%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
\Monograph
\Russian
\TagsOnRight
\NoRunningHeads
\magnification=\magstep2
\pageno1
\topmatter
\endtopmatter
\headline={\hss\tenrm\folio\hss}


\midinsert
%\vspace{0.3 cm}
\botcaption{}
\endcaption
\endinsert
%\redefine\1{\alpha}
%\redefine\2{\sigma}
\noindent
��� 517.11
\nopagebreak
\smallskip
\noindent
{\bf �.~�.~��������}
\nopagebreak
\smallskip
\noindent
{\bf � ��������� �������� ������������}
%\nopagebreak
\hfill\break
{\bf ������������ �����������}
\medskip

\quad �������� p���� [7,~4,~5] �����뢠��, �� ��⮤� ���⠭��p⭮�� �������
��������� � ������ ����権 ������ � ��᫥������� �����p�� ᢮���
⮯������᪨� �p���p����, ⠪��, ��� ������⭮���, �����������⭮���,
$H$-���������� � �.�. �p� �⮬ ᭠砫� ⮯������᪨� ������ �p����������
�� �室������, ���, �� � �� ᠬ��, ������������ �p���p���⢠ [7], �
��⥬ "���⠭��p�� ��⮤�" ��������� ����� ��p������, �� 㦥 �� � ������,
��p����砫쭮��, � � 楫��� ����p� ⮯������᪨� ����⨩.

\quad � �����饩 p���� �����뢠���� �p��p�� ������⭮�� �������������
�p���p���� � �p����� ��������� �p�䨪�� � �p����p���� �⮡p������.
�� ��� ���� ᫥������ �p��p�� ������⭮��, �����������⭮�� �
$H$-��������� ⮯������᪨� \break �p���p����.

\quad � p���� �ᯮ������� �᭮��� ��⮤� ���⠭��p⭮�� ������� [2],
��饯p����� ⮯������᪠� �p��������� [6,~1] � p�������
���⠭��p⭮� ⮯������ [2,~3].

\medskip

\quad ������ [7], �室������ (������������) �p���p���⢮� ������� ��p�
$(X,q),$ ��� $q~:~X \to P(^*X)$ 㤮���⢮p�� ᫥���騬 �᫮���:

1) $\forall x \in X \quad [x \in q(x)];$

2) $\forall x \in X \exists A \subset {^*X}~[q(x)=\cup
\{{Nuc}~\langle y \rangle ~|y \in A\}],$ �p� �⮬ \hfill\break
$\langle y \rangle =\{B~|~y \ ^*\snug \in B \subset X\},~
{Nuc}~\langle y \rangle =\cap \{{^*B}~|~B \in \langle y \rangle\},$
�.�. �p� 䨫��p� $\langle y \rangle$.

\quad �������� ������� ᫥���騥 �p� ���p�p��樨 ��������: \hfill\break
$\mu (x)=\cap \{{^*U}~|~x \in U \in \tau \},~
\mu _\alpha (x)=\cap \{{^*}({int}_X{cl}_XU)~|~x \in U \in \tau \},$
\hfill\break
$\mu _\theta (x)=\cap \{^*{cl}_XU~|~x \in U \in \tau\},~$ ���
$\tau$ -- �����p�� ⮯������ �� $X.$

\quad �p���p���⢮ $(X,q)$ ���뢠���� $q$-��������, �᫨
$$
\forall~x \in {^*X}~\exists ~x_0 \in X~[x \in q(x_0)].
$$

\quad �p���p��� ⠪�� �p���p���� ����� ��������, ������������� �
$H$-�������� �p���p���⢠. ����⢨⥫쭮, �롨p�� � ����⢥ $q$
ᮮ⢥��⢥��� $\mu,~\mu_\alpha,~\mu_\theta ,$ ����砥� �������
���⠭��p�� �p��p�� ������⭮��, �����������⭮�� �
$H$-��������� ⮯������᪨� �p���p����.

\quad �⮡p������ $f~:~(X,q_1) \to (Y,q_2)$ ���뢠���� \hfill\break
$(q_1,q_2)$-���p�p뢭�  � �窥 $x_0 \in X,$ �᫨
$$
^*f(q_1(x_0)) \subseteq q_2(f(x_0)).
$$

\quad �祢����, �� �㭪樨 ���p�p뢭�, $\theta$-���p�p뢭�, ���㭥\-�p�\-p뢭�,
���� ���p�p뢭� � �.�. ���� $(q_1,q_2)$-���p�p뢭묨 [5].

\quad �㤥� ����p���, �� �⮡p������ $f~:~(X,q_1) \to (Y,q_2)$
����� $(q_1,q_2)$-�������� �p�䨪, �᫨
$$
\forall~(x,y) \in X \times Y \setminus G(f)~[P_1^{-1}(q_1(y))
\cap P_2^{-1}(q_2(y)) \cap {^*G(f)}= \emptyset],
$$

\noindent
��� $G(f)=\{(x,y) \in X \times Y ~|~ y=f(x)\}.$

\quad �롨p�� ����� $q_1$ � $q_2$ ���� �� ���p�p��権
$\mu,~\mu_\alpha,~\mu_\theta$, ����砥� ���⠭��p�� �p��p��
��������� $(q_1=\mu,~q_2=\mu),$ ᨫ쭮� \linebreak
$\alpha$-���������
$(q_1=\mu,~q_2=\mu_\alpha),$ ᨫ쭮� $\theta$-���������
$(q_1=\mu, \mathbreak
~q_2=\mu_\theta),$ ���� ��������� $(q_1=\mu_\alpha,~
q_2=\mu),~\alpha$-��������� \linebreak
$(q_1=\mu_\alpha,~q_2=\mu_\alpha),~
(\alpha,\theta)$-��������� $(q_1=\mu_\alpha,~q_2=\mu_\theta),$
᫠��� ��������� $(q_1=\mu_\theta,~q_2=\mu),~
(\theta,\alpha)$-��������� $(q_1=\mu_\theta,~q_2=\mu_\alpha),~
\theta$-\linebreak
-��������� $(q_1=\mu_\theta,~q_2=\mu_\theta)$ �p�䨪�
�⮡p������ $f.$

\quad �p���p���⢮ $(X,q)$ ������� $q$-��᤮p䮢�, �᫨
$$
\forall ~x_1,x_2 \in X~[x_1 \ne x_2 \Rightarrow q(x_1)
\cap q(x_2)= \emptyset].
$$

\quad ���᤮p䮢� � �p�ᮭ��� ⮯������᪨� �p���p���⢠ ����� \linebreak
�p���p��� $q$-��᤮p䮢�� �p���p����.

{\bf ���p��� 1} ����� $f~:~(X,q_1) \to (Y,q_2)$ --
�⮡p������ �������������� �p���p���⢠ $(X,q_1)$ �� $q_2$-������⭮�,
$q_2$-��᤮p䮢� �p���p���⢮ $(Y,q_2).$ �⮡p������
$f\ (q_1,q_2)$-���p�p뢭� ⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, ����� �p�䨪 �⮡p������
$f~(q_1,q_2)$-������� � �p���������� $X \times Y.$
\pagebreak

\newpage
\quad \underbar{������⥫��⢮}.

\noindent
$\Rightarrow$ ����� $f~:~X \to Y$ -- $(q_1,q_2)$-���p�p뢭�� �⮡p������
$X$ � $Y$. �������, �� �᫨ $Y~q_2$-��᤮p䮢�, � $G(f)$ ������� �
�p���������� $X \times Y.$

\quad ����⢨⥫쭮, ����� $(x,y) \notin G(f).$ ����� $y_1=f(x),~y_1 \ne y$
� $(x,y_1) \in G(f).$ ��� ��� $(Y, q_2)$ -- $q_2$-��᤮p䮢�, �
$q_2(y)\cap q_2(y_1)= \emptyset.$ \hfill\break
�� $(q_1,q_2)$-���p�p뢭��� $f$
᫥���, ��
$$
\forall ~x' \in {^*X}~[x' \in q_1(x') \Rightarrow
f(x') \in q_2(f(x))],\quad
\text{�p��� ⮣�,}~f(x)=y_1.
$$

\noindent
���⮬�
$
P_1^{-1}(q_1(x)) \cap P_2^{-1}(q_2(y)) \cap {^*G(f)}= \emptyset,
$
�.�. �᫨ $x' \in q_1(x), \mathbreak
y' \in q_2(y),$ �
$(x',y') \notin {^*G(f)}.$

\noindent
$\Leftarrow$ ����� �p�䨪 �⮡p������ $f~(q_1,q_2)$-������� �
$X \times Y,~(Y,q_2) \mathbreak
q_2$-������⭮. �������, �� $f~(q_1,q_2)$-���p�p뢭�.

\noindent
�p��������� �p�⨢���. �����
$$
\exists \ x'\in {^*}X~[x' \in q_1(x)~\land~f(x') \notin q_2(f(x))].
$$

\noindent
� ᨫ� $q_2$-������⭮�� $(Y,q_2)$ �����:
$$
\exists \ y_1 \in Y~[f(x') \in q_2(y_1)],
$$

\noindent
�.�. $(x,y_1) \notin G(f).$ �� $(x',y') \in ^*G(f)$ � \hfill\break
$(x',y') \in P_1^{-1}(q_1(x)) \cap P_2^{-1}(q_2(y_1)),$
᫥����⥫쭮, $G(f)$ �� ���� $(q_1,q_2)$-�������� �
$X \times Y,$ �� �p�⨢�p��� �᫮���, ���⮬� \break
$f~(q_1,q_2)$-���p�p뢭�.

{\bf �����⢨� 1} ����� $f~:~X \to Y$ -- �⮡p������
⮯������᪮��
�p���p���⢠ $X$ �� ��᤮p䮢� ������⭮� ⮯������᪮� �p���p���⢮ $Y.$
����� ��� ⮣� �⮡� $f$ �뫮 ���p�p뢭� (ᨫ쭮 $\alpha$-���p�p�\-��,
ᨫ쭮 $\theta$-���p�p뢭�), ����室��� � �����筮, �⮡� �p�䨪
�⮡p������ $f$ �� ������� (���� �������, ᫠�� �������) � $X \times Y.$

{\bf �����⢨� 2} ����� $f~:~X \to Y$ -- �⮡p������
⮯������᪮�� �p���p���⢠ $X$ �� �����������⭮� ��᤮p䮢�
⮯������᪮� �p���p���⢮ $Y$. ����� ��� ⮣�, �⮡� $f$ �뫮 ����
���p�p뢭� ($\alpha$-���p�p뢭�, ($\theta ,\alpha$)-���p�p뢭�),
����室��� � �����筮, �⮡� �p�䨪 �⮡p������ $f$ �� ᨫ쭮
$\alpha$-������� ($\alpha$-�������, ($\theta ,\alpha$)-�������) �
$X \times Y.$

{\bf �����⢨� 3} ����� $f~:~X \to Y$ -- �⮡p������
⮯������᪮�� �p���p���⢠ $X$ �� �p�ᮭ��� $H$-����\-��⮥ ⮯������᪮�
�p���p���⢮ $Y$. ����� ��� ⮣�, �⮡� $f$ �뫮 ᫠�� ���p�p뢭�
($(\alpha,\theta)$-\linebreak
-���p�p뢭�, $\theta$-���p�p뢭�), ����室��� �
�����筮, �⮡� �p�䨪 �⮡p������ $f$ �� ᨫ쭮 $\theta$-�������
($(\alpha,\theta)$-�������, $\theta$-�������) � $X \times Y.$

{\bf ���p��� 2} �᫨ $f~:~(X,q_1) \to (Y,q_2) - ~
(q_1,q_2)$-���p�p뢭�� ��ꥪ�� � $(q_1,q_2)$-�������� �p�䨪��, �
$X - q_1$-��᤮p䮢�.

\quad \underbar{������⥫��⢮}.

\quad �p��������� �p�⨢���. ����� \hfill\break
$
\exists \ x_1,x_2 \in X~[x_1 \ne x_2~ \land q_1(x_1) \cap q_2(x_2)
\ne \emptyset] \quad \text{�} \quad
x' \in q_1(x_1),~x' \in q_1(x_2).
$

\noindent
�� $(q_1,q_2)$-���p�p뢭��� ᫥���, ��
$^*f(x') \in q_2(f(x_1))~\text{�}~^*f(x') \in \mathbreak
\in q_2(f(x_2)).$
� ᨫ� ��ꥪ⨢���� $f$ ����� $f(x_1) \ne f(x_2)$, ���⮬� \break
$(x_1,f(x_2)) \notin G(f).$ ��, �.�.
$(x',^*f(x')) \in ^*G(f),~x' \in q_1(x_1),~^*f(x') \in
q_2(f(x_2)),$
� $P_1^{-1}(q_1(x_1)) \cap P_2^{-1}(q_2(f(x_2))) \cap ^*G(f) \ne \emptyset,$
�.�. $G(f)$ �� ���� $(q_1,q_2)$-��������, �� �p�⨢�p��� �᫮���
⥮p���.

{\bf �����⢨� 1} ����� $f~:~X \to Y$ -- ��ꥪ��
⮯������᪮�� �p���p���⢠ $X$ � ⮯������᪮� �p���p���⢮ $Y.~X$
�㤥� ��᤮p䮢� � ������ �� ᫥����� ��砥�: $f$ -- ���p�p뢭�� �
�������� �p�䨪��, ���� ���p�p뢭�� � ᨫ쭮 $\alpha$-��������
�p�䨪��, ᫠�� ���p�p뢭�� � ᨫ쭮 $\theta$-�������� �p�䨪��,
ᨫ쭮 $\alpha$-���p�p뢭�� � ���� �������� �p�䨪��, $\alpha$-���p�p뢭��
� $\alpha$-�������� �p�䨪��, $(\alpha,\theta)$-���p�p뢭�� �
$(\alpha,\theta)$-�������� �p�䨪��.

{\bf �����⢨� 2} ����� $f~:~X \to Y$ - ��ꥪ��
⮯������᪮�� �p���p���⢠ $X$ � ⮯������᪮� �p���p���⢮ $Y.~X$
�㤥� �p�ᮭ��� � ������ �� ᫥����� ��砥�: $f$ -- ���p�p뢭�� �
$\theta$ �������� �p�䨪��, ᨫ쭮 $\theta$-���p�p뢭�� � ᫠��
�������� �p�䨪��, $(\theta,\alpha)$-���p�p뢭�� �
$(\theta,\alpha)$-�������� �p�䨪��.

\quad ������ [1], ⮯������᪮� �p���p���⢮ $X$ ������� ���p�������, �᫨
��p��祭�� ��� ����筮�� �᫠ �������� ��p���� � $X$ �������
������.

\quad ������� ���⠭��p�� �p��p�� ���p��������� ⮯������᪮�� �p���p���⢠.

{\bf ���p��� 3} ���������᪮� �p���p���⢮ $X$
���p������� ⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, ����� ��� ������ �
$\forall ~x_1,x_2 \in X ~[\mu (x_1) \cap \mu (x_2) \ne \emptyset].$

\quad \underbar{������⥫��⢮}.

\noindent
$\Rightarrow$ ����� $X$ ���p�������. ����� $X \ne \emptyset.$ �롥p��
$x_1,x_2 \in X.$ �������� ����p����� ������⢠
$\Cal D_1 \in {^*}\sigma _{x_1}~\text{�} \ \Cal D_2 \in {^*}\sigma _{x_2}$
[2, �. 111], ⠪��, ��
$\Cal D_1 \subset \mu(x_1),~\Cal D_2 \subset \mu(x_2).$ ��������
�p��樯�� ��p����, ����砥�:
$$
\align
\forall~U \in \sigma_{x_1}~&[U \subseteq \cap~\{U_{x_1}~|~U_{x_1}\in \sigma_{x_1}\}~],
$$ $$
\forall~V \in \sigma_{x_2}~&[V \subseteq \cap~\{V_{x_2}~|~V_{x_2}\in \sigma_{x_2}\}~].
\endalign
$$

\quad ��� ��� $X$ ���p�������, � $U \cap V \ne \emptyset.$ \hfill\break
����� ${^*}U \cap {^*}V \ne \emptyset,$ ��� ${^*}U=\Cal D_1,~{^*}V=\Cal D_2,$
�.�. $\mu(x_1) \cap \mu(x_2) \ne \emptyset.$

\noindent
$\Leftarrow$ ����� $X \ne \emptyset$ �
$\forall~x_1,x_2 \in X~[\mu(x_1)\cap \mu(x_2)\ne \emptyset].$

\noindent
����� �祢����, �� ��p��祭�� ���� ���� ��p���� ������� ������.
�������⥫쭮, $X$ ���p�������.

\quad �p������� ����⨥ ���p��������� �� ������������ \break �p���p���⢠.

\quad �p���p���⢮ $(X,q)$ �㤥� ���뢠�� $q$-���p�������, �᫨
$$\forall ~x_1,x_2 \in X~[q(x_1) \cap q(x_2) \ne \emptyset].$$

\quad �롨p�� � ����⢥ $q$ ���� $\mu_{\alpha}$, ���� $\mu_{\theta}$,
����砥� \break $\alpha$-���p������� � $\theta$-���p������� ⮯������᪨�
�p���p���⢠.

\quad ����� $I$ -- ����� ������������� �p���p����, ᮤ�p��騩 �����
$q$- \linebreak
-���p�������� $T_1$-�p���p����, ��� ��� $T_1$-�p���p���⢮�
�㤥� �������� �p���p���⢮ � ᫥���騬 ᢮��⢮�:
$$
\forall ~x_1,x_2 \in X ~[x_1 \ne x_2 \Rightarrow x_1 \notin q(x_2)~
\land~x_2 \in q(x_1)~].
$$

{\bf ���p��� 4} ����� $(Y,q_2) - ~q_2$-��᤮p䮢�
�p���p���⢮. ����� ��� $q_2$-������⭮�� $(Y,q_2)$ ����室��� �
�����筮, �⮡� ��� ��� $(X,q_1) \in I$ �� ������
$f~:~X \to Y$ � $(q_1,q_2)$-�������� �p�䨪�� �뫠
$(q_1,q_2)$-���p�p뢭�.

\quad \underbar{������⥫��⢮}.

\noindent
$\Rightarrow$ ����� $q_2$-��᤮p䮢� �p���p���⢮ $(Y,q_2)~
q_2$-������⭮. �p���������, �� ������� ������ $f~:~X \to Y$
� $(q_1,q_2)$-�������� �p�䨪��, ���p�� �� �㤥�
$(q_1,q_2)$-���p�p뢭�� � �����p�� �窥 $x_0$, �.�.
$$
\exists ~x' \in {^*}X~[~x' \in q_1(x_0) ~\land ~{^*}f(x')
\notin q_2(f(x_0))~].
$$

\noindent
������稬 �p�� $y'$ ���祭�� ${^*}f(x'),~y' \in {^*}Y,$ � �p��
$y_0$ ���祭�� $f(x_0)$, \break $y_0\in Y.$ 
����� $x' \in q_1(x_0)$ �
$y' \notin q_2(y_0).$ � ᨫ� ������⭮�� $(Y,q_2)$
$$
\exists ~y_1 \in Y ~[y' \in q_2(y_1)].
$$

\quad ��� ��� $y'={^*}f(x')$, � $(x',y') \in {^*}G(f)$, � �� ⮣�, ��
$y=f(x)$ � $f$ -- ������, ᫥���, �� $f(x) \notin y_1,$ �.�.
$(x_0,y_1) \in X \times Y \setminus G(f).$

\quad �����, � ����� ��p���, �� ��������� $G(f)$ ᫥���, ��
${^*}G(f) \cap P_1^{-1}(q_1(x_0)) \cap P_2^{-1}(q_2(y_1))= \emptyset,$
� �p㣮� ��p���, $x' \in q_1(x_0),~y' \in q_2(y_1)$ � ��᫥����
p�����⢮ ����������. �������⥫쭮, ��� �p����������� � p��p뢭���
$f$ �뫮 ����p��.

\noindent
$\Leftarrow~:$ �p���������, �� $(Y,q_2)$ �� ���� $q_2$-��������,
�.�.
$$
\exists ~y' \in {^*}Y~\forall~y \in Y~[y' \notin q_2(y)~].
$$

\noindent
��p������ $\tilde q_2(y)$ ᫥���騬 ��p����:
$$
\tilde q_2(y)=\bigcap_{\tilde y \ne y}({^*}Y \setminus q_2(\tilde y)).
$$

\noindent
�������, �� $\tilde q_2(y)$ ���� ������������� ��p���p��.

\quad ����⢨⥫쭮, � ᨫ� $q_2$-��᤮p䮢��� $(Y,q_2)$ �����:
$$
\forall ~y \in Y~[~y \in \tilde q_2(y)].
$$

\noindent
��� ��� $q_2(\tilde y)$ - ������������� ��p���p�, �
$$
\forall ~\tilde y \in Y~\exists~A_{\tilde y} \subset {^*}Y~
[~q_2(\tilde y)=\cup \{Nuc ~\langle \tilde y' \rangle
~|~\tilde y' \in A_{\tilde y}\}].
$$

\noindent
����� $\tilde A_y =\dsize{\bigcap \sb \tilde y \ne y \endsb} ({^*}Y
\setminus A_{\tilde y}).$
�祢����, ��
$
\tilde A_y \subset {^*}Y
$ �
$$
\bigcap_{\tilde y \ne y}~({^*}Y \setminus q_2(\tilde y))=
\bigcap_{{\scriptstyle \tilde y \ne y} \atop \tilde y' \in A_{\tilde y}}
  ({^*}Y \setminus Nuc \langle \tilde y' \rangle)=
\bigcap_{{\scriptstyle \tilde y \ne y}\atop \tilde y' \in A_{\tilde y}}
  (\bigcup_{B_{\tilde y'}\in \langle \tilde y' \rangle}
    ({^*}Y \setminus {^*}B_{\tilde y'}))= 
$$ $$
=\bigcup_{\scriptstyle B_{\tilde y'}\in \langle \tilde y' \rangle \atop
{\scriptstyle \tilde y' \in A_{\tilde y} \atop \scriptstyle \tilde y \ne y }}
  (\bigcap_{\scriptstyle \tilde y \ne y \atop \tilde y' \in A_{\tilde y}}
    ({^*}Y \setminus {^*}B_{\tilde y'})) =
\bigcup_{\tilde {\tilde y} \in \tilde A_y}
  Nuc \langle \tilde {\tilde y} \rangle,
$$

\noindent
�. �. $\tilde q_2(y)= \cup \Nuc \langle \tilde {\tilde y}
\rangle ~|~ \tilde {\tilde y} \in \tilde A_y\}$,
�� � ����p蠥� ������⥫��⢮ ⮣�, ��
$\tilde q_2(y)$ ���� ������������� ��p���p�.

\quad �� ����p����� $\tilde q_2(y)$ ᫥���, ��
$$
\forall ~y \in Y ~[{^*}Y \setminus ns {^*}Y \subset \tilde q_2(y)],
$$

\noindent
��� $ns {^*}Y$ - ������⢮ ������⠭��p��� �祪 $(Y,q_2)$.\hfill\break
������⢮ ${^*}Y \setminus ns {^*}Y \ne \emptyset,$ �.�. �
ᨫ� �p����������� $(Y,q_2)$ �� ���� $q_2$-��������,
���⮬� $\dsize{\bigcap _{y \in Y} \tilde q_2(y) \ne \emptyset},$
�� ����砥� $\tilde q_2$-���p�����\-����� �p���p���⢠ $(Y, \tilde q_2).$

\quad ���ᬮ�p�� ⮦���⢥���� �⮡p������
$$
i_Y ~:~(Y,\tilde q_2)~\to ~(Y,q_2).
$$

\quad �������, �� $i_Y$ ����� $(\tilde q_2,q_2)$-�������� �p�䨪.

\quad ����⢨⥫쭮, ����� $(y_1,y_2) \notin G(i_Y),$ ⮣��
$y_1 \ne y_2$ � $\tilde q_2(y_1)\cap q_2(y_2)=
\emptyset.$ ���⮬�
$$
{^*}G(i_Y) \cap P_1^{-1}(\tilde q_2(y_1)) \cap P_2^{-1}(q_2(y_2))=
\emptyset.
$$

\noindent
�祢����, �� $(Y, \tilde q_2) ~-~T_1$-�p���p���⢮. ����� ��p����,
$(Y, \tilde q_2)$ -- $q_2$-���p�������� $T_1$-�p���p���⢮, �����
$(Y, \tilde q_2) \in I,~i_Y$ -- ������  � $(\tilde q_2,q_2)$-��������
�p�䨪��. ����� �� �᫮��� ⥮p��� ��� ������ ����
$(\tilde q_2,q_2)$-���p�\-p뢭�. � ᨫ� ⥮p��� 2 $(Y, \tilde q_2) ~-~
\tilde q_2$-��᤮p䮢� �p���p���⢮, �� �p�⨢�p��� ���
$\tilde q_2$-���p���������. �����, $(Y,q_2)$ -- $q_2$-������⭮�
�p���p���⢮.

������稬 ⥯�p� �p�� $I,~I_\alpha,~I_\theta$ ������ \break ���p��������,
$\alpha$-���p�������� � $\theta$-���p�������� ⮯������᪨� \break �p���p����
ᮮ⢥��⢥���.

{\bf �����⢨� 1} ���᤮p䮢� ⮯������᪮� �p���p���⢮ $Y$
������⭮ ⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, ����� �믮������ ���� �� ᫥�����
�᫮���:

1) ��� ������� $X \in I$ �� ������ $f~:~X \to Y$ � �������� �p�䨪��
���p�p뢭�;

2) ��� ������� $X \in I_\alpha$ �� ������ $f~:~X \to Y$ � ����
�������� �p�䨪�� ᨫ쭮 $\alpha$-���p�p뢭�;

3) ��� ������� $X \in I_\theta$ �� ������ $f~:~X \to Y$ � ᫠��
�������� �p�䨪�� ᨫ쭮 $\theta$-���p�p뢭�.

{\bf �����⢨� 2} ���᤮p䮢� ⮯������᪮� �p���p���⢮
$Y$ �����������⭮ ⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, ����� �믮������ ���� ��
᫥����� �᫮���:

1) ��� ������� $X \in I_\alpha$ �� ������ $f~:~X \to Y$ �
$\alpha$-�������� �p�䨪�� $\alpha$-���p�p뢭�;

2) ��� ������� $X \in I_\alpha$ �� ������ $f~:~X \to Y$ � ᨫ쭮
$\alpha$-\linebreak
-�������� �p�䨪�� ���� ���p�p뢭�;

3) ��� ������� $X \in I_\theta$ �� ������ $f~:~X \to Y$ �
$(\theta,\alpha)$-�������� �p�䨪�� ᨫ쭮 $(\theta,\alpha)$-���p�p뢭�.

{\bf �����⢨� 3} �p�ᮭ��� ⮯������᪮� �p���p���⢮
$Y~H$-����\-��\-� ⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, ����� �믮������ ���� �� ᫥�����
�᫮���:

1) ��� ������� $X \in I_\theta$ �� ������ $f~:~X \to Y$ �
$\theta$-�������� �p�䨪�� $\theta$-���p�p뢭�;

2) ��� ������� $X \in I_\theta$ �� ������ $f~:~X \to Y$ �
ᨫ쭮 $\theta$-\linebreak
-�������� �p�䨪�� ᫠�� ���p�p뢭�;

3) ��� ������� $X \in I_\alpha$ �� ������ $f~:~X \to Y$ �
$\alpha,\theta$-�������� �p�䨪�� $\alpha,\theta$-���p�p뢭�.

\quad ����� $(X,q_1),(Y,q_2)$ - ������������ �p���p���⢠. ������ [4],
��p������ ������������� ��p���p� �� $X \times Y:$
$$
q\bigr((x,y)\bigl)= P_x^{-1}\bigr(q_1(x)\bigl) ~\cap ~P_y^{-1}
\bigr(q_2(y)\bigl).
$$

\quad �⮡p������ $f~:~X \to Y$ �㤥� ���뢠�� $(q_1,q_2)$-��������,
�᫨ ��� ��� $q_1$-������⮣� � $X$ ���������⢠ $A$
���������⢮ $f(A)~q_2$-������� � $Y$.

{\bf ���p��� 5} ���᤮p䮢� �p���p���⢮
$(X,q_1) ~q_1$-������⭮ ⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, ����� ��� ���
$(Y,q_2) \in I$ �p����� $p_Y~:~X \times Y \to Y$ ����
$(q_1,q_2)$-�������� �⮡p�������, ��� $q$ -- �������������
��p���p� �� $X \times Y.$

\quad \underbar{������⥫��⢮}.

\noindent
$\Rightarrow$ ����室������ �p���⠢��� ᮡ�� ������ ⥮p��� ��p�⮢᪮��
��� ������������� �p���p����.

\noindent
$\Leftarrow$ �p���������, �� $X$ -- $q_1$-��᤮p䮢� �p���p���⢮,
���p�� �� ���� $q_1$-��������, �.�.
$$
\exists ~x' \in {^*}X~\forall ~x \in X ~[~x' \notin q_1(x)~].
$$

\quad ����� (�. ������⥫��⢮ ⥮p��� 4) ������� �����������
$\tilde q_1(x)=
\dsize \bigcap _{\tilde x \ne x}({^*}X~ \setminus~q_1(\tilde x)~)$
�� $X$, ⠪��, �� $(X,\tilde q_1)$ -- $\tilde q_1$-���p�������. �����
$y_0 \notin X$ � $Y=X~\cup~\{y_0\}.$ ����p��� ����������� �� $Y$
᫥���騬 ��p����: �᫨ $x \in X$, �
$$
\tilde q_2(x)=\tilde q_1(x),\quad
\tilde q_2(y_0)= \bigcap _{x \in X}({^*}Y~\setminus ~q_1(x)~).
$$

\noindent
�祢����, �� $(Y,\tilde q_2)$ -- $\tilde q_2$-���p�������� �p���p���⢮.

\quad ����� $A=\{(x,x)~|~x \in X\}.$ �������, �� $A$ -- $q$-������⮥
���������⢮ $X \times Y.$ ���쬥�
$
(x,y) \in (X \times Y) ~\setminus ~A.
$
����� $x \ne y$ � $x \ne y_0.$ � ᨫ� $q_1$-��᤮p䮢���
$(X,q_1) \quad q_1(x) \cap \tilde q_2(y)= \emptyset.$
�������⥫쭮,
$
P_x^{-1}(q_1(x))~\cap ~P_y^{-1}(\tilde q_2(y))~\cap ~{^*}A =\emptyset.
$

\quad ��� ��� $(Y,\tilde q_2) \in I,$ � �� �᫮��� ⥮p��� $P_y(A)
\quad q_2$-������� � $(Y,\tilde q_2).$ �� �����, ��
$$
\forall ~y \in Y ~[y' \in {^*}P_y(A)~\land~y' \in \tilde q_2(y)
\Rightarrow ~y \in P_y(A)~].
$$

\noindent
� ᨫ� ⮣�, �� $x' \in {^*}P_y(A)$ � $x' \in \tilde q_2(y_0),$
�����: $y_0 \in P_y(A),$ �� �� ����p����� $y_0 \in P_y(A).$
����祭��� �p�⨢�p�稥 ����p蠥� ������⥫��⢮.

\quad � [8] �뫮 ������� ����⨥  $(1)\theta$-������⮣� ������⢠,
���p��, �祢���� ���� ����饭��� ������ ������⮣� ���������⢠ �
�p���������� $X \times Y$ ⮯������᪨� �p���p����. ���ᬮ�p�� �p㣨�
����饭��.

\quad ����� $X,Y$ -- ⮯������᪨� �p���p���⢠. ������⢮ $A \subset X \times Y$
������� ��������, $(1)\alpha$-��������, $(2)\alpha$-��������,
$(1)\theta$-��������, $(2)\theta$-��������, $\alpha$-��������,
$(\alpha,\theta)$-��������, $(\theta,\alpha)$-��������, $\theta$-
\linebreak -��������,
�᫨ ��� �� $(x,y) \in (X \times Y) \setminus A$ ��������
��p��� ������⢠ $U \subset X,~V \subset Y,$ ⠪��, ��
$(x,y) \in U \times V$ � �믮������� �᫮���
$
(U \times V) \cap A =\emptyset,~
({int}_X{cl}_XU \times V) \cap A =\emptyset,~
(U \times {int}_Y{cl}_YV)\cap A =\mathbreak =\emptyset,~
({cl}_XU \times V)\cap A =\emptyset,~
(U \times {cl}_YV)\cap A =\emptyset,~
({int}_X{cl}_XU \times {int}_Y{cl}_YV) \cap A = \mathbreak =\emptyset,~
({int}_X{cl}_XU \times {cl}_YV) \cap A =\emptyset,~
({cl}_XU \times {int}_Y{cl}_YV) \cap A =\emptyset,~
({cl}_XU \times \mathbreak \times {cl}_YV)\cap A=\emptyset
$
ᮮ⢥��⢥���.

\quad �����᭮ �⮬�, �p����p��饥 �⮡p������ $P_y~:~X \times Y \to Y$
������� ��������, ($(1)\alpha)$-�������� � �.�.), �᫨ ��p�� ���
������⮣� � $X \times Y$ ���������⢠ ������� � $Y$ (��p��
$(1)\alpha$-������⮣� � $X \times Y$ ���������⢠ $\alpha$-������� �
$Y$ � �.�.)

{\bf �����⢨� 1} ���᤮p䮢� ⮯������᪮� �p���p���⢮ $X$
������⭮ ⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, ����� �믮������ ���� �� ᫥�����
�᫮���:

1) ��� ������� $Y \in I$ �p����� $P_y~:~X \times Y \to Y$ ���� ������⮥
�⮡p������;

2) ��� ������� $Y \in I_\alpha$ �p����� $P_y~:~X \times Y \to Y$ ����
$(2)\alpha$-������⮥ �⮡p������;

3) ��� ������� $Y \in I_\theta$ �p����� $P_y~:~X \times Y \to Y$ ����
$(2)\theta$-������⮥ �⮡p������.

{\bf �����⢨� 2} ���᤮p䮢� ⮯������᪮� �p���p���⢮
$X$ �����������⭮ ⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, ����� �믮������ ���� ��
᫥����� �᫮���:

1) ��� ������� $Y \in I$ �p����� $P_y~:~X \times Y \to Y$ ����
$(1)\alpha$-������⮥ �⮡p������;

2) ��� ������� $Y \in I_\alpha$ �p����� $P_y~:~X \times Y \to Y$ ����
$\alpha$-������⮥ �⮡p������;

3) ��� ������� $Y \in I_\theta$ �p����� $P_y~:~X \times Y \to Y$ ����
$(\alpha,\theta)$-������⮥ �⮡p������.

{\bf �����⢨� 3} �p�ᮭ��� �p���p���⢮ $X~H$-�������
⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, ����� �믮������ ���� �� ᫥����� �᫮���:

1) ��� ������� $Y \in I$ �p����� $P_y~:~X \times Y \to Y$ ����
$(1)\theta$-������⮥ �⮡p������;

2) ��� ������� $Y \in I_\alpha$ �p����� $P_y~:~X \times Y \to Y$ ����
$(\theta,\alpha)$-������⮥ �⮡p������;

3) ��� ������� $Y \in I_\theta$ �p����� $P_y~:~X \times Y \to Y$ ����
$\theta$-������⮥ �⮡p������.

\medskip
\centerline{\bf ���᮪ �ᯮ�짮������ ���p���p�}
\nopagebreak
\smallskip

\noindent
1. {\it ��p���� �.} ������⨢��� �����p�. �., 1971. 708 c.

\noindent
2. {\it ����� �.} �p�������� ���⠭��p�� ������. �., 1980. 236 c.

\noindent
3. {\it ���p��� �.�., ���⥫���� �.�.} ���⠭��p�� ��⮤� �������.\linebreak
\phantom{��} ����ᨡ�p�, 1990. 344 c.

\noindent
4. {\it �������� �.�.} �����⢠ �p���������� ⮯������᪨� �p���p����
\phantom{��} � �p����� ���⠭��p⭮�� �������. �������, 1987. 13 c.
���. � \linebreak
\phantom{��} ������ 09.06.87, \No ~4158-�-87.

\noindent
5. {\it �������� �.�., ��⨭��� �.�.} ��⭠� ������⭮��� �
�ᥢ��-\linebreak
\phantom{��} ⮯������᪨� �p���p���⢠� � �p����� ���⠭��p⭮��
�������
\phantom{��} // �����p���᪨� � ���p��� ��⥬�. �������, 1988. �. 85 -- 94.

\noindent
6. {\it �����쪨�� �.} ���� ⮯������. �., 1986. 756 c.


\noindent
7. {\it Puritz C.}
Quasimonad spaces: a non-standard approach to convergences
\phantom{��} // Proc. London Math. Soc. 1976. Vol.~32. P. 230 -- 250.

\noindent
8. {\it Tankovi\'c D.S., Long P.E.}
A note on H-closed spaces // Houston J.Math.
\phantom{��} 1987. Vol.13.
\No ~1. P. 47 -- 50.\pagebreak

\end