%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
\Monograph
\Russian
\TagsOnRight
\NoRunningHeads
\magnification=\magstep2
\pageno1
\topmatter
\endtopmatter
\headline={\hss\tenrm\folio\hss}


%\midinsert
%\vspace{1.5 cm}
%\botcaption{}
%\endcaption
%\endinsert
\bigskip
\bigskip
\bigskip
\noindent
��� 512.543
\nopagebreak
\smallskip
\noindent
{\bf �.~�.~�������᪨�}
\nopagebreak
\smallskip
\noindent
{\bf ��������������� ����������������}
%\nopagebreak
\hfill\break
{\bf �������� ������������������ }
\hfill\break
{\bf $HNN$-���������� ������� �����������
\hfill\break
{\bf �������� ������}
\medskip

\centerline
{\bf 1. ��������}

{\rm
\quad ����� $K$ --- ������� ��㯯�, $A$ � $B$  ---  �����㯯�  ��㯯� $K$  �
$\varphi :A\rightarrow B$ --- ������䨧�. ��㯯�
\par
$$
G=<K,t; t^{-1}At=B,\varphi >,
$$
\noindent ��஦������ ��㯯�� $G$ � ������⮬ $t$ �  ��।��塞��
ᮮ⭮襭�ﬨ
��㯯� $G$ � ᮮ⭮襭�ﬨ ���� $t^{-1}at=a\varphi \  (a\in A)$,
���뢠����  $HNN$  -
���७��� ��㯯� $G$ � ��室��� �㪢�� $t$  �⭮�⥫쭮  �易����
�����㯯 $A$ � $B$ � ������䨧�� $\varphi $ [1].
\par
\quad ��������, �� ��㯯� $G$ ���뢠����  䨭�⭮  ���பᨬ��㥬�� (�.�.),
�᫨ ��� ��� �������筮��  ������� $G$  �������  �������䨧�
��㯯� $G$ � ���室���� ������� ��㯯�, �� ���஬  ��ࠧ  �������
������� �⫨祭 �� �������.

\quad � ࠡ�� [2] �� ������ ᫥���騩 ���਩  䨭�⭮�  ���பᨬ��㥬���
��㯯� $G$ � ��砥, ����� $K$ --- ����筮 ��஦������ ������� ��㯯�.

\quad ����� $D=\{x\in\ K ; $ ��� ������� 楫��� $\nu$ ������� ����ࠫ쭮�
 $\lambda =\lambda (\nu)$ ⠪��, ��
$ t^{-\nu}x^{\lambda}t^{\nu}\in K\}$.
(����� ��������, �� $D$ ���� �����㯯�� � $K$.) ��㯯� $G$ �㤥� 䨭�⭮
���பᨬ��㥬�� ⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, ����� $A=K$ ��� $B=K$ ���
������� �����㯯� ����筮�� ������ $H$ ��㯯� $D$ ⠪��, �� $H\varphi=H$.

\quad ���஬ ������ ������, ��������騩 �� ������� $K$, $A$, $B$ � $\varphi$
��।����� ����⢮����� 㪠������ ��� �����㯯� $H$.

\quad �०�� �ᥣ� �������� ����⨥ �����஢����� �����㯯�. � ������, �����㯯�
 $H$ ��㯯� $K$ ���뢠���� �����஢�����, �᫨ ��� ��� ������� $h\in H$
� ��� ����ࠫ쭮�� �᫠ $n$ �襭�� �ࠢ����� $x^{n}=h$, �᫨ ���
������� � $K$, �ਭ������� � $H$. ��� �� �����㯯� $H$ ��㯯� $K$
��।����� �����஢����� ���몠��� $H$ ��� ����祭�� ��� �����஢�����
�����㯯 ��㯯� $K$, ᮤ�ঠ�� �����㯯� $H$. ����� ��������, �� ��
����祭��, ���஥ �� �㤥� ��������� �१ $I(H)$, ᠬ� ���� �����஢�����
�����㯯�� ��㯯� $K$.

\quad ����� $K$ --- ᢮������ ������� ��㯯� � ����ᮬ $g_{1},\ldots,\ g_{n}$.
���ᬮ�ਬ �������� ����࠭�⢮ $L$ ��� ����� �樮������ �ᥫ � ����ᮬ
$g_{1},\ldots,\ g_{n}$ ⠪��, �� ��㯯� $K$ ����⢥��� ��ࠧ�� �����뢠����
� ����⨢��� ��㯯� ����࠭�⢠ $L$. ��� �� �����㯯� $U$ ��㯯� $K$
������稬 �१ $L(U)$ �������� ���몠��� $U$ � $L$, � ���� ��������
�������࠭�⢮ � $L$, ��஦������ $U$. ������䨧� $\varphi$ ��।����
����⢥��� ��ࠧ�� �������� �⮡ࠦ���� $\varphi_{L}$ �������࠭�⢠ $L(A)$
�� �������࠭�⢮ $L(B)$. ������騥 ᢮��⢠ ��⥪��� �����।�⢥��� ��
��।������.

{\bf �।������� 1} ��� ���� ���� �����㯯 $U$ � $V$ ��㯯� $K$

1)  $L(U\cap V)=L(U)\cap L(V)$;

2)  $L(U)\cap K=I(U)$;

3)  �᫨ $U\subseteq A$, � $L(U\varphi)=L(U)\varphi_{L}$;

4)  �᫨ $V\subseteq B$, � $L(V\varphi^{-1})=L(V)\varphi^{-1}_{L}$.

\quad � ࠧ���� 4 ࠡ��� [2] ��������, �� �����㯯� $D$ ����� ���� ���ᠭ�
᫥���騬 ��ࠧ��. ����� $M_{0}=A\cap B$. ��।���� �� ����樨
$M_{i+1}=M_{i}\varphi^{-1}\cap M_{i}\cap M_{i}\varphi$ ��� ��� $i=0,1,\ldots$.
����砥� $M_{i+1}\leq M_{i}$ ��� ��� $i$ � �������� ⠪�� 楫�� $k$, �� ࠭��
᢮������ �������� ��㯯 $M_{i}$ � $M_{i+1}$ ᮢ������. ����� $D$ ����
�����஢���� ���몠���� $M_{k}$, � ���� $D=I(M_{k})$. �⬥⨬, �� �����㯯�
$D$ ���� �����஢����� �����㯯�� ��㯯� $K$.

\quad ���室� � ������� ���몠��� � ���뢠� �।������� 1, ����砥�
$L(M_{0})=L(A)\cap L(B)$  �
$L(M_{i+1})=L(M_{i})\varphi^{-1}_{L}\cap L(M_{i})\cap L(M_{i})\varphi_{L}$
��� ��� $i=0,1,\ldots$. ����� ��������, �� $L(D)=L(M_{k})$, ��祬
$L(D)\varphi_{L}=L(D)$.
����� ��ࠧ��, $L(D)$ ����� ��䥪⨢�� ��।����� �� ����筮� �᫮ 蠣��.

{\bf ���६� 1} ����� $K$ --- ����筮 ��஦������ ᢮������ �������
��㯯�, $A$ � $B$ ᮡ�⢥��� �����㯯� ��㯯� $K$ �
$\varphi :A\rightarrow B$ --- ������䨧�. ��㯯� $G$ ���� 䨭�⭮
���பᨬ��㥬�� ⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, ����� ��� ��࠭�祭�� $\psi$ ���������
�⮡ࠦ���� $\varphi_{L}$ �� �������࠭�⢮ $L(D)$ �믮������� �᫮���:

(i) �� �����樥��� �ࠪ�����᪮�� �����童�� ������ $\psi$ �����
楫묨 �᫠��;

(ii) ����� ��।���⥫� ������ $\psi$ ࠢ�� ������.


\qquad ���뢠�, �� $L(D)$ ��䥪⨢�� ��।������ �� ������� $A$, $B$ � $\varphi$,
⥮६� 1 ���� ������ ��� �஢�ન 䨭�⭮� ���பᨬ��㥬���
$HNN$-���७�� ᢮������ �������� ��㯯� ����筮�� ࠭��.

\quad ��� ���ॡ���� ���� ����� ����� �� �������� �������.

\quad 
{\bf �����. } ����� $L$ --- ����筮��୮� �������� ����࠭�⢮ ��� �����
�樮������ �ᥫ. ������� ������ ����࠭�⢠ $L$ ����� � ���室�饬
����� 楫��᫥���� ������ � ⮬ � ⮫쪮 ⮬ ��砥, ����� �� �����樥���
��� �ࠪ�����᪮�� �����童�� ����� 楫묨 �᫠��.

\quad \underbar{������⥫��⢮.}~ �����筮 ࠧ������ $L$ � ����� �㬬� 横���᪨�
�������࠭��. ��� ��� �����⭮, � ������ ⠪�� �������࠭�⢥ �����
����� ����� ⠪�� ��ࠧ��, �� ����� ��࠭�祭�� ������ �� ��
�������࠭�⢮ �㤥� ᮯ஢�����饩 ��� �ࠪ�����᪮�� �����童��
������ �� ������ �������࠭�⢥. �� ��� ��ଠ��������� �����童�
���� ����⥫�� ��ଠ����������� �����童�� � 楫묨 �����樥�⠬� �
��⮬� ᠬ ����� 楫� �����樥���.

\quad \underbar{������⥫��⢮ ⥮६� 1.}~ ����� ��㯯� $G$ 䨭�⭮ ���பᨬ��㥬�, ⮣��
�������� �����㯯� ����筮�� ������ $H$ ��㯯� $D$ ⠪��, �� $H\varphi=H$.
����筮��� ������ �����㯯� $H$ � ��㯯� $D$ ����� ᮢ������� $L(H)$ � $L(D)$.
�롥६ � �����㯯� $H$ �����-����� ����� � ��ᬮ�ਬ ������ ��࠭�祭��
$\varphi$ �� �����㯯� $H$, ����ᠭ��� � �⮬ �����. �� ����� ����
楫��᫥���� � �� ��।���⥫� ���⨬ � ����� 楫�� �ᥫ, ⠪ �� ���
�᫮��� �� ⥮६� 1 �믮������� �祢���� ��ࠧ��.

\quad ���⭮, ����� ��� ������ $\psi$ �믮����� (i) � (ii).
�� �।��饩 ����� �������� ����� $d_{1},\ldots,\ d_{r}$ ����࠭�⢠ $L(D)$,
� ���஬ ����� ������ $\psi$ ���� 楫��᫥����. ��� ����� ��
����஥��� $L(D)$, ��� ᮤ�ন��� � $L(A)$, ᫥����⥫쭮, �������� �����
$L(D)$ ����� �樮����묨 ������묨 ��������ﬨ ������⮢ ����� �����㯯�
$A$. ���⮬� �������� ⠪�� ����ࠫ쭮� N, �� �������� $Nd_{1},\ldots,\ Nd_{r}$
����� � �����㯯� $A$. �� ��� ����� ������, ����� ������ $\psi$ � �����
����� $L(D)$ ��⠭���� �०���. ������稬 �१ $H$ �����㯯� ��㯯� $A$,
��஦������ ������⠬� $Nd_{1},\ldots Nd_{r}$. �� �।���� ���㦤���� ᫥���,
�� ����� ���� ����祭�� $H\varphi \subseteq H$. �᫮��� (ii) ����砥�, ��
�� ᠬ�� ���� $H\varphi =H$. ��� �����襭�� ������⥫��⢠ ��⠥��� �������,
�� $I(H)=L(H)\cap K=L(D)\cap K=I(D)=D$, ���⮬� $H$ ���� �����㯯��
����筮�� ������ � ��㯯� $D$.

\quad ��३��� ⥯��� � ��ᬮ�७�� ��饣� ����, ����� $K$ --- �ந����쭠� ����筮
��஦������ ������� ��㯯�. ������稬 �१ $T$ ��ਮ������ ���� ��㯯� $K$,
� ���� �����㯯� ��㯯� $K$, ������� �� ��� ������⮢ ����筮�� ���浪�.
��� ����� �஢����, ����� ���� ࠢ���⢮ $(T\cap A)\varphi =T\cap B$, ���⮬�
$\varphi $ �������� ����⢥��� ��ࠧ�� ������䨧�
$\varphi ^{*}:A/A\cap T\rightarrow B/B\cap T$. ����� $\varphi_{T}$ ������砥�
��������� ����⢥���� ������䨧���
$AT/T\rightarrow A/A\cap T\rightarrow B/B\cap T\rightarrow BT/T$, ⠪ ��
$(aT)\varphi_{T}=(a\varphi )T$. ����� �� ����� ��।����� $HNN$-���७��
$G_{T}=<t_{T},K/T;t^{-1}_{T}(AT/T)t_{T}=BT/T,\varphi_{T}>$ � "����⢥���"
������䨧� $\pi_{T}:G\rightarrow G_{T}$ ��� $t\pi_{T}=t_{T}$ � $k\pi_{T}=kT$
��� ��� $k\in K$.

\quad 
{\bf ���६� 2. } ����� $K$ --- ����筮 ��஦������ ������� ��㯯�,
$A$ � $B$ ᮡ��\-����� �����㯯� ��㯯� $K$ � $\varphi :A\rightarrow B$ ---
������䨧�. �����

(i)  �᫨ $AT\neq K\neq BT$, � ��㯯� $G$ �.�. ⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, �����
$G_{T}$ �.�.;

(ii) �᫨ $AT\neq K=BT$, � ��㯯� $G$ �� ���� �.�.;

(iii) �᫨ $AT=K\neq BT$, � ��㯯� $G$ �� ���� �.�.;

(iv)  �᫨ $AT=K=BT$, � ��㯯� $G$ �.�.


\qquad ����⨬, �� 䠪��-��㯯� $K/T$ ���� ᢮������ �������� \linebreak
��㯯��. ���⮬�
����� ⥮६� 1 � 2 ���� ������ ��� �ᯮ�������� 䨭�⭮� ���பᨬ��㥬���
$HNN$-���७�� �ந����쭮� ����筮 ��஦������ �������� ��㯯�.

\quad \underbar{������⥫��⢮ ⥮६� 2.}~ (i) ������稬 �१ $\theta_{T}$ ����⢥��� ������䨧�
$K$ �� $K/T$. ����� $D=\{x\in\ K ; $ ��� ������� 楫��� $\nu$ ������� ����ࠫ쭮�
 $\lambda =\lambda (\nu)$ ⠪��, ��
$ t^{-\nu}x^{\lambda}t^{\nu}\in K\}$. ����� ⠪��
$D_{T}=\{xT\in\ K/T ; $ ��� ������� 楫��� $\nu$ ������� ����ࠫ쭮�
 $\lambda =\lambda (\nu)$ ⠪��, ��
$ t^{-\nu}_{T}(xT)^{\lambda}t^{\nu}_{T}\in K/T\}$. �०�� �ᥣ� �������,
�� $D$=$D_{T}\theta^{-1}$. ����⢨⥫쭮, ��ᬮ�ਬ �ந������ $x\in D$ � �������,
�� $xT\in D_{T}$. ����� $\nu$ --- 楫�� �᫮. �� ��।������ $D$ ��������
����ࠫ쭮�  $\lambda =\lambda (\nu)$ ⠪��, ��
$ t^{-\nu}x^{\lambda}t^{\nu}\in K$. �� ⮣��
$ t^{-\nu}_{T}(xT)^{\lambda}t^{\nu}_{T}=(t^{-\nu}x^{\lambda}t^{\nu})T\in K/T$.
���⭮, ����� $xT\in D_{T}$. �㤥� �����, �� $\nu $ �஡�����
������⥫�� 楫� �᫠, � ������� ����樥� �� $\nu $, ��
��� ������� ������⥫쭮�� 楫��� $\nu$ �������� ����ࠫ쭮�
$\lambda =\lambda (\nu)$ ⠪��, �� $ t^{-\nu}x^{\lambda}t^{\nu}\in K$.
�� $\nu =0$ �⢥ত���� �祢����. ����� $\nu >0$, ⮣�� �� �।���������
����樨 ��� �����ண� $\lambda (\nu-1)$   $h=t^{-\nu+1}x^{\lambda (\nu-1)}t^{\nu-1}$
����� � $K$. �� �⮬ $t^{-\nu+1}_{T}(xT)^{\lambda (\nu-1)}t^{\nu-1}_{T}= hT$.
��� ��� $xT\in D_{T}$, � �������� ����ࠫ쭮� $\beta $ ⠪��, ��
$t^{-1}_{T}(hT)^{\beta}t_{T}\in K/T$. �� ����砥�, �� $h^{\beta}=ak$,
��� $a\in A$, $k\in T$. ���⮬� $h^{\beta |T|}=a^{|T|}\in A$, ��� $|T|$ ---
���冷� �����㯯� $T$.����� ��ࠧ��, ����砥�
$t^{-\nu}x^{\lambda (\nu-1)\beta |T|}t^{\nu}=t^{-1}h^{\beta |T|}t\in K$,
� ���� � ����⢥ $\lambda (\nu)$ ����� ����� $\lambda (\nu-1)\beta |T|$.
����㦤���� ��� ����⥫��� $\nu $ �஢������ �������筮.

\quad �����, ����� ��㯯� $G$ 䨭�⭮ ���பᨬ��㥬�. �� ����砥�, �� ��������
�����㯯� $H$ ����筮�� ������ ��㯯� $D$ ⠪��, �� $H\varphi =H$.
���ᬮ�ਬ �����㯯� $H_{T}=H\theta_{T}$ ��㯯� $D_{T}$. �����
$[D_{T}:H_{T}]=[D:HT]\leq [D:H]<\infty$. �஬� ⮣�,
$H_{T}\varphi _{T}=\{(hT)\varphi_{T};h\in H\}=\{(h\varphi )T;h\in H\}=H_{T}$.
����� ��ࠧ��, $H_{T}$ --- �����㯯� ����筮�� ������ ��㯯� $D_{T}$ ⠪��,
 �� $H_{T}\varphi_{T} =H_{T}$, �, ᫥����⥫쭮, ��㯯� $G_{T}$ 䨭�⭮
���பᨬ��㥬�.

\quad ���⭮, ����� ��㯯� $G_{T}$ 䨭�⭮ ���பᨬ��㥬�. �� ����砥�, ��
�������� �����㯯� $H_{T}$ ����筮�� ������ ��㯯� $D_{T}$ ⠪��, ��
$H_{T}\varphi_{T}=H_{T}$. ������稬 $U=H_{T}\theta^{-1}_{T}$. ��� ���
$H_{T}\leq AT/T$ � $H_{T}\leq BT/T$, � $U\leq AT$ � $U\leq BT$, ���⮬�
$U^{|T|}\leq A^{|T|}\leq A$ � �������筮 $U\leq B$. �� �⮬
$U^{|T|}\theta_{T}=H^{|T|}_{T}$ � $H^{|T|}_{T}\varphi_{T}=H^{|T|}_{T}$. �����,
$U^{|T|}\varphi\leq U^{|T|}T$ � $U^{|T|}\varphi^{-1}\leq U^{|T|}T$, ���⮬�
$U^{|T|^{2}}\varphi = U^{|T|^{2}}$. ����� ������, �� �����㯯�
$H=U^{|T|^{2}}$ ����� ������ ������ � $D$, ��祬 $H\varphi =H$, � ⥬ ᠬ�
��㯯� $G$ 䨭�⭮ ���பᨬ��㥬�.

\quad � ����� (ii), (iii) � (iv) �����㯯� $A$ � $B$ ����� ������ ������� � $K$,
���⮬� $D=K$ � $G$ �.�. ⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, ����� �������� �����㯯� $H$
����筮�� ������ ��㯯� $K$ ⠪��, �� $H\varphi =H$. �᫨ ⠪�� �����㯯�
$H$ �������, � ����室��� $[K:A]=[K:B]$. �� � ����� (ii) � (iii) �������
�����㯯 $A$ � $B$ � ��㯯� $K$ ࠧ����. � ��砥 (iv) � ����⢥ $H$ �����
����� �����㯯� $K^{|T|}=A^{|T|}=B^{|T|}$.

\bigskip
\centerline{\bf ���᮪ �ᯮ�짮������ ���p���p�}
\nopagebreak
\medskip
\noindent
1. {\it ������ �., �㯯 �.}
��������ୠ� ⥮�� ��㯯. �., 1980. 448 �.

\noindent
2. {\it Andreadakis S., Raptis E.,  Varsos  D.}
$A$  characterization  of residually \linebreak
\phantom{��}finitely generated abelian groups  // Arch.Math.  1988.
Vol. 50. P. 495 -- \linebreak
\phantom{��}501.

%\midinsert
%\vspace{0.3 cm}
%\botcaption{}
%\endcaption
%\endinsert
\bigskip
\bigskip

\end