^{k-1} {{(2k-1)\pi}\over {4m}} \cdot ctg {{(2k-1)\pi}\over {4m}}
\Big ]^n \cdot {1\over (2k-1)^n} \longrightarrow
{{(-1)^{(k-1)n}}\over {(2k-1)^n}}$$

\noindent
\text{�}
$$
{{\pi ^n}\over {4^nm^n}} S_n \longrightarrow
\sum_{k=1}^ \infty {{(-1)^{(k-1)n}}\over {(2k-1)^n}}.
\eqno(7)
$$

\quad ��� ��宦����� ��� ��p������ �㬬� �⮣� p鸞 �㦭� ���� �
����筮� ���� �p���� $S_n$ �p� $m \to \infty.$

\quad ��ᯮ��㥬�� �p�㫮� ��p���� ��� �⥯����� �㬬
$$
\split
S_n &=\sum_{k=1}^m x_k^n=
n \cdot \sum_{\alpha_1+2\alpha_2+\ldots+n\alpha_n=n}
(-1)^{n-\alpha_1-\alpha_2-\ldots-\alpha_n} \times 
$$ $$
%\\
& \times {{(\alpha_1+\alpha_2+\ldots+\alpha_n-1)!}\over {\alpha_1!\alpha_2! \ldots \alpha_n!}}
\sigma_1^{\alpha_1}\sigma_2^{\alpha_2} \ldots \sigma_n^{\alpha_n}.
\endsplit
\eqno(8)
$$
\noindent
(�� ��⠥�, �� $m > n$).
����� $\sigma_1,\sigma_2, \ldots,\sigma_n$ -- �������p�� ᨬ���p��᪨� �����童��
�� $x_1, x_2, ~\ldots, x_m$. �㬬�p������ ������� �� �ᥬ p�������� �᫠
$n$ �� �㬬� ����p����� ᫠������.

\quad ������� � p�����⢥ (8) $\sigma_k$ �� �p�㫥 (4). ����� $-1$ ������ � �⥯���
$$
(n-\alpha_1-\alpha_2- \ldots -\alpha_n)+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_6+\alpha_7+ \ldots=
n-\alpha_1-\alpha_4-\alpha_5-\alpha_8- \ldots
$$
\noindent
� �� �㤥� �����:
$$
\split
S_n &=n \cdot \sum_{\alpha_1+2\alpha_2+\ldots +n\alpha_n=n}
(-1)^{n-\alpha_1-\alpha_4-\alpha_5-\ldots}\cdot
{{(\alpha_1+\alpha_2+\ldots +\alpha_n-1)!}\over {\alpha_1!\alpha_2!\ldots \alpha_n!}} \times 
$$ $$
%\\
&\times (C_m^1)^{\alpha_1}(C_m^2)^{\alpha_2}\ldots (C_m^n)^{\alpha_n}.
\endsplit
\eqno(9)
$$
\noindent
� ������⥫� �p� $-1 \quad \alpha_k$ ⠪��, �� $k=4t$ ��� $k=4t+1.$

\quad ��� ���
$$
C_m^k={{m(m-1)(m-2)\ldots (m-k+1)}\over {k!}}=
{{m^k+\ldots}\over {k!}}
\eqno(10)
$$
\noindent
�p� 䨪�p������� $k$ ���� �����童� �⥯��� $k$ �� $m$, � �p����������
$(C_m^1)^{\alpha_1}(C_m^2)^{\alpha_2}\ldots (C_m^n)^{\alpha_n}$ ���� �����童� ��
$m$ �⥯��� $\alpha_1+2\alpha_2+\ldots +\mathbreak
+n\alpha_n=n$ � $S_n$ -- �����童� �� $m$
�⥯��� $n~:\quad S_n=Am^n+\ldots~,$ ��� (�. (9) � (10))
$$
\split
A =n \cdot \sum_{\alpha_1+2\alpha_2+\ldots +n\alpha_n=n}
&(-1)^{n-\alpha_1-\alpha_4-\alpha_5-\ldots}\cdot
{{(\alpha_1+\alpha_2+\ldots +\alpha_n-1)!}\over {\alpha_1!\alpha_2!\ldots \alpha_n!}} \times 
$$ $$
%\\
&\times
{1\over {(1!)^{\alpha_1}(2!)^{\alpha_2}\ldots (n!)^{\alpha_n}}}.
\endsplit
$$

\quad ����p� �����
$$
{{\pi ^n}\over {4^nm^n}}S_n=
{{Am^n+\ldots}\over {m^n}}\cdot
{{\pi ^n}\over {4^n}} \longrightarrow
A {{\pi ^n}\over {4^n}} \quad \text{�p�} ~m \to \infty.
$$

\quad �������⥫쭮, ���뢠� ᮮ⭮襭�� (7), ����稬:
$$
\split
\sum _{k=1}^\infty
&{{(-1)^{(k-1)n}}\over {(2k-1)^n}}=
{{n\pi ^n}\over {4^n}}\cdot
\sum _{\alpha_1+2\alpha_2+\ldots+n\alpha_n=n}
(-1)^{n-\alpha_1-\alpha_4-\alpha_5-\ldots}\times 
$$ $$
%\\
&\times {{(\alpha_1+\alpha_2+\ldots +\alpha_n-1)!}\over {\alpha_1!\alpha_2!\ldots \alpha_n!
(1!)^{\alpha_1}(2!)^{\alpha_2}\ldots (n!)^{\alpha_n}}}.
\endsplit
\eqno(11)
$$

\quad � ������⥫� �p� $-1 \quad \alpha_k$ ⠪��, �� $k=4t$ ��� $k=4t+1$.
������� �
��᫥���� �p�㫥 $n$ �� $2n+1$, ����稬 �p��� ��� ���⭮�� ������⥫�:
$$
\split
1-{1\over {3^{2n+1}}}&+{1\over {5^{2n+1}}}-{1\over {7^{2n+1}}}+ \ldots=
{{(2n+1)\pi ^{2n+1}}\over {4^{2n+1}}}\times 
$$ $$
%\\
&\times \sum _{\alpha_1+2\alpha_2+\ldots+(2n+1)\alpha_{2n+1}=2n+1}
(-1)^{1+\alpha_1+\alpha_4+\alpha_5+\ldots}\times 
$$ $$
%\\
&\times { {(\alpha_1+\alpha_2+\ldots+\alpha_{2n+1}-1)!}\over 
{\alpha_1!\alpha_2!\ldots\alpha_{2n+1}!(1!)^{\alpha_1}(2!)^{\alpha_2}\ldots((2n+1)!)^{\alpha_{2n+1}}}}.
\endsplit
\eqno(12)
$$

\quad ������� � �p�㫥 (11) $n$ �� $2n$, ����稬 �p��� ��� �⭮��
������⥫�:
$$
\split
1+{1\over {3^{2n}}}&+{1\over {5^{2n}}}+{1\over {7^{2n}}}+\ldots =
{{2n\pi ^{2n}}\over {4^{2n}}}\cdot
\sum_{\alpha_1+2\alpha_2+\ldots+2n\alpha_{2n}=2n}
(-1)^{\alpha_1+\alpha_4+\alpha_5+\ldots}\times 
$$ $$
%\\
&\times
{{(\alpha_1+\alpha_2+\ldots+\alpha_{2n}-1)!}\over 
{\alpha_1!\alpha_2!\ldots\alpha_{2n}!(1!)^{\alpha_1}(2!)^{\alpha_2}\ldots((2n)!)^{\alpha_{2n}}}}.
\endsplit
\eqno(13)
$$

\quad �⮡� ������� ��p������ ��� �㬬� p鸞
$\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac 1{k^{2n}}$,~
�p���p��㥬 ��� p� ᫥���騬 ��p����:
$$
\split
\sum_{k=1}^\infty {1\over {k^{2n}}}=&1+{1\over {2^{2n}}}+{1\over {3^{2n}}}+
{1\over {4^{2n}}}+\ldots=
(1+{1\over {3^{2n}}}+{1\over {5^{2n}}}+\ldots)+ 
$$ $$
%\\
&+ {1\over {2^{2n}}}(1+{1\over {2^{2n}}}+{1\over {3^{2n}}}+\ldots).
\endsplit
$$

\quad ���
$$
1+{1\over {2^{2n}}}+{1\over {3^{2n}}}+\ldots=
{{2^{2n}}\over {2^{2n}-1}}(1+{1\over {3^{2n}}}+{1\over {5^{2n}}}+\ldots).
$$

\quad ����⠢��� � ��p������ �� �p��� (13), �㤥� �����:
$$
\split
1&+{1\over {2^{2n}}}+{1\over {3^{2n}}}+{1\over {4^{2n}}}+\ldots= 
$$ $$
%\\
&={ {n\pi ^{2n}}\over {2^{2n-1}(2^{2n}-1)}}\cdot
\sum_{\alpha_1+2\alpha_2+\ldots+2n\alpha_{2n}=2n}
(-1)^{\alpha_1+\alpha_4+\alpha_5+\ldots}\times 
$$ $$
%\\
&\times { {(\alpha_1+\alpha_2+\ldots+\alpha_{2n}-1)!}\over 
{\alpha_1!\alpha_2!\ldots\alpha_{2n}!(1!)^{\alpha_1}(2!)^{\alpha_2}\ldots((2n)!)^{\alpha_{2n}}}}.
\endsplit
\eqno(14)
$$

\quad � �p�㫠� (12), (13) � (14) � ������⥫� �p� $-1 \quad \alpha_k$ ⠪��,
�� $k=4t$ ��� $k=4t+1$.

\quad �⠪, �p��� (12),(13) � (14) ���� �p���⠢����� �㬬 ᮮ⢥�������
p冷� �p�� ������ �㬬�.

\quad ����⨬, �� �� �㬬� ᮤ�p��� �⮫쪮 ᫠������, ᪮�쪨�� ᯮᮡ���
������⥫� �⥯��� ����� �p���⠢��� � ���� �㬬� ����p����� ᫠������.
�������筮, �� ⮣�, �� �p�������
$$
C_{2m+1}^1x^m-C_{2m+1}^3x^{m-1}+C_{2m+1}^5x^{m-2}-\ldots =0
$$

\noindent
����� ��p��
$$
x_k=ctg^2 { {k\pi}\over {2m+1}} \qquad (k=1,2,~\ldots,m)
$$

\noindent
[2, ����� 139 �],
����� ������� ᫥������ �p���:
$$
\split
1&+{ 1\over {2^{2n}}}+{1\over {3^{2n}}}+{1\over {4^{2n}}}+\ldots=n\pi ^{2n}\cdot
\sum_{\alpha_1+2\alpha_2+\ldots+n\alpha_n=n}
(-1)^{n-\alpha_1-\alpha_2-\ldots-\alpha_n}\times 
$$ $$
%\\
&\times { {(\alpha_1+\alpha_2+\ldots+\alpha_{n}-1)!}\over 
{\alpha_1!\alpha_2!\ldots\alpha_{n}!(3!)^{\alpha_1}(5!)^{\alpha_2}\ldots((2n+1)!)^{\alpha_{n}}}}.
\endsplit
\eqno(15)
$$

\quad �� �p��� (15) ����� ᫥��� ⠪�� �p�㫠:
$$
\split
1&+{1\over {3^{2n}}}+{1\over {5^{2n}}}+{1\over {7^{2n}}}+\ldots=
$$ $$
%\\
&={ {n(2^{2n}-1)\pi ^{2n}}\over {2^{2n}}}\cdot
\sum_{\alpha_1+2\alpha_2+\ldots+n\alpha_n=n}
(-1)^{n-\alpha_1-\alpha_2-\ldots-\alpha_n}\times 
$$ $$
%\\
&\times { {(\alpha_1+\alpha_2+\ldots+\alpha_{n}-1)!}\over 
{\alpha_1!\alpha_2!\ldots\alpha_{n}!(3!)^{\alpha_1}(5!)^{\alpha_2}\ldots((2n+1)!)^{\alpha_{n}}}}.
\endsplit
\eqno(16)
$$

\newpage
\quad \underbar{2. ��᫠ ��p�㫫� � �᫠ ����p�}

\quad ������� ᫥���騥 �p��� ��� �ᥫ ��p�㫫� $B_n$ � �ᥫ ����p�
$E_n$ (�. [1, �p��� 47.1, 47.3, 47.4]):
$$
\align
B_n &={ {(2n)!}\over {\pi ^{2n}2^{2n-1}}}
\Big [1+{1\over {2^{2n}}}+{1\over {3^{2n}}}+{1\over {4^{2n}}}+\ldots \Big ],
\eqno(17)
$$ $$
%\\
B_n &={ {2(2n)!}\over {\pi ^{2n}(2^{2n}-1)}}
\Big [1+{1\over {3^{2n}}}+{1\over {5^{2n}}}+{1\over {7^{2n}}}+\ldots \Big ] ,
\eqno(18)
$$ $$
%\\
E_n &={ {2^{2n+2}(2n)!}\over {\pi ^{2n+1}}}
\Big [1-{1\over {3^{2n+1}}}+{1\over {5^{2n+1}}}-{1\over {7^{2n+1}}}+\ldots \Big ].
\eqno(19)
\endalign
$$

\quad �� ��� �p�� ᫥���� �p���, ��p����騥 �᫠ ��p�㫫� � �᫠
����p� �p�� ������ �㬬�.

\quad �� �p�� (13) � (18):
$$
\split
B_n&={ {n(2n)!}\over {4^{2n-1}(2^{2n}-1)}}\cdot
\sum _{\alpha_1+2\alpha_2+\ldots+2n\alpha_{2n}=2n} (-1)^{\alpha_1+\alpha_4+\alpha_5+\alpha_8+\ldots}
\times 
$$ $$
%\\
&\times { {(\alpha_1+\alpha_2+\ldots+\alpha_{2n}-1)!}\over 
{\alpha_1!\alpha_2!\ldots\alpha_{2n}!(1!)^{\alpha_1}(2!)^{\alpha_2}\ldots((2n)!)^{\alpha_{2n}}}}.
\endsplit
\eqno(20)
$$

\quad �� �p�� (15) � (17):
$$
\split
B_n&={ {n(2n)!}\over {2^{2n-1}}}\cdot
\sum _{\alpha_1+2\alpha_2+\ldots+n\alpha_n=n} (-1)^{n-\alpha_1-\ldots-\alpha_n}\times 
$$ $$
%\\
&\times { {(\alpha_1+\alpha_2+\ldots+\alpha_n-1)!}\over 
{\alpha_1!\alpha_2!\ldots\alpha_n!(3!)^{\alpha_1}(5!)^{\alpha_2}\ldots((2n+1)!)^{\alpha_n}}}.
\endsplit
\eqno(21)
$$

\quad �� �p�� (12) � (18):
$$
\split
E_n&={ {(2n+1)!}\over {2^{2n}}}\cdot
\sum _{\alpha_1+2\alpha_2+\ldots+(2n+1)\alpha_{2n+1}=2n+1}
(-1)^{1+\alpha_1+\alpha_4+\alpha_5+\ldots}
\times 
$$ $$
%\\
&\times { {(\alpha_1+\alpha_2+\ldots+\alpha_{2n+1}-1)!}\over 
{\alpha_1!\alpha_2!\ldots\alpha_{2n+1}!(1!)^{\alpha_1}(2!)^{\alpha_2}\ldots((2n+1)!)^{\alpha_{2n+1}}}}.
\endsplit
\eqno(22)
$$

\quad � �p�㫠� (20),(21),(22) �㬬�p������ ������� �� �ᥬ p�������� �ᥫ
ᮮ⢥��⢥��� $2n,~n,~2n+1$ �� ����p���� ᫠�����. � �p�㫠� (20) �
(22) � ������⥫� �⥯��� �p� $-1 \quad \alpha_k$ ⠪��, �� $k=4t$ ���
$k=4t+1$.

\bigskip
\centerline{\bf ���᮪ �ᯮ�짮������ ���p���p�}
\nopagebreak
\medskip

\noindent 1. {\it ����� �.�.}
������� ��⥣p���� � �p㣨� ��⥬���᪨� �p��-
\phantom{���}��.
�. 1973. 228 �.

\noindent 2. {\it ����� �.�., ����� �.�.}
���������p�� ����� � �������p���
\phantom{���}���������. �. 1953. 544 �.

\end