%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
\Monograph
\Russian
\TagsOnRight
\NoRunningHeads
\magnification=\magstep2
\pageno1
\topmatter
\endtopmatter
\headline={\hss\tenrm\folio\hss}


\noindent
��� 517.958 \hfill\break
{\bf �.�.~��p����} \hfill\break
{\bf ������ ��������� ��������� �������\hfill\break
(������ p�����⮢)}
\medskip

\centerline
{\bf ��������}

\quad ������ ��p��� ��⥣p���� ��⥬ ����p��樠���� �p�������
������� � p����� �祪 �p����. � ��⭮��, �᫨ �����⭮ �����筮�
�᫮ ⠪�� ��⥣p����, � ������� �p��樯���쭠� ����������� �������
p�襭�� ��⥬�. ��� ��⥬ �p�������, ����뢠��� 䨧��᪨� �p�����,
������ ���� ������ ��⥣p��� ���� �������� ���p���� �� ��� �p�����,
��p�� ���� ����� 業���, 祬 ������ ᠬ��� p�襭��. � ������ �����
��p�� ��⥣p��� �p�������� ��� ������ ��p������ � 䨧��᪨�
�����.

\quad ���� �� �������� p��p���p������� ᯮᮡ�� ����祭�� ��p��� ��⥣p����
��⮨� � �ᯮ�짮����� �裡 ����� ᨬ���p��� ��⥬� � ����⢮������
��p��� ��⥣p����. ���p�� ��� �p��樯 �� p��������� � 1918 �. � �����⥭
��� ��������� ⥮p��� �.���p [6]. ���� ⥮p��� ���p �����砥��� �
᫥���饬. �᫨ �����p� �㭪樮��� ����p���⥭ �⭮�⥫쭮 $r$-��p����p��᪮�
�p㯯� �p���p��������, � ��⥬� �p������� ����p� -- ���p���� �⮣�
�㭪樮���� ����� $r$ ������ᨬ�� ��p��� ��⥣p����.

\quad � [11] ���� �p������� ��⮤ ����祭�� ��p��� ��⥣p���� �p�������
��p��� --- �p������� �������� �p����� ��p殮���� ����� � �����p������⭮�
� �p����樮���� �����,  �᭮����� �� �ᯮ�짮����� ⥮p��� ���p �
ᨬ������᪮� �p㯯� �����p������⭮�� ����. � [2] �p�������
�p������� �⮣� ��⮤� � ��⮤�� �p㯯����� ������� ����p��樠����
�p������� [7], [8] �� �p���p� ����p����� �����p��������� �����. �
[1] p��ᬮ�p��� �p㣨� �p���p� ����祭�� ��p��� ��⥣p���� �p������� ��p���.

\quad � �����饩 ���� ������ �p�⪮� ���ᠭ�� ��⮤� � �p�������� ᢮���
p�����⮢, ���ᠭ��� � ������p������� p㪮����� [11], [2], [1].%\newpage
\medskip

{\bf 1. ���������᪠� �p㯯� �����p������⭮�� ����}

\centerline {\bf {� �p������� ��p���}}
\smallskip

\quad �p������� ��p���
$$
\gather
{{Du^\alpha}\over {ds}}= - {e\over {{mc}^2}}\, g^{\alpha\gamma}\, F_{\gamma
\beta}\, u^\beta,\quad u^\beta ={{dx^\beta}\over {ds}}, \eqno(1)\endgather
$$
����� �p������ﬨ ����p� -- ���p���� ��� �㭪樮����
$$
\gather
S[x] = \int (-mc\,ds - {e\over c} A_\alpha\,dx^\alpha).\eqno(2)\endgather
$$
����� �ᯮ�짮���� �⠭��p�� ������祭��: $e,m$ -- ��p� � ����
�����; $c$ -- ᪮p���� ᢥ�; $x^\beta (\beta = 1,~\ldots,4)$ --
���p������ �����; $F_{\gamma\beta}$ -- ⥭��p �����p������⭮��
����; $g^{\alpha\gamma}$ -- �ᥢ��p������� ���p��� � ᨣ����p��
$(+++~-)$, ᮮ⢥������� �p����樮����� ����; $A_\alpha$ -- 4-��⥭樠�
�����p������⭮�� ����, $F_{\alpha\beta} = \partial_\alpha A_\beta -
\partial_\beta A_\alpha$; $s$ ���p�p��p���� ��� ᮡ�⢥���� �p���
�����, $ds=\sqrt{-g_{\alpha\beta}\,dx^\alpha\,dx^\beta}$, �, �������,
$$
\gather
{{Du^\alpha}\over {ds}} = {{du^\alpha}\over {ds}} + \Gamma_{\beta\gamma}^\alpha
u^\beta\, u^\gamma,\eqno(3) \endgather
$$
��� $\Gamma_{\beta\gamma}^\alpha$ -- ᨬ���� �p����䥫� ��� $g_{\alpha
\beta}$.

\quad ����� $G_F$ ���� ᨬ����\-��᪠� �p㯯� �����p�\-������\-���� ����, �.�.
���\-����\-�� ���\-䥮\-��p\-䨧\-��� �����\-��p���� $M^4$ �祪 $x=(x^1,x^2,\-x^3,x^4)$,
�� ������� ⥭��p $F_{\alpha\beta}$. ��\-��\-���\-������ �����p� ��
����p��� ����� ��p�������� �p�㫮�
$$
\gather
\Cal L _F =\{\xi \in \Cal L~:~L_\xi\,F_{\alpha\beta} =0\},\eqno(4)
\endgather
$$
��� $\Cal L$ -- ������⢮ ��� ������� ����p��� ����� �� $M^4$, �
$L_\xi$ -- �p��������� ��.

\quad �������筮 �p�� $G_g$ ������稬 �p㯯� �������� �ᥢ\-��\-p�\-��\-��\-�� 
�p�\-��\-p��\-�⢠
$(M^4, g_{\alpha\beta})$, � �p�� $\Cal L _g$ -- �\-�⢥�\-������� �����p�
�� ����p��� �����:
$$
\gather
\Cal L _g = \{\xi \in \Cal L~ :~ L_\xi\, g_{\alpha\beta} =0\}. \eqno(5)
\endgather
$$

\quad ��p�� $G_A$ ������稬 ��⥭樠���� �p㯯�, �.�. �p㯯� ���䥮��p䨧���
�������p���� $M^4$, �� ������� ��⥭樠� $A_\alpha$, � �p�� $\Cal L _A$
-- ᮮ⢥�������� �����p� ��:
$$
\gather
\Cal L _A = \{\xi \in \Cal L~ :~ L_\xi A_\alpha =0\}. \eqno(6)
\endgather
$$
��p�������� ᫥���騥, ����� ��⠭��������� ����祭�� [9],[10]:
$$
\gather
G_A \subset G_F ,\quad \Cal L _A \subset \Cal L _F. \eqno(7)
\endgather
$$

\quad ����� ��⥭樠� $A_\alpha '$ ����祭 �� $A_\alpha$ �����p�����
�p���p���������
$$
\gather
A_\alpha ' = A_\alpha + \partial _\alpha f, \eqno(8)
\endgather
$$
��� $f$ -- �����p�� �㭪�� �� $M^4$. ����� ��� �p㯯� $G_{A'}$ �
�����p� $\Cal L _{A'}$, ᮮ⢥������� ���� $A_\alpha '$, �p��������
����祭�� [9]
$$
\gather
G_{A'} \subset G_F ,\quad \Cal L _{A'} \subset \Cal L _F. \eqno(9)
\endgather
$$

\quad ������稬 $G_S =G_F \cap G_g$ � $\Cal L _S = \Cal L _F \cap \Cal L _g$.
����� ��� ��� 4-��⥭樠�� (8) �p�������� ����祭��
$$
\gather
G_{A'} \cap G_g \subset G_S, \Cal L _{A'} \cap \Cal L _g \subset \Cal L _S.
\eqno(10)
\endgather
$$

\quad �⬥⨬, �� ��� ��� ��⥭樠�� (8) �p������� (1) ���� ���� � � ��,
�.�. �p������� ��p��� ����p����� �⭮�⥫쭮 �����p������ �p���p��������.

\medskip
\centerline
{\bf {2. ��p�� ��⥣p��� �p������� ��p���}}
\smallskip

\quad � ᮮ⢥��⢨� � ⥮p���� �.���p [6],[3], ������ ������p��� �p㯯�
���䥮��p䨧��� $G_1$, �� ������� �㭪樮��� (2), ᮮ⢥�����
��p�� ��⥣p�� �p������� ��p���
$$
\gather
H= \xi ^\alpha (mcg_{\alpha\beta} \dot x ^\beta - {e\over c} A_\alpha),
\eqno(11)
\endgather
$$ \linebreak
��� $\xi ^\alpha = \xi ^\alpha (x)$ -- ���⥫쭮� ����p��� ����
�p㯯� $G_1$, � �窮� ������祭� ����p���p������ �� ��p����p� $s$.

\quad �p㯯� $G_1$ ����� �p��� � ��p��祭�� �p㯯 $G_A \cap G_g$, �᫨ ���
���p�����쭮, � ������� ᮮ⢥�����騥 ��⥣p��� (11). �� �p��⨪�,
����筮, p������ � ᮮ⢥�����騬� �����p��� �� ����p��� �����.
��� �����p� $\Cal L _A \cap \Cal L _g$ ����� �������, p��� ��⥬�
�p�������
$$
\align
L_\xi\,A_\alpha &=\xi ^\mu\,\partial _\mu\,A_\alpha + A_\mu\,
\partial _\alpha \xi ^\mu =0, \eqno(12) 
$$ $$
L_\xi\,g_{\alpha\beta} &= \xi^\mu\,\partial_\mu\,g_{\alpha\beta} +
      g_{\mu\beta}\,\partial_\alpha\,\xi^\mu +
      g_{\alpha\mu}\,\partial_\beta\,\xi^\mu =0 \eqno(13)
\endalign
$$
�⭮�⥫쭮 $\xi^\mu (x)$. � ��宦����� ��⥣p��� ᢮����� � p�襭��
��⥬� (12) -- (13).

\quad ������, ����� ����p���⭮�� �p������� ��p��� �⭮�⥫쭮 �����p������
�p���p��������, ����p $\xi^\mu$ ����� ����� �� �����p� $\Cal L _{A'}\cap
\Cal L _g$ �, ������� � �p�㫥 (11) $A_\alpha$ �� $A_\alpha '$, �������
��p�� ��⥣p��. ��������� ���p��: ��� ���� �� ��p�� ��⥣p���,
����砥�� �� ⥮p��� ���p? ����뢠����, �� �� ��⥣p��� ��������� ��
�p㯯� $G_S$ � �ᯮ�짮������ ᫥���饩 ��᫥����⥫쭮�� ���p�権.

\quad 1. ��宦����� �����p� $\Cal L _S =\Cal L _F \cap \Cal L_g$. ��� �⮣�
�����筮 ���� ����� $\{\xi _k,\, k=1,~\ldots,r\}$ �p���p���⢠ p�襭��
��⥬� �������� ����p��樠���� �p������� (13) �
$$
L_\xi F_{\alpha\beta}=\xi^\mu\,\partial_\mu\,F_{\alpha\beta}
      + F_{\mu\beta}\,\partial_\alpha\,\xi^\mu
      + F_{\alpha\mu}\,\partial_\beta\,\xi^\mu =0. \eqno(14)
$$

\quad 2. ��宦����� ��� ������� ����᭮�� ����p� $\xi_k \in \Cal L_S$ ᨬ���p�筮��
4-��⥭樠�� (8), �.�. ⠪���, ��
$$
{L_\xi}_k A_\alpha'=\xi_k^\mu\,\partial_\mu (A_\alpha + \partial_\alpha f)
     + (A_\mu + \partial_\mu f)\partial_\alpha\,\xi_k^\mu =0. \eqno(15)
$$
� ��᫥���� �p������� $A_\alpha$ -- 䨪�p������ 4-��⥭樠�, � $f(x)$
-- �᪮��� �㭪��, ��p�������� ��⥭樠� $A_\alpha'$ �� �p�㫥 (8).

\quad 3. �믨�뢠��� ������ᨬ�� ��p��� ��⥣p���� �� �p�㫥 (11):
$$
\gather
H_k = \xi_k^\alpha (mcg_{\alpha\beta}\, \dot x^\beta - {e\over c} A_\alpha'),
\eqno(16)
\endgather
$$
��� $A_\alpha'$ -- p�襭�� �p������� (15).

\quad �p� p������樨 ���ᠭ���� ��⮤� ����祭�� ��p��� ��⥣p���� �p�������\
��\-p��\-� ��� ����p���� �����p��������� ����� �������� �p�饭��. �
��⭮��, � ��砥 ������⢨� �⥭�� �p㯯� $G_g$ ᮢ������ � �p㯯��
�㠭��p�, �����p� �� ���p�� �����⭠, � �⯠���� ����室������ � p�襭��
�p������� (13).

\quad � ��᫥����� �㭪�� �p������� p������� �p�������� �⮣� ��⮤� ���
�����p�� ����ᮢ �����p��������� �����, ����祭�� ���p�� � ��� �祭�����.

\medskip

{\bf 3. ����p���� ����p������� �����p�������� ����}

\centerline{\bf {� ������⢨� �⥭��}}

\centerline{(�.�.��p����  [11],[2])}
\smallskip

\quad ��类� ����p����� ����p�������� $(det\,F_{\alpha\beta} \ne 0)$
�����p������⭮� ���� � ������⢨� �⥭�� ����� ���� �p���⠢����
� ����
$$
F_{\alpha\beta}=\left(\matrix{
                   0 & 0 & 0 & -E\cr
                   0 & 0 & -B & 0\cr
                   0 & B & 0 & 0\cr
                   E & 0 & 0 & 0\cr
}\right), 
\eqno(17)
$$
��� $B \ne 0$, $E \ne 0$ -- ����⠭��, �\, $g_{\alpha\beta}=\text{diag}(1,1,1,-1)$.

\quad �����p� $\Cal L_S$ -- 6-��p��, ���� �� ����ᮢ ����� ���:
$$
\matrix{
  \xi _1 &=(1,0,0,0), & \xi _2 &=(0,1,0,0,), & \xi _3 &=(0,0,1,0), \cr
  \xi _4 &=(0,0,0,1), & \xi _5 &=(x^4,0,0,x^1), & \xi _6 &=(0,x^3,-x^2,0).\cr
} 
\eqno(18)
$$

\quad ��� ��⥭樠� � ����
$$
\gather
A_\alpha ={1\over 2} (Ex^4,\,Bx^3,\,-Bx^2\,-Ex^1), \eqno(19)
\endgather
$$
����� 㡥������, �� �p��������� �� $L_\xi A_\alpha$ p���� ��� ⮫쪮 ���
����p�� $\xi_5$ � $\xi_6$. ���⮬� ��p�� ��⥣p��� ��� ��� ����p��
�믨�뢠���� �p��� �� �p�㫥 (11). ��� ����p�� $\xi_1$ -- $\xi_4$
᭠砫� ��室���� ᨬ���p��� ��⥭樠��, � ��⥬ �믨�뢠���� ��⥣p���.
� �⮣� ��������� 6 ������ᨬ�� ��⥣p����:
$$
H_1 &=mc \dot x^1 -{{Ee}\over c}x^4,\qquad H_2 =mc \dot x^2 - {{Be}\over c}x^3,\\
$$ $$
H_3 &=mc \dot x^3 + {{Be}\over c}x^2,\qquad H_4 =-mc \dot x^4 + {{Ee}\over c}x^1,\\
$$ $$
H_5 &=mc(x^4 \dot x^1 - x^1 \dot x^4) + {{Ee}\over {2c}}\bigl((x^1)^2 -(x^4)^2\bigr),\\
\eqno(20)$$ $$
H_6 &=mc(x^3 \dot x^2 - x^2 \dot x^3) - {{Be}\over {2c}}\bigl((x^2)^2 + (x^3)^2\bigr).
$$
�����p� ᫥��⢨� ����⢮����� ��⥣p���� (20) ���ᠭ� � ����p�樨
���p� [2]. � ��⭮��, ⠬ ��⠭������ ᫥���饥 ᮮ⭮襭�� �����
����稭��� $H_1$ --- $H_6$ :
$$
\gather
c^2 H_4^2=m^2c^4 + 2ce(EH_5+BH_6) + c^2(H_1^2 + H_2^2 + H_3^2).\eqno(21)
\endgather
$$

\quad �p� $B=E=0$ ��� �p� $e=0$ (�.�. �p� "�몫�祭��" ���� ��� ������ ��p殮����
����� �� ����p殮����) ᮮ⭮襭�� (21) ��p�室�� � �����⭮� ᮮ⭮襭��
����� ���p���� � �����ᮬ p���⨢���᪮� ����� [4]
$$
\gather
\Cal E ^2 = m^2c^4 + c^2(p_1^2 + p_2^2 + p_3^2).\eqno(22)
\endgather
$$

\medskip
\centerline
{\bf {4. ����p���� ��p������� ���� � ������⢨� �⥭��}}
\centerline{(�.�.��p����  [11],[2])}
\smallskip

\quad ��类� ����p����� �����p�����᪮� ���� ����� ���� ����ᠭ� � ���� (17),
�᫨ �������� $B=0$. � �⮬ ��砥 �p㯯� $G_S$ �㤥� ⠪�� ��, ��� � ���
���� (17), �, ᫥����⥫쭮, ��p�� ��⥣p��� ��������� �� (20), �᫨
�������� $B=0$.
�������筮 ��类� ����p����� �����⭮� ���� ����� ����
�p���⠢���� � ���� (17), �᫨ �������� $E=0$.
�p㯯� $G_S$ �㤥� ⮩ ��, �� � ��� ���� (17), � ��p��
��⥣p��� ᮢ������ � (20) �p� $E=0$.

\quad �p�⨩ ⨯ ��p�������� �����p��������� �����, ����� ��� ����p���� p����
��� [4], � �����p�� ��⥬� ���p����� ����� ���� �p���⠢��� � ����:
$$
F_{\alpha\beta}=\left(\matrix{
             0 & 0 & E & -E\cr
             0 & 0 & 0 & 0 \cr
            -E & 0 & 0 & 0 \cr
             E & 0 & 0 & 0 \cr
}\right), \qquad E=\text{const}.\eqno(23)
$$

\quad � p������ ���᫥��� ����稬 ���� �� ����ᮢ �����p� $\Cal L_S$:
$$
\matrix{
\xi _1 &=(1,0,0,0),\hfill & \xi _2 &=(0,1,0,0), \hfill\cr 
\xi _3 &=(0,0,1,0),\hfill & \xi _4 &=(0,0,0,1), \hfill\cr
\xi _5 &=(x^3-x^4,0,-x^1,-x^1), & \cr
\xi _6 &=(0,-x^3+x^4,x^2,x^2).  & \cr
}\eqno(24)
$$

\quad ���� �� ��⥭樠��� ���� (23) ����� ���:
$$
\gather
A_\alpha={E\over 2}(x^4-x^3,\,0,\,x^1,\,-x^1).\eqno(25)
\endgather
$$

\quad �� ᨬ���p�祭 �⭮�⥫쭮 �p㯯, ᮮ⢥������� \break
����p�� $\xi _5$ �
$\xi _6$; ��� ����p�� $\xi _1 - \xi _4$ ���� �᪠�� ᨬ���p��� ��⥭樠��.
� �⮣� ��������� ᫥���騥 ��p�� ��⥣p���:
$$
\matrix{
H_1=mc \dot x^1 + {{Ee}\over c}(x^3-x^4), \hfill& H_2 =mc \dot x^2,\hfill\cr
H_3=mc \dot x^3 - {{Ee}\over c} x^1,\hfill & H_4 =-mc \dot x^4 + {{Ee}\over c} x^1,\hfill\cr
}\eqno(26)
$$ $$
H_5=mc \bigl((x^3-x^4)\dot x^1 -x^1(\dot x^3 - \dot x^4)\bigr) +{{Ee}\over {2c}}(x^3-x^4)^2,\hfill\cr
$$ $$
H_6=mc \bigl((x^4-x^3)\dot x^2 - x^2(\dot x^4 - \dot x^3)\bigr).\hfill\cr
$$
�⬥⨬, �� �����p� $\Cal L_S$ ��� ���� (23) ���쯮⥭⭠, � ��� ���� (17)
p��p�訬�, �� �� ���쯮⥭⭠ [2].

\medskip
\centerline
{\bf {5. �㫮���᪮� ����}}
\centerline{(�.�.��p����  [1]~)}
\smallskip

\quad ��⥭樠� �����p�����᪮�� ����, ��p���������� �����騬�� ��\-p冷� $e_o$
� �����p�� ��⥬� ���p�����, ����� ���:
$$
A_\alpha = (0,0,0, e_o/r),\qquad r=\sqrt{(x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2}.\eqno(27)
$$

\quad ���⢥�����騩 ⥭��p �����p������⭮�� ����
$$
F_{\alpha\beta}=\left(\matrix{
   0    &    0    &    0    & -e_ox^1/r^3\cr
   0    &    0    &    0    & -e_ox^2/r^3\cr
   0    &    0    &    0    & -e_ox^3/r^3\cr
e_ox^1/r^3 & e_ox^2/r^3 & e_ox^3/r^3 & 0 \cr
}\right)
\eqno(28)
$$
������ ��p�������� ᨬ��������� ��p���p� �� �p���p���⢥ \break ������᪮��
� ��p�襭��� �pאַ� $x^1=x^2=x^3=0$. �p㯯� $G_S$ --- 4-��p��. ���� ��
����ᮢ �����p� $\Cal L_S$:
$$
\matrix{
\xi _1 &=(0,\,-x^3,\,x^2,\,0),\hfill& \xi _2 &=(x^3,\,0,\,-x^1,\,0),\hfill\cr
\xi _3 &=(-x^2,\,x^1,\,0,0) \hfill& \xi _4 &=(0,0,0,1). \hfill\cr
}\eqno(29)
$$
���⢥�����騥 ��p�� ��⥣p���:
$$
\matrix{
H_1=mc(x^2 \dot x^3 - x^3 \dot x^2), \hfill & 
H_2=mc(x^3 \dot x^1 - x^1 \dot x^3), \hfill \cr
H_3=mc(x^1 \dot x^2 - x^2 \dot x^1), \hfill & 
H_4=-(mc \dot x^4 + {e\over c} {{e_o}\over r}). \hfill\cr
}\eqno(30)
$$

\bigskip
\centerline
{\bf {6. ��ᨬ���p�筮� �����⭮� ����, �p�饭���}}
\centerline
{\bf {� ��ᨬ���p��� �����p��᪨� �����}}
\centerline{( �.�.~���� [1]~)}

\quad ����� � �p���p���⢥ ������᪮�� $\Bbb R_{3,1}^4$ ������ ����
$$
\tilde A_\alpha =(0,0,B_0\,ln~r,\,E_0 \varphi),\qquad B_0,\,E_0 =\text{const},
\eqno(31)
$$
�p�祬 $r$,\,$\varphi$ --- ����p�� ���p������ � ���᪮�� $0x^1x^2$ ($r$ -- ��p���,
$\varphi$ -- ��p��)
$$
r = \sqrt{(x^1)^2 + (x^2)^2},\qquad tg~\varphi = x^2/x^1.\eqno(32)
$$
� ���p������ $(r,\,\varphi,\,x^3,\,x^4)$ ⥭��p �⮣� �����p������⭮��
���� ����� ���
$$
\tilde F_{\alpha\beta} =\pmatrix{
        0    &    0    & B_0/r &   0  \cr
        0    &    0    &   0   & -E_0 \cr
     -B_0/r  &    0    &   0   &   0  \cr
        0    &   E_0   &   0   &   0  \cr
}. \eqno(33)
$$
����p� ���p殮����� �����p��᪮�� ���� $\vec E$ � ����樨 �����⭮��
���� $\vec B$ �����\-�� ��p��������p�� � ᨬ���p��� �⭮�⥫쭮 ����p�⮢
���p� �� $Ox^3$, �p�祬 ���� $\vec B$ ��p�����쭮 �� $Ox^3$, � $\vec E$
��p�����쭮 ���᪮�� $Ox^1x^2$ � ��p��������p�� �� $Ox^3$. �� $x^4$ ��
���� �� ������, �.�. ��� ����ﭭ� �� �p�����.

\quad �p㯯� $G_S$ �p�嬥p��, � ����� �����p� $\Cal L_S$ � ����p��� ���p������
����� ����� ᫥���騬:
$$
\tilde \xi_1 =(0,1,0,0),\qquad\tilde \xi_2 =(0,0,1,0),\qquad\tilde \xi_3 =(0,0,0,1)
\eqno(34)
$$
���⢥�����騥 ��p�� ��⥣p��� ����� ���:
$$
H_1 = mcr^2 \dot \varphi - {e\over c}E_0x^4,\quad H_2 = mc \dot x^3 -{e\over c}B_0\,ln~r,
\quad H_3 = -mc \dot x^4 + {e\over c}E_0 \varphi. \eqno(35)
$$

\bigskip
\centerline
{\bf {7. ����ﭭ�� �����⭮� ����, �p�饭���}}
\centerline
{\bf {� ��p��������p�� ��� �����p��᪨� �����,}}
\centerline
{\bf {�����騬�� �� ��p�����᪮�� ������}}
\centerline{( �.�.~��p����� [1]~)}

\quad ��� ����
$$
A_\alpha =\bigl({{E_0c}\over \omega} \sin{{\omega x^4}\over c},~-B_3x^1,~0,~0\bigr),\eqno(36)
$$
��������� � $\Bbb R_{3,1}^4$, ��� $B_3$ � $E_0$ �� p���� ��� ����⠭��,
�p㯯� $G_S$ -- 3-��p��, � ����� �����p� $\Cal L_S$ ����� ����� � ����:
$$
\xi_1=(1,0,0,0),\ \xi_2=(0,1,0,0),\ \xi_3=(0,0,1,0)\eqno(37)
$$
���⢥�����騥 ��p�� ��⥣p��� ����� ᫥���騩 ���:
$$\align
H_1 &=mc \dot x^1-{e\over c} \bigl({{E_0c}\over \omega} \sin {{\omega x^4}\over c} +
      B_3x^2\bigr),\\
$$ $$
H_2 &=mc \dot x^2 + {e\over c}B_3 \dot x^1,\qquad H_3=mc \dot x^3.\eqno(38)
\endalign
$$

\medskip
\centerline
{\bf {8. ����ﭭ�� � p�����᪮p����� ��⥬� �����}}
\centerline
{\bf {�����p������⭮� ����}}
\centerline{( �.�.��p����~[11]~)}
\smallskip

\quad ����� �� �������p���� $M^4$ �ᥢ��p������� ���p��� ������ �p�㫮�
$$
ds^2=-(dq^1)^2-(dq^2)^2-(dq^3)^2+\bigl(1+{{gq^1}\over {c^2}}\bigr)^2(dq^4)^2,
\quad g=\text{const},
\eqno(39)
$$
� ⥭��p �����p������⭮�� ���� � ��⥬� ���p����� $\{q^\alpha \}$ ����� ���
$$
F_{\alpha\beta}^{(q)}=\pmatrix{
             0   &   0   &   0  &  -E \cr
             0   &   0   &  -B  &   0 \cr
             0   &   B   &   0  &   0 \cr
             E   &   0   &   0  &   0
}\eqno(40)
$$
�p���p���⢮ $M^4$ � ���p���� (39) ���� ���᪨� [13], � ��p�室 �
��������쭮�� ⥭��p� $g_{\alpha\beta}^{(x)}=\text{diag}(-1,-1,-1,1)$
�����⢫���� � ������� �p���p�������� �����p� [5]
$$
\left\{\matrix{
x^1 &=q^1\text{ch}(\varepsilon q^4)+{1\over {\varepsilon}}\bigl(\text{ch}(\varepsilon q^4)
      -1\bigr),\cr
x^2 &=q^2, \qquad x^3=q^3,\hfill\cr
x^4 &={1\over {\varepsilon}}\text{sh}(\varepsilon q^4)+ q^1\text{sh}(\varepsilon q^4),
\hfill\cr
}\right.\eqno(41)
$$
��� $\varepsilon =g/{c^2}$. �p� ����� $\varepsilon\quad (\varepsilon \ll 1)$
�� �p���p�������� ���p�p��p���� ��� ��p�室 �� ���p樠�쭮� ��⥬�
����� $\{x^\alpha \}$ � �����p樠�쭮� $\{q^\alpha \}$ [13].

���᫥��� �����뢠��, �� � ���p������ $\{x^\alpha \}$ ⥭��p (40) �����
���
$$
F_{\alpha\beta}^{(x)}=\pmatrix{
  0   &   0   &   0  & -{E\over {\sqrt{(\varepsilon x^1+1)^2 - (\varepsilon x^4)^2}}}\cr
  0   &   0   &  -B  &   0\cr
  0   &   B   &   0  &   0\cr
-{E\over {\sqrt{(\varepsilon x^1+1)^2-(\varepsilon x^4)^2}}}&   0   &   0   &   0
},\eqno(42)
$$
�p㯯� $G_s$ 4-��p��, � ����⢥ ����� �����p� $\Cal L_s$ ����� �����
����p� (� ��⥬� $\{x^\alpha\}$)
$$
\xi _1 =(0,1,0,0),\quad \xi_2=(0,0,1,0),\quad \xi _3=(0,x^3,-x^2,0),$$
$$
\xi _4 =(\varepsilon x^4,0,0,1+\varepsilon x^1),\eqno(43)
$$
� ᮮ⢥�����騥 ��p�� ��⥣p��� ����� ���:
$$
\matrix{
H_1=mc \dot x^2 - {e\over c} Bx^3 ,\quad\quad\quad 
H_2=mc \dot x^3 +{e\over c} Bx^2, \hfill\cr
H_3=mc(x^3 \dot x^2-x^2 \dot x^3)-{{Be}\over {2c}}\bigl((x^2)^2+(x^3)^2\bigr),
\hfill\cr
H_4=mc(-\varepsilon x^4 \dot x^1 +(1+\varepsilon x^1)\dot x^4)- {{Ee}\over {c
\varepsilon}\bigl(\sqrt {(1+\varepsilon x^1)^2-(\varepsilon x^4)^2}}-1 \bigr).
\hfill\cr
}\eqno(44)
$$

\quad � ��⥬� $\{q^\alpha\}$ ��⥣p��� (44) ��p����뢠���� ᫥���騬 ��p����.
� ����� $H_1$ -- $H_3$ ���� �������� �㪢� $x$ �� �㪢� $q$, �
$$
H_4=-mc(1+\varepsilon q^1)^2 \dot q^4 -{{Ee}\over c} q^1.\eqno(45)
$$

\bigskip
\centerline{\bf ���᮪ �ᯮ�짮������ ���p���p�}
\nopagebreak
\medskip

\noindent
1. {\it ��p����� �.�., ���� �.�, ��p���� �.�.}  ��p�� ��⥣p���
�p��-
\linebreak
\phantom{��}
����� ��p��� ��� �����p�� ����ᮢ �����p��������� �����.
\linebreak
\phantom{��}
�������, 1993. 10 c. ���. � ������ 03.11.93, \No ~2736-B93.

\noindent
2. {\it ���� �.�., ��p���� �.�.} ��p�� ��⥣p��� �p�������
��p���
\linebreak
\phantom{��}
��� ����p����� �����p��������� �����. �������, 1990. 17 c.
���.
\linebreak
\phantom{��}
� ������ 03.01.91, \No ~79-�91.

\noindent
3. {\it ��p������ �.�.} �p㯯� �� � �����p�� ���p��� ��⥬���᪮�
\linebreak
\phantom{��}
䨧���. ����ᨡ�p�, 1972. 128 c.

\noindent
4. {\it ������ �.�., ����� �.�.} ���p�� ����. �., 1967.  460 �.

\noindent
5. {\it �����p �.} ���p�� �⭮�⥫쭮��. �., 1975.  400 �.

\noindent
6. {\it ���p �.} ����p����� ��p��樮��� ����� //
��p��樮���
\linebreak
\phantom{��}
�p��樯� ��堭���. �., 1959. �. 611 -- 630.

\noindent
7. {\it ���ﭭ���� �.�.} �p㯯� � ����p���⭮-�p㯯��� p�襭��
����-
\linebreak
\phantom{��}
p��樠���� �p������� // ��� ����. 1958. �. 118, \No ~3.
C. 439 --
\linebreak
\phantom{��}
442.

\noindent
8. {\it ���ﭭ���� �.�.} ���樨 �� ⥮p�� �p㯯���� ᢮���
����p���-
\linebreak
\phantom{��}
����� �p�������. ����ᨡ�p�, 1966. 134 �.

\noindent
9. {\it ��p���� �.�.} �������� � ᨬ��������� ������p��:
�祡.���\-���.
\linebreak
\phantom{��}
�������, 1994.  60 c.

\noindent
10. {\it ��p���� �.�.} � �p㯯�� ���䥮��p䨧���, ��p������
����\-p��\-
\linebreak
\phantom{��}
����� �������᪨� ������p�� ���� // ���.�. 1995.
T.186.
\linebreak
\phantom{��}
\No ~5. C.115 -- 126.

\noindent
11. {\it ��p���� �.�.} ���������᪠� �p㯯� �����p������⭮��
���� �
\linebreak
\phantom{��}
��p�� ��⥣p��� �p������� �������� ��p���. �������, 1982.
\linebreak
\phantom{��}
11 c. ���. � ������ 22.02.82, \No ~802-82.

\noindent
12. {\it ��p���� �.�.} ���������᪨� � ��⥭樠��� ��p���p�
����-
\linebreak
\phantom{��}
�p��������� ����� � �� �ᯮ�짮����� ��� ����祭�� ��p���
��-
\linebreak
\phantom{��}
⥣p���� �p������� �������� ��p���:
���. ... ����. 䨧.-���. ��-\linebreak
\phantom{��}
�. �������; 1982. 103 c.

\noindent
13. {\it ��� �.�.} ���p�� �p���p���⢠, �p����� � �⥭��. �.,
1961. 563�.

\end