%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
\Monograph
\Russian
\TagsOnRight
\NoRunningHeads
\magnification=\magstep2
\pageno1
\topmatter
\endtopmatter
\headline={\hss\tenrm\folio\hss}


\midinsert
%\vspace{0.3 cm}
\botcaption{}
\endcaption
\endinsert
\noindent
��� 512.543
\nopagebreak
\smallskip
\noindent

{\bf �.~�.~��������᪨�, �.~�.~���襢}
\nopagebreak
\smallskip
\noindent

{\bf � �������� ����������� �������}

{\bf ��������� �����}

{\bf � ����� ������������ ������������}
\nopagebreak
\medskip


\quad 1. ����� $\Cal F(G)$  ������砥�  ᥬ���⢮   ���   �������   ��㯯,
������ ��������묨 ��ࠧ��� ��㯯� $G$, �, �᫨ $p$ --- ���⮥ �᫮,
����� $\Cal F_{p}(G)$  ������砥�  ᥬ���⢮  ���   ������� $p$-��㯯,
������ ��������묨 ��ࠧ��� ��㯯� $G$.
�����, �����, ��� �ந����쭮�� 楫��� �᫠ $k\neq 0$ ~$G_{k}$ --- ��㯯�,
��।��塞�� � ��ࠧ���� $a, b$
�����⢥��� ᮮ⭮襭���  $a^{-1}ba=b^{k}$. � ࠡ�� [2] ��������, �� ���
���� 楫�� �ᥫ  $k$ � $l$ ࠢ���⢮ $\Cal F(G_{k})=\Cal F(G_{l})$
�믮����� � �筮�� ⮣��, ����� $k=l$. ����� ⮣�, �᫨ $G$ ---
�ந����쭠� 䨭�⭮ ���பᨬ��㥬�� ��㯯�, ��।��塞�� ����� ᮮ⭮襭���,
� ࠢ���⢮ $\Cal F(G_{k})=\Cal F(G)$   ��������, ���� �᫨ ��㯯� $G$ �
$G_{k}$  ��������. ���� ������, ������ ��㯯� $G_{k}$ � ����� 䨭�⭮
���பᨬ��㥬�� ��㯯 � ����� ��।����騬 ᮮ⭮襭��� �������筮
��।������ ᥬ���⢮� ᢮�� ������� ���������� ��ࠧ��. ��� �� �����,
�᫨ ��ᬠ�ਢ��� ���� � ������ ��������� ��ࠧ�, ����� �����
$p$-��㯯��� (�� 䨪�஢����� ���⮬ $p$), �� �⢥ত���� ����⠥�
���� �ࠢ������, ���� �᫨ ��࠭������ ��㯯��� ���� $G_{k}$.
� ����⢨⥫쭮��, ����� ��� ��㯯 $G_{k}$ ��������� ����뢠���� ᫥���騬
�⢥ত�����, ������⥫���� ���ண� � ����饭� ������ �����:

\proclaim{\indent ���६�} ����� $p$ --- ���⮥ �᫮. �����:

{\rm (1)} �᫨ $\Cal F_{p}(G_{k})=\Cal F_{p}(G_{l})$ � ���� �� �ᥫ $k-1$ � $l-1$
������� �� $p$, � � ��㣮� ������� �� $p$;

{\rm (2)} �᫨ �᫠  $k-1$ � $l-1$ �� ������� �� $p$, �
$\Cal F_{p}(G_{k})=\Cal F_{p}(G_{l})$;

{\rm (3)} �᫨ �᫠  $k-1$ � $l-1$ ������� �� $p$, � ᫥���騥 �⢥ত����
ࠢ��ᨫ��:
\widestnumber\item{(1.1)}
\roster
\item"{(3.1)}" $\Cal F_{p}(G_{k})=\Cal F_{p}(G_{l})$;
\item"{(3.2)}" ��� ��� 楫��� �᫠ $s>0$ ��������
$k+p^{s}{\Bbb Z}$ � $l+p^{s}{\Bbb Z}$ ��㯯�
${\Bbb Z}^{*}_{p^{s}}$ (���⨯����⨢��� ��㯯� �����
${\Bbb Z}_{p^{s}}={\Bbb Z}/p^{s}{\Bbb Z}$  ���⮢ 楫�� �ᥫ
�� ����� $p^{s}$) ��஦���� � �⮩ ��㯯� ���� � �� �� 横������ �����㯯�;
\item"{(3.3)}" �᫠  $k-1$ � $l-1$ ������� �� ���� � � �� �⥯��� �᫠ $p$,
��祬 �᫨ $p=2$ � �᫠ $k-1$ � $l-1$ �� ������� �� 4, � �᫠ $k^{2}-1$
� $l^{2}-1$ ������� �� ���� � � �� �⥯��� �᫠ 2.
\endroster
\endproclaim

\quad ��᪮��� ��猪� ����筠� $p$-��㯯� ���쯮⥭⭠, � �� �⮩ ⥮६�
᫥���, �� �᫨ ��㯯� $G_{k}$ � $G_{l}$ ����� ���� � � �� ���쯮⥭��
��������� ��ࠧ�, � $|k-1|=|l-1|$. ����㤭� ��������, ������, �� � �⮬
��砥 ����� ���� ࠢ���⢮ $k=l$.

\quad � ᠬ�� ����, ����� ������ (�., ���祬,[3, �.~288]), �� ��� ���
楫��� �᫠ $n>1$  $n$@-� 童� $\gamma_{n}(G_{k})$ ������� 業�ࠫ쭮��
�鸞 ��㯯� $G_{k}$ ᮢ������ � ��ଠ��� ���몠���� � �⮩ ��㯯� �������
$b^{(k-1)^{n-1}}$. ���⮬� 䠪��-��㯯�
$$
G_{k}/\gamma_{n}(G_{k})=<a,b; a^{-1}ba=b^{k}, b^{(k-1)^{n-1}}=1>
$$
���� ��᪮��筮� 横���᪮�, �᫨ $k=2$, � � ��⠫��� ����� ---
���७��� �� ����� ��᪮��筮� 横���᪮� ��㯯� ����筮� 横���᪮�
��㯯� ���浪� $|k-1|^{n-1}$. �������⥫쭮, �᫨ ������⢠ ���쯮⥭���
���������� ��ࠧ�� ��㯯 $G_{k}$ � $G_{l}$  ᮢ������ � $k=2$, � � $l=2$.
����� $k\neq 2$ � ����� $\varphi $ --- �������䨧� ��㯯� $G_{l}$ �� ��㯯�
$G_{k}/\gamma_{n}(G_{k})$. �����
$\gamma_{n}(G_{l})\subseteq \text{Ker}\,\varphi $
 � ��⮬� $\varphi $ ��室�� �१ ������� �������䨧� $\psi $ ��㯯�
$G_{l}/\gamma_{n}(G_{l})$ �� ��㯯� $G_{k}/\gamma_{n}(G_{k})$. ��� ���
$|k-1|=|l-1|$, ����� ������, �� �⮡ࠦ���� $\psi $ ������ ���� ��������,
� ��⮬� �� [1] ᫥���, �� ��� $k\equiv l\ (\text{mod}\  |k-1|^{n-1})$,
��� $kl\equiv 1\ (\text{mod}\  |k-1|^{n-1})$. ��᪮��� $|k-1|>1$ � ���
��� $n>1$ ������ �믮������� ��� �� ���� �� ��� �ࠢ�����, ����砥�
$k=l$, �� � �ॡ�������.

\bigpagebreak
\quad 2. ��� ���� ������⥫��� 楫�� �ᥫ $r$ � $s$ ⠪��, ��
$k^{r}\equiv 1\ (\text{mod}\ s)$, ������稬 �१ $G_{k}(r,s)$ 䠪��-��㯯�
��㯯� $G_{k}$ �� ��ଠ�쭮�� ���몠��� ������⮢ $a^{r}$ � $b^{s}$:
$$
G_{k}(r,s)=<a,b; a^{-1}ba=b^{k}, a^{r}=1, b^{s}=1>.
$$
���� �����⭮, �� ��㯯� $G_{k}(r,s)$ ���� ���横���᪮� ����筮�
��㯯�� ���浪� $rs$, �ந������ ������� �� �������筮 �।�⠢�� � ����
$a^{\alpha }b^{\beta }$, ��� $0\leq \alpha <r$ � $0\leq \beta <s$, �,
� ��⭮��, ���浪� ������⮢ $a$ � $b$ ࠢ�� $r$ � $s$ ᮮ⢥��⢥���.
����� ������ ⠪��, �� �����⠭� ��㯯� $G_{k}(r,s)$ ᮢ������ � 横���᪮�
�����㯯��, ��஦������ ������⮬ $b^{k-1}$, ⠪ �� �� ��㯯� ����
�������� � �筮�� ⮣��, ����� $s|k-1$.

\quad �祢����� ������ �����뢠��, �� ��� ��� 楫��� �᫠ $n>0$ �
��㯯�
$G_{k}$ ����� ���� ࠢ���⢮ $a^{-n}ba^{n}=b^{k^{n}}$. ���⮬� �᫨
$\varphi $ --- �������䨧� ��㯯� $G_{k}$ �� �������� ������� ��㯯� $H$
� �᫨ �������� $a\varphi $ � $b\varphi $ ����� ���浪� $r$ � $s$
ᮮ⢥��⢥���, � ������ �믮������� ᮮ⭮襭��
$k^{r}\equiv 1\ (\text{mod}\ s)$. �������⥫쭮, �������䨧� $\varphi $
�᪫��뢠���� � �ந�������� ����⢥����� �⮡ࠦ���� ��㯯�
$G_{k}$ �� ��㯯� $G_{k}(r,s)$ � �����ண� �������䨧�� ��᫥���� �� ��㯯�
$H$.

\proclaim{\indent ����� 1} ��㯯� $G_{k}$ �������� �������䨧��� �� ��横������
������� $p$@-��㯯� ⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, ����� $p|k-1$. �᫨
$\Cal F_{p}(G_{k})\subseteq \Cal F_{p}(G_{l})$, � ��� ��� 楫���
�᫠ $t\geq 0$ �� $p^{t}|k-1$ ᫥��� $p^{t}|l-1$.
\endproclaim

\quad \underbar{������⥫��⢮}.
�।�������, �� ������� �������䨧� $\varphi $
\linebreak
��㯯� $G_{k}$ �� �������� ������� $p$@-��㯯� ⠪��, �� $b\varphi\neq 1$.
����� $p^{r}$ � $p^{s}$ --- ���浪� ������⮢ $a\varphi $ � $b\varphi $
ᮮ⢥��⢥���. ����� $s>0$ � ��⮬� �ࠢ�����
$k^{p^{r}}\equiv 1\ (\text{mod}\ p^{s})$ ����� �ࠢ�����
$k^{p^{r}}\equiv 1\ (\text{mod}\ p)$. ��� ���, � ⮬� ��, � �⮬ ��砥 ��
⥮६� ��ଠ ����� ���� �ࠢ����� $k^{p-1}\equiv 1\ (\text{mod}\ p)$,
����砥� $k\equiv 1\ (\text{mod}\ p)$. �������⥫쭮, �᫨ �᫮ $k-1$ ��
������� �� $p$, � �� �������䨧� ��㯯� $G_{k}$ �� ������� $p$@-��㯯�
$P$ ��ॢ���� ������� $b$ � �������, ⠪ �� ��㯯� $P$ ���� 横���᪮�.

\quad � ��㣮� ��஭�, ����� $p|k-1$ � ����� $t>0$ --- �������襥 楫�� �᫮
⠪��, �� $k\equiv 1\ (\text{mod}\ p^{t})$. ��� ��� ⮣��
$k^{p}\equiv 1\ (\text{mod}\ p^{t+1})$, ��������� ��ࠧ�� ��㯯� $G_{k}$
���� ��������� ����筠� $p$@-��㯯� $G_{k}(p,p^{t+1})$, � ��ࢮ�
�⢥ত���� ����� 1 ��������.

\quad ���࠭�� ������祭�� �।��饣� �����, �।�������, �����, ��
$\Cal F_{p}(G_{k})\subseteq \Cal F_{p}(G_{l})$. ����� ��㯯�
$G_{k}(p^{t},p^{t})$ --- ��אַ� �ந�������� ���� 横���᪨� ��㯯 ���浪�
$p^{t}$ --- ���� ��������� ��ࠧ�� ��㯯� $G_{l}$, � ��⮬� �������
�������䨧� �� ��㯯� $G_{k}(p^{t},p^{t})$ �����ன ��㯯� ����
$G_{l}(p^{m},p^{n})$, ��祬 ��᪮��� ���冷� ��� ������� ��㯯�
$G_{k}(p^{t},p^{t})$ ���� ����⥫�� �᫠ $p^{t}$, ����� �����, ��
�᫠ $m$ � $n$ �� �ॢ��室�� $t$. �ࠢ����� ���浪� ��㯯
$G_{k}(p^{t},p^{t})$ � $G_{l}(p^{m},p^{n})$, �� �����, �� $m=n=t$, � ��⮬�
�� ��㯯� ��������. �������⥫쭮, ��㯯� $G_{l}(p^{t},p^{t})$ ������ ����
��������, ⠪ �� $p^{t}|l-1$. ����� ��������.

\quad {\bf ����砭��}. ��஥ �⢥ত���� ����� 1 䠪��᪨ ᮢ������ �
�⢥ত����� ���\-�� 1 �� ࠡ��� [2]. ��� �� ����� �� ������⥫��⢮,
ᮤ�ঠ饥�� � [2], ��������� ������, ⠪ �� ������⥫��⢮,
�ਢ������� �����, ���࠭�� ��� �஡�� � ࠡ�� [2].

\quad �⢥ত���� (1) � (2) ��襩 ⥮६� ����� �祢���묨 ᫥��⢨ﬨ
��ࢮ�� �⢥ত���� ����� 1.


\bigpagebreak
\quad 3. �।������� ⥯���, �� ��� �᫠ $k-1$ � $l-1$ ������� �� $p$, �������
ࠢ��ᨫ쭮��� �⢥ত���� (3.1) � (3.2) ⥮६�.

\quad ����� ᭠砫� ����� ���� (3.2). ����� ����砭��, �ਢ������� �
��砫� �.~2,
��� ������⥫��⢠ ����祭��
$\Cal F_{p}(G_{k})\subseteq \Cal F_{p}(G_{l})$ �����筮 ��������, ��
��㯯� $G_{l}$ �������䭮 �⮡ࠦ����� �� �ந������� ��㯯� ����
$G_{k}(p^{r},p^{s})$.

\quad �� �祢����, �᫨ $s=0$, � �� ��� ���� ��魮�� ����� �।��������,
��
$s>0$. ����� ��������
$k+p^{s}{\Bbb Z}$ � $l+p^{s}{\Bbb Z}$ ��஦���� � ��㯯�
${\Bbb Z}^{*}_{p^{s}}$ ���� � �� �� 横������ �����㯯�. ��� ��� ��
$k\equiv 1\ (\text{mod}\ p)$ ᫥���, �� ��� ��� �᫠ $s\geq 1$
$k^{p^{s-1}}\equiv 1\ (\text{mod}\ p^{s})$, �� �����㯯� ����
$p$@-��㯯��, � ��⮬� �������� ����ࠫ쭮� �᫮ $n$, ������� ���⮥ � $p$,
⠪��, �� $k^{n}\equiv l\ (\text{mod}\ p^{s})$. ��� ��� ⮣�� � ��㯯�
$G_{k}(p^{r},p^{s})$ �믮����� ࠢ���⢮ $a^{-n}ba^{n}=b^{k^{n}}=b^{l}$,
�⮡ࠦ����, ���뫠�饥 ������� $a$ � $a^{n}$, � ������� $b$ --- � $b$,
��।���� �������䨧� ��㯯� $G_{l}$ �� ��㯯� $G_{k}(p^{r},p^{s})$. � ⠪
��� $(n,p)=1$, �������� $a^{n}$ � $b$ ��஦���� ��㯯� $G_{k}(p^{r},p^{s})$,
�.�. ��� �������䨧� ���ꥪ⨢��. ��� ᠬ� �������� ����祭��
$\Cal F_{p}(G_{k})\subseteq \Cal F_{p}(G_{l})$ �, ����� �祢����� ᨬ���ਨ,
--- �⢥ত���� (3.1).

\quad �㤥� ⥯��� ����� �믮������ �᫮��� (3.1). � ᨫ� ��ண�
�⢥ত����
����� 1 �᫠ $k$ � $l$ ����� ������� � ����
$$
k=1+p^{n}k_{1}, \qquad l=1+p^{n}l_{1},
$$
��� $n>0$, � �᫠ $k_{1}$ � $l_{1}$ �� $p$ �� �������.

\quad �����㥬 �ந����쭮� 楫�� �᫮ $s>n$. ��� ��� ��
$k\equiv 1\ (\text{mod}\ p^{n})$ ᫥���, ��
$k^{p^{s-n}}\equiv 1\ (\text{mod}\ p^{s})$, ��㯯� $G_{k}(p^{s},p^{s})$
�ਭ������� ᥬ����� $\Cal F_{p}(G_{k})$ � ��⮬� ������ ���� ���������
��ࠧ�� ��㯯� $G_{l}$. �᫨ �� ⠪�� �������䨧�� ��ࠧ��� ������⮢ $a$
� $b$ ����� �������� $f=a^{\alpha }b^{\beta }$ � $g=a^{\gamma }b^{\delta }$
ᮮ⢥��⢥���, � � ��㯯� $G_{k}(p^{s},p^{s})$ ����� ���� ࠢ���⢮
$f^{-1}gf=g^{l}$. �����।�⢥��� ���᫥��� �����뢠��, ��
$$
\align
f^{-1}gf&=a^{\gamma }b^{\delta k^{\alpha }-\beta (k^{\gamma }-1)}
$$ $$
\intertext{�}
g^{l}&=a^{\gamma l}b^{\delta (1+k^{\gamma }+k^{2\gamma }+\dots +k^{(l-1)\gamma })}.
\endalign
$$
���⮬� �।��饥 ࠢ���⢮ ࠢ��ᨫ쭮 ᫥���騬 ��� �ࠢ�����:
$$
\align
\gamma l &\equiv \gamma \ (\text{mod}\ p^{s}),
$$ $$
\delta k^{\alpha }-\beta (k^{\gamma }-1) &\equiv
\delta (1+k^{\gamma }+k^{2\gamma }+\dots +k^{(l-1)\gamma }) \ (\text{mod}\ p^{s}).
\endalign
$$
��ࢮ� �� ��� ����砥�, �� �᫮ $\gamma p^{n}l_{1}$ ������� �� $p^{s}$,
�.�. �� �᫮ $\gamma $ ������� �� $p^{s-n}$. ��� ���
$k^{p^{s-n}}\equiv 1\ (\text{mod}\ p^{s})$, ��� ᫥���, ��
$k^{\gamma }\equiv 1\ (\text{mod}\ p^{s})$, � ��⮬� ��஥ �ࠢ�����
�ਭ����� ���
$$
\delta k^{\alpha }\equiv \delta l \ (\text{mod}\ p^{s}).
$$

\quad ��������, �����, �� �������� $f$ � $g$ ������ ��஦���� ��㯯�
$G_{k}(p^{s},p^{s})$, � ��⮬� �� ��ࠧ� $a^{\alpha }$ � $a^{\gamma }$ ��
�祢����� �������䨧�� �⮩ ��㯯� �� 横������ ��㯯� � ��ࠧ��騬 $a$
���浪� $p^{s}$ ��஦���� ��᫥����. ��� ��� �᫮ $\gamma $ ������� �� $p$,
��� ᫥���, �� �᫠ $\alpha $ � $p$ ������� �����.

\quad ���� �� ������� ⠪��, �� � �᫮ $\delta $ ������� ���� � $p$.
����� ��
��᫥����� �ࠢ����� �㤥� ᫥������, ��
$k^{\alpha }\equiv l \ (\text{mod}\ p^{s})$, � ⥬ ᠬ� �㤥� ��������,
�� ��� ��� �᫠ $s>n$ �������� $k+p^{s}{\Bbb Z}$ �
$l+p^{s}{\Bbb Z}$  ��஦���� � ��㯯� ${\Bbb Z}^{*}_{p^{s}}$ ���� �
�� �� 横������ �����㯯�. ��� ��� �� $t<s$ ��㯯� ${\Bbb Z}^{*}_{p^{t}}$
���� ����⢥��� ��������� ��ࠧ�� ��㯯� ${\Bbb Z}^{*}_{p^{s}}$,
�ࠢ��������� �⢥ত���� (3.2) �㤥� ��������.

\quad �⠪, ��⠥��� ��������, �� �।��������� $p|\delta $ ����� �
��⨢����.
����� ���浪� ������⮢ $f$ � $g$ ࠢ�� �᫠� $p^{u}$ � $p^{v}$
ᮮ⢥��⢥���. ���뢠�, �� $\gamma $ ������� �� $p$ �
$k^{\gamma }\equiv 1\ (\text{mod}\ p^{s})$, �����
$$
g^{p^{s-1}}=a^{\gamma p^{s-1}}b^{\delta p^{s-1}}=1,
$$
⠪ �� $v\leq s-1$. �������, �����, �� $u\leq s$.

\quad ��� ��� $(\alpha , p)=1$, � $k^{\alpha } =1+p^{n}k_{2}$,
��� $k_{2}$ ��
������� �� $p$. ��᪮��� �᫮
$$
\left(1+k^{\alpha }+k^{2\alpha }+\dots +k^{(p^{s}-1)\alpha }\right)
\left(k^{\alpha }-1\right) = k^{p^{s}\alpha } - 1
$$
������� �� $p^{s+n}$, � �᫮
$\left(1+k^{\alpha }+k^{2\alpha }+\dots +k^{(p^{s}-1)\alpha }\right)$ ������
�������� �� $p^{s}$. ���⮬�
$$
f^{p^{s}}
=a^{\alpha p^{s}}b^{\beta \left(1+k^{\alpha }+k^{2\alpha }+
\dots +k^{(p^{s}-1)\alpha }\right)}=1,
$$
�, ᫥����⥫쭮, $u\leq s$.

\quad ����� ��ࠧ��, ��㯯� $G_{k}(p^{s},p^{s})$ ���浪� $p^{2s}$ ���� 
\break
��������� ��ࠧ�� ���\-�� $G_{k}(p^{u},p^{v})$ ���浪�
$p^{u+v}\leq p^{2s-1}$. ����祭��� ��⨢��稥 �����蠥� ������⥫��⢮
ࠢ��ᨫ쭮�� \break �⢥ত���� (3.1) � (3.2).


\bigpagebreak
\quad 4. ��� ������⥫��⢠ ࠢ��ᨫ쭮�� �⢥ত���� (3.2) � (3.3) ���
����������� ᫥����� �������ୠ�

\proclaim{\indent ����� 2} ����� $p$ --- ���⮥ �᫮ � ����� 楫�� �᫮ $k$ �����
��� $k=1+p^{m}u$, ��� $m\geq 1$ � $(u,p)=1$. �����

\roster
\item"{a)}" �᫨ $p>2$ ��� $m>1$, � ��� ��� 楫��� �᫠ $t\geq 0$
\linebreak
$k^{p^{t}}=1+p^{m+t}v$ ��� �����ண� �᫠ $v$, ������� ���⮣� � $p$;
\item"{b)}" �᫨ $p=2$ � $m=1$, � $k^{2}=1+2^{n}u_{1}$, ��� $n\geq 3$
� �᫮ $u_{1}$ ���⭮, � ��� ��� 楫��� �᫠ $t\geq 0$
~$k^{2^{t+1}}=1+2^{n+t}v$ ��� �����ண� ���⭮�� �᫠ $v$.
\endroster

\quad � ��⭮��, ��� ��� 楫��� �᫠ $s>0$ ���冷� �������
$k+p^{s}{\Bbb Z}$
��㯯� ${\Bbb Z}^{*}_{p^{s}}$ ࠢ�� � ��砥 a) $p^{s-m}$, �᫨ $s\geq m$,
� 1, �᫨ $s<m$, � � ��砥 b) --- $2^{s-n+1}$, �᫨ $s\geq n, ~2,$ �᫨
$1<s<n$, � 1, �᫨ $s=1$.
\endproclaim

\quad ����� ��ࠧ��, �᫮��� (3.3) ����砥�, �� ��� ��� 楫��� �᫠ $s>0$
�������� $k+p^{s}{\Bbb Z}$ � $l+p^{s}{\Bbb Z}$ ��㯯�
${\Bbb Z}^{*}_{p^{s}}$ ����� ��������� ���浪�. �� ����砭�� ������
�⢥ত���� � ࠢ��ᨫ쭮�� �᫮��� (3.2) � (3.3) �祢����, �᫨ $p$ ---
���⭮� ���⮥ �᫮, �.�. � �⮬ ��砥 ��㯯� ${\Bbb Z}^{*}_{p^{s}}$
横��筠. �஬� ⮣�, � � ��⠢襬�� ��砥 $p=2$ �祢���� ���������
$(3.2)\Rightarrow (3.3)$. ��⠥��� ��������, �� � �⮬ ��砥 �� (3.3)
᫥��� (3.2).

\quad �।������� ᭠砫�, �� $k=1+2^{m}k_{1}$ � $l=1+2^{m}l_{1}$, ��� $m>1$ �
�᫠ $k_{1}$ � $l_{1}$ �����. ����室��� ��������, �� ��� ��� 楫���
�᫠ $s>0$ �������� $k+2^{s}{\Bbb Z}$ � $l+2^{s}{\Bbb Z}$
��஦���� � ��㯯� ${\Bbb Z}^{*}_{2^{s}}$ ���� � �� �� �����㯯�. �᫨
$s\leq m$, �� �祢����. ����� $s>m$. ����� ���冷� �����㯯�, ��஦������
������⮬ $k+2^{s}{\Bbb Z}$, ࠢ�� $2^{s-m}$, �ந������ �������,
��஦���騩 �� �� �����㯯�, ����� ��� $k^{\alpha }+2^{s}{\Bbb Z}$, ���
$\alpha $ ���⭮ � $0<\alpha <2^{s-m}$, � �᫮ ⠪�� ������⮢ ࠢ��
$2^{s-m-1}$. �஬� ⮣�, �� �।�⠢�⥫� ᬥ����� �����
$k^{\alpha }+2^{s}{\Bbb Z}$ ����� ��� $1+2^{m}u$, ��� $u$ ���⭮. ��� ���,
�����, �ࠢ����� $1+2^{m}u\equiv 1+2^{m}v\ (\text{mod}\ 2^{s})$ ࠢ��ᨫ쭮
�ࠢ����� $u\equiv v\ (\text{mod}\ 2^{s-m})$, � � �᫮ ��� ����ᮢ,
������ �� �ᥫ 㪠������� ����, ࠢ�� $2^{s-m-1}$. �������⥫쭮,
����� ⠪�� ����� ( � ⮬ �᫥  � $l+2^{s}{\Bbb Z}$) ��஦���� �� ��
�����㯯�, �� � $k+2^{s}{\Bbb Z}$.

\quad �������, ����� $k=1+2k_{1}$, $l=1+2l_{1}$, $k^{2}=1+2^{n}k_{2}$,
$l^{2}=1+2^{n}l_{2}$, ��� �᫠ $k_{1}, k_{2}, l_{1}, l_{2}$ �����. �����
᭮��, ��� � � �.~3, �����筮 ��ᬮ���� ��砩 $s>n$. ����� ���冷�
������⮢ $k+2^{s}{\Bbb Z}$ � $l+2^{s}{\Bbb Z}$  ��㯯�
${\Bbb Z}^{*}_{2^{s}}$ ����� 2. �஬� ⮣�, ᬥ��� ������
$k+2^{s}{\Bbb Z}$ � $l+2^{s}{\Bbb Z}$  ����� �� �ᥫ ���� $1+2u$,
$(u,2)=1$, � ��饥 �᫮ ����ᮢ, ������ �� ⠪�� �ᥫ, ࠢ�� $2^{s-2}$.

\quad ��� ������� $i=0, 1, ~\dots , s-2$ ��������
$$
x_{i}=1+2\left(2^{s-i-1}-1\right).
$$
����� ⠪�� $X_{i}$ --- 横���᪠� �����㯯� ��㯯� ${\Bbb Z}^{*}_{2^{s}}$,
��஦������ ������⮬ $x_{i}+2^{s}{\Bbb Z}$, � $Y_{i}$ ---
������⢮ ������⮢ �⮩ ��㯯�, ����� �� ������ ��஦���� �����㯯�
$X_{i}$. �祢����, �� ����� ᬥ��� �����, �室�騩 � �� �� �������
$Y_{i}$, ��⮨� �� �ᥫ ���� $1+2u$, ��� $u$ ���⭮. ��� ���
$$
x_{i}^{2}=1+2^{s-i+1}\left(2^{s-i-1}-1\right),
$$
���冷� ������� $x_{i}+2^{s}{\Bbb Z}$ ࠢ�� $2^{i}$, �᫨ $1\leq i\leq s-2$,
� 2, �᫨ $i=0$. ���⮬� $Y_{0}$ ᮤ�ন� ���� ���� �������, � ���
$i=1, 2, ~\dots , s-2$ ������⢮ $Y_{i}$ ��⮨� �� $2^{i-1}$ ������⮢.
��᪮���, � ⮬� ��, �� ������⢠ ����୮ �� ���ᥪ�����, � �� ��ꥤ������
ᮤ�ন�
$$
1+\sum_{i=1}^{s-2} 2^{i-1} = 1+\left(2^{s-2} - 1\right) = 2^{s-2}
$$
������⮢ � ��⮬� ᮢ������ � ������⢮� ��� ����ᮢ, ������ �� �ᥫ
����  $1+2u$, $(u,2)=1$.

\quad ����� ��ࠧ��, ����� �� ������⮢ $k+2^{s}{\Bbb Z}$ � $l+2^{s}{\Bbb Z}$  ��㯯�
${\Bbb Z}^{*}_{2^{s}}$ ������ �室��� � ���� �� ���������� $Y_{i}$.
�������� ����������� ���浪� ����� �室��� � ࠧ�� ���������⢠ $Y_{i}$ �
$Y_{j}$ ���� � ⮬ ��砥, ����� �� ���冷� ࠢ�� 2.
�������⥫쭮, �������� $k+2^{s}{\Bbb Z}$ � $l+2^{s}{\Bbb Z}$  �室�� �
�����஥ ������⢮ $Y_{i}$ � ��⮬� ��஦���� ���� � �� �� 横������
�����㯯� $X_{i}$.

\bigskip
\centerline{\bf ���᮪ �ᯮ�짮������ ���p���p�}
\nopagebreak
\medskip

\noindent
1. {\it Baumslag G.}
Residually finite groups with the same finite images //
Com-\linebreak
\phantom{��} positio Math. 1974. Vol 29  P. 249 -- 252.

\noindent
2. {\it Moldavanski D., Sibyakova N.}
On the finite images of some one-relator \linebreak
\phantom{��} groups //
Proc. Amer. Math. Soc. 1995.
Vol. 123. P. 2017 -- 2020.

\noindent
3. {\it Raptis E., Varsos D.}
Residual properties of HNN-extensions with base \linebreak
\phantom{��} group an abelian group //
J.Pure Appl.Algebra. 1989.
Vol. 59. P. 285 -- \linebreak
\phantom{��} 290.

\end