%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
\Monograph
\Russian
\TagsOnRight
\NoRunningHeads
\magnification=\magstep2
\pageno1
\topmatter
\endtopmatter
\headline={\hss\tenrm\folio\hss}


\midinsert
%\vspace{0.2 cm}
\botcaption{}
\endcaption
\endinsert
\noindent
��� 514.17
\nopagebreak
\smallskip
\noindent
{\bf �.~�.~���������}
\nopagebreak
\smallskip
\noindent
{\bf ���� ��������� ������������ L-���������}
\nopagebreak
\break
{\bf ������ ����������� �������}
\medskip

\quad �� ����� ����ᠭ� ��� ���������� � ᮤ�p��饩�� � ������ ᡮp���� p����
�.�.��p����᪮�� "���� ����� p�������ﬨ �� ������p� ��p�嫥 -- ��p�����
� �� $L$-������p������ ����� p��⮪" (���� ������祭� [�]).
� ����⪥ �p������� ������⥫��⢮ ⮣�, �� $\Pi$-������p, ����p�����
�� �� �� $L$-������p������� 2-� ᮢ�p襭��� p��⪨ ��p�����, �
�筮���� �� ��p���� ᮢ������ � �������� ��p�嫥-��p����� �⮩ p��⪨.

\quad ���� ᮢ��襭��� ��⪠ ��p������� �� ࠧ��୮���� $n \geq 3$
� ����� ���� ������ ������筮� �ମ�:
$$
\varphi_1^{(n)}=\varphi_1^{(n)}(x_1,x_2, ...,x_n)=x_1^2+x_2^2 + ...+x_n^2+
x_1 \cdot x_3+x_1 \cdot x_4+...+x_{n-1} \cdot x_n. \tag 1
$$
��� ���������⭠ �㡨�᪮� ��⪥ $\bold{Z}^n$, �������� �ମ�
$\sum x_i^2$,
��०����� �᫮����
$$
x_1+x_2+ ...+x_n \equiv 0 ~ (mod~ 2). \eqno (2)
$$
�� �� �㤥� ��������� $\bold\Lambda^n$.

\quad �p������� ���� ����� 1 -- 6 � ⥮p��� 1 � 2, ����뢠�騥
��p����� $L$-p�������� p��⪨ $\bold\Lambda^n$, ����� �� p�����
�.�.��誮��  � �.�.���\-��\-��� "��p����� $L$-p�������� ��� ��p�� ᮢ�p襭���
p��⪨" (���.�. 1981. �. 116. \No 2. �. 218 -- 231).

\proclaim{\indent ����� 1} � ��⪥
$\bold\Lambda^n$
"������" (�.�. ������࠭���, �㠫�� ���) $L_0^n$ � 業�஬ � ��
�窥
$\overline x^0 \in \bold{Z}^n$
⠪��, ��
$$
x_1+x_2+ \hdot +x_n \equiv 1 ~ (mod~ 2) \eqno (3)
$$
� � ���設��� � �窠�
$$
\overline{x^0} \pm \overline{e_i}, ~\text{���}~ i=1,~\ldots,~n, \eqno (4)
$$
���� L-⥫�.
\endproclaim

\proclaim{\indent ����� 2} � ��⪥ $\bold\Lambda^n$ ⥫� $L_1^n$,
��饥�� ��㪫�� �����窮� ������⢠ ��� �祪 ����
$$
\overline{x^1}+(\varepsilon_1,~\ldots,~\varepsilon_n), ~\text{���}~
\varepsilon_i \in \{0,1\}, \eqno (5)
$$
� $\overline{x^1}$
-- �ந������ 䨪�஢���� �����, ����� � ����஬
$~\overline{\varepsilon}$
㤮���⢮���騩 �᫮��� (2), ���� L-⥫�.
\endproclaim

\proclaim{\indent ����� 3} � ��⪥ $\bold\Lambda^n$ ⥫� $L_2^n$ , ��饥��
��㪫�� �����窮� ������⢠ ��� �祪 ����
$$
\overline{x^2}+(\delta_1,~\ldots,~\delta_n), ~\text{���}~
\delta_i \in \{0,1\} \eqno (6)
$$
� $\overline{x^2}$
-- �ந������ 䨪�஢���� �����, ����� � ����஬
$\overline{\delta}$
㤮���⢮���騩 �᫮��� (3), ���� L-⥫�.
\endproclaim

\proclaim{\indent ����� 4} �� (n-1)-���� �࠭� "������" $~L_0^n~$ ����୮
����������� �⭮�⥫쭮 ��㯯� $G(\bold\Lambda^n)$ (ᠬ�ᮢ��饭�� p��⪨
$\bold\Lambda^n$).
\endproclaim

\quad ������⢮ ⥫ ���� $L_0^n,~L_1^n$, � $L_2^n$
��ࠧ��� ������ �࠭��⨢���� �⭮�⥫쭮 �����㯯� ��� ��ࠫ������
��७�ᮢ �� ��㯯� $G(\bold\Lambda^n)$. ���� ���� $L_1^n$, $L_2^n$ �室��
� ���� ����� �࠭��⨢���� �⭮�⥫쭮 �ᥩ ��㯯� $G(\bold\Lambda^n)$.

\quad �� $n \neq 4$ ⥫� $L_0^n$ � $L_1^n$ ����� ࠧ��筮� �᫮ ���設
� �� ����� ���� ����������. �� $n=4$ ����� ����

\proclaim{\indent ����� 5} �� ⥫� $L_0^4$, $L_1^4$, $L_2^4$ ����୮ ����������.
\endproclaim

\proclaim{\indent ���६� 1} L-ࠧ������ ��⪨ $\bold\Lambda^4$
���� �ࠢ��쭮� ࠧ������ ����࠭�⢠ $E^4$  �� ����嬥�� "�������".
\endproclaim

\proclaim{\indent ����� 6} (�) ������࠭��� $L_1^n$  �� $n \geq 5$ �����
$2n$ �࠭��, ������������ (�⭮�⥫쭮 ��㯯� $G(\bold\Lambda^n)$ �࠭�,
��饩�� ������࠭����� ���� $L_1^{n-1}$, � $2^{n-1}$ �࠭��, ������
��� �ࠢ��쭮�� ᨬ����� � ������������ �࠭� ������࠭���� $L_0^n$.

\quad (b) �� ᨬ���樠��� �࠭� � �� �࠭� ���� $L_1^{n-1}$ ᮮ⢥��⢥���
����୮ ����������� ��� ���� �⭮�⥫쭮 ��� ��㯯� $G(\bold\Lambda^n)$
��⪨ $\bold\Lambda^n$, ⠪ � ��㯯� $G(L_1^n)$ ᠬ�ᮢ��饭�� ᠬ���
������࠭���� $L_1^n$.

\quad (�) ������ ᨬ���樠�쭠� �࠭� �� $(n-2)$-���� �࠭� \break ᬥ��� 
⮫쪮 �
�࠭ﬨ ���� $L_1^{n-1}$. ������ �࠭� ���� $L_1^{n-1}$ ᬥ��� ᢮���
�࠭ﬨ ���� $L_1^{n-2}$ ⠪�� � �࠭ﬨ ���� $L_1^{n-1}$.
������ �࠭� ���� $L_1^{n-1}$ ᬥ��� �� ᢮�� $(n-2)$-���� ᨬ���樠���
�࠭� � $(n-1)$-���묨 ᨬ���樠��묨 �࠭ﬨ ������࠭���� $L_1^n$.
\endproclaim

\proclaim{\indent ���६� 2} �����㯭���� ��� ������࠭����� ����
$L_0^n$, $L_1^n$, $L_2^n$ ��ࠧ�� $L$-ࠧ������ ����࠭�⢠ $E^n$
��� ��⪨ $\bold\Lambda^n$.
\endproclaim

\quad ���ᬮ�ਬ ॡ� ᬥ����� ��ன ᮢ��襭��� ��⪨.

\quad \underbar{���� $L$-⥫� $L$}$_0^n$.
������稬 ���設� $L$-������࠭���� $L_0^1$
(� ᮮ⢥��⢨� � ������祭�ﬨ (4)):
$$\quad X_i=\overline{x^0}+\overline{e_i},
\quad Y_i=\overline{x^0}-\overline{e_i}, \quad i=1,~\ldots,~n.$$
\noindent
����� ॡ� $L_0^n$  ����� ���:
$ X_iX_j,~ Y_iY_j,~X_iY_j, X_jY_i \quad (1 < i \leq j < n); $
���ࠢ���騥 ������:
$$
\overline{e_i}+\overline{e_j}, \quad \overline{e_i}-\overline{e_j}
\quad (1 < i \leq j < n) \eqno (7)
$$

\quad \underbar{���� $L$-⥫� $L$}$_1^n$.
������࠭��� $L_1^n$ ����� �����࠭� ���� ⨯��: $s^{n-1}$
($(n-1)$-���� ᨬ�����) � $L_1^{n-1}$.

\quad �� ॡ� ������࠭���� $L_1^n$ ����� ������� ����祭���
��� �����࠭��.
�� �ᥬ �����࠭� ⨯� $s^{n-1}$ ������� $L_1^n$ ᬥ��� �
������஬ $L_0^n$.
���⮬�, �᫨ � ⠪�� ����祭�� ������ ��� �� ����
�����࠭� ⨯� $s^{n-1}$, � �� ॡ� $L$-⥫� $L_0^n$.

\quad �㤥� ��ᬠ�ਢ��� ⮫쪮 ⠪�� ����祭��, ����� �� ᮤ�ঠ�
�����࠭�� ⨯� $s^{n-1}$.
�����࠭� ⨯� $L_1^{n-1}$ ����� ��� $A_i$, $B_i$ $(i=1, ~\ldots,~n)$,
��� $A_i$ � $B_i$ ����� ���設� ������� $L_1^{n-1}$ � ������
ᮮ⢥��⢥��� $\varepsilon_i=0$ � $\varepsilon_i=1$ (�. 㪠������ ���
����� �.�.��誮�� � �.�.��衠���).

\quad ���ᬮ�ਬ �८�ࠧ������ ����࠭�⢠ $E^n$, ���������� ��㫮�:
$$
\Im_{ij}(\overline{x})=\overline{x}-2\overline{e_i}(x_i - x_i^1 - 1/2)-
2\overline{e_j}(x_j - x_j^1 - 1/2). \eqno (9)
$$
�祢����, �� $\Im_{ij}$ ��࠭�� ���� $\bold\Lambda^n$
� ������⢮ ���設
������࠭���� $L_1^n$ (�.�. $\Im_{ij} \in G(\bold\Lambda^n) \cap G(L_1^n)$).
�� ������⢥ �����࠭�� ⨯� $L_1^{n-1}$ �८�ࠧ������ $\Im_{ij}$ �������
᫥���騬 ��ࠧ��:
;$A_i \longrightarrow B_i,
\quad A_j \longrightarrow B_j,
\quad A_k \longrightarrow A_k,
\quad B_k \longrightarrow B_k \quad (k \neq i,j)$$

\noindent
����� ��ࠧ��, ��� ����祭�� �᪮��� ॡ�� �����筮 ��ᬮ����
����祭�� ����:
$$
R=A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap ... \cap A_{i_k} \quad
(1 \le i_1 \leq i_2 \leq ... \leq i_k \le n), \eqno (10)
$$
$$
R=B_{i_1} \cap A_{i_2} \cap ... \cap A_{i_k} \quad
(1 \le i_1 \leq i_2 \leq ... \leq i_k \le n). \eqno (11)
$$

\quad �� ��।������ ������� $A_i$ � $B_i$ �����, �� ��� ����祭��
���� (10) � (11) ���� ᭮�� ������࠭���� ⨯� $L_1^{n-k}$ �
$L_2^{n-k}$ � ����� ॡࠬ� ⮫쪮 � �᫨ ⮫쪮
$k=n-2$.

\quad ���ᬮ�ਬ ⠪�� ����祭��. ����� \break
$\{q,r\}=\{1,2,~\ldots,~n\}~\setminus~ \{i_1,i_2,\mathbreak
\ldots,~ i_{n-2}\}$ �
$R_{qr}$
-- ᮮ⢥�����饥 ॡ�.
����� ��� ���� (10) ॡ� $R_{qr}$ ����� ���設�
$\overline{x^1},~\overline{x^1}+\overline{e_q}+\overline{e_r}$
� ����� ॡ�
$\overline{e_q}+\overline{e_r}$.
� ��砥 (11) ॡ� $R_{qr}$ ����� ���設�
$\overline{x^1}+\overline{e_q},~\overline{x^1}+\overline{e_r}$
� ����� ॡ� $\overline{e_q}-\overline{e_r}$.
�� ����稫� ������ ॡ�� (7).

\quad ����� ��ࠧ��, ���� ��⠭������, �� �� ॡ� ������࠭���� $L_1^n$
���� ����� ����� �� ����� (7), ���� �८�ࠧ�����ﬨ ����  $\Im_{ij}$
����� ���� �ਢ����� � ⠪��� ����. �� �� �८�ࠧ������ $\Im_{ij}$
������ �८�ࠧ����� ᫥���騬 ��ࠧ��:
$$
\overline{e_i} \longrightarrow -\overline{e_i},
\quad \overline{e_j} \longrightarrow -\overline{e_j},
\quad \overline{e_k} \longrightarrow \overline{e_k} \quad (k \neq i,j).
$$

\quad ������ த� �८�ࠧ������ ��࠭��� ����� ����஢ ���� (7).
����� ��ࠧ��, ��⠭������, �� ������⢮ ����୮ �������������
ॡ�� ������࠭���� $L_1^n$ ᮢ������ � ������⢮� ॡ�� ������࠭���� $L_0^n$.

\quad ���뢠� ���������⭮��� $L_1^n$ � $L_2^n$ �⭮�⥫쭮 �८�ࠧ������
��ઠ�쭮� ᨬ���ਨ �⭮�⥫쭮 ����௫�᪮�� $x_1=x_1^0$ � �,
�� ��� ��࠭�� ������⢮ ����஢ (7), ��� p����p���⥩ $n \geqslant 5$
��⠥� ���������� �����:

\proclaim{\indent �����} ����� �� $L$-������࠭����� ��ன ᮢ��襭���
��⪨ ᮤ�ন� �� ����୮ ������������
ॡ� ��⪨.
\endproclaim

\quad ����� ⠪�� �p�������� ��� p����p���� $n=3$ � ᨫ� ���������⭮��
�p�� $\varphi _1^{(3)}$ ��p��� ᮢ�p襭��� ����p��筮� �p��
$\varphi _0^{(3)}$, �������筮� ᢮��⢮ ���p�� p��ᬮ�p��� � [�].
��� p����p���� $n=4$ �p����������� ����� ᫥��� �� ⥮p��� 1.

\quad �ᯮ���� �⢥p������ ����� � ᫥��⢨� �� �p��������� 5 ���� [�],
����砥� ⥮p���:
\proclaim{\indent ���p���} �-�������, ����஥��� �� �� ��
$L$-���\-��\-�࠭\-��\-��� ��ன ᮢ��襭��� ��⪨ � �筮���� ��
��ࠫ���쭮�� ��७�� ᮢ������ � �������� ���嫥 -- ��஭���.
\endproclaim

\end