%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
\Monograph
\Russian
\TagsOnRight
\NoRunningHeads
\magnification=\magstep2
\pageno1
\topmatter
\endtopmatter
\headline={\hss\tenrm\folio\hss}


\midinsert
%\vspace{0.3 cm}
\botcaption{}
\endcaption
\endinsert
\redefine\op{\operatorname}
\noindent
��� 512.543.5, 512.54.05
\nopagebreak
\smallskip
\noindent
{\bf �.~�.~����஢᪨�}
\nopagebreak
\smallskip
\noindent
{\bf ������ ��������������� ������� �������}
\nopagebreak
\newline
{\bf ��� ���������� ������������ �����}
\nopagebreak
\medskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\head
1. ��������
\endhead

\quad ����� $F=A*B$ --- ᢮������ �ந�������� ��㯯 $A$ � $B$ �
$w$ --- 横���᪨ �ਢ������ ������� ��㯯� $F$, �� ����騩
� $A$ � $B$. �����-��㯯� $F/w^F$ ��㯯� $F$ �� ��ଠ�쭮��
���몠��� ������� $w$ �㤥�, ᫥��� �.~�.~�த᪮�� \cite{1,~2},
���뢠�� {\it �������� �ந���������} ��㯯 $A$ � $B$ c
{\it ���������} $w$ � ��������� �१ $A_wB$. � \cite2, � ��⭮��,
�뫮 �������� (�. ⥮६� 1), �� �᫨ ��㯯� $A$ � $B$ �����쭮
����������� (�.�. ��猪� �� ���ਢ���쭠� ����筮 ��஦������
�����㯯� �������� �������䨧��� �� ��᪮����� 横������
��㯯�), � ��� ����⢥��� ��ࠧ�� ������� � ������쭮�
�ந�������� $A_wB$. ��� १���� �த᪮�� ����頥� ⥮६�
�.~������ � ᢮���� ��� ��㯯 � ����� ��।����騬 ᮮ⭮襭���
\cite{4,~��. \romannumeral 4, ⥮६� 5.1}. ����� ����⨥
������쭮�� �ந�������� ��㯯 ���� ����⢥��� ����饭���
������ ��㯯� � ����� ��।����騬 ᮮ⭮襭���, � �� �⨬㫨���
��७�ᥭ�� �������� ⥮६ � ��㯯�� � ����� ᮮ⭮襭��� ��
�������� �ந�������� ����� ��饣� ���� (�., ����.,
\cite{1,~5,~6,~7,~8}). ����� �����饩 ࠡ��� ��� ࠧ � ��c�
�������� ����饭�� ��� �����⭮� ��䮣���᪮� ⥮६�
�.~���� \cite{10,~⥮६� 3} � ��㯯�� � ����� ᮮ⭮襭���,
������ ���祭��.

\quad �� ����� ����ᠭ� �����쭮 �����, �� � ᨫ� ࠧ�����
�����⥫��� �� �� ��� �� �뫠 ��㡫�������. �᭮����
�� १���� �� ������� ������ᨬ� ���஬ � ��⠭᪨��
��⥬�⨪��� ��.~��� � �.~�ࠩ��� \cite{8,~��������}.
������⥫��⢮ ��� � �ࠩ�� �ᯮ���� ⮯������᪨�
��⮤�, � � �६� ��� ������⥫��⢮ ���� ���� ���
�����ࠨ�᪨�.

\quad �� �� ��।��塞� ���� ������ � ������祭��, �⭮��騥�� �
⥮ਨ ᢮������ �ந�������� � ��ꥤ������� �����㯯�� �
$\op{HNN}$-���७��, ����� �⠭����묨, � �� ��।������
����� ���� � \cite4.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\head
2. �ᯮ����⥫�� �⢥ত����
\endhead

\proclaim{\indent ����� 1} ������騥 ��� �᫮��� ࠢ��ᨫ��:

\quad �) ��㯯� $G$ �������� �������䨧��� �� ᢮������ �������
��㯯� ࠭�� $2$;

\quad �) ��� ��� ������� $g$ ��㯯� $G$ ������� �������䨧�
��㯯� $G$ �� ��᪮����� 横������ ��㯯�, �⮡ࠦ��騩
������� $g$ � �������.
\endproclaim

\quad \underbar{������⥫��⢮}
������� ᭠砫�, �� �� �᫮��� �) ᫥��� �᫮��� �).

\quad ����� $\varphi$ --- �������䨧� ��㯯� $G$ �� ᢮������ �������
��㯯� ࠭�� $2$, $g$ --- ������� ������� ��㯯� $G$. �����
��� ����������.

\quad 1) $\varphi(g)=1$.

\quad �����, 䠪�ਧ�� ��㯯� $\varphi(G)$ �� ��ଠ�쭮�� ���몠���
������ �� �� ��ࠧ����, ����稬 ��᪮����� 横������ ��㯯�.
�� �祢����� �������䨧�� ��㯯� $G$ �� ��� ��᪮����� 横������
��㯯� ������� $g$ ���室�� � �������.

\quad 2) $\varphi(g) \neq 1$.

\quad �����, 䠪�ਧ�� ��㯯� $\varphi(G)$ �� ��ଠ�쭮�� ���몠���
������� $\varphi(g)$, ����稬 ������� ��㯯� $A$. ����� $\psi$ ---
����⢥��� �������䨧� ��㯯� $\varphi(G)$ �� ��㯯� $A$. ��㯯�
$A$, ᮣ��᭮ ⥮६� � ��஥��� ����筮 ��஦������ ��������
��㯯 (�., ����., \cite{3, ~⥮६� 8.1.2]), ࠧ�������� � ��אַ�
�ந�������� ���� 横���᪨� �����㯯, ���� �� ������ ��᪮��筠.
���ᬮ�ਬ �������䨧� $\chi$ ��㯯� $A$ �� ��אַ� �����⥫�,
�������� ��᪮��筮� 横���᪮� ��㯯�. ����� ���������
�������䨧��� $\varphi$, $\psi$ � $\chi$ ������ �������䨧�
��㯯� $G$ �� ��᪮����� 横������ ��㯯�, �⮡ࠦ��騩
������� $g$ � �������.

\quad ������� ⥯���, �� �� �᫮��� �) ᫥��� �᫮��� �).

\quad �����᭮ �᫮��� �), ��㯯� $G$ �������� �������䨧��� $\theta$
�� ��᪮����� 横������ ��㯯�. ���ᬮ�ਬ ������� $g$ ��㯯�
$G$ ⠪��, �� $\theta(g) \neq 1$. �� �᫮��� �), ������� ⠪��
�������䨧� $\eta$ ��㯯� $G$ �� ��᪮����� 横������ ��㯯�,
�⮡ࠦ��騩 ������� $g$ � �������. ���ᬮ�ਬ ��ଠ���� �����㯯�
$N=\op{Ker}\theta \cap \op{Ker}\eta$ � 䠪��-��㯯� $G/N$. ��
⥮६� ������ (�., ����., \cite{3, ⥮६� 4.3.9}) ��㯯� $G/N$
���� �����㯯�� ᢮������ �������� ��㯯� ࠭�� $2$. �� �⮬
��㯯� $G/N$ �� ����� ���� 横���᪮�. �����, ��� ���� ᢮������
�������� ��㯯�� ࠭�� $\geq 2$. ���⮬�, � ᨫ� ⥮६� � ��஥���
᢮������ �������� ��㯯 (�., ����., \cite{3, ⥮६� 7.1.2}), ��㯯�
$G/N$ �������� �������䨧��� �� ᢮������ ������� ��㯯� ࠭�� $2$.
$\square$

\proclaim{\indent ����砭��}
����⨬, �� ��������� �) $\Rightarrow$ �) �뫠 �����஢��� ࠭��
�த᪨� \cite{1, ����� 13}.
\endproclaim

\quad ��㯯� ���뢠���� {\it ���������쭮�}, �᫨ �� ����� �������䭮
�⮡ࠧ��� �� ��᪮����� 横������ ��㯯�.

\proclaim{\indent ����� 2} ����� $H=C*D$ --- ᢮������ �ந��������
������������ ��㯯 $C$ � $D$. ����� ��㯯� $H$ ��������
�������䨧��� �� ᢮������ ������� ��㯯� ࠭�� $2$.
\endproclaim

\quad \underbar{������⥫��⢮.}
����� $\tilde C$  � $\tilde D$ --- �� �������� �������䨧���
ᮮ⢥��⢥��� ��㯯 $C$ � $D$ �� ��᪮����� 横������ ��㯯�.
������稬 �१ $N$ ��ଠ�쭮� ���몠��� � ��㯯� $H$ �����㯯�,
��஦������ ��ꥤ������� ������� $\tilde C$ � $\tilde D$. �����
䠪��-��㯯� $H/N$ ��㯯� $H$ �� ��ଠ�쭮� �����㯯� $N$ ����
᢮������ ��㯯� ࠭�� $2$. ����ਧ�� ��㯯� $H/N$ �� �� �����⠭��,
����稬 ᢮������ ������� ��㯯� ࠭�� $2$.
$\square$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\head
3. ������⥫��⢮ �᭮����� १����
\endhead

\quad ����� $F=A*B$ � $G=A_wB$. �������� ��㯯� $F$ �㤥� ���뢠��
{\it $F$-᫮����} ��� ���� {\it ᫮����}. �᫨ ������� $g$
��㯯� $G$ ���� ��ࠧ�� $F$-᫮�� $u$ �� ����⢥����
�������䨧�� ��㯯� $F$ �� ��㯯� $G$, � �㤥� �������, ��
᫮�� $u$ {\it ��।���� ������� $g$ � ������쭮� �ந��������
$A_wB$}. �।������� ⥯���, �� $w=r^n$, ��� $n \geq 2$, � $r$ ---
横���᪨ �ਢ����� � �� �ਭ������� �����㯯�� $A$ � $B$.
����� $s$ --- 横���᪨ �ਢ������� $F$-᫮��, ᮯ�殮���� �
$r^{\pm 1}$. �ਢ������� ��᫥����⥫쭮��� $F$-᫮�� $s^{n-1}$
�⭮�⥫쭮 ᢮������� �ந�������� $A*B$ ������� {\it
��᫥����⥫쭮���� ����} (�⭮�⥫쭮 ������쭮��
�ந�������� $A_{r^n}B$). �㤥� ⠪�� �������, �� $F$-᫮��
$u$ ᮤ�ন� {\it ���᫮�� ����} (�⭮�⥫쭮 ������쭮��
�ந�������� $A_{r^n}B$), �᫨ �ਢ������� ��᫥����⥫쭮���
᫮�� $u$ �⭮�⥫쭮 ᢮������� �ந�������� $A*B$ ᮤ�ন�
�����᫥����⥫쭮��� ����.

\proclaim{\indent ���६�} ����� $F=A*B$ --- ᢮������ �ந��������
�����쭮 ������������ ��㯯 $A$ � $B$, $r$ --- 横���᪨
�ਢ������� $F$-᫮��, �� �ਭ������饥 �����㯯�� $A$ � $B$,
� $G=A_wB$ --- ������쭮� �ந�������� ��㯯 $A$ � $B$ � ���������
$w=r^n$, ��� $n \geq 2$. �।�������, �� $F$-᫮�� $u$ ��।����
� ��㯯� $G$ ������� �� �����㯯� $A$ ��� $B$, �� �� ����� �
ᮮ⢥�����饩 �����㯯� � ��㯯� $F$. ����� ᫮�� $u$ ᮤ�ন�
���᫮�� ����.
\endproclaim

\quad \underbar{������⥫��⢮.}
������⥫��⢮ ⥮६� �஢���� ����樥� �� �������� �����
�ਢ������� ��᫥����⥫쭮�� �᭮����� $r$ �������� � ᮮ⢥��⢨�
� ��᪮�쪮 ���������� �奬�� �� \cite1. �� �⮬, ��� ��࠭�祭��
��魮��, ����� �����, �� ��ଠ�쭠� �ଠ $F$-᫮�� $r$ ����� ���:
$r=a_1 b_1 \ldots a_l b_l$, ��� $a_i \in A$, $b_i \in B$, $i=1,~\dots,l$.

\quad ��।���� $A^0$ ��� �����㯯� ��㯯� $A$, ��஦������ ������⢮�
��� ������⮢ �ਢ������� ��᫥����⥫쭮�� ᫮�� $r$, �ਭ��������
��㯯� $A$, � $B^0$ ��� �����㯯� ��㯯� $B$, ��஦������ ������⢮�
��� ������⮢ �ਢ������� ��᫥����⥫쭮�� ᫮�� $r$, �ਭ��������
��㯯� $B$. �������, �� ������⥫��⢮ ⥮६� �����筮 �஢�����
� �।���������, �� $A=A^0$, $B=B^0$.

\quad {\bf 3.1.}
����⢨⥫쭮, �।�������, �� $A \neq A^0$. �����, ᮣ��᭮
⥮६� 1 �� \cite2, $G=\langle A*A^0_{r^n}B; A^0=A^0, id_{A^0}
\rangle$. ����� $u_1, ~\ldots, u_m$ --- �ਢ������� ��᫥����⥫쭮���
$F$-᫮�� $u$ �⭮�⥫쭮 ᢮������� �ந�������� $A*B$. �।�������,
�� ��� �����ண� ������ $i$ $(1 \leq i \leq m)$ $u_i \in A$
� $u_i \notin A^0$. ����� � �ਢ������� ��᫥����⥫쭮��
᫮�� $u$ ��ꥤ���� �� �������� �� $A^0*B$. ����稬, ��
$u=u'_1 \ldots u'_s$, ��� $2 \leq s \leq m$ � ��� ��� $j$
$(1 \leq j \leq s)$ �����, �� $u'_j \in A \setminus A^0$
��� $u'_j \in A^0*B$. ��� ��� ᫮�� $u$ ��।���� � ��㯯� $G$
������� �� �����㯯� $B$ (� �⠫� ����, � �� $A^0_{r^n}B$) ��� ��
�����㯯� $A$, � ��᫥����⥫쭮��� $u'_1, ~\ldots, u'_s$ ��
����� ���� �ਢ������� �⭮�⥫쭮 ᢮������� �ந��������
� ��ꥤ������� �����㯯�� $\langle A*A^0_{r^n}B; A^0=A^0, id_{A^0}
\rangle$. �������⥫쭮, �������  ������� $u'_j$, �室�騩 �
�ந�������� $u=u'_1 \ldots u'_s$, �ਭ������� $A^0*B$ � ��।����
� ��㯯� $G$ ������� �� �����㯯� $A^0$. �� ���� ᫮�� $u'_j$
��।���� � ��㯯� $A^0_{r^n}B$ ������� �� �����㯯� $A^0$ � ��
����� � �⮩ �����㯯� � ��㯯� $A^0*B$. ��, ��� ����� ������,
�᫨ ᫮�� $u'_j$ ᮤ�ন� ���᫮�� ���� �⭮�⥫쭮
������쭮�� �ந�������� $A^0_{r^n}B$, � ᫮�� $u$ ᮤ�ন�
���᫮�� ���� �⭮�⥫쭮 ������쭮�� �ந��������
$A_{r^n}B$. ���⮬�, ��� ���� ��魮��, ����� �����,
�� $A=A^0$.

\quad {\bf 3.2.}
����� ⥯��� $A=A^0$, $B \neq B^0$. �����, � ᨫ� ⥮६� 1 �� \cite2,
$G=\langle A_{r^n}B^0*B; B^0=B^0, id_{B^0} \rangle$. �।�������, ��
��� �����ண� ������� $u_k$ $(1 \leq k \leq m)$ �ਢ�������
��᫥����⥫쭮�� $F$-᫮�� $u$ �⭮�⥫쭮 ᢮������� �ந��������
$A*B$ �����: $u_k \in B$ � $u_k \notin B^0$. ����� � �ਢ�������
��᫥����⥫쭮�� ᫮�� $u$ ��ꥤ���� �� �������� �� $A*B^0$. ����稬,
�� $u=\overline u_1 \ldots \overline u_q$, ��� $2 \leq q \leq m$ � ���
��� $p$ $(1 \leq p \leq q)$ �����, �� $\overline u_p \in
B \setminus B^0$ ��� $\overline u_p \in A*B^0$. ����㦤�� �����
⠪ ��, ��� � ���, �������, �� �� �����஬ $p$ $(1 \leq p \leq q)$
᫮�� $\overline u_p$ ��।���� � ��㯯� $A_{r^n}B^0$ ������� ��
�����㯯� $B^0$ � �� ����� � �⮩ �����㯯� � ��㯯� $A*B^0$. ���⮬�,
��� ��࠭�祭�� ��魮��, ����� �।��������, �� $A=A^0$ � $B=B^0$.

\quad {\bf 3.3.}
������� �ࠢ��������� ����⨢��� ����⥧� �� $l=1$. � �⮬ ��砥,
ᮣ��᭮ ᤥ����� ��� �।���������, $G=\langle a \rangle_{(ab)^n}
\langle b \rangle$, ��� $\langle a \rangle$ � $\langle b \rangle$ ---
��᪮���� 横���᪨� ��㯯� � ��ࠧ��騬� $a$ � $b$ ᮮ⢥��⢥���.
�㤥� �����, ��� ���� ��魮��, �� $u$ ��।���� � ��㯯� $G$
������� �� �����㯯� $\langle a \rangle$. �믮���� ������ $z=ab$. �����
$G=\langle a \rangle * \langle z; z^n \rangle$. ����� $u$ �� �⮬
��������� ᫮��� $u' \in \langle a \rangle * \langle z \rangle$,
���஥ ��।���� � ��㯯� $G$ ������� �� �����㯯� $\langle a \rangle$
� �� ����� � �⮩ �����㯯� � ��㯯� $\langle a \rangle * \langle z \rangle$.
����� $u'=u'_1 \ldots u'_s$ --- ��ଠ�쭠� �ଠ ᫮�� $u'$ �⭮�⥫쭮
᢮������� �ந�������� $\langle a \rangle * \langle z \rangle$.
�।�������, �� $s=1$. �����, �祢����, $u'=z^{kn}$, ���
$k \in \Bbb Z \setminus \{0\}$. �।������� ⥯���, �� $s \geq 2$.
��� ��� $u'$ ��।���� � ��㯯� $G$ ������� �� �����㯯�
$\langle a \rangle$, � ��᫥����⥫쭮��� $u'_1, ~\ldots, u'_s$
�� ����� ���� �ਢ������� �⭮�⥫쭮 ᢮������� �ந��������
$\langle a \rangle * \langle z; z^n \rangle$. �������⥫쭮,
������� ������ $i$ $(1 \leq i \leq s)$, �� ���஬ $u'_i=z^{kn}$,
��� $k \in \Bbb Z \setminus \{0\}$. ������� ⥯��� � �ந��������
$u'=u'_1 \ldots u'_s$ ������� $z$ �� $ab$, $z^{-1}$ �� $b^{-1}a^{-1}$
� �ந����� ����室��� ᮪�饭�� � ��ꥤ������, ����稬 ��ଠ����
��� ᫮�� $u$ �⭮�⥫쭮 ᢮������� �ந�������� $\langle a \rangle
* \langle b \rangle$, �ਢ������� ��᫥����⥫쭮��� ���ன, ��� �����
������, ᮤ�ন� �����᫥����⥫쭮��� ����.

\quad {\bf 3.4.}
�।�������, �� $l \geq 2$ � ⥮६� ��ୠ ��� ��� ���������
�ந��������, 㤮���⢮����� �� �᫮���, � ��������� �����
�᭮����� ��������, ����襩 $l$.

\quad �����᭮ ᤥ����� ��� �।���������, $A$ � $B$ --- ����筮
��஦����� �����쭮 ����������� ��㯯�. �������⥫쭮, ������
�� ��� ࠧ������ � �����אַ� �ந��������:
$A=\tilde A \, \leftthreetimes \langle x \rangle$ ---
�����אַ� �ந�������� �����ண� ��ଠ�쭮�� ����⥫� $\tilde A$
� ��᪮��筮� 横���᪮� ��㯯�, ��஦������ ������⮬ $x$, �
$B=\tilde B \, \leftthreetimes \langle y \rangle$ --- �����אַ�
�ந�������� �����ண� ��ଠ�쭮�� ����⥫� $\tilde B$ � ��᪮��筮�
横���᪮� ��㯯�, ��஦������ ������⮬ $y$.

\quad ������稬 �१ $H$ ��ଠ�쭮� ���몠��� � ��㯯� $F=A*B$ �����㯯�,
��஦������ ��ꥤ������� ������� $\tilde A$ � $B$. ����� ������, ��
$H=\tilde A * \prod \Sb j \in \Bbb Z \endSb ^* x^jBx^{-j}$. �����
������祭�� $B^s=x^sBx^{-s}$, ��� $s$ --- 楫��, �����
$H=\tilde A * \prod \Sb j \in \Bbb Z \endSb ^* B^j$. �����
$H_{k,q}=\tilde A* \prod \Sb k \leq j \leq q \endSb ^* B^j$.
��� ��⪮�� ����� $H_{k,k+p}$ �㤥� ����� $H_k^p$, ��� $p \geq 0$.

\quad ����� $v=\alpha_1 \beta_1 \ldots \alpha_m \beta_m$ --- ��ଠ�쭠�
�ଠ $F$-᫮�� $v$ �⭮�⥫쭮 ᢮������� �ந�������� $A*B$,
��� �宦����� $\alpha_1$, $\beta_m$ �������� �����, $\alpha_i
\in A$, $\beta_i \in B$, $i=1, ~\ldots, m$. ����� �������
$\alpha_i$, �室�騩 � ��ଠ���� ��� ᫮�� $v$, ��९�襬
� ���� $\alpha_i=x^{n_i} \tilde \alpha_i$, ��� $n_i$ --- 楫�� �
$\tilde \alpha_i \in \tilde A$. ����祭��� �ந��������
$x^{n_1} \tilde \alpha_1 \beta_1 \ldots x^{n_m} \tilde \alpha_m \beta_m$
������� {\it �������᪮� �ମ� ᫮�� $v$ �⭮�⥫쭮 $x$}.
��������� ��ࠧ��, ��९�ᠢ ����� ������� $\beta_i$, �室�騩
� ��ଠ���� ��� ᫮�� $v$, � ���� $\beta_i=y^{k_i} \tilde  \beta_i$,
��� $k_i$ --- 楫�� � $\tilde \beta_i \in \tilde B$, ����稬
{\it ���������� ��� ᫮�� $v$ �⭮�⥫쭮 $y$}. ��������
$\sigma _x(v)$ (ᮮ⢥��⢥��� $\sigma _y(v)$) ������稬 �㬬�
������⥫�� �� $x$ (ᮮ⢥��⢥��� �� $y$) � �������᪮� �ଥ
᫮�� $v$ �⭮�⥫쭮 $x$ (ᮮ⢥��⢥��� �⭮�⥫쭮 $y$).


\quad ������稬 �१ $v_x$ �ந�������� $\overline \alpha_1 \beta_1^{(s_1)}
\ldots \overline \alpha_m \beta_m^{(s_m)}$, ��� $\overline \alpha_i=$
\linebreak
$=x^{s_i} \tilde \alpha_i x^{-s_i}$, $\beta_i^{(s_i)}=x^{s_i} b_i x^{-s_i}$,
$s_i=n_1+ \ldots +n_i$ $(i=1,~\ldots,m)$. �祢����, �� $v=v_x x^{s_m}$.
����� ��ࠧ��, �᫨ $\sigma _x(v)=s_m=0$, �.�., �᫨ $v \in H$, �
$v=v_x$. � �⮬ ��砥 ������� �ந�������� $v_x$ {\it १���⮬
��९��뢠��� ᫮�� $v$ �⭮�⥫쭮 $x$}, � ��ଠ���� ��� $F$-᫮��
$v$, � ᢮� ��।�, �㤥� ���뢠�� {\it १���⮬ ����⠭������� $v_x$}.
����� �筮, �᫨ $z \in H$ �  $z=z_1 \ldots z_s$, ��� $z_i \in \tilde A$
��� $z_i \in B^{q_i}$ $(i=1, ~\ldots, s)$, �, �����뢠� ��������
$z_i \in B^{q_i}$ � ���� $z_i=x^{q_i} b_i x^{-q_i}$, ��� $b_i \in B$, �
�ந����� ����室��� ᮪�饭�� � ��ꥤ������, ����稬 ��ଠ����
��� ᫮�� $z$ �⭮�⥫쭮 ᢮������� ࠧ������� $F=A*B$. �� ���
��� �㤥� �������, �� ��� ����祭� ����⠭�������� �ந��������
$z=z_1 \ldots z_s$.

\quad ���ᬮ�ਬ ��䠢�� $\bold\Omega$, ����騩 �� ᨬ���� $x$, ������⮢
��㯯� $\tilde A$ ($\tilde A$-ᨬ�����) � ᨬ����� ���� $b^{(k)}$
($B$-ᨬ�����), ��� $b^{(k)}=x^k b x^{-k}$, $k \in \Bbb Z$, $b \in B$.
�᭮, �� �� ������� ��㯯� $F$ �।�⠢����� ������� ᫮���
� ��䠢�� $\bold\Omega$ ($\bold\Omega$-᫮���). ���ਬ��, ���������
��� $F$-᫮�� $v$ ����� �।�⠢��� $\bold\Omega$-᫮��� $x^{n_1}
\tilde \alpha_1 \beta_1^{(0)} \ldots x^{n_m} \tilde \alpha_m
\beta_m^{(0)}$. ����� $\bold\Omega$-᫮�� �㤥� ���뢠�� {\it
�������᪨� $\bold\Omega$-᫮���}, �।�⠢���騬 $F$-᫮�� $v$.
����⭮, �� �� �� �����⢥���� $\bold\Omega$-᫮��, �।�⠢���饥
᫮�� $v$.

\quad ��� ������� $\bold\Omega$-᫮�� ����� ����� ����⨥ {\it $B$-�����},
������� ��� $B$-������ �᫮ �宦����� $B$-ᨬ����� � �� ᫮��.

\quad �㤥� �������, �� $\bold\Omega$-᫮�� $\omega$, ��稭��饥�� �
����稢��饥�� �� $B$-ᨬ���, {\it 㪫��뢠���� � $F$-᫮�� $v$},
�᫨ �ਢ������� ��᫥����⥫쭮��� $F$-᫮��, �।�⠢�塞���
᫮��� $\omega$, �⭮�⥫쭮 ᢮������� �ந�������� $A*B$ �����
���: $x^{l_i}, \beta_i, ~\ldots, \alpha_j, \beta_j, x^{l_j}$, ���
$1 \leq i \leq j \leq m$, $l_i, l_j \in \Bbb Z$ �
$\beta_i, ~\ldots, \alpha_j, \beta_j$ --- �����᫥����⥫쭮���
�ਢ������� ��᫥����⥫쭮��
$\alpha_1,\beta_1,~\ldots,\alpha_m,\beta_m$ $F$-᫮�� $v$.
$\bold\Omega$-᫮��, �।�⠢���饥 $F$-᫮�� $v$, �㤥� ���뢠��
{\it �ࠢ����}, �᫨ ������ ��� ���᫮��, ��稭��饥�� �
����稢��饥�� $B$-ᨬ�����, 㪫��뢠���� � $v$.

\proclaim {\indent ����� 3} ����� $\bold\Omega$-᫮�� $\omega$
�।�⠢��� $F$-᫮�� $v$ � ��� $B$-����� ࠢ�� $B$-�����
�������᪮�� $\bold\Omega$-᫮��, �।�⠢���饣� ᫮��
$v$. ����� $\bold\Omega$-᫮�� $\omega$ ���� �ࠢ����.
\endproclaim

\quad \underbar{������⥫��⢮.}
����� $\omega=\gamma_1 \delta_1^{(p_1)} \ldots \gamma_m \delta_m^{(p_m)}
\gamma_{m+1}$, ��� �宦����� $\gamma_1$, $\gamma_{m+1}$ �������� �����,
$\gamma_i$ $(i=1, ~\ldots, m+1)$ --- ᫮�� � ��䠢�� $\bold\Omega$, ��
ᮤ�ঠ騥 $B$-ᨬ�����, � $\delta_j \in B$ ��� ��� $j=1, ~\ldots, m$.
����� $v=\overline \gamma_1 \delta_1 \ldots \overline \gamma_m \delta_m
\overline \gamma_{m+1}$, ��� $\overline \gamma_1=\gamma_1 x^{p_1},
~\overline \gamma_2=x^{-p_1} \gamma_2 x^{p_2}, ~\ldots,
~\overline \gamma_m=x^{-p_{m-1}} \gamma_m x^{p_m}, ~\overline \gamma_{m+1}=
x^{-p_m} \gamma_{m+1}$, ��祬, � ᨫ� �����⢥����� ��ଠ�쭮� ���
$F$-᫮�� $v$ �⭮�⥫쭮 ᢮������� ࠧ������� $F=A*B$, �㤥� ⠪��
�����, �� $\overline \gamma_{m+1}=1$, ~\overline \gamma_j = \alpha_j$
� $\delta_j=\beta_j$ ��� ��� $j=1, ~\ldots, m$.
$\square$

\quad �� ���쭥�襬 ���㦤���� 㤮��� ��ᬮ���� ᫥���騥 ��砨.

\quad {\bf 3.4.1.}
~$\sigma _x(r)=0$ ��� $\sigma _y(r)=0$.

\quad �।�������, ��� ��࠭�祭�� ��魮��, �� $\sigma _x(r)=0$.
���ᬮ�ਬ ���������� ��� $F$-᫮�� $r$ �⭮�⥫쭮 $x$:
$$r=x^{m_1} \tilde a_1 b_1 x^{m_2} \tilde a_2 b_2 \ldots \allowbreak
x^{m_l} \tilde a_l b_l.$$
\noindent
�᭮, �� $r=r_x=\overline a_1 b_1^{(q_1)}
\overline a_2 b_2^{(q_2)} \ldots \overline a_l b_l^{(0)}$, ���
$\overline a_i=x^{q_i} \tilde a_i x^{-q_i}$, $b_i^{(q_i)}=
x^{q_i} b_i x^{-q_i}$, $q_i=m_1+ \ldots +m_i$ ��� ���
$i=1,~\ldots,l$. ����� $k=\min_{1 \leq i \leq l} q_i$,
$k+p=\max_{1 \leq i \leq l} q_i$. ����� $r \in H_k^p$.
��� ��� $A=A^0$ � $A \neq \tilde A$, � �������� ������
$i$ $(1 \leq i \leq l-1)$ ⠪��, �� $q_i \neq 0$.
�������⥫쭮, $p \geq 1$ � $r \notin H_k^{p-1}$,
$r \notin H_{k+1}^{p-1}$.

\quad ��� ��� $k \leq 0 \leq k+p$, � ��㯯� $B$ ���� �����㯯�� ��㯯�
$H_k^p$. �����
$\overline H_k^p=\tilde A * \prod_{s=k, s \neq 0}^{* \ k+p} B^s$.
����⭮, �� $H_k^p=B*\overline H_k^p$, ᫮�� $r$ 横���᪨
�ਢ����� �⭮�⥫쭮 ᢮������� ࠧ������� $H_k^p=B*\overline H_k^p$
� $r \notin \overline H_k^p$.

\quad ������稬 �१ $G_0$ ��ࠧ �����㯯� $H_k^p$ �� ����⢥����
�������䨧�� ��㯯� $F=A*B$ �� ��㯯� $G=A_{r^n}B$. ��� ���
$F=\op{HNN}\,(H_k^p, x; ~xH_k^{p-1}x^{-1}=H_{k+1}^{p-1})$ �,
����� ⥮६� 1 �� \cite2, �����㯯� $H_k^{p-1}$ � $H_{k+1}^{p-1}$
����⢥��� ��ࠧ�� ������� � $G_0$, � $G=\op{HNN}\,(G_0, x;
\allowbreak xH_k^{p-1}x^{-1}=H_{k+1}^{p-1})$.
�� �⮬, ��� ����㤭� ������, $G_0=B_{r^n}\overline H_k^p=
{B^k}_{r_1^n}H_{k+1}^{p-1}={H_k^{p-1}}_{r_2^n}B^{k+p}$, ���
$r_1$ � $r_2$ ᮯ�殮�� � ��㯯� $H_k^p$ � $r$ � $r_1$
横���᪨ �ਢ����� �⭮�⥫쭮 ᢮������� ࠧ�������
$H_k^p=B^k * H_{k+1}^{p-1}$, � $r_2$ 横���᪨ �ਢ�����
�⭮�⥫쭮 ᢮������� ࠧ������� $H_k^p=H_k^{p-1} * B^{k+p}$.

\quad ���ᬮ�ਬ ᫥���騥 �����砨.

\quad {\bf 3.4.1.1.}
$F$-᫮�� $u$ ��।���� � ��㯯� $G$ ������� �� �����㯯� $B$.

\quad ��� ��� $B$ ���� �����㯯�� ��㯯� $G_0$, � � �⮬ ��砥
᫮�� $u$ �ਭ������� $H$. ���⮬� $\sigma _x(u)=0$ � $u=u_x$.

\quad �।������� ᭠砫�, �� $u \in H_k^p$.

\quad ���ᬮ�ਬ ������쭮� ࠧ������� $G_0=B_{r^n}\overline H_k^p$.
����㤭� ������, �� �������� ����� �ਢ������� ��᫥����⥫쭮��
᫮�� $r$ �⭮�⥫쭮 ᢮������� ࠧ������� $H_k^p=B*\overline H_k^p$
����� $l$. �� �⮬ ᫮�� $u$ ��।���� � ��㯯� $G_0$ �������
�� �����㯯� $B$ � �� ����� � �⮩ �����㯯� � ��㯯� $H_k^p$.
�����, ᮣ��᭮ ����⨢���� �।���������, ᫮�� $u$ ᮤ�ন�
���᫮�� ���� �⭮�⥫쭮 ������쭮�� �ந��������
$B_{r^n}\overline H_k^p$. ��� ⮣� �⮡� ��������, ��
᫮�� $u$ ᮤ�ন� ���᫮�� ���� � �⭮�⥫쭮 ������쭮��
�ந�������� $A_{r^n}B$, �⬥⨬ ᫥������ �祢����� �����.

\proclaim{\indent ����� 4} ����� $F$-᫮�� $v$ �ਭ������� �����㯯�
$H_k^p$, ��� $k \leq 0 \leq k+p$, � �����
$v=\alpha_1 \beta_1 \ldots \alpha_m \beta_m$ --- ��ଠ�쭠�
�ଠ ᫮�� $v$ �⭮�⥫쭮 ᢮������� �ந�������� $A*B$,
��� �宦����� $\alpha_1$, $\beta_m$ �������� �����, $\alpha_i
\in A$, $\beta_i \in B$, $i=1, ~\ldots, m$. ���ᬮ�ਬ $v=
x^{n_1} \tilde \alpha_1 \beta_1 \ldots x^{n_m} \tilde \alpha_m
\beta_m$ --- ���������� ��� ᫮�� $v$ �⭮�⥫쭮 $x$ �
�뤥��� � ��� �� � � ⮫쪮 � ������� $i_j$, ��� ������
$s_{i_j}=0$ (��������, �� $s_i=n_1+ \ldots +n_i$). �����
���஡��, ����� $1 \leq i_1 < i_2 < \ldots <i_q=m$ ---
��᫥����⥫쭮��� �ᥫ ⠪��, �� $s_{i_1}=\ldots=s_{i_q}=0$,
�, �᫨ $s_i=0$, ��� $i \in \{1,\ldots,m \}$, � $i=i_j$ ���
�����ண� $j \in \{ 1,~\ldots,q \}$.
������ ᫥���騥 ������祭��:

\quad $v_1=\alpha_1 \beta_1 \ldots \alpha_{i_1}$, �᫨ $i_1 > 1$, �
$v_1=\alpha_1$, �᫨ $i_1=1$;

\quad $v_2=\alpha_{i_1+1}  \beta_{i_1+1} \ldots \alpha_{i_2}$;

\quad ....................................

\quad $v_q=\alpha_{i_{q-1}}  \beta_{i_{q-1}} \ldots \alpha_{i_q}$.

\quad ����� $v=v_1 \beta_{i_1} v_2 \beta_{i_2} \ldots v_q \beta_m$ ---
��ଠ�쭠� �ଠ ᫮�� $v$ �⭮�⥫쭮 ᢮������� �ந��������
$B*\overline H_k^p$.
$\square$
\endproclaim

\quad � ᨫ� ����� 4, १���� ����⠭������� 横���᪨ �ਢ��������
������� ᢮������� �ந�������� $B*\overline H_k^p$, ��
�ਭ������饣� �����㯯� $\overline H_k^p$, ���� 横���᪨
�ਢ������ ������⮬ ᢮������� �ந�������� $A*B$. ���⮬�,
�᫨ ᫮�� $u$ ᮤ�ন� ���᫮�� ���� �⭮�⥫쭮 ������쭮��
�ந�������� $B_{r^n}\overline H_k^p$, � ��� ᮤ�ন� � ���᫮��
���� �⭮�⥫쭮 ������쭮�� �ந�������� $A_{r^n}B$.

\quad ����� ⥯��� $u \notin H_k^p$.

\quad ����襬 ᫮�� $u$ � ����
$$
u=h_0 x^{\varepsilon_1} h_1 \ldots x^{\varepsilon_q} h_q, \tag1
$$
��� ��᫥����⥫쭮���
$$
h_0, x^{\varepsilon_1}, h_1, ~\ldots, x^{\varepsilon_q}, h_q \tag{1`}
$$
�ਢ����� �⭮�⥫쭮 $\op{HNN}$-���७��
$$
\op{HNN}\,(H_k^p, x; ~xH_k^{p-1}x^{-1}=H_{k+1}^{p-1}). \tag2
$$
��� ��� $u \notin H_k^p$, � ����� ��᫥����⥫쭮�� $(1`)$ �����
���. ����� $u$ ��।���� � ��㯯� $G$ ������� �� �����㯯� $B$,
�.�. ������� �� ������� �����㯯� $\op{HNN}$-���७��
$$
\op{HNN}\,(G_0, x; xH_k^{p-1}x^{-1}=H_{k+1}^{p-1}). \tag3
$$
�������⥫쭮, � ᨫ� ⥮६� 2.1 �� \cite{4, ��. \romannumeral 4},
��᫥����⥫쭮��� $(1`)$ �� ����� ���� �ਢ������� �⭮�⥫쭮
$\op{HNN}$-���७�� $(3)$. � �����, ��� ᮤ�ন�
�����᫥����⥫쭮��� ���� $x^{\varepsilon_i}, h_i,
x^{\varepsilon_{i+1}}$, ��� $\varepsilon_i=-\varepsilon_{i+1},$ �
�᫨ $\varepsilon_i=+1$, � ᫮�� $h_i$ ��।���� � ��㯯� $G_0$
������� �� �����㯯� $H_k^{p-1}$ � �� ����� � �⮩ �����㯯� �
��㯯� $H_k^p$, �᫨ ��  $\varepsilon_i=-1$, � ᫮�� $h_i$
��।���� � ��㯯� $G_0$ ������� �� �����㯯� $H_{k+1}^{p-1}$
� �� ����� � ��� � ��㯯� $H_k^p$.

\quad ����⨬, ��, ������� ����� ������� $h_j$ �ந�������� $(1)$ ���
��ଠ�쭮� �ମ� �⭮�⥫쭮 ᢮������� �ந�������� $\tilde A*
\prod \Sb k \leq s \leq k+p \endSb ^* B^s$, ����稬 $\bold\Omega$-᫮��
$\tilde u$, �।�⠢���饥 ᫮�� $u$. �� �⮬ ������� $h_i$ ���������
�� $\bold\Omega$-᫮�� $\tilde h_i$, ���஥, � ᨫ� ᮮ⭮襭��
�����������⨢���� � $\op{HNN}$-���७�� $(2)$, ����� �।��������
��稭��騬�� � ����稢��騬�� �� $B^{(k+p)}$-ᨬ���, �᫨
$\varepsilon_i=+1$, � --- �� $B^{(k)}$-ᨬ���, �᫨ $\varepsilon_i=-1$.
����㤭� ������, �� $B$-����� $\bold\Omega$-᫮�� $\tilde u$ ࠢ��
$B$-����� �������᪮�� $\bold\Omega$-᫮��, �।�⠢���饣� ᫮�� $u$.
�����, ᮣ��᭮ ����� 3, $\bold\Omega$-᫮�� $\tilde u$ ����
�ࠢ����.

\quad �।������� ⥯���, ��� ��࠭�祭�� ��魮��, �� $\varepsilon_i=+1$,
�.�., �� ᫮�� $h_i$ ��।���� � ��㯯� $G_0$ ������� ��
�����㯯� $H_k^{p-1}$ � �� ����� � �⮩ �����㯯� � ��㯯� $H_k^p$.
����⨬, ��, ᮣ��᭮ ᤥ����� ��� �।���������, � �⮬ ��砥
$\bold\Omega$-᫮�� $\tilde h_i$ ��稭����� � ����稢����� ��
$B^{(k+p)}$-ᨬ���, �.�. ᨬ��� ���� $b^{(k+p)}$, ��� $b \in B$.

\quad ���ᬮ�ਬ ������쭮� ࠧ������� $G_0={H_k^{p-1}}_{r_2^n}B^{k+p}$
� �᭮������ ��������
$$
r_2=b_i^{(q_i)} \ldots \overline a_l b_l^{(0)} \overline a_1 b_1^{(q_1)}
\ldots \overline a_{i-1} b_{i-1}^{(q_{i-1})} \overline a_i, \quad
\text{��� $q_i=k+p$ $(1 \leq i \leq l-1)$.}
$$
����⨬, �� ᫮�� $r_2$ ᮯ�殮�� � ��㯯� $H_k^p$ �
᫮��� $r$, 横���᪨ �ਢ����� �⭮�⥫쭮 ᢮�������
ࠧ������� $H_k^p=H_k^{p-1}*B^{k+p}$ � �������� ����� ���
�ਢ������� ��᫥����⥫쭮�� �⭮�⥫쭮 ��᫥�����
᢮������� ࠧ������� ����� $l$. �������⥫쭮,
ᮣ��᭮ ����⨢���� �।���������, ᫮�� $h_i$ ᮤ�ন�
���᫮�� ���� �⭮�⥫쭮 ������쭮�� �ந��������
${H_k^{p-1}}_{r_2^n}B^{k+p}$. ��� ⮣� �⮡� ��������,
�� � �⮬ ��砥 ᫮�� $u$ ⠪�� ᮤ�ন� ���᫮�� ����
�⭮�⥫쭮 ������쭮�� �ந�������� $A_{r^n}B$, ���
���ॡ���� ᫥����� �����.

\proclaim{\indent ����� 5} ����� �ࠢ��쭮� $\bold\Omega$-᫮��
$\tilde u$ �।�⠢��� $F$-᫮�� $u$, ���᫮�� $\tilde v$
$\bold\Omega$-᫮�� $\tilde u$ ��稭����� � ����稢�����
�� $B^{(k+p)}$-ᨬ��� � �।�⠢��� ᫮�� $v$ ��
�����㯯� $H_k^p$, ���஥ ᮤ�ন� ���᫮�� ����
�⭮�⥫쭮 ������쭮�� �ந��������
${H_k^{p-1}}_{r_2^n}B^{k+p}$. ����� ᫮�� $u$ ᮤ�ন�
���᫮�� ���� �⭮�⥫쭮 ������쭮�� �ந��������
$A_{r^n}B$.
\endproclaim

\quad \underbar{������⥫��⢮.} �� �᫮���, �ਢ�������
��᫥����⥫쭮��� \break ᫮�� $v$ �⭮�⥫쭮 ᢮�������
�ந�������� $H_k^{p-1}*B^{k+p}$ ᮤ�ন� � ����⢥
�����᫥����⥫쭮�� �ਢ������� ��᫥����⥫쭮���
᫮�� $s_2^{n-1}$ �⭮�⥫쭮 ᢮������� �ந��������
$H_k^{p-1}*B^{k+p}$, ��� $s_2$ ᮯ�殮�� � $r_2^{\pm 1}$
� ��㯯� $H_k^p$ � 横���᪨ �ਢ����� �⭮�⥫쭮
᢮������� ࠧ������� $H_k^p=H_k^{p-1}*B^{k+p}$.
�।�������, ��� ���� ��魮��, �� $s_2$ ᮯ�殮��
� ��㯯� $H_k^p$ � $r_2$ � ��ᬮ�ਬ �� ����騥��
���������� ��� ᫮�� $s_2$.

\quad 1. �ਢ������� ��᫥����⥫쭮��� ᫮�� $s_2$ �⭮�⥫쭮
᢮������� �ந�������� $H_k^{p-1}*B^{k+p}$ ��稭����� �
������� �����㯯� $B^{k+p}$, �.�.
$$
s_2=b_j^{(q_j)} \ldots \overline a_l b_l^{(0)} \overline a_1
b_1^{(q_1)} \ldots \overline a_{j-1} b_{j-1}^{(q_{j-1})}
\overline a_j,
$$
��� $q_j=k+p$ � ���� $\overline a_j \neq 1$, ���� $q_{j-1} \neq k+p$.
��� ��� $\bold\Omega$-᫮�� $\tilde v$ ����稢����� ��
$B^{(k+p)}$-ᨬ���, � �ਢ������� ��᫥����⥫쭮��� ᫮�� $v$
�⭮�⥫쭮 ᢮������� �ந�������� $H_k^{p-1}*B^{k+p}$ �� �����
�����稢����� �ਢ������� ��᫥����⥫쭮���� ᫮�� $s_2^{n-1}$
�⭮�⥫쭮 ᢮������� �ந�������� $H_k^{p-1}*B^{k+p}$. � �����,
� �ਢ������� ��᫥����⥫쭮�� ᫮�� $v$ ��᫥ �⮩
�����᫥����⥫쭮�� �⮨� ������� �����㯯� $B^{k+p}$.
�������⥫쭮, � ᨫ� �ࠢ��쭮�� $\bold\Omega$-᫮��
$\tilde u$, �ਢ������� ��᫥����⥫쭮��� $F$-᫮�� $u$
�⭮�⥫쭮 ᢮������� �ந�������� $A*B$ ᮤ�ন� � ����⢥
�����᫥����⥫쭮�� �ਢ������� ��᫥����⥫쭮��� $F$-᫮��
$(b_j \ldots a_l b_l a_1 b_1 \ldots a_{j-1} b_{j-1} a_j)^{n-1}$
�⭮�⥫쭮 ᢮������� �ந�������� $A*B$, �����, ��� �����
������, ���� ��᫥����⥫쭮���� ���� �⭮�⥫쭮
������쭮�� �ந�������� $A_{r^n}B$.

\quad 2. �ਢ������� ��᫥����⥫쭮��� ᫮�� $s_2$ �⭮�⥫쭮
᢮������� �ந�������� $H_k^{p-1}*B^{k+p}$ ����稢�����
������⮬ �����㯯� $B^{k+p}$, �.�.
$$
s_2=\overline a_{j+1} b_{j+1}^{(q_{j+1})} \ldots \overline a_l b_l^{(0)}
\overline a_1 b_1^{(q_1)} \ldots  \overline a_j b_j^{(q_j)},
$$
��� $q_j=k+p$ � ���� $\overline a_{j+1} \neq 1$, ���� $q_{j+1} \neq k+p$.
����㦤�� ����� ⠪ ��, ��� � � ��砥 1, �������, ��
�ਢ������� ��᫥����⥫쭮��� $F$-᫮�� $u$ �⭮�⥫쭮
᢮������� �ந�������� $A*B$ ᮤ�ন� � ����⢥
�����᫥����⥫쭮�� �ਢ������� ��᫥����⥫쭮��� $F$-᫮��
$(a_{j+1} b_{j+1} \ldots a_l b_l a_1 b_1 \ldots a_j b_j)^{n-1}$
�⭮�⥫쭮 ᢮������� �ந�������� $A*B$, �����, ��� �����
������, ���� ��᫥����⥫쭮���� ���� �⭮�⥫쭮
������쭮�� �ந�������� $A_{r^n}B$.
$\square$

\quad ������⥫��⢮ ����� 5 �����蠥� ��ᬮ�७�� ���� 3.4.1.1.

\quad {\bf 3.4.1.2.}
����� $u$ ��।���� � ��㯯� $G$ ������� �� �����㯯� $A$.

\quad ����⨬, �� � �⮬ ��砥 ����� �।��������, �� �ਢ�������
��᫥����⥫쭮��� ᫮�� $u$ �⭮�⥫쭮 ᢮�������
�ந�������� $A*B$ ��稭����� � ����稢����� ������⮬ ��
�����㯯� $B$.

\quad ���ᬮ�ਬ ����� ��� ��������� �������.

\quad �. ����� $u$ ��।���� � ��㯯� $G$ ������� �� �����㯯�
$\tilde A$.

\quad � �⮬ ��砥 ᫮�� $u$ �ਭ������� $H$ �, ᫥����⥫쭮,
$\sigma _x(u)=0$ � $u=u_x$.

\quad ��� � � ��砥 3.4.1.1, ����� ��� ����������.

\quad ����� $u \in H_k^p$.

\quad ���ᬮ�ਬ ������쭮� ࠧ������� $G_0=B_{r^n}\overline H_k^p$.
����� $u$ ��।���� � ��㯯� $G_0$ ������� �� �����㯯�
$\tilde A$, �.�. ������� �� �����㯯� $\overline H_k^p$.
����⨬, �� ᫮�� $u$ �� �ਭ������� �����㯯� $\overline H_k^p$
� ��㯯� $H_k^p$, �.�. � ��⨢��� ��砥, ����� ⥮६� 1 ��
\cite2, $u \in \tilde A$ � ��㯯� $F$. �������⥫쭮, ᮣ��᭮
����⨢��� ����⥧�, ᫮�� $u$ ᮤ�ন� ���᫮�� ����
�⭮�⥫쭮 ������쭮�� �ந�������� $B_{r^n}\overline H_k^p$.
�� ⮣��, � ᨫ� ����� 4, ᫮�� $u$ ᮤ�ন� ���᫮�� ����
� �⭮�⥫쭮 ������쭮�� �ந�������� $A_{r^n}B$.

\quad ����� ⥯��� $u \notin H_k^p$.

\quad �����, ��� � � ��砥 3.4.1.1, ��ᬮ�ਬ �ਢ�������
��᫥����⥫쭮��� $(1`)$  ᫮�� $u$ �⭮�⥫쭮
$\op{HNN}$-���७�� $(2)$. ����� $u$ ��।����
� ��㯯� $G$ ������� �� �����㯯� $\tilde A$, �.�.
������� �� ������� �����㯯� $\op{HNN}$-���७�� $(3)$.
�������⥫쭮, ��᫥����⥫쭮��� $(1`)$ �� ����� ����
�ਢ������� �⭮�⥫쭮 $\op{HNN}$-���७�� $(3)$.
� �����, ��� ᮤ�ন� �����᫥����⥫쭮��� ����
$x^{\varepsilon_i}, h_i, x^{\varepsilon_{i+1}}$, ���
$\varepsilon_i=-\varepsilon_{i+1},$ � �᫨ $\varepsilon_i=+1$,
� ᫮�� $h_i$ ��।���� � ��㯯� $G_0$ ������� �� �����㯯�
$H_k^{p-1}$ � �� ����� � �⮩ �����㯯� � ��㯯� $H_k^p$, �᫨
��  $\varepsilon_i=-1$, � ᫮�� $h_i$ ��।���� � ��㯯� $G_0$
������� �� �����㯯� $H_{k+1}^{p-1}$ � �� ����� � ��� � ��㯯�
$H_k^p$. ����㦤�� ����� �������筮 ᮮ⢥�����饩 ���樨
���� 3.4.1.1, �������, �� ᫮�� $u$ ᮤ�ন� ���᫮�� ����
�⭮�⥫쭮 ������쭮�� �ந�������� $A_{r^n}B$.

\quad �. ����� $u$ ��।���� � ��㯯� $G$ ������� �� �����㯯� $A$,
�� ����騩 � �����㯯� $\tilde A$.

\quad ����� $\sigma _x(u)=\alpha$. �᭮, �� $\alpha \neq 0$. ���⮬�
$u \notin H_k^p$. ����� $(1`)$ --- �ਢ������� ��᫥����⥫쭮���
᫮�� $u$ �⭮�⥫쭮 $\op{HNN}$-���७�� $(2)$. ��� ���
$u \notin H_k^p$, � ����� ��᫥����⥫쭮�� $(1`)$ �����
���.

\quad �।������� ᭠砫�, �� ��᫥����⥫쭮��� $(1`)$ �� ����
�ਢ������� �⭮�⥫쭮 $\op{HNN}$-���\-�\-��� $(3)$. ����� ���
ᮤ�ন� �����᫥����⥫쭮��� ���� $x^{\varepsilon_i}, h_i,
x^{\varepsilon_{i+1}}$, ��� $\varepsilon_i=-\varepsilon_{i+1},$
� �᫨ $\varepsilon_i=+1$, � ᫮�� $h_i$ ��।���� � ��㯯�
$G_0$ ������� �� �����㯯� $H_k^{p-1}$ � �� ����� � �⮩
�����㯯� � ��㯯� $H_k^p$, �᫨ ��  $\varepsilon_i=-1$, �
᫮�� $h_i$ ��।���� � ��㯯� $G_0$ ������� �� �����㯯�
$H_{k+1}^{p-1}$ � �� ����� � ��� � ��㯯� $H_k^p$. ����㦤��
����� �������筮 ᮮ⢥�����饩 ���樨 ���� 3.4.1.1,
�������, �� � �⮬ ��砥 ᫮�� $u$ ᮤ�ন� ���᫮��
���� �⭮�⥫쭮 ������쭮�� �ந�������� $A_{r^n}B$.

\quad �।������� ⥯���, �� ��᫥����⥫쭮��� $(1`)$ �ਢ�����
�⭮�⥫쭮 $\op{HNN}$-���७�� $(3)$. ����� $u$ ��।����
� ��㯯� $G$ ������� �� �����㯯� $A$, �.�. ������� ����
$\tilde a x^{\alpha}$, ��� $\tilde a$ --- ������� �� �����㯯�
$\tilde A$, � ᫥����⥫쭮, ������� �� ������� �����㯯�
$\op{HNN}$-���७�� $(3)$. ����⨬, �� ��᫥����⥫쭮���
$$
\tilde a, x^{\delta_1}, 1, ~\ldots, x^{\delta_{\vert \alpha \vert}},
1, \tag4
$$
��� $\delta_i = \op {sgn}\,(\alpha)$ ��� ��� $i=1,~\ldots,\vert
\alpha \vert$, ���� ��ଠ�쭮� �ମ� �⭮�⥫쭮
$\op{HNN}$-���७�� $(3)$. ���⮬�, � ᨫ� ����� 2.3
�� \cite{4,~ ��. \romannumeral 4}, $q=\vert \alpha \vert$ �
$\varepsilon_i=\delta_i$ ��� ��� $i=1,~\ldots,\vert \alpha \vert$.
� ᨫ� ⥮६� � �����⢥����� ��ଠ�쭮� ��� (�. \cite{4, ��.
\romannumeral 4, ⥮६� 2.1}), �ᯮ���� ᮮ⭮襭�� �����������⨢����
� $\op{HNN}$-���७�� $(3)$, ����� ⠪�� �� �������� $h_i$
��᫥����⥫쭮�� $(1')$ ᤢ����� ����� �� $x^{\varepsilon_1}$.
�᫨ � �� ᠬ�� ����� ᤥ����, �ᯮ���� ᮮ⭮襭��
�����������⨢���� � \break $\op{HNN}$-���७�� $(2)$, �, ��� �����
������, ᫮�� $u$ ����� �।�⠢��� � ���� �ந��������
$$
u=h_0 x^{\varepsilon_1} h_1 \ldots x^{\varepsilon_i} \overline h_i
x^{\varepsilon_{i+1}} \ldots  x^{\varepsilon_q},
$$
��� ᮮ⢥������� ��᫥����⥫쭮���
$$
h_0, x^{\varepsilon_1}, h_1, ~\ldots, x^{\varepsilon_i}, \overline h_i,
x^{\varepsilon_{i+1}}, 1, ~\ldots, x^{\varepsilon_q}, 1
$$
�ਢ����� �⭮�⥫쭮 $\op{HNN}$-���७�� $(2)$, � �᫨
$\varepsilon_i=+1$, � ᫮�� $\overline h_i$ ��।���� �
��㯯� $G_0$ ������� �� �����㯯� $H_k^{p-1}$ � �� ����� �
�⮩ �����㯯� � ��㯯� $H_k^p$, �᫨ ��  $\varepsilon_i=-1$,
� ᫮�� $\overline h_i$ ��।���� � ��㯯� $G_0$ ������� ��
�����㯯� $H_{k+1}^{p-1}$ � �� ����� � ��� � ��㯯� $H_k^p$.
����㦤�� ����� �������筮 ᮮ⢥�����饩 ���樨 ����
3.4.1.1, �������, �� � �⮬ ��砥 ᫮�� $u$ ����� ᮤ�ন�
���᫮�� ���� �⭮�⥫쭮 ������쭮�� �ந��������
$A_{r^n}B$.

\quad �᫨ ��, �ᯮ���� ᮮ⭮襭�� �����������⨢���� � \break
$\op{HNN}$-��\-�\-�\-��� $(2)$, �� �������� $h_i$
��᫥����⥫쭮�� $(1`)$ ����� ᤢ����� ����� ��
$x^{\varepsilon_1}$, � ᫮�� $u$ ����� �।�⠢��� �
���� �ந��������
$$
u=\overline h_0 x^{\varepsilon_1}  \ldots x^{\varepsilon_q},
$$
��� ᮮ⢥������� ��᫥����⥫쭮���
$$
\overline h_0, x^{\varepsilon_1}, 1, ~\ldots, x^{\varepsilon_q}, 1
$$
���� ��ଠ�쭮� �ମ� �⭮�⥫쭮 $\op{HNN}$-���७�� $(2)$.
� �⮬ ��砥 ᫮�� $\overline h_0$ ��।���� � ��㯯� $G_0$
������� $\tilde a \in \tilde A$, ��祬 $\overline h_0$ ��
�ਭ������� �����㯯� $\tilde A$ � ��㯯� $H_k^p$. ����㦤�� �����
⠪ ��, ��� �� ��ᬮ�७�� ���� �, �������, �� ᫮��
$\overline h_0$ ᮤ�ন� ���᫮�� ���� �⭮�⥫쭮 ������쭮��
�ந�������� $A_{r^n}B$. ��� ���, ᮣ��᭮ �।���������,
�ਢ������� ��᫥����⥫쭮��� ᫮�� $u$ �⭮�⥫쭮 ᢮�������
�ந�������� $A*B$ ��稭����� � ����稢����� ������⮬ �� �����㯯�
$B$, � � � �⮬ ��砥 ᫮�� $u$ ᮤ�ন� ���᫮�� ����
�⭮�⥫쭮 ������쭮�� �ந�������� $A_{r^n}B$. �� �����蠥�
��ᬮ�७�� ���� 3.4.1.2.

\quad {\bf 3.4.2.}
~$\sigma _x(r)=\mu \neq 0$ � $\sigma _y(r)=\nu \neq 0$.

\quad ���ᬮ�ਬ ��㯯� $K=A_{x^{\mu}y^{\nu}}B$. ��㯯� $K$, �
ᨫ� ⥮६� 9 �� \cite{9} �����쭮 ���������쭠. �����
$d$ --- �������訩 ��騩 ����⥫� �ᥫ $\mu$ � $\nu$,
$\mu = d \overline {\mu}$, $\nu = d \overline {\nu}$.
���ᬮ�ਬ �������䨧� $\phi$ ��㯯� $K$ �� ��᪮�����
横������ ��㯯� $\langle t \rangle$, ��஦������ ������⮬
$t$, �� ���஬ $x$ �⮡ࠦ����� � $t^{\overline {\nu}}$, $y$
--- � $t^{-\overline {\mu}}$, � �������� �� $\tilde A$ �
$\tilde B$ --- � �������. ����� $\tilde K=\op{Ker}\phi$.
����� ��㯯� $K$ ࠧ������ � �����אַ� �ந��������:
$K=\tilde K \, \leftthreetimes \langle t \rangle$, ��� $t$
�⮦���⢫���� � ���室�騬 ������⮬ �� ��㯯� $K$.

\quad �।�������, ��� ���� ��魮��, �� $F$-᫮�� $u$ ��।����
� ��㯯� $G$ ������� �� �����㯯� $B$.

\quad ����� $G^1=K_{{(r^{\prime})}^n} \langle z \rangle$, ��� ��ଠ�쭠�
�ଠ ᫮�� $r'$ �⭮�⥫쭮 ᢮������� �ந�������� $K* \allowbreak
\langle z \rangle$ ����砥��� �� ��ଠ�쭮� ��� ᫮�� $r$ �⭮�⥫쭮
᢮������� �ந�������� $A*B$ ������� ������� ������� $a_i$ ��
$z a_i z^{-1}$ $(i=1, ~\ldots, l)$. ����� ������, �� ��㯯� $G^1$ ����
$\op{HNN}$-���७��� ���।�⢮� $z$ ��㯯�
$K_{{(r^{\prime})}^n}(zKz^{-1})$. ���⮬� ⮦���⢥����
�⮡ࠦ���� ��㯯� $B$ � �祢���� ������䨧� �����㯯� $A$
�� �����㯯� $zAz^{-1}$ ��।����� ������䭮� �������� ��㯯�
$G$ � ��㯯� $G^1$. �� �⮬ ᫮�� $u$ ���室�� � ᫮��
$u'$, ��ଠ�쭠� �ଠ ���ண� �⭮�⥫쭮 ᢮�������
�ந�������� $K*\langle z \rangle$ ����砥��� �� ��ଠ�쭮�
��� ᫮�� $u$ �⭮�⥫쭮 ᢮������� �ந�������� $A*B$
������� ������� ������� $a \in A$ �� $z a z^{-1}$. ����� $u'$
��।���� � ��㯯� $G^1$ ������� �� �����㯯� $B$, �.�.
������� �� �����㯯� $K$. �� �⮬ ᫮�� $u'$ �� �ਭ�������
�����㯯� $K$ � ��㯯� $K*\langle z \rangle$.

\quad �㬬� ������⥫�� �� $t$ � ᫮�� $r'$ ࠢ�� ���.
����⢨⥫쭮, ����� $r=x^{m_1} \tilde a_1 b_1
x^{m_2} \tilde a_2 b_2 \ldots x^{m_l} \tilde a_l b_l$ ---
�������᪠� �ଠ $F$-᫮�� $r$ �⭮�⥫쭮 $x$ �
$r=a_1 y^{n_1} \tilde b_1 a_2 y^{n_2} \tilde b_2 \ldots
a_l y^{n_l} \tilde b_l$ --- �������᪠� �ଠ $F$-᫮��
$r$ �⭮�⥫쭮 $y$. �����
$$
\gather
r'=z a_1 z^{-1} b_1 z a_2 z^{-1} b_2 \ldots z a_l z^{-1} b_l=
$$ $$
=z x^{m_1} \tilde a_1 z^{-1} y^{n_1} \tilde b_1 z x^{m_2}
\tilde a_2 z^{-1} y^{n_2} \tilde b_2 \ldots z x^{m_l} \tilde a_l
z^{-1} y^{n_l} \tilde b_l=$$ $$
=z t^{m_1 \overline {\nu}} \tilde a_1 z^{-1} t^{-n_1 \overline {\mu}}
\tilde b_1 z t^{m_2 \overline {\nu}} \tilde a_2 z^{-1}
t^{-n_2 \overline {\mu}} \tilde b_2 \ldots z t^{m_l \overline {\nu}}
\tilde a_l z^{-1} t^{-n_l \overline {\mu}} \tilde b_l.
\endgather
$$
��� � � ��砥 3.4.1, ��� ���室��� $k$ � $p$ �����:
$$
G^1=\op{HNN}\,(G_0^1, t; t \hat H_k^{p-1}t^{-1}=\hat H_{k+1}^{p-1}),
$$
���

\centerline{$\hat H_k^{p-1}=\tilde K * \prod_{s=k}^{* \ k+p-1} \langle
t^s z t^{-s} \rangle,$}
\smallskip
\centerline{$\hat H_{k+1}^{p-1}=\tilde K * \prod_{s=k+1}^{* \ k+p} \langle
t^s z t^{-s} \rangle,$}
\smallskip
\centerline{$\check H_k^p=\tilde K * \prod_{s=k, s \neq 0}^{* \ k+p} \langle
t^s z t^{-s} \rangle,$}
\smallskip
\centerline{$G_0^1=\langle z \rangle_{{(r^{\prime})}^n} \check H_k^p =
\langle t^k z t^{-k} \rangle_{{(r_1^{\prime})}^n} \hat H_{k+1}^{p-1}=
\langle t^{k+p} z t^{-k-p} \rangle_{{(r_2^{\prime})}^n} \hat H_k^{p-1}.$}
\smallskip
\quad ���ᬮ�ਬ ᫥���騥 �����砨.

\quad {\bf 3.4.2.1.}
�������� ����� �ਢ������� ��᫥����⥫쭮�� ᫮�� $r'$
�⭮�⥫쭮 ᢮������� ࠧ������� $\hat H_k^p=\langle z \rangle * \check
H_k^p$, �������� ����� �ਢ������� ��᫥����⥫쭮�� ᫮��
$r_1^{\prime}$ �⭮�⥫쭮 ᢮������� ࠧ������� $\hat H_k^p=
\langle t^k z t^{-k} \rangle * \hat H_{k+1}^{p-1}$ � �������� �����
�ਢ������� ��᫥����⥫쭮�� ᫮�� $r_2^{\prime}$ �⭮�⥫쭮 ᢮�������
ࠧ������� $\hat H_k^p=\langle t^{k+p} z t^{-k-p} \rangle * \hat H_k^{p-1}$
����� $l$.

\quad ����㦤�� ����� ⠪ ��, ��� � � ��砥 3.4.1.2, �������,
�� ᫮�� $u'$  ᮤ�ন� ���᫮�� ���� �⭮�⥫쭮
������쭮�� �ந�������� $K_{{(r^{\prime})}^n} \langle z \rangle$. ��
⮣��, ��� ����㤭� 㡥������, ᫮�� $u$ ᮤ�ন� ���᫮��
���� �⭮�⥫쭮 ������쭮�� �ந�������� $A_{r^n}B$.

\quad {\bf 3.4.2.2.}
���� �������� ����� �ਢ������� ��᫥����⥫쭮�� ᫮�� $r'$
�⭮�⥫쭮 ᢮������� ࠧ������� $\hat H_k^p=\langle z \rangle *
\check H_k^p$, ���� �������� ����� �ਢ������� ��᫥����⥫쭮�� ᫮��
$r_1^{\prime}$ �⭮�⥫쭮 ᢮������� ࠧ������� $\hat H_k^p=
\langle t^k z t^{-k} \rangle * \hat H_{k+1}^{p-1}$, ���� �������� �����
�ਢ������� ��᫥����⥫쭮�� ᫮�� $r_2^{\prime}$ �⭮�⥫쭮 ᢮�������
ࠧ������� $\hat H_k^p=\langle t^{k+p} z t^{-k-p} \rangle * \hat H_k^{p-1}$
����� ���� ࠢ�� $l$, �� ����� $2l$.

\quad �⢥ত���� ⥮६� � �⮬ ��砥 ��⥪��� �� ᫥���饩 �����,
�ࠢ������� �� �᫮��� �믮������ �᭮����� ����⨢���� \break
�।��������� ⥮६�.

\proclaim{\indent ����� 6} ����� $F=A* \langle y \rangle$ --- ᢮������
�ந�������� �����쭮 ���������쭮� ��㯯� $A$ � ��᪮��筮� 横���᪮�
��㯯� $\langle y \rangle$, $r$ --- 横���᪨ �ਢ������� $F$-᫮��, ��
�ਭ������饥 �����㯯�� $A$ � $\langle y \rangle$, $G=A_{r^n}\langle y
\rangle$ --- ������쭮� �ந�������� ��㯯 $A$ � $\langle y \rangle$,
��� $n \geq 2$. �।�������, �� $F$-᫮�� $u$ ��।���� � ��㯯� $G$
������� �� �����㯯� $A$ � �� ����� � �⮩ �����㯯� � ��㯯� $F$, �
�������� ����� �ਢ������� ��᫥����⥫쭮�� $F$-᫮�� $r$ ࠢ�� $\rho$,
��� $l \leq \rho \leq 2l-1$. ����� ᫮�� $u$ ᮤ�ন� ���᫮�� ����
�⭮�⥫쭮 ������쭮�� �ந�������� $A_{r^n} \langle y \rangle$.
\endproclaim

\quad \underbar{������⥫��⢮.} �।�������, �� ����� ��ୠ
��� ��� ��������� �ந�������� �����쭮 ���������쭮�
��㯯� �� ��᪮����� 横������ ��㯯�, ��� �������� �����
�ਢ������� ��᫥����⥫쭮�� �᭮����� �������� �⭮�⥫쭮
᢮������� �ந�������� ��������� ᮬ����⥫�� ����� $\rho$.
����� $r=a_1 y^{n_1} \ldots a_{\rho} y^{n_{\rho}}$, ���
$a_i \in A$ � $n_i \neq 0$  ��� ��� $i=1,~\ldots,\rho$.
����㦤�� ⠪ ��, ��� � � ��砥 3.1, �������, �� ���
��࠭�祭�� ��魮�� ����� �।��������, ��
$A=\op{gp}\,(a_1,~\ldots,a_{\rho})$. ����� �����㯯� $A$
�᪫��뢠���� � �����אַ� �ந�������� ��ଠ�쭮�� ����⥫�
$\tilde A$ � ��᪮��筮� 横���᪮� �����㯯�, ��஦������
������⮬ $x$. ����� $r=x^{m_1} \tilde a_1 y^{n_1} \ldots
x^{m_{\rho}} \tilde a_{\rho} y^{n_{\rho}}$ --- �������᪠� �ଠ
$F$-᫮�� $r$ �⭮�⥫쭮 $x$.

\quad ���砩 \romannumeral 1. $\sigma_y(r)=0$.

\quad � �⮬ ��砥 $r=a_1 y^{n_1} a_2 y^{n_2} \ldots a_{\rho} y^{n_{\rho}}=
a_1^{(0)} a_2^{(q_2)} \ldots a_{\rho}^{(q_{\rho})}$, ��� $q_i=n_1+ \ldots
+n_{i-1}$ $(i \geq 2)$, $a_i^{(q_i)}=y^{q_i} a_i y^{-q_i}$
$(i=1,~\ldots,\rho)$. ����⨬, �� ��᪮��� $n_i \neq 0$ ��� ���
$i=1,\ldots,\rho$, � $q_j \neq q_{j+1}$ ��� ��� $j=1,~\ldots,\rho -1$.
�㤥� ��������, �� $A^q=y^q A y^{-q}$, ��� $q$ --- 楫�� �᫮.
����㯠� ����� ��� � � ��砥 3.4.1, �����:
$$
G=A_{r^n} \langle y \rangle=\op{HNN}\,(\overline G_0, y;
y L_k^{p-1}y^{-1}= L_{k+1}^{p-1}),
$$
���

\centerline{$L_k^{p-1}=\prod_{q=k}^{* \ k+p-1} A^q,$}
\smallskip
\centerline{$L_{k+1}^{p-1}=\prod_{q=k+1}^{* \ k+p} A^q,$}
\smallskip
\centerline{$\overline L_k^p=\prod_{q=k, q \neq 0}^{* \ k+p} A^q,$}
\smallskip
\centerline{$\overline G_0=A_{\bar r^n} \overline L_k^p =
{A^k}_{\bar r_1^n} L_{k+1}^{p-1}={L_k^{p-1}}_{\bar r_2^n} A^{k+p}.$}
\smallskip
\quad �����᭮ ���㯮���⮬� ����砭��, �������� ����� �ਢ�������
��᫥����⥫쭮�� ᫮�� $\bar r$ �⭮�⥫쭮 ᢮�������
ࠧ������� $L_k^p=A * \overline L_k^p$, �������� �����
�ਢ������� ��᫥����⥫쭮�� ᫮�� $\bar r_1$ �⭮�⥫쭮
᢮������� ࠧ������� $L_k^p=A^k * L_{k+1}^{p-1}$ � ��������
����� �ਢ������� ��᫥����⥫쭮�� ᫮�� $\bar r_2$
�⭮�⥫쭮 ᢮������� ࠧ������� $L_k^p={L_k^{p-1}} * A^{k+p}$
����� $(\rho +1)/2$, � ᫥����⥫쭮, ����� $l$. ����㦤�� ����� ⠪
��, ��� � � ��砥 3.4.1, �������, ��, ����� �᭮���� ����⨢���
����⥧�, ᫮�� $u$ ᮤ�ন� ���᫮�� ���� �⭮�⥫쭮 ������쭮��
�ந�������� $A_{r^n}\langle y \rangle$.

\quad ���砩 \romannumeral 2. $\sigma_x(r)=0$.

\quad ��� � � ��砥 3.4.1, �����:
$$
G=A_{r^n} \langle y \rangle=\op{HNN}\,(G_0, x;~ x H_k^{p-1} x^{-1}=
H_{k+1}^{p-1}),
$$
���

\centerline{$H_k^{p-1}=\tilde A * \prod_{s=k}^{* \ k+p-1} \langle
x^s y x^{-s} \rangle,$}
\smallskip
\centerline{$H_{k+1}^{p-1}=\tilde A * \prod_{s=k+1}^{* \ k+p} \langle
x^s y x^{-s}\rangle,$}
\smallskip
\centerline{$\overline H_k^p=\tilde A * \prod_{s=k, s \neq 0}^{* \ k+p}
\langle x^s y x^{-s} \rangle,$}
\smallskip
\centerline{$G_0^1=\langle y \rangle_{r^n} \overline H_k^p =
\langle x^k y x^{-k} \rangle_{r_1^n} H_{k+1}^{p-1}=
\langle x^{k+p} y x^{-k-p} \rangle_{r_2^n} H_k^{p-1}.$}
\smallskip
\quad ��� ��� �������� ����� �ਢ������� ��᫥����⥫쭮�� ᫮�� $r$
�⭮�⥫쭮 ᢮������� ࠧ������� $H_k^p=\allowbreak \langle y \rangle *
\overline H_k^p$, �������� ����� �ਢ������� ��᫥����⥫쭮�� ᫮�� $r_1$
�⭮�⥫쭮 ᢮������� ࠧ������� $H_k^p=\langle x^k y x^{-k} \rangle *
H_{k+1}^{p-1}$ � �������� ����� �ਢ������� ��᫥����⥫쭮�� ᫮�� $r_2$
�⭮�⥫쭮 ᢮������� ࠧ������� $H_k^p=\allowbreak \langle x^{k+p} y
x^{-k-p} \rangle* H_k^{p-1}$ ����� $\rho$, � � �⮬ ��砥 �����
��ᯮ�짮������ ����⨢�� �।���������� �����.

\quad ���砩 \romannumeral 3. $\sigma _x(r)=\mu \neq 0$ �
$\sigma _y(r)=\nu \neq 0$.

\quad ���ᬮ�ਬ ��㯯� $K=A_{x^{\mu}y^{\nu}} \langle y \rangle$. ��㯯� $K$,
� ᨫ� ⥮६� 9 �� \cite{9} �����쭮 ���������쭠. ����� $d$ ---
�������訩 ��騩 ����⥫� �ᥫ $\mu$ � $\nu$, $\mu = d \overline {\mu}$,
$\nu = d \overline {\nu}$. ���ᬮ�ਬ �������䨧� $\phi$ ��㯯� $K$ ��
��᪮����� 横������ ��㯯� $\langle t \rangle$, ��஦������ ������⮬
$t$, �� ���஬ $x$ �⮡ࠦ����� � $t^{\overline {\nu}}$, $y$ ---
� $t^{-\overline {\mu}}$, � �������� �� $\tilde A$ --- � �������. �����
$\tilde K=\op{Ker}\phi$. ����� ��㯯� $K$ ࠧ������ � �����אַ�
�ந��������: $K=\tilde K \, \leftthreetimes \langle t \rangle$.

\quad ����� $G^1=K_{{(r^{\prime})}^n} \langle z \rangle$, ��� ��ଠ�쭠� �ଠ
᫮�� $r'$ �⭮�⥫쭮 ᢮������� �ந�������� $K* \allowbreak \langle z
\rangle$ ����砥��� �� ��ଠ�쭮� ��� ᫮�� $r$ �⭮�⥫쭮 ᢮�������
�ந�������� $A*\langle y \rangle$ ������� ������� ������� $y^{n_i}$ ��
$z y^{n_i} z^{-1}$ $(i=1, ~\ldots, \rho)$. ����� ������, �� ��㯯� $G^1$
���� $\op{HNN}$-���७��� ���।�⢮� $z$ ��㯯�
$K_{{(r^{\prime})}^n}(zKz^{-1})$. ���⮬� ⮦���⢥���� �⮡ࠦ���� ��㯯�
$A$ � �祢���� ������䨧� �����㯯� $\langle y \rangle$ �� �����㯯�
$\langle z y z^{-1} \rangle$ ��।����� ������䭮� �������� ��㯯�
$G$ � ��㯯� $G^1$. �� �⮬ ᫮�� $u$ ���室�� � ᫮�� $u'$, ��ଠ�쭠�
�ଠ ���ண� �⭮�⥫쭮 ᢮������� �ந�������� $K* \langle z \rangle$
����砥��� �� ��ଠ�쭮� ��� ᫮�� $u$ �⭮�⥫쭮 ᢮������� �ந��������
$A*\langle y \rangle$ ������� ������� ������� $y^{\kappa} \in \langle y
\rangle$ �� $z y^{\kappa} z^{-1}$. ����� $u'$ ��।���� � ��㯯� $G^1$
������� �� �����㯯� $A$, �.�. ������� �� �����㯯� $K$. �� �⮬ ᫮��
$u'$ �� �ਭ������� �����㯯� $K$ � ��㯯� $K*\langle z \rangle$.

\quad �㬬� ������⥫�� �� $t$ � ᫮�� $r'$ ࠢ�� ���.
����⢨⥫쭮,
$$
\gather
r'=a_1 z y^{n_1} z^{-1} a_2  z y^{n_2} z^{-1} \ldots a_{\rho}
z y^{n_{\rho}} z^{-1}=$$ $$
=x^{m_1} \tilde a_1 z y^{n_1} z^{-1}
x^{m_2} \tilde a_2 z y^{n_2} z^{-1} \ldots
x^{m_{\rho}} \tilde a_{\rho} z y^{n_l} z^{-1}=$$ $$
=t^{m_1 \overline {\nu}} \tilde a_1 z t^{-n_1 \overline {\mu}} z^{-1}
t^{m_2 \overline {\nu}} \tilde a_2 z t^{-n_2 \overline {\mu}} z^{-1}
\ldots
t^{m_{\rho} \overline {\nu}} \tilde a_{\rho} z t^{-n_l \overline {\mu}}
z^{-1}.
\endgather
$$
����� $s_1=m_1 \overline {\nu}$, $s_2=m_1 \overline {\nu}-n_1
\overline {\mu}$, � �����, �᫨ $s_j$ 㦥 ��।����� � $j=2q$,
� $s_{j+1}=s_j +m_{q+1} \overline {\nu}$, � �᫨ $j=2q-1$, �
$s_{j+1}=s_j -n_q \overline {\mu}$ $(j=1,2,~\ldots,2 \rho -1)$.
����⨬, �� ��᪮��� $n_i \neq 0$ ��� ��� $i=1,~\ldots,\rho$,
� $n_i \overline {\mu} \neq 0$ ��� ��� $i=1,~\ldots,\rho$, �
᫥����⥫쭮, $s_{2i-1} \neq s_{2i}$ ��� ��� $i=1,~\ldots,\rho$.

\quad ����㯠� ����� ��� � � ��砥 3.4.1, �����:
$$
G^1=\op{HNN}\,(G_0^1, t; t \hat H_k^{p-1}t^{-1}=\hat H_{k+1}^{p-1}),
$$
���

\centerline{$\hat H_k^{p-1}=\tilde K * \prod_{s=k}^{* \ k+p-1} \langle
t^s z t^{-s} \rangle,$}
\smallskip
\centerline{$\hat H_{k+1}^{p-1}=\tilde K * \prod_{s=k+1}^{* \ k+p}
\langle t^s z t^{-s} \rangle,$}
\smallskip
\centerline{$\check H_k^p=\tilde K * \prod_{s=k, s \neq 0}^{* \ k+p}
\langle t^s z t^{-s} \rangle,$}

$$
G_0^1=\langle z \rangle_{{(r^{\prime})}^n} \check H_k^p =
\langle t^k z t^{-k} \rangle_{{(r_1^{\prime})}^n} \hat H_{k+1}^{p-1}=
\langle t^{k+p} z t^{-k-p} \rangle_{{(r_2^{\prime})}^n} \hat H_k^{p-1}.
\tag{5}
$$

\quad ���ᬮ�ਬ ᫥���騥 �����砨.

\quad �. �������� ����� �ਢ������� ��᫥����⥫쭮�� ᫮�� $r'$
�⭮�⥫쭮 ᢮������� ࠧ������� $\hat H_k^p=\langle z \rangle *
\check H_k^p$, �������� ����� �ਢ������� ��᫥����⥫쭮�� ᫮��
$r_1^{\prime}$ �⭮�⥫쭮 ᢮������� ࠧ������� $\hat H_k^p=
\langle t^k z t^{-k} \rangle*\hat H_{k+1}^{p-1}$ � �������� �����
�ਢ������� ��᫥����⥫쭮�� ᫮�� $r_2^{\prime}$ �⭮�⥫쭮
᢮������� ࠧ������� \break
$\hat H_k^p=\langle t^{k+p} z t^{-k-p} \rangle
* \hat H_k^{p-1}$ ����� $\rho$.

\quad � �⮬ ��砥 ����� ��ᯮ�짮������ ����⨢�� �।���������� �����.


\quad �. ���� �������� ����� �ਢ������� ��᫥����⥫쭮�� ᫮�� $r'$
�⭮�⥫쭮 ᢮������� ࠧ������� $\hat H_k^p= \langle z \rangle
* \check H_k^p$, ���� �������� ����� �ਢ������� ��᫥����⥫쭮��
᫮�� $r_1^{\prime}$ �⭮�⥫쭮 ᢮������� ࠧ������� $\hat H_k^p=
\langle t^k z t^{-k} \rangle * \hat H_{k+1}^{p-1}$, ���� ��������
����� �ਢ������� ��᫥����⥫쭮�� ᫮�� $r_2^{\prime}$ �⭮�⥫쭮
᢮������� ࠧ������� $\hat H_k^p=\langle t^{k+p} z t^{-k-p} \rangle *
\hat H_k^{p-1}$ ࠢ�� $\rho$.

\quad � �⮬ ��砥, � ᨫ� ����� 2 �� \cite5, ��㯯� $\tilde K$ ����
���������쭮�, � ᫥����⥫쭮, � ᨫ� ����� 2, ��㯯� $\check H_k^p$,
$\hat H_{k+1}^{p-1}$ � $\hat H_k^{p-1}$ �������� �������䨧���� ��
᢮������ ������� ��㯯� ࠭�� $2$. � ��⮬�, � ᨫ� ����� 1, ��
����� ��� ��������� ࠧ������� $(5)$ �ਬ����� ���㦤���� ����
\romannumeral 2.
$\square$

\quad ������⥫��⢮ ����� 6 �����蠥� ��ᬮ�७�� ���� 3.4.2.2.
���६� ��������� ��������.

\proclaim{\indent �����⢨� 1} ����� $G=A_wB$ --- ������쭮�
�ந�������� �����쭮 ������������ ��㯯 $A$ � $B$ �
��������� $w=r^n$, ��� $n \geq 2$. �᫨ � �p㯯�� $A$ �
$B$ p��p�訬� �p������ p�����⢠ ᫮�, � � �p㯯� $G$
p��p�訬� �p������ �宦����� � ����p㯯� $A$ � $B$, �,
� ��⭮��, p��p�訬� �p������ ⮦���⢠.
\endproclaim

\proclaim{\indent �����⢨� 2} ����� $G=A_wB$ --- ������쭮�
�ந�������� �����쭮 ������������ ��㯯 $A$ � $B$ �
��������� $w=r^n$, ��� $n \geq 2$. ����� $A \cap B =
\{1\}$ � �p㯯� $G$.
\endproclaim

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\medskip
\quad ���� �ਧ��⥫�� �.~�.~�த᪮�� �� ���⠭���� ����� � �������
���㦤����, �.~�.~��������᪮�� �� �������� � ࠡ�� � �� ��������
����砭��.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\bigskip
\centerline{\bf ���᮪ �ᯮ�짮������ ���p���p�}
\nopagebreak
\medskip
\noindent
1. {\it �த᪨� �.�.} �������� �ந�������� ��㯯 //
�����ࠨ�᪨� \phantom{��} ��⥬�. �������, 1981. �.~51 -- 77.

\noindent
2. {\it �த᪨� �.�.} �ࠢ����� ��� ��㯯��� � ��㯯� � �����
��।�-\linebreak
\phantom{��} ���騬 ᮮ⭮襭��� // ���.���.���. 1984. �.~25. \No~2.
�.~84 --\linebreak
\phantom{��} 103.

\noindent
3. {\it ��࣠����� �.�., ��৫类� �.�.} �᭮�� ⥮ਨ ��㯯.
�., 1982.\linebreak \phantom{��} 288~�.

\noindent
4. {\it ������ �., �㯯 �.} ��������ୠ� ⥮�� ��㯯. �.,
1980. 448~�.

\noindent
5. {\it ����஢᪨� �.�.} � �஡���� ⮦���⢠ ��� ���������
�ந�����-\linebreak
\phantom{��} ��� ��㯯 // �����ࠨ�᪨� ��⥬�. �������, 1991. �.~26 -- 35.

\noindent
6. {\it Howie J.} How to generalize one-relator group theory //
Combinatorial \linebreak
\phantom{��} Group Theory and Topology /Ed. by S.~M.~Gersten and
J.~R.~Stallings, \linebreak
\phantom{��} Princeton Univ. Press, 1987. P.~53 -- 78.
(Ann. Math. Stud.;  Vol. 111).

\noindent
7. {\it Howie J.} One-relator products of groups // Groups
/Ed. by \break C.~M.~Cammpbell and E.~F.~Robertson.
Cambridge Univ. Press, 1986. P.~216 -- 219.\linebreak
\phantom{��} (London Math. Soc.: Lect. Note Ser.; Vol.~121).

\noindent
8. {\it Howie J., Pride S.J.} Spelling theorems for staggered
generalized $2$-comp-\linebreak
\phantom{��} lexes, with applications // Invent. math.
1984. Vol.~76. P.~55 -- 74.

\noindent
9. {\it Karras A., Solitar D.} The subgroups of a free product
of two groups with \linebreak
\phantom{��} an amalgamated subgroup // Trans. Amer. Math. Soc.
1970. Vol.~150, \linebreak
\phantom{��} \No.~1. P.~227 -- 255.

\noindent
10. {\it Newman B.B.} Some results on one-relator groups //
Bull. Amer. Math. \linebreak
\phantom{��} Soc. 1968. Vol.~74. P.~568 -- 571.

\end