%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
\Monograph
\Russian
\TagsOnRight
\NoRunningHeads
\magnification=\magstep2
\pageno1
\topmatter
\endtopmatter
\headline={\hss\tenrm\folio\hss}


\midinsert
%\vspace{0.3 cm}
\botcaption{}
\endcaption
\endinsert
\noindent
УДК 519.675
\nopagebreak
\smallskip
\noindent
{\bf Л.~В.~Мочалина}
\nopagebreak
\smallskip
\noindent
{\bf О НЕКОТОРЫХ СПОСОБАХ ПОСТРОЕНИЯ НОМОГРАММ}
\nopagebreak
\break
{\bf ТИПА СЧЕТНЫХ ЛИНЕЕК}
\medskip

\quad В прикладных задачах  нередко приходится решать   уравнения
со многими неизвестными.  При отсутствии ЭВМ  нахождение  решений
довольно  громоздко  и  утомительно.  Если  точность  результата
требуется в пределах  1 -- 5 \% , то удобным средством расчета может
служить  счетная линейка  (частный случай номограммы). Известным
примером ее  является "логарифмическая линейка". Счетные линейки
(как и все  номограммы) имеют те же  преимущества, что и графики
функций : с их помощью можно анализировать зависимости и  быстро
находить решения уравнений,считая неизвестной любую переменную.
Но построить их удается далеко не для каждого уравнения, а  лишь
для сводящихся к уравнению вида, в левой  части  которого  стоит
алгебраическая сумма монотонных функций (каждая от  своей  переменной),
а справа -- ноль. Соответствующие счетные линейки  называются
{\it пpостыми}.

\quad В этой работе предлагается способ построения {\it составной}
счетной линейки (для уравнений более сложного вида) посpедством
комбинирования
специальным образом простых линеек. Рассмотрим  сначала  известный
способ получения простой линейки [1,~2].

\bigskip
\centerline{{\bf 1. Алгоpитм постpоения пpостой линейки}}
\medskip

\quad Пусть заданы четыре непрерывные монотонные функции $f_i = f_i(x_i),$
каждая на соответствующем промежутке  $\overline x_i \leqslant
x_i \leqslant \tilde x_i$,
удовлетворяющие условию (имена аргументов опущены) :
$$
         [f_1] - [f_2 ] + [f_3] - [f_4] = 0 ,
\eqno(1)
$$

\noindent
называемому {\it пpостым} каноническим уравнением (и в дальнейшем
слагаемые канонической формы будем писать в квадратных скобках).

\quad Проведем в плоскости $\alpha \circ \beta$ две горизонтальные  прямые
$\overline \mu$  и  $\overline{\overline \mu}$
(см.рис.1) и построим на них четыре шкалы $x_i$  (т.е. отрезки
прямых, каждый по соответствующему параметру $x_i$) с уравнениями :
$$\align
\quad \text{для шкалы} ~x_1 &:~
\alpha =f_1,~\beta = \overline \mu;
\qquad \text{для шкалы} ~x_2 :~
\alpha =f_2,~\beta = \overline \mu;$$ $$
\quad \text{для шкалы} ~x_3 &:~
\alpha =f_3,~\beta =\overline{\overline \mu};
\qquad \text{для шкалы} ~x_4 :~
\alpha =f_4,~\beta =\overline{\overline \mu}.
\endalign
$$
\midinsert
\vspace{5 cm}
\botcaption{Рис. 1}
\endcaption
\endinsert
\pagebreak
\newpage
\quad Уравнения шкал получены, можно конструировать линейку. Линейка
состоит из {\it коpпуса} и {\it движка} (подвижной полоски)
 (см. рис.1).
На них нанесены {\it шкалы}. Любая из шкал может быть {\it ответной}
(здесь $x_4$).
Вставив движок линейки в надрезы ее корпуса, получим  {\it пpибоp} для
решения уравнения (1).

\quad Способ пользования таков. Выберем по одному (произвольному)
значению на каждой из любых трех шкал  (ради  простоты  название
шкалы и {\it значение} на ней обозначаем  одинаково).  Пусть  $i=1,2,3.$
Перемещая движок, {\it совмещаем} данные значения $x_1$  с  $x_2$  и
{\it пpотив}
данного  $x_3$  находим {\it искомое}  $x_4$ .

\quad Уpавнение (1) допускает пpеобpазования (позволяющие сделать линейку
более удобной для пpименения):
$$
(mf_1 + s_1) - (mf_2 + s_2) + (mf_3 + s_3) - (mf_4 + s_4 ) = 0.
$$

\quad Здесь числа  $s_1,s_2,s_3$  выбирают так, чтобы  {\it центpы} шкал были
расположены как можно ближе к {\it одной} вертикали. Тогда
$$
                         s_4 = s_1 -s_2 +s_3 .
$$

\quad Число $m$ - {\it масштаб}. Его находят так.  Пусть $L$ (около 100 мм)
-- максимальная допустимая длина шкалы. Обозначим
$$
                         D_i = f_i^{max} - f_i^{min}
$$

\noindent
(т.е. $D_i$  -- {\it диапазон} изменения функции $f_i$). Тогда
$$
                   m = L / ({max}D_i) ,  i=\overline{1,4}.
$$

\quad Получим уравнения шкал (без указания ординат):
$$
\alpha = mf_i + s_i  \quad (i=1,2,3,4),
$$

\noindent
по которым конструируется простая счетная линейка для  уравнения
вида (1) с {\it  четыpьмя} переменными.

\quad Если переменных в уравнении {\it тpи}, то можно использовать
предыдущие построения, положив нулю в уравнении (1) одну из функций
(например, $f_3$ , считая $x_3$  фиктивной  переменной).  Тогда  искомая
линейка имеет тот же вид (рис.1), только одна из шкал (здесь $x_3$)
выродится в  точку,  которая  отмечается  стрелкой  и  называется
{\it стpелкой-шкалой}. В случае уравнения вида (1) с б\'ольшим
количеством функций построения аналогичные, лишь увеличивается количество
движков.\newpage

\centerline{{\bf 2. Постpоение составной линейки}}
\medskip

\quad Теперь предлагается  способ построения  счетной линейки для \break
уравнений вида (будем его называть {\it каноническим}) ~:
$$
  F_0 (x_0 ) + F_1 (x_1 )\cdot \ldots \cdot F_k(x_k ) =
\Phi _0(t_0 ) + \lambda \Phi _1(t_1 )\cdot \ldots \cdot \Phi _n(t_n ) ,
$$

\noindent
где  каждая  из функций  $F_i (x_i)$  и $\Phi _j (t_j )$  при
$i=\overline{0,k}, ~\ j=\overline{0,n}$
непрерывна на соответствующем ей отрезке  $[\overline{x}_i ,
\tilde x_i ]$  или  $[\overline{t}_j ,\tilde t_j ],$
монотонна на нем и при этом все из них, кроме, может быть, функций
$F_0 (x_0 )$ и $\Phi _0 (t_0),$ строго положительны; число  $\lambda$
равно 1 или  $-1$.
Ради краткости будем опускать  имена  аргументов.  Тогда  данное
уравнение примет вид:
$$
F_0+F_1 \cdot \ldots \cdot F_k=\Phi _0+\lambda\Phi _1 \cdot \ldots \cdot
\Phi _n
\eqno(2)
$$

\noindent
Введем вспомогательные функции  ~:
$$
U = F_1 \cdot \ldots \cdot F_k , \quad
V = \Phi_1 \cdot \ldots \cdot \Phi _n ,
$$

\noindent
прологарифмируем их. После преобразования получим :
$$
\align
{lg} F_1 + {lg} F_2 +\ldots + {lg} F_k + (-{lg} U) &= 0 ,
\eqno(I) $$ $$
{lg} \Phi _1 + {lg} \Phi _2 +\ldots + {lg} \Phi _n+
(-{lg} V) &= 0.
\eqno(II)
\endalign
$$

\quad Тогда из (2) имеем ~:
$$
   U + F_0  = \lambda V + \Phi _0.
\eqno(III)
$$

\quad Для каждого из уравнений  $(I)-(III)$ строим простую  счетную
линейку, а затем совмещаем их надлежащим образом на {\it общем}
корпусе, получая составную линейку, которая позволит находить решения
уравнения (2). При этом надо выделить так называемую {\it ответную}
переменную,
а значения остальных переменных задавать {\it пpоизвольно}. Будем
считать ответной переменную $t_0$ . Заметим здесь, что аналогичную
линейку тогда можно построить и для уравнения, например, вида
$$
F_0 \Phi _0(F_1 +\ldots+ F_k)\cdot(\Phi_1 +\ldots+ \Phi _n)^{-1}=1,
\eqno(2')
$$
\noindent
т.к. оно путем логарифмирования сводится к уравнению вида (2).

\quad Способ построения составной счетной линейки для большей
наглядности рассмотрим на примере конкретной зависимости из
области медицины:
$$
\text{\it ЛИИ}=\frac{4\text{\it МИ}+3\text{\it Ю}+2\text{\it П}+C}
{(\text{\it Л}+\text{\it МО})(\text{\it Э}+1)},
\eqno(3)
$$
%\pagebreak

\newpage
\noindent
где  встречающиеся  в ней  переменные означают в соответствующих
размерностях  определенные  физиологические параметры (например,
{\it МИ} -- содержание миоцитов, {\it Л} -- лейкоцитов, {\it ЛИИ} --
лейкоцитарный
индекс интоксикации, по которому судят о состоянии пациента),
пpеделы изменения пеpеменных видны на pис.~2.

\midinsert
\vspace{11 cm}
\botcaption{Рис. 2}
\endcaption
\endinsert

\quad Для удобства пользования и в соответствии с  видом  уравнения
(3) обозначим переменные по-дpугому:

$$
x_0 =\text{\it Э}, ~x_1 =\text{\it МИ} , ~x_2 =\text{\it Ю},
~x_3 =\text{\it П},
$$ $$
~x_4 =\text{\it С}; ~t_0 =\text{\it ЛИИ}, ~t_1 =\text{\it Л},
~t_2 =\text{\it МО}.
$$

\quad Тогда уравнение (3) примет вид :
$$
t_0=\frac{4x_1+3x_2+2x_3+x_4}{(x_0+1)(t_1+t_2)}.
\eqno(3')
$$

\quad Введем новые переменные:
$$\align
                      U &= 4x_1 + 3x_2 + 2x_3 + x_4,
\eqno(4) $$ $$
                      V &= t_1 + t_2 ,
\eqno(5)
\endalign
$$
\noindent
получим уравнение, которое после логарифмирования примет вид:
$$
   {lg} t_0 = {lg} U - {lg} V - {lg} (x_0 + 1) .
\eqno(6)
$$

\quad Приведем каждое из уравнений (4) -- (6) к простейшему  каноническому виду:
$$\gather
   [4x_1 ] - [-3x_2 ] + [2x_3 ] - [-x_4 ] + [ 0 ] - [ U ] = 0 ,
\eqno(7) $$ $$
           [t_1 ] - [-t_2 ] + [ 0 ] - [ V ] = 0 ,
\eqno(8) $$ $$
     [- {lg} U] - [{lg} (x_0 + 1)] + [-{lg} t_0 ] - [{lg} V] = 0
\eqno(9)
\endgather
$$

\noindent
и построим для них  три простые счетные линейки на общем
корпусе. Линейки можно видеть (каждую в отдельности)  на  рис.3 --
 они  отделены друг от друга штриховыми  линиями.  На  этом  рисунке
общий  корпус заштрихован для отличия его от движков.

\midinsert
\vspace{10 cm}
\botcaption{Рис. 3}
\endcaption
\endinsert
\pagebreak

\newpage
\quad Поясним, как устроены эти  линейки.

\quad Счетная линейка для уравнения (7) состоит из двух движков 1
и 2 со шкалами на них  $x_2, x_3, x_4$   и  шкалы-стрелки,  а  также  из
корпуса со шкалами  $x_1$  и  $U.$  При этом шкала  $U$ - равномерная.

\quad Линейка для уравнения (8) состоит из одного движка 4 со шкалой
$t_2$  и  шкалы-стрелки, а также из корпуса со шкалами  $t_1$  и  $V$
(шкала  $V$ -- равномерная).

\quad Для уравнения (9) счетная линейка состоит из одного движка 3
со шкалами $x_0 , ~t_0$  и корпуса со шкалами  $U ,  ~V$  .  При  этом
шкалы  $U$  и  $V$ - логарифмические.

\quad Заметим при этом, что всюду здесь шкалы  $U$  и  $V$  не  имеют
числовых пометок, т.к. они являются вспомогательными (их числовые
значения явно в вычислениях не участвуют).

\quad Теперь для получения искомой составной линейки осталось соединить
направляющими прямыми одноименные точки шкал  $U$
(равномерной и логарифмической) и аналогично для шкал  $V.$  Затем  надо
вернуться  к прежним "медицинским" переменным. Получим готовый к
применению счетный прибор для уравнения (3).

\quad Способ  пользования  им  таков.  Задаем   произвольно   все
значения переменных, кроме {\it ЛИИ} (ответной). Пусть, например,
$$
\text{\it МИ}=2,5; ~\text{\it Ю}=7; ~\text{\it П}=25 ;
~\text{\it С}=40; ~\text{\it Э}=4 ; ~\text{\it Л}=14 ;
~\text{\it МО}=0.
$$
\noindent
Смещая движки, совмещаем на линейке соответствующие  точки  (они
выделены кружками на рисунке) в следующем порядке:

1) точку  $\text{\it МИ}=2,5$  с  точкой $\text{\it Ю}=7,$ смещая  движок 1;

2) точку  $\text{\it П} = 25$  с  точкой $\text{\it С}=40,$ смещая движок 2;

3) вдоль  жирной  стрелки  (вниз)  идем  по  направляющей  $U$
в точку {\it Э}, смещая движок 3;

4) совмещаем точку  {\it Л}=14  с точкой {\it МО}=0 , смещая
движок 4;

5) вдоль жирной  стрелки  (вверх)  идем  по  направляющей  $V$
к шкале  {\it ЛИИ}  и читаем  {\it ответ}~: $\text{\it ЛИИ}=1,7.$

\quad Сравниваем его с точным значением  по  формуле  (3),  равным
числу  $1,73.$ Погрешность допустима.

\quad Вид зависимости (6) любезно  предоставил  доцент  Ивановской
государственной медицинской академии  Е.П.Щенников.

\bigskip
\centerline{\bf Список использованной литеpатуpы}
\nopagebreak
\medskip

\noindent
1. {\it Мочалина Л.В.,  Щенников  Е.П.  и  др.}  Построение  счетных
линеек \linebreak
\phantom{ны} с одним движком для зависимостей, применяемых в
анестезиологии, \linebreak
\phantom{ны} реаниматологии  и   интенсивной   терапии.
М., 1991. 51 с. Деп. в \linebreak
\phantom{ны} НПО "Союзмединформ"  01.08.91, \No 21627.

\noindent
2. {\it Хованский Г.С.} Основы номографии. М., 1976. 351 c.

\end