%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
\Monograph
\Russian
\TagsOnRight
\NoRunningHeads
\magnification=\magstep2
\pageno1
\topmatter
\endtopmatter
\headline={\hss\tenrm\folio\hss}


%\redefine\ol{\overline}
%\define\1{\Lambda}
%\define\2{\lambda}
%\redefine\3{\1_{\2}}
%\redefine\4{\sum_{\2'}}
%\redefine\5{f(x,\2')}
%\redefine\6{\1_{\2'}}
%\redefine\7{(x,\2_i)}
%\redefine\A{\goth A}
%\redefine\G{\Cal G}
%\redefine\8{Q_i^x}
%\redefine\9{Q_i^{(n)x}}
%\redefine\Q{Q_j^x}
%\redefine\J{Q_j^{(n)x}}
%\redefine\e{e^{i \psi _n(x)}}
%\redefine\x{(x,\2)}

\noindent
��� 517.986.33
\nopagebreak
\smallskip
\noindent
{\bf �.~�.~��p��쥢�}
\nopagebreak
\smallskip
\noindent
{\bf ���������, ����������� �� �����}
\nopagebreak
\break
{\bf ������������� ���������� � �������,}
\nopagebreak
\break
{\bf � ����������� ��� ��������������}
\medskip

\quad ����� $\goth A$  -- ���p��ᨬ�⨢�� ������ (����p䨭���)
䠪�p ⨯� $\amalg _1,~C$ -- ���ᨬ��쭠� ������⨢��� ��������p� �
���, $B$ -- ��p������ �⮩ �����p�, $U \in \goth A$ -- 㭨�p�� ���p��p,
��⠢���騩 $C$ �� ����: $UCU^*=C.$ �᫨ ᫠�� �������� $*$-�����p�
$\goth N(C),$ ��p�������� �ᥬ� ⠪��� $U$,  ᮢ������ � $\goth A,$ �����p�
$C$  ���뢠���� p����p��� [3]. ����� �� ���p��p�� $U$, �����⢫����
����p����� ��⮬�p䨧� $C$,  ��p������ �� ᯥ��p� $B$ �p���p�������� $s$,
��p����饥 ��p�, �������� �⭮�⥫�� ᫥���.

\quad � p���� p��ᬮ�p�� �����p� ����� p����p��� ���ᨬ����� ��������p
$C^\alpha~[1],$ ��p����騥 ���p�� ����� ��⭮�p��� �������᪨� ᯥ��p ��
��p���� [0,1]. ��������, �� ��� ��� �� ���p��᪮� �室����� ���p��p��
$U_n \to U$ ᫥��� �室������ � ���p��� $d'$ ᮮ⢥������� �p���p��������.

\medskip
\centerline
{\bf{1. ����p $\goth A$}}

\quad �ᯮ������ ������, ����p������ � [2, ��. 12,~13].

\quad $1_1.~$ \underbar{���졥p⮢� �p���p���⢮ $H$:}

\noindent
�� �����筮� ����p�� p��ᬠ�p������� �p�� $\Lambda_{\lambda},$
��p������� \linebreak
\break ������� ���������, � ���p�� $\lambda$ -- ������� ���殢 -- ����筮
p�樮�����. �� 䨪�p������� �pאַ� $\Lambda_{\lambda}$ �窠 �p���p������
���� ���p����⠬�: ���p�p뢭�� �����ᮩ $x,~0 \leq x \leq 1,$
� ���p�⭮� ���p����⮩ $\lambda$ (�㤥� ����p���, �� $\lambda$ -- p���� $n$, �᫨
$\lambda=\dfrac{2k+1}{2^n}$). �� �pאַ� $\Lambda_{\lambda}$ p��ᬮ�p�� $\Cal L_2(\Lambda_{\lambda}),$ � �
����⢥ $H$ ���쬥� $\sum\limits _{\lambda} \oplus \Cal L_2(\Lambda_{\lambda}),$ �.�.
$$
H=\{f(x,\lambda)~:~\sum_{\lambda'}\int\limits _{\Lambda_{\lambda'}}|f(x,\lambda')|^2~dx=\sum_{\lambda'}\int_0^1
|f(x,\lambda')|^2~dx<\infty\},
$$
� ᪠��p��� �p���������� �㭪権 $f,~g$ ��p�������� �p�㫮�:
$$
(f,g)=\sum _{\lambda'}\int_0^1f(x,\lambda')\overline{g(x,\lambda')}~dx.
$$

\quad $1_2.$ ~�� ������⢥ �㭪権 $\{f(x,\lambda)\}$ �������� ���p��� 㬭������
(��� �� �㭪権, ��� ᮮ⢥�����騥 p�� �室����):
$$
(f \times g)(x,\lambda)=\sum_{\lambda'}{f(x,\lambda')}g(x-\lambda',~\lambda-\lambda'). \eqno({1.1})
$$

\quad ���ᬮ�p�� �����p� $\goth A_n$ �㭪権, �⫨��� �� 0 ⮫쪮 �� �p���
$\Lambda_{\lambda}$ p���� �� ��� $n$, � ������ �� �pאַ� $\Lambda_{\lambda}$ ���:
$$
f(x,\lambda)=\sum_{k=0}^{2^n-1}C_k \Cal P_n^k(x),
$$
��� $C_k$ -- ��� ��������� �����樥���,
$\Delta_n^k=\{x~:~{k\over {2^n}}\leq x < {{k+1}\over {2^n}}\},$
$\Cal P_n^k$ -- �p���p����᪠� �㭪�� $\Delta_n^k.$ ��� ⠪��
�㭪権 �p��� � (1.1) ����� ������� �㬬�, �.�. 㬭������ �ᥣ��
��p�������.

\quad ����� $$\goth A^{(1)}=\bigcup_{n=0}^{\infty}~\goth A_n$$ -- ������⢮, ����
���⭮� � $H$. �� $\goth A^{(1)}$ �������� ���p��p� ������ 㬭������
$A_f(g)=f \times g,$ � ��� ���p��p�� ⠪�� �������� ᪠��p��� �p����������
$$
(A_f,A_g)=(f,g)=\sum_{\lambda'}\int\limits _{{\Lambda_{\lambda'}}}{f(x,\lambda')}\overline{g(x,\lambda')}~dx
$$
� ��p��, ��p��������� �⨬ ᪠��p�� �p�����������,
$$
\|A_f\|^2=\|f\|^2=\sum_{\lambda'}\int_0^1|{f(x,\lambda')}|^2~dx. \eqno({1.2})
$$

\quad ���p��p $A_f$, ��p�������� �� $\goth A^{(1)}$, �� ���p�p뢭��� �p����������
�� �� �p���p���⢮ $H$.

\quad $1_3$. ����� ⥯�p� $\goth A=[\goth A^{(1)}]$ -- ���몠��� $\goth A^{(1)}$ � ᨫ쭮�
⮯������. �����⭮ [2], �� $\goth A$ -- ���p��ᨬ�⨢�� ������ 䠪�p
⨯� $\amalg_1.$ �⭮�⥫�� ᫥� ���p��p� $A_f$ ��p�������� �p�㫮�
$$
Tr(A_f)=\int\limits_{\lambda=0}f(x,0)~dx, \eqno({1.3})
$$
⮣��
$(A_f,B_g)=Tr(B_g^*\cdot A_f),~\|A_f\|^2=Tr(A_f^*\cdot A_f)$,
���⮬� ��p�� � �p���p���⢥ $H$, ��p��������� �p�㫮� (1.2),
���뢠���� ᫥����� ��p���.

\quad ��� ��� ��� �p����p� $\Cal P \in \goth A$, ᮮ⢥�����饣� �㭪樨
$\Cal P(x,\lambda)$, �⭮�⥫쭠� p����p����� $\Cal D(P)$ ����
$$
Tr(P)=\int_0^1 \Cal P(x,0)~dx=\Cal D(P). \eqno({1.4})
$$
�����⭮, �� � ᫥����� ��p�� ��� 㭨�p���� ���p��p�
$U \in \goth A~\mathbreak \break
\|AU\|=\|UA\|=\|A\|=\|A^*\|$ � �� ���p��᪨ �室�����
(�.�. �室����� � ᫥����� ��p��) ��᫥����⥫쭮��� ���p��p�� $A_n$
� p������p�� ��p���祭�묨 ��p���� (�� �� �㤥� ���������, ᫥��� $[2],~
|\|\cdot|\|$) �室���� ᨫ쭮.

\quad $1_4.$ ~�����p� $\goth A_n$ �����p䭠 �����p� ��� ���p�� $2^n \times 2^n;$
�p�㫠 㬭������ (1.1) �� $\goth A_n$ ���� �p��� �p�㫠 㬭������ ���p��
$$
(f \times g)_{ij}=\sum _k f_{ik}~g_{kj},
$$
��� $i$ -- �⮫���, $j$ -- ��p���.

\quad �᫨ $\goth A_n,~\goth A_{n+1}$ p��ᬠ�p����� ��� ������⢠ ���p��, � $\goth A_n$
�����뢠���� � $\goth A_{n+1}$ ᫥���騬 ��p����:
$$
A \in \goth A_n \Leftrightarrow \widetilde A \in \goth A_{n+1},\qquad \text{���}~
\widetilde A=I_1 \otimes A,\quad I_1=\pmatrix 1&0\\0&1 \endpmatrix ,\quad
\text{�.�. �᫨}$$
$A \sim \|a_{st}\|,~ \widetilde A \sim \|\widetilde a_{st}\|$,\quad
� $~a_{st}=\widetilde a_{2s,2t}=\widetilde a_{2s+1,~2t+1},\quad
s,t=0,1,~\ldots,$ $2^n-1;$ � ��⠫�� $\widetilde a_{st}$ p���� ���.

\quad � ���쭥�襬 �� ��� �㤥� ���짮������ �p����� "������⢮ �㭪権 $f$"
����� "������⢮ ���p��p�� $A_f$" -- ⠬, ��� �� �� �p������ �
����p��㬥���.

%\newpage
\centerline
{\bf{2. �����p� $C^{\alpha}$}}

\quad $2_1.$ ~����� $\Cal D \subset \goth A$ -- ������⢮ �㭪権 $f(x,\lambda),$
�⫨��� �� ��� ⮫쪮 �� ������� ��������� $\lambda=0.\ \Cal D$ ����
���ᨬ��쭮� ������⨢��� $*$-�����p�� � $\goth A;~\Cal D$ p����p��; ��
��p����饩 ����, ���p���p, ���p��p $X$, ᮮ⢥�����騩 �㭪樨
$$
X(x,\lambda)=\left\{ \aligned
x&:~\lambda=0,\\
0&:~\lambda \ne 0.
\endaligned
\right.
$$

\quad $X$ ����� ��᪮��筮�p��� �������᪨� ᯥ��p �� ��p���� $[0,1]$.

\quad �����p� $\Cal D$ ����� �p���⠢��� � ����
$$
\Cal D =[\cup_{n=0}^{\infty} \Cal D_n],
$$
��� �p� 䨪�p������� $n$
$$
\Cal D_n=\Bigg\{f(x,\lambda)\in \Cal D~:~f(x,\lambda)=
\sum_{k=0}^{2^n-1}C_k \Cal P_n^k(x)\Bigg\}.
$$
\noindent
������ �� �������� �����p $\Cal D_n$ ���ᨬ��쭠 � �����p� $\goth A_n.$

\quad $2_2.$ ~�����p� $C^\alpha \ (\alpha \ \text{䨪�p�����})$ ����祭� ��
$\Cal D:$
$$
\left\{ \matrix{
C^\alpha =[\cup_{n=o}^\infty C_n^\alpha],~C_n^\alpha=(V_n^{*\alpha})
\Cal D_nV_n^\alpha,\hfill\cr
V_{n+1}^\alpha =K_{n+1}^\alpha \cdot V_n,~
K_{n+1}^\alpha=K^\alpha \otimes I_n,~
   K^\alpha=\left(\matrix{
           sin~\alpha & cos~\alpha \cr
           cos~\alpha & -sin~\alpha }\right), \cr
0 \leq \alpha \leq {\pi\over  2}, \quad I_n -~
\text{�������\ ���p��p\ �}\ \goth A_n. \hfill\cr
}\right.
\eqno({2.1})
$$

\quad �祢����, $(V_n^\alpha)^*=V_n^\alpha.$

\noindent
�����⭮ [1], �� $C^\alpha$ p����p�� � ���ᨬ����.

\quad � ������ �� $C^\alpha$ � ����⢥ ��p����饩 ����� ����� ���p��p
$\Cal B^\alpha~:\mathbreak~\Cal B^\alpha
=lim _{n \to \infty} \Cal B_n^\alpha$
(�p���� � p������p��� ⮯������),
$$
\Cal B_n^\alpha ={1\over {2^n}}\sum_{s=0}^{2^n-1}(s+1)V_n^\alpha~
\Cal P_n^s~V_n^\alpha;
$$
\noindent
ᯥ��p $\Cal B^\alpha$ -- ��⭮�p��� �������᪨� �� ��p���� [0,1];
ᯥ��p���� �p����p�
$$
\overline{\Cal P}(\Delta_n^k)=\overline{P}_n^k=V_n^\alpha~P_n^k~V_n^\alpha.
\eqno({2.2})
$$
\noindent
�p� �⮬ �� (1.4) ��� �⭮�⥫쭮� p����p���� $\Cal D$ �����
$$
\Cal D(\overline{P}_n^k)=\Cal D(P_n^k)=Tr(P_n^k)=
\int\limits_{\dsize\Delta_n^k}~dx=
{1\over {2^n}}.
\eqno({2.3})
$$

\quad $2_3.$ ~����� $U \in \goth A$ -- 㭨�p�� ���p��p, ��⠢���騩 $C=C^\alpha$
�� ����: $UCU^*=C.$ ����� ��� ��p����饩 $B^\alpha=B$
$$
UBU^*=S(B)\in C.
$$
\noindent
�᫨ $\Cal B =\dsize\int_0^1x~d\overline{P}_x$ -- ᯥ��p��쭮� p��������� $B$,
� ���p��p $S(B)$ ����� ��� $S(B)=\dsize\int_0^1s(x)~d\overline{P}_x.$

\quad �p���p�������� $s$ � ������� �p���p��������� �� ᯥ��p� $\Cal B$,
\break ��p������� ���p��p�� $U.$

\quad ���p��p, �����⢫��騩 �p���p��������, ��p���� ��p� $m$ �� ��p����
[0,1], �������� �⭮�⥫�� ᫥���: �᫨ ��� ���p����
$m(\Delta)=Tr(\overline{P}(\Delta))$, �
$~\overline{P}(\Delta)\to U\overline{P}(\Delta)U^*$ �
$~m(\Delta)\to m'(\Delta)$, ��� $m'(\Delta)=
m(U\overline{P}(\Delta)U^*)=Tr(U\overline{P}(\Delta)U^*)=
Tr(\overline{P}(\Delta))= m(\Delta).$

\quad �� (2.3) �����, �� ��p� $m$ �� [0,1], �������� � ������� �⭮�⥫쭮��
᫥��, ���� ��p�� ������.

\quad �� �㤥� ����p���, �� ��p������ $\Cal B$ �������� �p���p��������� $s$,
�᫨ ������� ⠪�� $U \in \goth A$, �� $UBU^*=S(B)$.

\quad $2_4.$ ~� [1] �������� (����� 1), �� �� 㭨�p�� $U \in \goth A$,
��⠢���騩 $\Cal D$ �� ����, ����� ���
$$
U=U_{\Cal D}\cdot S, \eqno({2.4})
$$
\noindent
��� $U_{\Cal D}$ -- ���������� 㭨�p�� ���p��p, � $S$ -- ���p��p
"����⠭����", ���p� ��p����� ⠪: ����� $Q_i$ -- ������⢮ �祪 ��
�pאַ� $\Lambda _i$ ⠪��, ��� $U(x,\lambda_i)\ne 0,$ � ����� $Q_i^x,~Q_i^y$ --
�p���樨 $Q_i$ �� �� $Ox$ � $Oy$ ᮮ⢥��⢥���. ����� �p� $i \ne k$
$$
\left\{\matrix{
0=m(Q_i^x~Q_k^x)=m(Q_i^y~Q_k^y),\cr
1=\sum_i m(Q_i^x)=\sum_i m(Q_i^y).
 }\right.
\eqno({2.5})
$$

\quad �����
$$
S(x,\lambda_i)= \Bigg \{\matrix{ 
1&:~x \in Q_i^x,\cr
0&:~x \notin Q_i^x; }
\eqno({2.6})
$$
\noindent
�p� $x \in Q_i^x~$ ����� $s(x)=x-\lambda_i$.

\quad �p���p�������� $s$ ��p���� $[0,1]$, ��p�������� ���p��p�� $U$,
��������� ��p�������� ���p��p�� $S:$ ��� ��� $\Cal P_n^k$
$$
UP_n^kU^*=U_{\Cal D}SP_n^kS^*U_{\Cal D}^*=SP_n^kS^*,
$$
�.�. ���p��p $SP_n^kS^* \in \Cal D,$ � �����p� $\Cal D$ ������⨢��.

\medskip
\centerline
{\bf{3. �室������ ���p��p�� $U_n$, ��⠢����� �����p�
$\Cal D$ �� ����}}
\smallskip

\quad �p���p���⢮ ��p�⨬�� ��p������ ��p� $m$ �p���p�������� \linebreak
��p����
$[0,1]$ ����� ���p�������. ����� �� ���p��, �ᯮ��㥬�� � �p�����᪮�
⥮p��, ���� ���p��� $d':$ �᫨ $s_1,~s_2$ -- �p���p��������, �
$$
d'(s_1,s_2)=m\{x~:~s_1(x) \ne s_2(x)\}.
$$

\quad �室������ �p���p�������� � �⮩ ���p��� ���뢠���� p������p��� �室�������.
����� ����

\proclaim{\indent ���p��� 1} �᫨ ��᫥����⥫쭮��� 㭨�p��� ���p��p��
$U_n \in \goth A,$ ��⠢����� $\Cal D$ �� ����, �室���� ���p��᪨ � 
\break ���p��p�
$U \in \goth A$, � ᮮ⢥�����騥 �p���p�������� $s_n$ \break
��p���� $[0,1]$ �室����
� ���p��� $d'$ � �p���p�������� $s$, ��p��������� ���p��p�� $U$.
\endproclaim \pagebreak

\newpage
\quad \underbar{������⥫��⢮.}

\quad 1. ����� $S_n,~S$ -- ��� ���p��p�, ��p�������� �p�㫮� (2.6) �
$$ \aligned
Q_i &=\{(x,\lambda_i) \in \Lambda_i~:~S(x,\lambda_i)=1\},\\
Q_i^{(n)} &=\{(x,\lambda_i) \in \Lambda_i~:~S_n(x,\lambda_i)=1\}.
\endaligned
$$
\noindent
������
$||S-S_n||^2=\sum \limits_{\lambda_i} \int \limits_0^1 |S(x,\lambda_i)-S_n(x,\lambda_i)|
^2~dx. $

\noindent
��᪮��� �p� �� $i$
$$
[0,1]=(Q_i^x+\overline{Q_i^x})(Q_i^{(n)x}+\overline{Q_i^{(n)x}})=
F_i^1+F_i^2+F_i^3+F_i^4,
$$

\noindent
��� $F_i^1=Q_i^x \cdot Q_i^{(n)x},~
F_i^2=Q_i^x \cdot \overline{Q_i^{(n)x}},~F_i^3= \overline{Q_i^x} \cdot Q_i^{(n)x},
F_i^4=\overline{Q_i^x} \cdot \overline{Q_i^{(n)x}}$, �
$$
||S-S_n||^2= \sum_{\lambda_i} \sum_{k=1}^4 \int \limits_{F_i^k}|S(x,\lambda _i)-
S_n(x,\lambda _i)|^2dx.
\eqno({3.1})
$$

\quad �᫨ �p� 䨪�p������� $i$ (�.�. �� 䨪�p������� �pאַ� $\Lambda_i$)\break
$x \in F_i^{1},~ \text{�}~S(x,\lambda_i)=S_n(x,\lambda_i)=1;~\text{�᫨}~
x \in F_i^{4},~\text{�}~S{(x,\lambda_i)}=\mathbreak
=S_n{(x,\lambda_i)}=0,~\text{�.�. � ����� �����}~
0=S{(x,\lambda_i)}-S_n{(x,\lambda_i)}.$

\noindent
�p� $x \in F_i^2~:~S{(x,\lambda_i)}=1,~S_n{(x,\lambda_i)}=0;~|S{(x,\lambda_i)}-S_n{(x,\lambda_i)}|=1;\mathbreak
\text{�p�}~x \in F_i^3~:~S{(x,\lambda_i)}=0,~S_n{(x,\lambda_i)}=1;~|S{(x,\lambda_i)}-S_n{(x,\lambda_i)}|=1.$

\noindent
���⮬�
$$
||S-S_n||^2=\sum_i(\int \limits_{F_i^2}dx+\int \limits_{F_i^3}dx)=
\sum_im(Q_i^x \cdot \overline{Q_i^{(n)x}})+
\sum_im(\overline{Q_i^x}\cdot Q_i^{(n)x}).
\eqno({3.2})
$$

2. ���ᬮ�p�� ������⢠
$$
\split
\Cal G&=\sum_i{Q_i^x} \cdot \overline{{Q_i^{(n)}}}=\sum_i\{x \in {Q_i^x}~:~s(x)=x-\lambda_i, s_n(x)\ne x-\lambda_i\}=
$$ $$
&=\sum_i\{x \in {Q_i^x}~:~s(x) \ne s_n(x)\}=\{x \in [0,1]~:~s(x) \ne s_n(x)\},~
$$ $$
\mathbreak \text{�} 
$$ $$
\Cal G'&=\sum_i \overline{{Q_i^x}} \cdot {Q_i^{(n)}}.
\endsplit
$$

\quad ��᪮��� �p� $i \ne j \quad m({Q_i^x} \cdot {Q_j^x})=m({Q_i^{(n)}} \cdot {Q_j^{n}})=0,$
������⢠, ���騥 � �㬬�� ��� $\Cal G~\text{�}~\Cal G',$ ����p�� ��
��p�ᥪ����� (� �筮���� �� ������⢠ ��p� 0) �
$$
m(\Cal G)=\sum_im({Q_i^x} \cdot \overline{{Q_i^{(n)}}});~m(\Cal G')=\sum_im(\overline{{Q_i^x}} \cdot
{Q_i^{(n)}}).
$$

\noindent
�᫨ $x \in \Cal G,~\text{�p�祬}~x \in {Q_i^x},~\text{�}~x \notin {Q_i^{(n)}},$
� �.�. (� �筮���� �� ������⢠ ��p� 0)
$\sum \limits_k Q_k^{(n)x}=[0,1]$ � ������⢠ $Q_k^{(n)x}$
����p�� �� ��p�ᥪ�����, � �p� �����p�� (�����⢥����) $j \quad
x \in {Q_j^{n}};~\text{�.�.} \mathbreak
x \in {Q_i^x},~\text{�}~x \notin {Q_j^x},~
\text{�.�.}~x \in \overline{{Q_j^x}},~x \in {Q_j^{n}} \cdot \overline{{Q_j^x}} \subseteq \Cal G'.$

%\noindent
\quad ����� ��p����, $\Cal G \subseteq \Cal G'$, �筮 ⠪ �� $\Cal G' \subseteq \Cal G$,
�.�. $\Cal G=\Cal G'$, � �� (3.2)
$$
||S-S_n||^2=2m(\Cal G)=2\sum \limits_im\{x \in {Q_i^x}~:~s(x) \ne s_n(x)\}=
2d'(s,s_n).
\eqno({3.3})
$$

\noindent
���⮬� �� $||s-s_n|| \to 0 \Rightarrow d'(s,s_n) \to 0$ �p�
$n \to \infty.$

\quad 3. ����� ⥯�p� $U,U_n$ -- ��� ���p��p�, ��p����塞� �p�㫮�
(2.4):
$$
U=U_{\Cal D} \cdot S,~U_n=U_{\Cal D}^{(n)} \cdot S_n,~\text{�}~
||U-U_n|| \to 0.
$$

\noindent
������� $U_{\Cal D}^{*(n)} \cdot U_{\Cal D}=U_n' \in \Cal D,$ ⮣��
$$
U_n'(x,\lambda)=\Bigg\{ \matrix{
e^{i \psi _n(x)}~&:~\lambda =0,\cr
0 &:~\lambda \notin 0,
}
$$

\noindent
$|e^{i \psi _n(x)}|=1.$ �����
$$
\split
||U-U_n||^2&=||U_{\Cal D} \cdot S - U_{\Cal D}^{(n)}S_n||^2=
||U_n' \cdot S-S_n||^2=
$$ $$
&=\sum_j \int \limits_0^1|{e^{i \psi _n(x)}} \cdot S(x,\lambda_j)-S_n(x,\lambda_j)|^2dx.
\endsplit
$$

\noindent
���ᬮ�p�� �㭪樨
$f_n(x,\lambda)=|{e^{i \psi _n(x)}} \cdot S(x,\lambda)-S_n(x,\lambda)|^2,~\text{�}$ \break
$\quad g_n(x,\lambda)=|S(x,\lambda)-S_n(x,\lambda)|^2.$ �᫨

\noindent
�) $S{(x,\lambda)}=S_n{(x,\lambda)}=1,~\text{�}~f_n{(x,\lambda)}=|{e^{i \psi _n(x)}}-1|^2 \geq 0,$ \break
$g_n{(x,\lambda)}=0,~\text{�.�.}~f_n{(x,\lambda)} \geq g_n{(x,\lambda)};$

\noindent
�) $S{(x,\lambda)}=S_n{(x,\lambda)}=0 \quad \Rightarrow \quad f_n{(x,\lambda)}=g_n{(x,\lambda)}=0;$

\noindent
�) $S{(x,\lambda)}=1,~S_n{(x,\lambda)}=0 \quad \Rightarrow \quad f_n{(x,\lambda)}=|{e^{i \psi _n(x)}}|^2=1,~g_n{(x,\lambda)}=1;$

\noindent
�) $S{(x,\lambda)}=0,~S_n{(x,\lambda)}=1 \quad \Rightarrow \quad f_n{(x,\lambda)}=|-1|^2=1=g_n{(x,\lambda)}.$

\quad ����� ��p����, �ᥣ�� $f_n{(x,\lambda)} \geq g_n{(x,\lambda)},$ �
$$
||U-U_n||^2=\sum_j \int \limits_0^1 f_n(x,\lambda_j)dx \geq
\sum_j \int \limits_0^1 g_n(x,\lambda_j)dx=$$ $$=
||S-S_n||^2=2d'(s,s_n),
$$

\noindent
��㤠 ᫥���, �� �p� $||U-U_n|| \to 0$ ����� $d'(s,s_n) \to 0$.

\quad {\bf ����砭��.} �� �室����� $s_n \to s$ � ���p��� $d'$
�� �� ᫥��� �室������ ���p��p�� $U_n~ \text{�}~U.$

\quad ����⢨⥫쭮, $||U-U_n||^2=||U_{\Cal D} \cdot S-U_{\Cal D}^{(n)}
\cdot S_n||^2,$ � �.�. �p���p�������� $s_n,~s$ ��p���������
���p��p��� $S_n,~S$ ᮮ⢥��⢥���, � ���������� �����⥫�
$U_{\Cal D},~U_{\Cal D}^{(n)}$ ����� ��p��� ��� 㣮���. ���⮬�
����� �����, ���p���p, $U_{\Cal D}=I,~U_{\Cal D}^{(n)}=-I,$
� ⮣��
$$
\split
||U-U_n||^2&=||S+S_n||^2=\sum_j \int \limits_0^1 |S(x,\lambda_j)+
S_n(x,\lambda_j)|^2dx \geq 
$$ $$
&\geq \sum_j \int \limits_0^1 |S(x,\lambda_j)|^2dx=||S||^2 \nrightarrow 0
\quad \text{�p�}~ n \to \infty.
\endsplit
$$

\medskip
\centerline
{\bf {4. ���p��p� $U_n$, ��⠢���騥 �� ���� �����p� $C=C^{\alpha}$}}
\smallskip

\quad ���ᬮ�p�� �����p� ᢮��⢠ ���p��p�� $V_n^{\alpha}$ (�p�㫠 (2.1)),
���p� ����� �� �㤥� ��������� �p��� $V_n.$

\quad {\bf{�����⢮ 1.}} ~��� ��类�� $T_n \in \goth A_n$ ����� �p�
$k>0$
$$
V_nT_nV_n^*=V_{n+k}T_nV_{n+k}^*.
\eqno({4.1})
$$

\quad \underbar{������⥫��⢮}.

\quad ���p��p $K_{n+1}$ ������p�� � �ᥬ� $T_n \in \goth A_n$ : � �����p�
$\goth A_{n+1}$ ���p��p� $T_n$ ᮮ⢥����� ���p��
$\widetilde{T_n}=I_1 \otimes T_n,$ � \break
$T_nK_{n+1}=(I_1 \otimes T_n)(K^{\alpha} \otimes I_n)=K^{\alpha}
\otimes T^n=K_{n+1}T_n.$ ���⮬� \break
$V_{n+1}T_nV_{n+1}^*=K_{n+1}V_nT_nV_n^*K_{n+1}=K_{n+1}(V_nT_nV_n^*)
K_{n+1}=V_nT_nV_n^*= \mathbreak
=V_nT_nV_n,~$ �.�.
$V_nT_nV_n^* \in \goth A_n,~K_{n+1}=K_{n+1}^*,~V_n^*=V_n$ ��� ��� $n.$

\quad {\bf{�����⢮ 2.}} ��� ��类�� $T \in \goth A$ ������� ᨫ��
�p���� \break
$\widetilde{T}={lim}_n V_nTV_n^*={lim}_n V_nTV_n.$

\quad \underbar{������⥫��⢮}.

\quad ��� �p������쭮�� $\varepsilon >0$ ��p�� $m$ � $T_m \in \goth A_m$ ⠪, �� 
\hfill\break
$||T-T_m||< \varepsilon /2.$ ����� \hfill\break
$||V_{m+k}TV_{m+k}-V_mTV_m||=$
\hfill\break
$=||V_{m+k}TV_{m+k}-V_{m+k}T_mV_{m+k}+V_{m+k}T_mV_{m+k}-\mathbreak
-V_mTV_m|| \leq$ 
\hfill\break
$\leq||V_{m+k}(T-T_m)V_{m+k}||+||V_m(T_m-T)V_m||=
2||T-T_m||< \varepsilon.
$

\noindent
���⮬� ��᫥����⥫쭮��� $\{V_nTV_n\}$ �㭤����⠫쭠 � ���p���
�p�\-��p���⢠ $H$, � �.�. ��� ��� $n$ \break
$
|||V_nTV_n||| \leq |||V_n||| \cdot |||TV_n||| \leq
|||TV_n||| \leq |||V_n||| \cdot |||T|||=|||T|||,
$

\noindent
� ��᫥����⥫쭮��� $\{V_nTV_n\}$ ᨫ쭮 �室���� � �����p���
$\widetilde{T} \in \goth A$.

\quad ��� ���p������� �� ��� �����, ������⥫��⢮ ���p�� ���쬠 �p���,
�, �p��� ⮣�, ���� � p���� [1] (����� 6 � 5 ᮮ⢥��⢥���).

\proclaim {\indent ����� 1} ����� ��� 㭨�p��� $T,~U \in \goth A \quad
||U-T||<\varepsilon.$ ����� ��� ��类�� $\Cal B \in \goth A$
$$
||U \Cal B U^*-T \Cal B T^*||<2 \varepsilon |||\Cal B|||.
\eqno({4.2})
$$

\noindent
� ��⭮��, �᫨ $\Cal B =\overline{\Cal P}$ -- �p����p, �
$$
||U\overline{\Cal P}U^*-T\overline{\Cal P}T^*||<2\varepsilon .
\eqno({4.2.1})
$$
\endproclaim

\proclaim {\indent ����� 2} ����� $\overline{\Cal P_1},$ $\overline{\Cal P_2}$ --
�p����p� � �������� �����p� $C, \break \overline{\Cal P_1}$, 
$\overline{\Cal P_2}$ -- ᮮ⢥�����騥
�� ������⢠ �� ᯥ��p� ���p��p� $\Cal B$ -- ��p����饩 $C$. �����
$$
||\overline{\Cal P_1}-\overline{\Cal P_2}||^2=m(\overline{\Cal P_1} \Delta \overline{\Cal P_2}).
\eqno({4.3})
$$
\endproclaim

\proclaim {\indent ����� 3} �᫨ 㭨�p�� $U \in \goth A$ ��⠢��� �� ����
�����p� $C^\alpha=C,$ � ���p��p
$\widetilde{U}={lim}_n V_nUV_n$ ��⠢��� �� ���� �����p�
$\Cal D$. �p� �⮬ �p���p�������� �� ᯥ��p� $\Cal B$, ��p��������
$U$, ᮢ������ � �p���p��������� �� ᯥ��p� $X$, ��p�������
$\widetilde{U}$.
\endproclaim

\quad \underbar{������⥫��⢮}.

\quad �㦭� ��������, �� �� �p����p $\Cal P_n^k \in \Cal D$ ��� ����⢨��
���p��p� $\widetilde{U}$ ᭮�� ��p�室�� � �p����p �� $\Cal D.$
����� ���� $\overline{\Cal P},~\overline{\Cal F},~\overline{E}$ ���� �p����p� ��
$C$; ������祭�� $\Cal P, \Cal F, E$ �ᯮ������� ��� ᮮ⢥�������
�� ������� �� ᯥ��p� $\Cal B$ � $C$ �, �.�. ᯥ��p�
$\Cal B \in C~\text{�}~X \in \Cal D$ ���������, � � ��� �p���p����᪨�
�㭪権 ��� �������, ������ �p����p��� � $\Cal D$.

\quad 1. ����� ���
$\overline{\Cal P}_n^k \in C \quad U\overline{\Cal P}_n^kU^*=\overline{E}_n^k \in C$;
��p�� $\varepsilon >0$. ����� $\Cal F_{n,n+m}^k$ -- ����筮� ������⢮
p���� $n+m$, ���p��ᨬ�p��饥 $E_n^k$ ⠪, ��
$$
m(E_n^k ~\Delta ~\Cal F_{n,n+m}^k)< \varepsilon ^2/4.
\eqno({4.4})
$$

\noindent
����� � ᨫ� ����� 2 ��� ᮮ⢥������� �p����p�� � $\Cal D$ �����
$$||E_n^k-\Cal F_{n,n+m}^k||< \varepsilon /2,
\eqno({4.5})$$

\noindent
� � $C$
$$
||\overline{E_n^k}- \overline{\Cal F}_{n,n+m}^k||< \varepsilon /2.
\eqno({4.5.1})
$$

\quad 2. ��� ��� $\Cal F_{n,n+m}^k$ -- ������⢮ p���� $n+m$, �
$$
\overline{\Cal F}_{n,n+m}^k=V_{n+m}\Cal F_{n,n+m}^kV_{n+m}~
\in ~C_{n+m}.
$$

\noindent
���⭮襭�� (4.5.1) ����� ��p������ � ����
$$
U\overline{P}_n^kU^*=\overline{\Cal F}_{n,n+m}^k+\Cal G_n^k, \quad
||\overline{\Cal G}_n^k||< \varepsilon /2.
\eqno({4.6})
$$

\noindent
��᪮���
$
V_nP_n^kV_n=V_{n+m}P_n^kV_{n+m}=\overline{P}_n^k,
$
�� (4.6) ����砥�
$$
%\split
\multline
V_{n+m}U\overline{P}_n^kU^*V_{n+m}=(V_{n+m}UV_{n+m})P_n^k(V_{n+m}U^*V_{n+m})=
$$ $$
=V_{n+m}\overline{\Cal F}_{n,n+m}^kV_{n+m}+V_{n+m}\overline{\Cal G}_n^kV_{n+m}=
\Cal F_{n,n+m}^k +V_{n+m} \overline{\Cal G}_n^kV_{n+m},
%\endsplit
\endmultline
\eqno({4.7})
$$

\noindent
���
$\quad||V_{n+m}\Cal G_n^kV_{n+m}||=||\overline{\Cal G}_n^k||~<~\varepsilon /2.
$

\quad 3. �� (4.7) � (4.5) ����砥�:
$$
\multline
||(V_{n+m}UV_{n+m})P_n^k(V_{n+m}U^*V_{n+m})-E_n^k|| \leq
||(V_{n+m}UV_{n+m})P_n^k \cdot 
$$ $$
 \cdot (V_{n+m}U^*V_{n+m})- \Cal F_{n,n+m}^k||+
||\Cal F_{n,n+m}^k-E_n^k||~<~\varepsilon /2+ \varepsilon /2 =
\varepsilon.
\endmultline
\eqno({4.8})
$$

\quad 4. �롨p��� $m_0$ ⠪, �� �p� $m \geq m_0$
$$
||\widetilde{U}-V_{n+m}UV_{n+m}||~<~\varepsilon/2,
\eqno({4.9.1})
$$

\noindent
� $m_1$ ⠪, �� �p� $m \geq m_1$
$$
||(V_{n+m}UV_{n+m})P_n^k(V_{n+m}U^*V_{n+m})-E_n^k||
~<~\varepsilon.
\eqno({4.9.2})
$$

\noindent
����� �p� $m \geq {max} \{m_0,m_1\}$ ����� �� (4.2.1)
$$
\multline
||\widetilde{U}P_n^k \widetilde{U}^*-E_n^k|| \leq
||\widetilde{U}P_n^k \widetilde{U}^*-(V_{n+m}UV_{n+m})P_n^k
(V_{n+m}U^*V_{n+m})||+ 
$$ $$
+||(V_{n+m}UV_{n+m})P_n^k(V_{n+m}U^*V_{n+m})- E_n^k|| ~
<~2 \cdot \varepsilon /2 + \varepsilon = 2 \varepsilon.
\endmultline
\eqno({4.10})
$$

\quad ��᪮��� $\varepsilon$ ����� ���� ��p��� ᪮�� 㣮��� ����, � �����
���� (4.10) �� $m$ � $\varepsilon$ �� ������, �
$\widetilde{U}P_n^k \widetilde{U}^*=E_n^k \in \Cal D,$
�� � �p��������� ��������. ��᪮��� �
$U\overline{P}_n^kU^*=\overline{E}_n^k$
, � �p���p�������� �� ᯥ��p�� $\Cal B \in C~\text{�}~X \in \Cal D$
ᮢ������.

\proclaim{\indent ���p��� 2} �᫨ ��᫥����⥫쭮��� 㭨�p��� ���p��p��
$U_k \in \goth A,$ ��⠢����� �� ���� �����p� $C^\alpha,$ �室���� ���p��᪨
� 㭨�p���� ���p��p� $U \in \goth A~\text{�}~s_k,~s$ -- �p���p�������� ��
ᯥ��p� $\Cal B,$ ��p������� $U_k~\text{�}~U$ ᮮ⢥��⢥���, � $s_k$
�室���� � $s$ � ���p��� $d'.$
\endproclaim

\quad \underbar{������⥫��⢮}.

\quad ����� $U_k \to U.$

\noindent
���ᬮ�p��
$
\widetilde{U}={lim}_{n \to \infty}V_nUV_n~\text{�}~
\widetilde{U}_k={lim}_{n \to \infty}V_nU_kV_n
$
-- ~���p��p�, ��⠢���騥
�� ���� �����p� $\Cal D,$ � ��p�����騥 �p���p�������� $s,~s_k$
 ᮮ⢥��⢥���.

\quad �p� �⮬
$$
\multline
||\widetilde{U}-\widetilde{U}_k||=
||{lim}_nV_nUV_n-{lim}_nV_nU_kV_n||=
||{lim}_nV_n(U-U_k)V_n||= 
$$ $$
={lim}_n||V_n(U-U_k)V_n||=
{lim}_n||U-U_k||=||U-U_k||
\endmultline
$$

\noindent
-- � ᨫ� ���p�p뢭��� ��p�� � ���졥p⮢�� �p���p���⢥. ����� ��p����,
� ᨫ� ⥮p��� 1
$$
||U_k-U||=||\widetilde{U}_k-\widetilde{U}||~\geq~
2d'(s,s_k),
$$

\noindent
��㤠 � ᫥��� �⢥p������ ⥮p���.

\bigskip
\centerline{\bf ���᮪ �ᯮ�짮������ ���p���p�}
\nopagebreak
\medskip
\noindent
1. {\it ��p��쥢� �.�.}
� p����p��� �������� ��������p�� � ���p���-\linebreak
\phantom{��} ��⨢�� ����筮�
䠪�p� // ���. ���. ��p�. 1972. \No ~4. �. 805 -- \linebreak
\phantom{��} 816.

\noindent
2. {\it ������ �.�.} � ������ ���p��p��.~I //
���p���� �p�� ��
�㭪-\linebreak
\phantom{��} 樮���쭮�� �������.
�, 1987. �.2. C. 7 -- 128.

\noindent
3. {\it Dixmier J.}
Sous-anneaux ab\'eliens maximaux dans les facteurs de type \linebreak
\phantom{��} fini // Ann. Math. 1954. Vol. 59. P. 279 -- 286.

\end