%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
%\nopagenumbers
\magnification=\magstep2
%\pagewidth{17 true cm}
%\vcorrection{-.5 true cm}
%\hcorrection{-.5 true cm}
\TagsOnRight
\pretitle{ \centerline{\bf { Научные труды ИвГУ. Математика. Вып.~2}}
\centerline{\bf {Иваново, 1999}}

\noindent --------------------------------------------------------------------------------------------------
\vskip .1 cm
УДК 512.543
\vskip .2 cm
\centerline {\bf Д.~Н.~Азаров}
\vskip .2 cm
%\leftheadtext{\it Д.~Н.~Азаров }
%\rightheadtext{ Финитная аппроксимируемость }
\topmatter
%\author  Д.Н.Азаров
%\endauthor
\noindent
{\bf
Финитная аппроксимируемость свободного произведения \break
ограниченных разрешимых групп с циклическим объединением
}
\abstract \nofrills

Доказано, что свободное произведение двух ограниченных разрешимых групп с
циклическим объединением является финитно аппроксимируемой группой.
\endabstract
\endtopmatter
\document
\pageno=1
\vskip .5 cm

Пусть $G$ -- свободное произведение групп $A$ и $B$ с объединенной
подгруппой $H$. Г.Баумслаг [2] доказал, что группа $G$ финитно
аппроксимируема, если $A$  и $B$ обладают тем же свойством и
$\vert H \vert < \infty.$ Д.Дайер [3] доказала финитную аппроксимируемость
группы $G$ при условии, что $A$ и $B$ -- почти полициклические группы и
$H$ -- циклическая подгруппа. Введенный А.И.Мальцевым [1] класс ограниченных
разрешимых групп содержит все полициклические группы. Поэтому следующая
теорема обобщает результат Д.Дайер.

\proclaim{\indent Теорема} Пусть $A$ и $B$ -- конечные расширения ограниченных
разрешимых групп. Если $H$ -- циклическая группа, то группа $G$ финитно
аппроксимируема.
\endproclaim

Доказательству этой теоремы предпошлем одну лемму, справедливость которой
легко устанавливается с помощью отмеченного выше результата Г.Баумслага.

\proclaim{\indent Лемма} Пусть группы $A$ и $B$ финитно аппроксимируемы и
$H$ -- циклическая подгруппа. Если $\vert H \vert < \infty$, то группа $G$
финитно аппроксимируема. Пусть $\vert H \vert = \infty$. Группа $G$ финитно
аппроксимируема, если выполняются следующие три условия:

1. Подгруппа $H$ финитно отделима в группах $A$ и $B$.

2. Существует целое положительное число $m$ такое, что для любого $k>0$
найдется гомоморфизм группы $A$ на конечную группу, отображающий $H$ на
подгруппу порядка $mk.$

3. Существует целое положительное число $n$ такое, что для любого $k>0$
найдется гомоморфизм группы $B$ на конечную группу, отображающий $H$ на
подгруппу порядка $nk.$
\endproclaim

Поскольку ограниченные разрешимые группы финитно аппроксимируемы, то
доказательство теоремы сводится к проверке условий 1,2 и 3 для случая, когда
$A$ и $B$ -- ограниченные разрешимые группы, $H$ -- бесконечная циклическая
подгруппа. В [1] доказано, что все подгруппы ограниченной разрешимой группы
финитно отделимы. Поэтому условие 1 выполняется. С помощью элементарных
свойств ограниченных разрешимых групп легко проверить выполнение
условий 2 и 3.
\vskip .5 cm
\centerline{\bf Список использованной литеpатуpы}
\vskip .3 cm
\noindent
1. {\it Мальцев А.~И.} О гомоморфизмах на конечные группы// Учен. зап.
\linebreak \phantom{ны} Иван. гос. пед. ин-та, 1958, Т.~58. $\No$~5. 
C.~49 -- 60.

\noindent
2. {\it Baumslag G.} On the residual finiteness of generalized free
products of
\linebreak \phantom{ны} nilpotent groups// Trans. Amer. Math. Soc. 1963. Vol.~106.
$\No$~1.
\linebreak \phantom{ны} P.~193 -- 209.

\noindent
3. {\it Dyer J.} On the residual finiteness of generalized free
products// Ibid.
\linebreak \phantom{ны} 1968. Vol.~133. $\No$~1. P.~131 -- 143.

\end
