%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
%\nopagenumbers
\magnification=\magstep2
%\pagewidth{17 true cm}
%\vcorrection{-.5 true cm}
%\hcorrection{-.5 true cm}
\TagsOnRight
\pretitle{ \centerline{\bf { Научные труды ИвГУ. Математика. Вып.~2}}
\centerline{\bf {Иваново, 1999}}

\noindent --------------------------------------------------------------------------------------------------
\vskip .1 cm
УДК 512.543}
\vskip .2 cm
\centerline {\bf Д.~Н.~Азаров, Д.~И.~Молдаванский}
\vskip .2 cm
%\leftheadtext{\it Д.~Н.~Азаров, Д.~И.~Молдаванский}
%\rightheadtext{\it Аппроксимируемость сверхразрешимых групп}
\topmatter
%\author {АЗАРОВ Д.Н., МОЛДАВАНСКИЙ Д.И.}\endauthor
\title{\bf\noindent
Аппроксимируемость сверхразрешимых групп конечными $p$-группами
}\endtitle
\abstract \nofrills
\vskip .2 cm\noindent
Доказано, что если сверхразрешимая группа $G$ аппроксимируется
конечными $p$-груп\-па\-ми для некоторого нечетного простого числа $p$, то
группа $G$ нильпотентна.
Cверхразрешимая группа $G$ аппроксимируется
конечными 2-группами тогда и только тогда, когда все элементы конечного
порядка группы $G$ являются 2-элементами.
\endabstract
\endtopmatter
\document
\pageno=1
\vskip .5 cm

Напомним, что группа $G$ называется полициклической, если она обладает
субнормальным рядом с циклическими факторами, и сверхразрешимой, если у нее
есть нормальный ряд с циклическими факторами. По известной теореме Гирша
(см., напр., [2])
произвольная полициклическая группа является финитно аппроксимируемой.
С другой стороны, К.Сексенбаев [1] доказал, что если полициклическая группа
аппроксимируема конечными $p$-группами для каждого числа $p$ из произвольного
бесконечного множества простых чисел, то она нильпотентна.
Для сверхразрешимых групп аппроксимируемость конечными $p$-группами
оказывается еще более жестким ограничением:

\proclaim{\indent Теорема 1} Если сверхразрешимая группа $G$ аппроксимируется
конечными $p$-груп\-па\-ми для некоторого нечетного простого числа $p$, то
груп\-па $G$ нильпотентна.
\endproclaim

В самом деле, если группа $G$ конечна, то утверждение очевидно. Если $G$
бесконечна, то нетрудно показать, что она содержит бесконечную циклическую
нормальную подгруппу $A$, порождаемую элементом $a$. Для любого элемента
$x\in G$ мы должны иметь $x^{-1}ax=a^{\pm 1}$. Если предположить, что для
некоторого элемента $x$ выполнено равенство $x^{-1}ax=a^{-1}$, то для
любого числа $k>0$ будет иметь место равенство $x^{-k}ax^{k}=a^{(-1)^k}$.
Отсюда и из нечетности числа $p$ следует, что по модулю произвольной
нормальной подгруппы конечного $p$-индекса
группы $G$ будем иметь $a=a^{-1}$, т.~е. $a=1$. Таким образом, подгруппа
$A$ содержится в центре $Z$ группы $G$, и, т.~к. фактор-группа $G/Z$ также
аппроксимируема конечными $p$-группами, индукция по рангу Гирша дает нильпотентность
группы $G/Z,$ а потому --- и группы $G$.

Существуют сверхразрешимые ненильпотентные группы,
аппроксимируемые конечными 2-груп\-па\-ми; простым примером такой группы
является свободное произведение двух циклических групп порядка 2.
Более того, легко получить описание всех таких групп: следующая теорема
утверждает, что очевидное необходимое условие аппроксимируемости
конечными 2-группами для
сверхразрешимых групп является и достаточным.

\proclaim{\indent Теорема 2} Cверхразрешимая группа $G$ аппроксимируема
конечны\-ми 2-группами тогда и только тогда, когда все элементы конечного
порядка группы $G$ являются 2-элементами.
\endproclaim

Поскольку произвольная сверхразрешимая группа почти нильпотентна и почти
вся без кручения, группа $G$ содержит максимальную нормальную подгруппу $H$
конечного индекса, являющуюся нильпотентной группой без кручения. Так как по
теореме Грюнберга [2] конечно порожденные нильпотентные группы без кручения
аппроксимируются конечными $p$-группами при любом $p$, остается понять, что
фактор-группа $G/H$ является 2-группой. Если это не так и если $p>2$ ---
наибольшее простое число, делящее порядок группы $G/H$, то существует
нормальная подгруппа $K$ группы $G$ такая, что $H\leq K$ и фактор-группа
$K/H$ имеет порядок $p$. Тогда группа $K$ аппроксимируется конечными
$p$-группами и в силу теоремы 1 является нильпотентной. Так как при
этом $K$ не имеет кручения, это противоречит максимальности подгруппы $H$.

\vskip .5 cm
\centerline{\bf Список использованной литеpатуpы}
\vskip .3 cm
\noindent
1. {\it Сексенбаев К.} К теории полициклических групп // Алгебра и логика.
\linebreak \phantom{ны} 1965. Т.~4. Вып.~3. С.~79 -- 83.

\noindent
2. {\it Grunberg K.} Residual properties of infinite soluble groups //
Proc. London
\linebreak \phantom{ны} Math. Soc. 1957. Vol.~7.  P.~29 -- 62.



\enddocument
