%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
\Monograph
\Russian
\TagsOnRight
\NoRunningHeads
\magnification=\magstep2
\pageno1
\topmatter
\endtopmatter
\headline={\hss\tenrm\folio\hss}


\pagebreak
\redefine\ol{\overline}
\noindent
УДК 514.17+511.9
\nopagebreak
\smallskip
\noindent
{\bf П.~Г.~Кононенко}
\nopagebreak
\smallskip
\noindent
{\bf ПОЛУЧЕНИЕ ПЯТИМЕРНЫХ ПЕРВИЧНЫХ}
\nopagebreak
\break
{\bf L-МНОГОГРАННИКОВ МЕТОДОМ НАСЛОЕНИЯ}
\medskip
\quad \underbar{Вводные замечания}. В настоящей работе предлагается
способ получения первичных $L$--многогранников
размерности $n$ на основе известных $L$--многогранников размерности
$(n-1)$ методом "наслоения". Применением этого метода
получены все существующие (как следует из теоpемы 3 работы C.C. Рышкова,
Р.М.Эрдала [6]) 5-мерные первичные $L$-многогранники.

\quad Другой метод вывода Н--П элементов предложен Е.В.Власовым и
основывается на исследовании введенного им в рассмотрение полиэдра четности.
Этим методом выведены $n$-меpные пеpвичные элементы пpи $n \le 5$ [4,5].

\medskip
\quad \underbar{1. Первичные элементы $L$--разбиений.}

\quad Пусть $n$--мерная решетка $\Gamma^n \in E^n$ задана как множество точек \linebreak
$\overline x = (x^1, ..., x^n)$ с целыми координатами $x^1, ..., x^n$
относительно некоторого базиса $\overline e = \{0; e_1, e_2, ..., e_n\}$
 -- основного репера решетки $\Gamma^n$.

\quad $L$--многогранником решетки $\Gamma^n$ называется выпуклый $n$--мерный
многогранник с вершинами в точках решетки, обладающий следующими свойствами:

\quad 1) cуществует шар, описанный вокруг многогранника;

\quad 2) описанный шар не содержит никаких других точек решетки
$\Gamma^n$, кроме вершин многогранника.

\quad Множество $L$--многогранников образует $L$--разбиение решетки --
нормальное разбиение содержащего решетку пространства $E^n$, т.е.
такое разбиение, в котором многогранники в случае непустого
пересечения пересекаются только по целым граням той или иной размерности.

\quad Среди типов $L$--многогранников особую роль играют многогранники
типа $D^k(p)$ -- выпуклые $k$--мерные многогранники, у которых имеется
в точности $2p$ вершин и $p$ внутpенних диагоналей, причем все диагонали
одинаковой длины и пересекаются в общей точке, которой
каждая из них делится пополам. Таким образом, точка пересечения
диагоналей является и центром сферы, описанной вокруг многогранника
$D^k(p)$, и центром его симметрии. Отметим, что $L$--многогранники,
не относящиеся к типу $D^k(p)$, вообще не имеют внутренних
диагоналей, а следовательно и центра симметрии.

\quad При $k=p$ для многогранника $D^k(p)$ примем обозначения $C^k$.
При $k\ge4$ многогранник $C^k$ будем называть кроссполиэдром.

\quad Проследим образование решетки $L$--многогранников типа $D^k(p)$.
\linebreak
Примитивные векторы решетки $\Gamma^n$, т.е. те целые векторы $\overline x$,
для которых НОД$(x^1,~\hdots,~x^n) = 1$, распадаются на $2^n-1$ классов четности
по признаку: два примитивных вектора $\overline x = (x^1,~\hdots,~x^n)$ и
$\overline y = (y^1,~\hdots,~y^n)$ тогда и только тогда принадлежат одному
классу четности, когда
$$x^i = y^i (mod 2), i = 1,~\hdots,~n.$$

\proclaim {\indent Предложение 1} Пусть на данном классе четности некоторой
решетки $\Gamma^n$ множество минимальных векторов состоит из векторов
\linebreak
$\pm \overline g_1, ..., \pm \overline g_p$, тогда в $L$--разбиении
этой решетки имеется $k$-мерная грань $(k \le p)$ представляющая собой
многогранник $D^k(p)$, диагонали которого определяются векторами
$\overline g_1, ..., \overline g_p$.\endproclaim

\quad Доказательство предложения 1 дано в [1]. \quad \qed
\proclaim{\indent Определение} Грани $L$--разбиения решетки, согласно предложению 1,
поставленные в соответствие каждому из классов четности и представляющие
собой многогранник $D^k(p)$ с диагоналями, заданными
минимальными векторами данного класса, называются первичными
элементами $L$--разбиения решетки. Все первичные элементы, отличные
от отрезков--ребер $L$-раз\-би\-е\-ния, называются нетривиальными
первичными элементами, или коротко Н--П элементами.\endproclaim

\proclaim{\indent Предложение 2} Всякая грань $L$--разбиения решетки, имеющая
диагонали, является Н--П элементом некоторого класса четности.\endproclaim

\quad Доказательство предложения 2 приведено в [1].\quad \qed

\quad Условимся в следующих обозначениях: $A \sqsubseteq B$ ~--~ Н-П
элемент $A$
является гранью Н-П элемента $B$; $P^k$ -- прямоугольный параллелепипед
размерности $k$; $C^1 \times M = R(M), p(M), bp(M)$ соответственно --
прямая призма, пирамида и бипирамида с основанием $M$.

\proclaim{\indent Теорема}
Двумерный Н-П элемент единствен -- прямоугольник $C^2$.

\quad Трехмерные элементы:

\quad 1) октаэдр $C^3$, все грани которого остроугольны;

\quad 2) параллелепипед $P^3$, имеющий в качестве подчиненных элементов
три прямоугольника $(P^3 \sqsupseteq 3C^2)$.

\quad Четырехмерные Н--П элементы:

\quad 1) кроссполиэдр $C^4$, все 2--мерные грани которого остроугольны;

\quad 2) бипирамида $bp\{P^3\} \sqsupseteq 3C^2$;

\quad 3) призма $C^3 \times C^1 \sqsupseteq (C^3, 6C^2)$;

\quad 4) параллелепипед $P^4 \sqsupseteq (4P^3) \sqsupseteq 6C^2$.\endproclaim

Доказательство приведено в [2]. \quad \qed

\quad \underbar{2. Операция наслоения.}

\quad Пусть $J^k$ -- множество $k$-мерных выпуклых $L$-многогранников в
пространстве $E^n$ $(k<n)$, вокруг которых можно описать сферу, $D^{k+1}$
-- множество многогранников типа $D^{k+1}(p)$.

\quad Отображением наслоения назовем:

\quad $H_{\overline d}: J^k \longrightarrow D^{k+1} (k = 1, 2, ...)$,

\quad $H_{\overline d}: P \longmapsto D^{k+1}(r) = H_{\overline d}(P)
 = conv\{extP \bigcup Z_{\overline d}(ext(P))\}$,
\noindent
где $P \in J^k$, $extP$ -- множество вершин $L$-многогранника $P$, $r$ -- их
количество, а $Z_{\overline d}$ -- преобразование центральной
симметрии пространства
$E^n$ относительно точки $\overline d$, не лежащей в плоскости
$L$--многогранника $P$ и равноудаленной от его вершин.

\quad Пусть $n$--мерный многогранник $P$ является $L$--многогранником
некоторой $n$--мерной решетки $\Gamma_0^n$. Обозначим через
$\Gamma^n$  решетку,
заданную многогранником $P$, -- $n$--мерную решетку, содержащую вершины
многогранника $P$ и имеющую из всех такого рода решеток максимальный
объем основного параллелепипеда. Очевидно, многогранник $P$ является
и $L$--многогранником решетки $\Gamma^n$.

\quad Пусть $\Gamma^{n+1}$ -- решетка, заданная многогранником
$H_{\overline d}(p)$.
Если \linebreak
$\{o; \overline e_1, \overline e_2,~\hdots, \overline e_n\}$ -- некоторый
основной репер решетки $\Gamma^n$, где $o$ -- одна из вершин многогранника $P$,
то, как нетрудно показать, решетка $\Gamma^{n+1}$ построена на репере
$\{o; \overline e_1,~\hdots, \overline e_n, 2\overline d\}$.

\proclaim{\indent Лемма 1} Если P является $L$--многогранником некоторой
решетки
$\Gamma^n$ и точка $\overline d$ равноудалена от вершин, причем
$ \overline{d} ^2 > (9/8)r^2$,
где $r$ -- радиус пустого $n$-мерного шара $B^n(\overline{q}, r)$,
описанного вокруг $Р$, тогда $H_{\overline d}(P)$ является первичным
$L$--многогранником
построенной на нем решетки.\endproclaim

$\qed$ Здесь и далее будем считать, что
$H_{\overline d}(p) \subset E^{n+1}$. Так как точки $\overline d$ и $\overline q$
равноудалены от вершин $Р$ (множества размерности $n$), лежащих в
гиперплоскости $x^{n+1} = 0$, то вектор $\overline d - \overline q$
перпендикулярен плоскости $x^{n+1} = 0$. Обозначим
$ h = |\overline d - \overline q|$,
тогда $h^2 = \overline{d}^2 - r^2$. Очевидно, что если $|\overline d| < 3h$,
то шар с центром $\overline d$ и радиусом $|\overline d|$ лежит между
слоями решетки $\Gamma^{n+1}$, кроме вершин $H_{\overline d}(P)$,
лежащих на его поверхности.
\qed

\proclaim{\indent Лемма 2} Пусть $P \in J^n$ -- выпуклый многогранник, имеющий центр
симметрии в точке $\overline a$, тогда: $H(P) = P \times C^1$, а точнее \break
$H_{\overline d}(P) = P + [o; 1]
\cdot 2(\overline d - \overline r)$ -- прямая призма.\endproclaim

$\qed$ Доказательство легко следует из тождества
$Z_{\overline d} \cdot Z_{\overline a} = T_{2(\overline d - \overline a)}$, где
$T_{2(\overline d - \overline a)}$ параллельный перенос на вектор
$2(\overline d - \overline a)$. \qed

\proclaim{\indent Лемма 3} $H(Q \times C^1) = H_1(Q) \times C^1$, а
точнее, если
$P \in J^n$,\break $P = Q + [O, 1] \cdot \overline v$
-- прямая призма, то
$H_{\overline d}(P)=H_{\overline d - \overline v / 2} (Q) + [o, 1] \cdot \overline v$ ---
прямая призма.\endproclaim

$\qed$ Доказательство легко следует из тождества
$Z_{\overline d} \cdot T_{\overline v} = Z_{\overline d - \overline v / 2}$.
\qed

\proclaim{\indent Лемма 4} $H: p\{Q\} \longrightarrow bp\{H(Q)\}$,
а точнее, если
$P \in J^n$,\break $P = conv\{\overline a, Q\}$,
где $Q$ -- основание пирамиды и $\overline a \in affQ$, то:\break
$H_{\overline d}(p\{Q\})
= conv\{\overline a, 2\overline d - \overline a, H(Q)\}
= bp\{H\{Q\}\}$.\endproclaim

$\qed$ Нетрудно показать, что
$aff\{\overline a, 2\overline d - \overline a\}$ не лежит в гиперплоскости
$affH(Q)$ и пересекает ее в точке $\overline d \in ri(H(Q))$ (относительной
внутренности полиэдра $H(Q)$). \quad \qed

\proclaim{\indent Лемма 5} Если $f^k$ -- $k$-мерный симплекс, то
$H: f^k \longrightarrow C^{k+1}.$
\endproclaim

$\qed$ Если
$f^k = conv\{\overline x^o, \overline x^1,~\hdots, \overline x^n\}$,
то линейная независимость системы
$(\overline{d} - \overline{x_o}), (\overline{d} - \overline{x_1}),
\hdots, (\overline{d} - \overline{x_n})$
следует из аффинной независимости
$\overline{x_o},\hdots, \overline{x_n}$
и того , что
$\overline d \in aff\{\overline{x_o},\hdots, \overline{x_n}\}$.  \quad \qed

\proclaim{\indent Лемма 6} $H: P^k \longrightarrow P^{k+1}$\endproclaim

$\qed$ Доказательство следует из леммы 2, поскольку $P^k$
имеет центр симметрии. \qed

\quad \underbar{3. Получение пятимерных первичных $L$-многогранников} 
\break \underbar{методом наслоения.}

\quad Существует 19 типов 4-мерных $L$-многогранников (см. табл.).
Для 11 из них применение лемм 2 -- 6 определяет структуру
первичных $L$-многогранников, полученных из них методом наслоения.
Далее для 4-мерных $L$-многогранников мы будем пользоваться
обозначениями из работы [3].

\quad 1) $S_1$ -- 4-мерный симплекс.
$H: S_1 \longrightarrow C^5$ (лемма 5).

\quad 2) $H: S_2 \longrightarrow bp\{bp\{P^3\}\}$.
$S_2 = p\{p\{C_2\}\}$,\break
$H(S_2) = H(p\{p\{C^2\}\}) = bp\{H(p\{C^2\})\} = bp\{bp\{H(C^2)\}\}
= bp\{bp\{P^3\}\}$
(применяем последовательно леммы 4,~4,~6).

\quad 3) $H: S_3 \longrightarrow bp\{C^3 \times C^1\}$.
$S_3 = p\{f^2 \times C^1\}$,\break
$H(S_3) = H(p\{f^2 \times C^1\}) = bp\{H(f^2 \times C^1)\} =
bp\{H(f^2) \times C^1\} = bp\{C^3 \times C^1\}$
(применяем последовательно леммы 4,~3,~5).

\quad 4) $H: p(C^3) \longrightarrow bp\{C^3 \times C^1\}$.
Действительно $H(p\{C^3\}) = bp\{H(C^3)\} = bp\{C^3 \times C^1\}$
(применяем последовательно леммы 4,~2).

\quad 5) $H: C^4 \longrightarrow C^4 \times C^1$ (лемма 2).

\quad 6) $H: R(T_1) \longrightarrow C^4 \times C^1$. 
$R(T_1) = f^3 \times C^1$, \break
$H(R(T_1)) = H(f^3 \times C^1) = H(f^3)  \times C^1 = C^4 \times C^1$.

\quad 7) $H: p\{P^3\} \longrightarrow bp\{P^4\}$.
$H(p\{P^3\}) = bp\{H(P^3)\} = bp\{P^4\}$ (леммы 4,~5).

\quad 8) $H: R(T_2) \longrightarrow bp\{P^3\} \times C^1$.
$R(T_2) = p\{P^2\} \times C^1$, \break
$H(R(T_2)) = H(p\{P^2\} \times C^1) = H(p\{P^2\}) \times C^1
= bp\{H(P^2)\} \times C^1 =$\break
$=bp\{P^3\} \times C^1$
(применяем последовательно леммы 3,~4,~6).

\quad 9) $H: bp\{P^3\} \longrightarrow bp\{P^3\} \times C^1$. 
$bp\{P^3\}$ обладает центральной симметрией, поэтому
$H(bp\{P^3\}) = bp\{P^3\} \times C^1$.

\quad 10) $H: C^3 \times C^1 \longrightarrow C^3 \times C^1 \times C^1$
Действительно: \break $H(C^3 \times C^1) = H(C^3) \times C^1
= C^3 \times C^1 \times C^1$ (леммы 2,~3).

\quad 11) $H: P^4 \longrightarrow P^5$ (лемма 6).

\quad Рассмотрим более подробно наслоение $H_{\overline d}(P)$
над 4-мерным $L$-мно\-го\-гран\-ни\-ком $Р$ в пространстве $E^5$.
Обозначим $P' = Z_{\overline d}(P)$. Очевидно, $P$ и $P'$ -- две
параллельные гиперграни $L$-многогранника $H_{\overline d}(P)$. Остальные
гиперграни многогранника $H_{\overline d}(P)$ (назовем их боковыми)
пересекают $P$ и
$P'$ по непустым целым граням, хотя бы одна из которых, очевидно,
имеет размерность не ниже двух (и не выше трех).
В этих условиях нетрудно доказать следующую лемму:

\proclaim{\indent Лемма 3.1} Пусть $F$ --- гипергрань многогранника $Р$,
обладающая свойством: $aff(extP \setminus extF) \parallel aff(F)$.
Обозначим $Q = conv\{ext(P) \setminus ext(F)\}$ --- грань полиэдра $Р$;
$F'$, $Q'$ --- грани $Р'$, симметричные $F$ и $Q$ --- соответственно.
Тогда справедливо:

\quad 1) существует единственная боковая гипергрань $G$ полиэдра \break
$H_{\overline d}(P)$, пересекающая полиэдр $Р$ по грани $F$.
При этом $G \cap P'= Q'$;

\quad 2) вершины $G$ и симметричной ей (а стало быть, и параллельной)
грани $G'$ исчерпывают все множество вершин полиэдра $H_{\overline d}(P)$;

\quad 3) грань $G$ является 4-мерным $L$-мно\-го\-гран\-ником (как грань
$L$-мно\-го\-гран\-ни\-ка $H_{\overline d}(P)$ );

\quad 4) $H_{\overline d}(P) = H_{\overline d}(G)$.\endproclaim
\quad \qed

\quad Обозначая $G$ -- гипергрань полиэдра $H(P)$ и
$F = G \cap P$, $W = G \cap P'$,
заметим, что возможны 3 случая:

\quad I. $max\{dim F, dim W\} = 4$, т.е. $G = P$ или $G = P'$;

\quad II. $max\{dim F, dim W\} = 3$, $min\{dim F, dim W\} \geq 0$;

\quad III. $max\{dim F, dim W\} = 2$, $min\{dim F, dim W\} \geq 1$.

\quad При помощи непосредственного рассмотрения многогранников \break
доказывается, что случаи I,~II исчерпывают все гиперграни 5-мерных
первичных $L$-многогранников. В случае II все они получаются методом,
описанным в лемме 3.1, поскольку гиперграни всех 4-мерных
$L$-многогранников удовлетворяют ее условиям.

\quad Из утверждения 4) леммы 3.1 следует, что каждое множество
типов 4-мерных $L$-многогранников с одинаковым числом вершин разбивается
на непересекающиеся классы по признаку принадлежности к множеству
типов гиперграней соответствующего 5-мерного первичного $L$-мно\-го\-гран\-ни\-ка.

\quad Для доказательства неосуществимости случая III полезны следующие замечания:

\quad 1) множество вершин грани $G$ не может содержать пару вершин полиэдра
$H_{\overline d}(P)$, симметричных относительно центра $\overline d$
(иначе $\overline d \in G$,
но $\overline d \in int(H_{\overline d}(P))$;

\quad 2) пусть $\overline x, \overline y$ -- вершины $H_{\overline d}(P)$,
$\overline x - \overline y = \overline v$, тогда:

\quad а) если вектор $\overline v$ параллелен $affG$ то
$([\overline x \in G] \Longleftrightarrow [\overline y \in G])$;

\quad б) в противном случае
$([\overline x \in G] \Longleftrightarrow [\overline y \not\in G]$;

\quad 3) вершины $extP' \setminus extF'$ разбиваются на "слои", лежащие в
2--плоскостях, параллельных $affG$;

\quad 4) если $S$ -- некоторое центрально--симметричное множество вершин
полиэдра $H_{\overline d}(P)$ и грань $G$ содержит пару симметричных
точек этого множества, тогда $S \not\in extG$.

\underbar{Получение многогранника наложения на примере L-полиэдра $S_4$.}

\quad Полиэдр $S_4$ является выпуклой оболочкой двух прямоугольников
$P^1=conv\{O, A_0, A_1, B_{01}\}$ и $P^2=conv\{O, A_2, A_3, B_{23}\}$, причем
$\overline{B_{01}A_1}=\overline{A_0O}=\overline{e_0}$,
$\overline{B_{01}A_0}=\overline{A_1O}=\overline{e_1}$,
$\overline{OA_2}=\overline{A_3B_{23}}=\overline{e_2}$,
$\overline{OA_3}=\overline{A_2B_{23}}=\overline{e_3}$,
где $\overline{e_0},\overline{e_1},\overline{e_2},\overline{e_3}$ -- основной
репер решетки и
$\overline{e_0} \cdot \overline{e_1}=\overline{e_2} \cdot \overline{e_3}=0$.

\quad $S_4$ имеет в качестве гиперграней 4 четырехугольные
пирамиды с прямоугольным основанием и 4 тетраэдра:

\quad 1) $conv\{O,A_0,A_1,B_{01},A_3\}$,

\quad 2) $conv\{O,A_0,A_1,B_{01},A_2\}$,

\quad 3) $conv\{O,A_2,A_3,B_{23},A_0\}$,

\quad 4) $conv\{O,A_2,A_3,B_{23},A_1\}$,

\quad 5) $conv\{B_{01},A_1,A_3,B_{23}\}$,

\quad 6) $conv\{B_{01},A_1,A_2,B_{23}\}$,

\quad 7) $conv\{B_{01},A_1,A_3,B_{23}\}$,

\quad 8) $conv\{B_{01},A_0,A_2,B_{23}\}$.

\quad Для каждой гиперграни вершины $S_4$ находятся в двух соответствующих
параллельных гиперплоскостях (удовлетворяют условиям \break леммы 3.1).

\quad $S_4$ имеет 18 2-граней вида:

\quad (I) $conv\{A_i,O,A_j\}$ $(i=0,1; j=2,3)$ -- 4 грани;

\quad (II) $conv\{A_i,B_{23},A_j\}$ -- 4 грани;

\quad (III) $conv\{A_i,B_{01},A_j\}$ -- 4 грани;

\quad (IV) $conv\{B_{01},B_{23},A_l\}$ $(l=0,1,2,3)$ -- 4 грани;

\quad (V) $conv\{O,A_0,A_1,B_{01}\}$, \quad
$conv\{O,A_2,A_3,B_{23}\}$.

\quad \underbar{Гиперграни многогранника $H(S_4)$}.

\quad I. $G=S_4$ или $G=S_4'$.

\quad II. $G=conv\{O,A_0,A_1,B_{01},A_j,A_i',B_{23}'\}$ $(i,j=2,3;ij)$ -- 4 грани
(сейчас и в дальнейшем будем без дополнительных пояснений
учитывать симметричные
перечисленным относительно $\overline{d}$).

$G=conv\{O,A_2,A_3,B_{23},A_i,A_j',B_{01}'\}$ $(i,j=0,1; ij)$ -- 4 грани.

\quad III. Исключим из рассмотрения такие 2-грани $F$ полиэдра $S_4$, что
$conv\{extS_4 \setminus extF_5\}$ -- гипергрань полиэдра $S_4$,
поскольку соответствующие им гиперграни полиэдра $H(S_4)$
рассматриваются в пункте II.


\quad Обозначим $L(affG)$ -- линейное пространство, ассоциированное
с плоскостью $aff~G$.

\quad (II) $F=conv\{A,B_3,A\}$, тогда

\quad $\overline{e_3} \in L(affG)$,

\quad $\overline{e_0}, \overline{e_1} \notin L(affG)$

Оставшиеся вершины разбиваются на три слоя:

\quad 1) $O',A_3'$;

\quad 2) $B_{01}'$;

\quad 3) $A_0'$.
\break
Все три слоя вершин несовместимы, т.е. такая гипергрань $G$ не существует.
Так же дело обстоит и со всеми другими 2-гранями (II) пункта.

\quad (III) аналогично (II).

\quad (IV) $F=conv\{B_1,B_3,A\}$, тогда

\quad $\overline{e_0}, \overline{e_4} \in L(affG)$,

\quad $\overline{e_1}, \overline{e_2}, \overline{e_3} \notin L(affG)$.

Оставшиеся вершины разбиваются на три слоя:

\quad 1) $A_0',O'$;

\quad 2) $A_2'$;

\quad 3) $A_3'$.
\break
Все три слоя вершин несовместимы, т.е. такая гипергрань $G$ не существует.
Аналогично обстоит дело со всеми другими 2-гранями пункта (IV).

\quad (V) $F=conv\{O, A, A, B_1\}$, тогда

\quad $\overline{e_0}, \overline{e_1} \in L(affG)$,

\quad $\overline{e_2}, \overline{e_3}, \overline{e_4} \notin L(affG)$.

Оставшиеся вершины разбиваются на три слоя:

\quad 1) $A_2'$;

\quad 2) $A_3'$;

\quad 3) $B_{23}'$.
\break
Все три слоя вершин несовместимы, т.е. такая гипергрань $G$ не существует.
Аналогично -- со всеми другими 2-гранями пункта (V).

\quad \underbar{Тип гиперграней многогранника $H(S_4)$}.

Поскольку среди гиперграней полиэдра $bp\{C^3 \times C^1 \}$
(см. табл.) нет многогранников вида $S_4$, то
$H(S_4) \neq bp\{C^3 \times C^1\}$, а
соответствующие множества типов гиперграней (4-мерных 8-вершинных
$L$-мно\-го\-гран\-ни\-ков) не пересекаются. То есть все гиперграни полиэдра
$H(S_4)$ имеют тип $S_4$.
\pagebreak

\centerline{\bf Таблица 5-меpных $L$-многогpанников, полученных наложением}
(N -- количество вершин 4-мерного L-многогранника.)

$$
\matrix{
 N & Тип \ 4-мерного  &  Наслоение \ над  & Гиперграни \cr
   &  L-многогранника &  L-многогранником & наслоения \cr
&&&\cr
 5 & $S_1=S^4$ & $C^5$ & 32 S^4\cr
 6 & V^4_{2,2} & K^5   & 20 V^4_{2,2}\cr
   & S_2=p\{S^2\!\!\times\! C^1\} & bp\{bp\{P^3\}\} & 24 p\{p\{C^2\}\}\cr
&&&\cr
 7 & S_3=p\{S^2\!\!\times\! C^1\} & bp\{C^3\!\!\times\! C^1\} & 
			4 p\{C^3\}, 16 p\{S^2\!\!\times\! C^1\}\cr
   & p\{C^3\} & -//-   & -//- \cr
   & S_4      & H(S_4) & 18 S_4\cr
&&&\cr
 8 & кроссполиэдр C^4 & C^4\!\!\times\! C^1 & 2 C^4, 16 p\{S^3\!\!\times\! C^1\} \cr
   & R(T_1)=S^3\!\!\times\! C^1 & -//- & -//- \cr
   & S_5 & H(S_5)=H(S_6) & 8 S_5, 8 S_6 \cr
   & S_6 & -//- & -//- \cr
&&&\cr
 9 & p\{P^3\} & bp\{P^4\}     & 16 p\{P^3\} \cr
   & S_8      & H(S_8)=H(T_6) & 12 S_8, 2 T_6 \cr
   & T_6      & -//- & -//- \cr
&&&\cr
 10 & R(T_2)=p\{P^2\}\!\!\times\! C^1 & bp\{P^3\}\!\!\times\! C^1 & 12 p\{P^2\}\!\!\times\! C^1,
	2 bp\{P^3\} \cr
    & bp\{P^3\} & -//- & -//- \cr
    & S_{11} & H(S_{11}) & 12 S_{11} \cr
&&&\cr
 12 & R(C^3)=C^3\!\!\times\! C^1 & H(T_{12})=C^3\!\!\times\! P^2 & 8 T_{12}, 
	4 C^3\!\!\times\! C^1 \cr
    & T_{12} & -//- & -//- \cr
&&&\cr
 16 & P^4 & P^5 & 10 P^4 \cr
}
$$





\break
\centerline{\bf Список использованной литеpатуpы}
\nopagebreak
\medskip

\noindent
1. {\it Барановский Е.П.} Разбиение евклидовых пространств на
L-мно\-го\-гран\-ни\-ки некоторых совершенных решеток //
Тр.~МИАН СССР 1991. \phantom{буд}T.~196. C. 27 -- 46.

\noindent 2. {\it Барановский Е.П., Власов Е.В., Новикова Н.В.}
Первичные элементы
\phantom{буд}L-разбиений двух-, трех- и четырехмерных решеток //
Алгебраичес-\phantom{буд}кие системы. Иваново, 1991. C. 107 -- 115.

\noindent 3. {\it Барановский Е.П., Власов Е.В., Новикова Н.В.}
Строение L-разбиений
\phantom{буд}четырехмерных решеток. Иваново, 1990. 39 с.

\noindent 4. {\it Власов Е.В.} Дуальные системы пеpвичных элементов
точечных pеше-\phantom{буд}ток //
II Междунаpодная конфеpенция по теоpии чисел: Тез. Воpо-
\phantom{буд}неж, 1955. С. 30.

\noindent 5. {\it Власов Е.В.} Полиэдр четности. М. 1996. 26 с.
Деп. в ВИНИТИ \phantom{буд}19.07.96, \No 2465 - B96.

\noindent 6. {\it Рышков С.С., Эрдал Р.М.} Поэтажное построение L-тел
решеток. //
\phantom{буд}УМН. 1989. Т.~44. Вып.~2, C.~241 -- 242.


\end
