%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
\Monograph
\Russian
\TagsOnRight
\NoRunningHeads
\magnification=\magstep2
\pageno1
\topmatter
\endtopmatter
\headline={\hss\tenrm\folio\hss}


\midinsert
%\vspace{0.3 cm}
\botcaption{}
\endcaption
\endinsert
\redefine\ol{\overline}
\noindent
��� 517.51
\nopagebreak
\smallskip
\noindent
{\bf �.~�.~��客}
\nopagebreak
\hfill\break
\noindent
{\bf ������ ��������}
%\nopagebreak
\hfill\break
{\bf �������������� ������������}
\hfill\break
{\bf ��������� �������������� �������}
\medskip

\quad {\bf $0^0$}. � 1936 �. p���⮩ �.�.�������p��� "� ������襬 �p���������
�㭪権 ��������� �����" [1] �� ��p�� ���� �⠯ ��᫥�������
� ⥮p�� �p���������. � �⮩ p���� �뫨 ��p������� ���p��ᨬ�⨢��
�p���p��⨪� ������ ⨯� --- ����p�筨��, � ���쭥�襬
�������� �������p��᪨��, � ����祭� p������� �  ���� ���祭���
����p�筨��� �����p�� �㭪樮������ ����ᮢ.

\quad � �����饩 ���� p��ᬠ�p������� ��ᮢ� �㭪樮����� \linebreak
������,
�p���⠢���騥 ᮡ�� �����ᮨ�� � ���졥p⮢�� �p���p���⢥. ���������
��� ���祭�� ���p��ᨬ�⨢��� �p���p��⨪ ��� ����ᮢ --- �������p��᪨�
����p�筨��� $d_n$. ���p�� ��������� ���p��� �뫨 p��ᬮ�p��� ������
� p���� �.�.�������p��� [1].

\quad {\bf $1^0.$}~����� $X$ --- �������� ��p��p������� �p���p���⢮ ��� ����� $\Bbb R$ � $C$
--- ᨬ���p�筮� �⭮�⥫쭮 ��� ������⢮ � $X$. ����稭�
$$
d_n(C,X)= \underset {\{L_n\}} \to {inf}\thickspace \underset {x \in L_n}
\to {sup} \thickspace \underset {u \in C} \to {inf} \thickspace ||x-u||
$$
���뢠���� $n$\snug-� ����p�筨��� �� �������p��� ������⢠ $C$ �
�p�\-��p��\-�⢥ $X$. ����� ���譨� $inf$~ ��p���� �� �ᥬ $n$-��p��
������� ����p���p���⢠� $L_n$ � $X$. ����稭� $d_n(C,X)$ �p���p����
�p��樯������ ����������� �p��������� ������⢠ $C$ ���p���⢮� $n$-��p���
����p���p���� $L_n$.

\quad � p���� [1] p��ᬮ�p��� ������ �㭪権, �p���⠢���騥 ᮡ�� �������᪨�
樫���p� � ���졥p⮢�� �p���p���⢥. �� �����⥫��⢮ ��������� �筮
���᫨�� �� ����p�筨�� $d_n$. �⬥⨬, ��, ��� �p�����, 㤠���� ���᫨��
���� ��p冷� �뢠��� ����稭� $d_n(C,X)$ �p� $n \to \infty$ ��� ��
�ᨬ��⨪�.

\quad ��p�� ᫥����� ⥮p��� (�. [3]).
\proclaim {\indent ���p��� 1} ����� $X=l_2$ � $C$ --- �������᪨� 樫���p
� $X$:
$$
C=\left\{x=(x_1,x_2,~\ldots) \in l_2 : \sum_{i=N} ^\infty \left(
{{x_i}\over {a_i}} \right)^2 \le 1 \right\},
$$
��� \;$a_N \ge a_{N+1} \ldots > 0, N \ge 1$. �����
$$
d_n(C,X)&=\infty, \qquad n=\overline{0,~N-2} 
$$ $$
d_n(C,X)&=a_{n+1}, \quad n \ge N-1
$$
\endproclaim

{\bf $2^0.$}~ ��p������ ��ᮢ� �㭪樮����� ������.

\quad ����� $\Cal J=(a,b)$ --- ������ ��� ��᪮���� �p�����⮪ �pאַ� $\Bbb R,$
$\tau(x)$ --- ������� 1-� �⥯���, � $\sigma(x)$ -- ����� ���: \hfill\break

\quad 1) $\sigma(x)=(x-a)(b-x)$, \quad �᫨ $a$ � $b$ ������, \hfill\break

\quad 2) $\sigma(x)=x-a$,\qquad \qquad \quad \ �᫨ $a$ ����筮, $b=+\infty$,\hfill\break

\quad 3) $\sigma(x)=b-x$,\qquad \qquad \quad \;�᫨\ $a=-\infty, ~b$ -- ����筮, \hfill\break

\quad 4) $\sigma(x)=1$, \qquad \qquad  \qquad \;\;~�᫨\ $a=-\infty, ~b=+\infty$.

\quad ����� $\rho (x)$ -- �㭪�� (����� ��ᮢ�� �㭪��, ��� ���),
㤮���⢮p���� ����p��樠�쭮�� �p�������
$$
{d\over {dx}} \big( \sigma(x)\rho(x) \big) =\tau(x)\rho(x)
$$
� �p����� �᫮���
$$
[x^m \sigma(x)\rho(x)]_{~x=a,b}\ =0, \quad m=0,1,2,~\ldots
$$

\quad ��⥣p�p�� ����p��樠�쭮� �p�������, ����砥� (� �筮���� �� �᫮����
�����⥫�)
$$
\rho(x)={1\over {\sigma(x)}}~exp\left( \int {{\tau(x)}\over {\sigma(x)}~dx
\right) ,
$$
��� � ����� 1) -- 4) ���� $\sigma(x):$

\quad
1) �᫨ $a$ � $b$ ������, �
$$
\rho (x)=(b-x)^\alpha (x-a)^\beta,
$$
���~ $\alpha=-{{\tau(b)}\over {b-a}} -1,\;
\beta={{\tau(a)}\over {b-a}}-1;$

\quad
2) �᫨ $a$ -- ����筮, $b=+\infty$, �
$$
\rho (x)=(x-\alpha)^\alpha e^{x\tau'(x)},
$$
��� $\alpha =\tau (a)-1;$

\quad
3) �᫨ $a=-\infty$ � $b$ -- ����筮, �
$$
\rho (x)=(b-x)^\alpha e^{-x\tau'(x)},
$$
��� $\alpha =-\tau (b)-1;$

\quad
4) �᫨ $a=-\infty$ � $b=+\infty,$ �
$$\rho (x)= e^{\smallint \tau (x)~dx}.$$

\quad �p� �⮬ �� �p������ �᫮��� ᫥���, ��

\quad
�) �᫨ $a$ -- ����筮, � $\tau(a)>0$

\quad
�) �᫨ $b$ -- ����筮, � $\tau(b)<0$

\quad
�) $\tau(x)<0.$

\quad � ��� ����� �� $\Cal J$ ����� ���� ����p���� ��⥬� �p⮣�������
��������� $\{ p_n(x)\}_{n=0}^\infty$ � ��ᮬ $\rho(x)$, 㤮���⢮p����
����p��樠�쭮�� �p�������
$$
\big(\sigma (x)~\rho(x)~p_n'(x)\big)'+ \lambda _n~ \rho(x)~ p_n(x)=0,
$$
��� $\lambda_n=-n\big(\tau'(x)+ {1\over 2}(n-1)\sigma''(x)\big).$

\quad ��p���襬 ����p��樠�쭮� �p������� ��� ��������� � �p㣮� ����.

\quad �������
$$
q_n(x)=\rho ^{1\over 2}(x)p_n(x),\; \text {�.�.} \quad
p_n(x)=\rho ^{-{1\over 2}}(x)q_n(x).
$$
�⬥⨬, �� �㭪樨 $\{q_n(x)\}_{n=0}^\infty$ ��p����� ������
�p⮭�p��p������� ��⥬� � $L_2(a,b).$

\quad �����
$$
\big(\sigma (x)q_n'(x)\big)'-\Psi(x)q_n(x)+\lambda_nq_n(x)=0,$$
���
$$
\Psi(x)={1\over 2} \rho^ {-{1\over 2}}(x)\left({{\sigma(x)\rho'(x)}\over 
{\rho^{\frac 12}(x)}}\right)'.
$$

\quad ��p������ ��ᮢ�� ����� � �p���p���⢥ $L_2(a,b)$:
$$
W=\left\{y(\cdot) : \int_a^b\big(\sigma (x)y'^2(x)+\Psi(x)y^2(x)\big)~dx
\le 1\right\}.
$$

\quad ��� �㭪樮����� ����� �p���⠢��� �� ᥡ� �����ᮨ� �
$L_2(a,b)$
� �����ﬨ ${1\over {\sqrt{\lambda_n}}}: \text{�᫨ ���}~ y(\cdot) \in
L_2(a,b)~$ ������� p��������� 
$\mathbreak y(x)= \sum_{n=0}^\infty C_n q_n(x),
~\text {�}$
$$
\split
\int_a^b\big(&\sigma(x){y'}^2(x)+\Psi(x)y^2(x)\big)~dx=
\int_a^b\sigma(x)y'(x)~dy(x)+
$$ $$
&\quad+\int_a^b \Psi(x)y^2(x)~dx=
\left.
\big[\sigma(x)y'(x)y(x)\big]\right |_{x=a}^{x=b}-
$$ $$
&-\int_a^b\left(\big(\sigma(x)y'(x)\big)'-\Psi(x)y(x)\right)y(x)~dx
=\sum_{n=0}^\infty \lambda_n C_n^2.
\endsplit
$$

\quad ����� ��p����,
$$
W=\left\{y(x)=\sum_{n=0}^\infty C_n q_n(x)\in L_2 (a,b) :
\sum_{n=0}^\infty \lambda_n {C_n}^2 \le 1 \right\}.
$$

\quad ��� � ᨫ� ⥮p��� 1 � �������p��᪨�  ����p�筨��� �������᪮��
樫���p� ����� ᫥������ ⥮p���.

\proclaim {\indent ���p��� 2}
$$
d_n \big( W, L_2(a,b)\big)={1\over {\sqrt {\lambda_n}}}.
$$
\endproclaim

\quad {\bf $3^0$.} ��������� ��p���� � �ᯮ�짮������ p��������� �� ��⥬��
�p⮭�p��p������� �㭪権, ����祭��� �� ��⥬ ������᪨� �p⮣�������
�����童���, ����� ���� �������� ᫥���騥 p������� ��� ��ᮢ�� ����ᮢ,
������� � ����ᠬ $W$.

\proclaim {\indent ���p��� 3}
$$
d_n \big(W(-\infty,~\infty),~L_2(-\infty,~\infty)\big) =
{1\over {\sqrt{2n+1}}},$$
���
$$
W(-\infty,~\infty)=\left\{y(\cdot) : \int _{-\infty}
^\infty \big( {y'}^2(x)+x^2y^2(x)\big)~dx \le 1\right\}.
$$
\endproclaim

\quad ���p��� 3 �����뢠���� �������筮 ⥮p��� 2 � �ᯮ�짮������ ���������
�p��� $H_n(x).$

{\bf ���p��� 4}
$$
d_n \big(W^\alpha (0,+\infty),~L_2(0,+\infty)\big)=
{1\over {\sqrt{n+\frac 12}}},
$$
���
$$
W^\alpha (0,+\infty)=\left\{y(\cdot):\int_0^\infty\left(x{y'}^2(x)+
\left({{\sqrt x}\over 2} -{\alpha\over {2\sqrt x}}\right)^2y^2(x)\right)dx
\le 1\right\}, \mathbreak

\alpha >-1.
$$
\endproclaim

\quad ���p��� 4 �����뢠���� �������筮 ⥮p��� 2 � �ᯮ�짮������ ���������
����pp� $L_n^\alpha (x)$.

\quad �᫨ �� � $L_2(0,~+\infty)$ �㭪樮����� ����� ��p������ ᫥���騬
��p����
$$
\widetilde W^\alpha (0,~+\infty)=\left\{y(\cdot)~:~\int_0^\infty x^{\alpha+1}
~e^{-x}~{y'}^2(x)~dx \le 1\right\},$$ �
$$
d_n\big(\widetilde W^\alpha (0,~+\infty),~L_2(0,~+\infty)~\big)=
{1\over {\sqrt n}}.
$$

{\bf ���p��� 5}
$$
d_n\big(W^{\alpha,\beta}(-1,~1),~L_2(-1,~1)\big)=
{1\over {\sqrt{n(n+\alpha+\beta+1)+\frac{\alpha+\beta}2}}},
$$
���
$${
W^{\alpha,\beta}(-1,~1) = 
\Biggl\{y(\cdot)~:\int_{-1}^1\Biggl( (1-x^2){y'}^2(x)\right.+
$$ $$
+\left . {1\over {1-x^2}}\left({{\alpha -\beta +(\alpha +\beta)x}\over 2}\right)^2
y^2(x)~\Biggr)~dx  \le 1 \Biggr\},
%
\qquad\alpha, \beta >-1.
$$

\quad ���p��� 5 �����뢠���� �������筮 ⥮p��� 2 � �ᯮ�짮������ ���������
����� $P_n^{\alpha, \beta}(x)$.

\quad �⬥⨬ ⠪��, �� ����祭�� p������� ᮣ�������� � p�����⠬� p�����
[2].

\bigskip
\centerline{\bf ���᮪ �ᯮ�짮������ ���p���p�}
\nopagebreak
\medskip

\noindent
1. {\it �������p�� �.�.} ���p���� �p��: ��⥬�⨪� � ��堭���. �.,
\linebreak
\phantom{��} 1985. 470 �.

\noindent
2. {\it ��客 �.�.} �p��������� ��ᮢ�� ����ᮢ ⨯� ����ᮢ �.�.����-
\linebreak
\phantom{��} ��\-��
// ���.  1979.  �. 34. ��. 3.  �. 211 -- 212.

\noindent
3. {\it ��宬�p�� �.�.} �����p� ���p��� ⥮p�� �p���������. �.,\linebreak
\phantom{��} 1976. 304 �.

\end