%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
%\nopagenumbers
\magnification=\magstep2
%\pagewidth{17 true cm}
%\vcorrection{-.5 true cm}
%\hcorrection{-.5 true cm}
\TagsOnRight
\pretitle{ \centerline{\bf { Научные труды ИвГУ. Математика. Вып.~2}}
\centerline{\bf {Иваново, 1999}}

\noindent --------------------------------------------------------------------------------------------------
\vskip .1cm
УДК 514.174.6
\vskip .2 cm
\centerline{\bf Е.~П.~Барановский}
\vskip .2 cm
%\leftheadtext{\it Е.П.Барановский}
%\rightheadtext{\it L-условия}
%\author Е.П.Барановский
%\endauthor
\title{\bf\noindent
Условия, при которых симплекс 6-мерной решетки является L-симплексом
}\endtitle
\abstract \nofrills
\vskip .2 cm\noindent
Для параметров 6-мерного симплекса -- квадратов длин
его рёбер -- приведён список конечного числа неравенств, при выполнении
которых симплекс является L-симплексом построенной на нём решётки.
Доказана минимальность списка.
\endabstract
\endtopmatter
\document
\pageno=1
\vskip .5 cm
\centerline{\bf 1. Результат, предварительные сведения}
\vskip 3pt
Как обычно, предполагаем
$n$-мерную решётку евклидова прост\-ран\-ства $E^n$ заданной её основным репером
$E=\{O;\bar e_1,...,\bar e_n\}.$ Cимплекс $S(E)$,
построенный на репере $E$, будем называть стандартным симплексом
заданной репером $E$ решётки $\Gamma^n_E$. Если замкнутый шар, описанный
вокруг симплекса $S(E)$, не содержит, кроме вершин симплекса, других
точек решетки $\Gamma^n_E,$ то симплекс $S(E)$ принадлежит к числу
многогранников $L$-разбиения, построенного на этой решётке, т.е.
является $L$-симплексом.

В кратком сообщении [1] была приведена минимальная конечная совокупность
необходимых и достаточных условий того, что стандартный симплекс 6-мерной
решётки является $L$-симплексом. Аналогичные условия для решёток размерностей
$n<6$ содержатся в pаботе [2], в другой интерпретации они приведены в статье
[4].
В предлагаемой pаботе дано подробное изложение результата [1]. Кроме
непосредственного приложения в геометрии решёток, полученный результат
позволяет назвать все грани высшей размерности  гиперметрического
конуса $H_{6+1}$. (см., напр., [4, 6, 7]).

Репер $E$, задающий решётку $\Gamma^n_E$, мы рассматриваем как базис
координатной системы пространства $E^n.$ Координаты относительно этого
базиса будем обозначать через $x^1,...,x^n.$ Решётка $\Gamma^n_E$
с точностью до положения в пространстве определяется коэффициентами
метрической формы базиса $E$:
$$f(x^1,...,x^n)=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x^ix^j,\quad a_{ij}=a_{ji}
=\bar e_i\bar e_j.\eqno(1)$$

Введём другой способ задания решётки, эквивалентный заданию коэффициентами
формы (1), --- задание параметрами $h_{kl}$ $(k,l=0,1,...,$\break $n;k<l)$,
представляющими собой квадраты длин рёбер стандартного симплекса $S(E)$
рассматриваемой решётки. Коэффициенты формы (1) и параметры $h_{kl}$
связаны соотношениями:
$$a_{ii}=h_{0i},\quad a_{ij}={1\over 2}(h_{0i}+h_{0j}-h_{ij}).$$

Дополнив координатную строку $(x^1,...,x^n)$ координатой $x^0
=1-\sum_{i=1}^nx^i,$ получим строку барицентрических координат
точек пространства $E^n$ относительно стандартного симплекса решётки
как базиса барицентрической системы.

Рассмотрим функцию (cм. [2])
$$\Phi(x^0,x^1,...,x^n)=-\sum_{0\leq k<l\leq n}h_{kl}x^kx^l,\eqno(2)$$
значение которой представляет собой разность между квадратом
расстояния точки $M=(x^0,x^1,...,x^n)$ от центра $C$ сферы, описанной
вокруг симплекса $S(E)$ и квадратом радиуса $R$ этой сферы:
$$\Phi(M)=|CM|^2-R^2.\eqno(3)$$
Из равенства (3) вытекает

\proclaim{\indent \bf Лемма 1} Для того чтобы шар, описанный вокруг стандартного
\linebreak
симплекса $S(E)$ решётки $\Gamma^n_E$, не содержал, кроме вершин симплекса,
точек решётки, необходимо и достаточно, чтобы значения функции
\linebreak
$\Phi(x^0,x^1,...,x^n)$ были положительны при всех целочисленных
значениях переменных $x^0,x^1,...,x^n,$ исключая только те $n+1$
случаев, когда все $x^k$, кроме одного, равны 0.
\endproclaim
\pagebreak
\vskip 1cm
\centerline{\bf 2. Формулировка теоремы. Доказательство минимальности}
\vskip 3pt
Из определения $L$-многогранника решётки и леммы 1 следует, что
стандартный симплекс $S(E)$ тогда и только тогда является $L$-симплек-
\linebreak
сом,
когда для всех точек решётки, кроме вершин симплекса, функция $\Phi$
положительна. Задача заключается в том, чтобы найти такое {\it конечное}
множество точек решётки $M_t=(x^0_t,x^1_t,...,x^n_t), \enskip
t=1,2,...,q,$ что из  $q$ неравенств
$$\Phi(M_t)>0, \eqno(4)$$
cледовали бы неравенства
$\Phi(M)>0$ для всех остальных, кроме вершин симплекса, точек решётки.
Cовокупность неравенств (4) будем называть $L$-{\it условиями для симплекса
$S(E)$}, а сами точки $M_t$ --- {\it определяющими точками $L$-условий.}
Решение названной задачи в случае 6-мерных решёток даётся в теореме:

\proclaim{\indent Теорема 1.} Множество определяющих точек $L$-условий для
стандартного симплекса 6-мерной решётки состоит из точек,
барицентрические координаты которых образованы всевозможными перестановками
из следующих координатных наборов:
$$\aligned &1)(1^2-1^1,0^4);\enskip 2)(1^3,-1^2,0^2);\enskip 3)(1^4,-1^1,-2^1,0^1);\\
&4)(2^1,1^2,-1^3,0^1);\enskip 5)(1^4,-1^3);\enskip 6)(1^5,-2^2);\\
&7)(2^1,1^3,-1^2,-2^1);\enskip 8)(2^2,1^1,-1^4);\enskip 9)(1^5,-1^1,-3^1);\\
&10)(3^1,1^2,-1^4);\enskip 11)(3^1,2^1,1^1, -1^3,-2^1);\\
&12)(3^1,1^3,-1^1,-2^2);\enskip 13)(2^2,1^2,-1^2,-3^1);\enskip
14)(2^1,1^4,-2^1,-3^1).\endaligned \tag 5 $$
Соответствующие этому множеству определяющих точек $L$-условия минимальны.}
\endproclaim

Заметим, что точки вида 1) -- 4) определяют $L$-условия для $n$-мерного
симплекса при $n\leq 5 $ [2].

Названное в теореме 1 множество точек обозначим через $W_6$. Минимальность,
о которой говорится в теореме, понимается в том смысле, что при отбрасывании
хотя бы одного из неравенств, образующих $L$-условия, оставшееся их множество
уже не образует достаточных условий, т.е. для любой точки $M_t\in W_6$
существуют не являющиеся $L$-симплексами стандартные симплексы,
для которых $\Phi(M_t)\leq 0,$ а все остальные неравенства
$\Phi(M)>0, \  M\in W_6, \ M\ne M_t,$ выполнены. Примеры таких симплексов,
заданных их параметрами $h_{kl},\enskip k,l=0,1,...,n,$ $k<l$,
приведены ниже. В каждом примере названа координатная строка той точки $M_t$,
для которой $\Phi(M_t)=0.$ Тем самым, кроме основного назначения,
эти примеры являются примерами {\it многогранников переделивания,}
т.е. $L$-многогранников $n$-мерных решёток, имеющих $n+2$
вершины.

{\bf Примеры.} 1. (1,1,-1,0,0,0,0). $h_{02}=h_{12}=1, h_{01}=2,$ остальные
параметры равны 1,5.

2. (1,1,1,-1,-1,0,0). $h_{pq}=1, \enskip p\in \{0,1,2\};\enskip
q\in \{3,4\},$ $h_{01}=h_{02}=$ $=h_{12}=h_{34}=1,5,$ остальные параметры
равны 1,2.

3. (1,1,1,1,-1,-2,0). $h_{p4}=1,h_{p5}=0,9, h_{pq}=1,4,\enskip
p,q\in \{0,1,2,3\},$  $p<q,\enskip h_{45}=1,4,$ остальные параметры равны 1,2.

4. (2,1,1,-1,-1,-1,0). $h_{0p}=0,9,\enskip h_{1p}=h_{2p}=1, \enskip
p\in \{3,4,5\},\enskip h_{01}=$ $=h_{02}=1,5,\enskip
h_{12}=h_{34}=h_{35}=h_{45}=1,35,$ остальные параметры равны 1,2.

5. (1,1,1,1,-1,-1,-1). $h_{pq}=h_{rs}=2,\enskip h_{pr}=1,5,\enskip
p,q\in \{0,1,2,3\},$ \linebreak  $p<q,\enskip r,s\in \{4,5,6\}, r<s.$

6. (1,1,1,1,1,-2,-2). $h_{pq}=h_{56}=2,h_{pr}=1,4,$
$p,q\in \{0,1,...,4\},$\break $p<q,\enskip r\in \{5,6\}.$

7. (2,1,1,1,-1,-1,-2). $h_{0p}=2,5, h_{pq}=h_{45}=h_{46}=h_{56}=2,3,$\break
$h_{0r}=1,6, h_{pr}=2,\enskip h_{06}=1,35, h_{p6}=1,6, \enskip
p,q\in \{1,2,3\}, p<q,\enskip r\in \{4,5\}.$

8. (-1,-1,-1,-1,1,2,2). $h_{pq}={14\over 15},  h_{r4}=1,2,\enskip
h_{p4}=0,7,\enskip h_{pr}=0,85,$ \linebreak $h_{56}=1,5,\enskip p,q\in \{0,...,3\},
p<q,\enskip r\in \{5,6\}.$

9. (1,1,1,1,1,-1,-3). $h_{pq}=2, h_{p5}=1,6, h_{p6}=1,16, h_{56},$
$p,q\in \{0,1,...,$ $4\},\enskip p<q.$

\noindent
\ 10. (-1,-1,-1,-1,1,1,3). $h_{pq}=1,09, h_{45}=0,86, h_{p6}=0,7,
h_{pr}=1,$\break   $h_{r6}=1,5,\enskip p,q\in\{0,1,2,3\}, r\in\{4,5\}.$

\noindent
\ 11. (-2,-1,-1,-1,1,2,3). $h_{0p}=h_{pq}=1,09, h_{45}=0,56,
h_{46}={89\over 60},$ $h_{56}=$ $=1,66, h_{04}=1, h_{05}=0,96,
h_{p4}=h_{p5}=1,01,$ $h_{06}=0,71, h_{p6}=0,75,$\break
$p,q\in\{1,2,3\}, p<q.$

\noindent
\ 12. (3,1,1,1,-1,-2,-2). $h_{0p}=3,4, h_{pq}=1,8, h_{45}=h_{46}=2,8,$\break
$h_{56}=3,2, h_{04}=1,8, h_{p4}=2,8, h_{0r}=1,65,$
$h_{pr}=2,2,\enskip p,q\in \{1,2,3\},$ \break $p<q,\enskip r\in \{5,6\}.$

\noindent
\ 13. (2,2,1,1,-1,-1,-3). $h_{01}=2,3, h_{23}=h_{45}=1,9, h_{25}=2,5,$
$h_{pt}=1,8,$ $h_{rt}=1,9, h_{p6}=1,2, h_{r6}=1,4,\enskip
p\in\{0,1\}, r\in\{2,3\}, t\in\{4,5\}.$

\noindent
\ 14. (2,1,1,1,1,-2,-3). $h_{0p}=2,3, h_{pq}=1,8, h_{56}=2, h_{05}=1,46,$\break
$h_{p5}=1,6, h_{06}=1,2, h_{p6}=1,28, p,q\in\{1,...,4\}, p<q.$
\vskip 0.4cm
\centerline{\bf 3. О доказательстве достаточности}
\vskip 0.2cm
Необходимость $L$-условий, соответствующих определяющим точкам (5), следует
из леммы 1, т.е. из геометрического смысла функции $\Phi.$ Для
доказательства достаточности был использован метод заслоняющих точек,
применённый для аналогичных целей при $n\leq 5$ в pаботе [2].
Приводим его краткое описание.

Высотой $H(M)$ некоторой точки $M$ решётки $\Gamma_E^n$ относительно
симплекса $S(E)$ назовём абсолютную величину суммы её отрицательных
барицентрических координат. Заслоняющей точкой для точки $M$ называется
такая точка $N\in \Gamma_E^n,$ для которой
$$H(N)<H(M),\quad \Phi(N)\leq \Phi(M).$$
Если для всех точек решётки, кроме вершин симплекса $S(E)$ и точек
списка (5), будет доказано существование заслоняющих точек, то тем самым
будет доказано, что все эти точки лежат вне сферы, описанной вокруг
симплекса $S(E)$, т.е. будет доказана достаточность списка (5).

Как пример использования метода заслоняющих точек рассмотрим точки
решётки вида
$$M=(u^0,u^1,u^2,u^3,-v^4,-v^5,-v^6) ,\eqno(6)$$
где $u^0\geq u^1\geq u^2\geq u^3\geq 1$ и $v^6\geq v^5\geq v^4\geq 1.$
При добавочном условии $u^0\geq v^4+v^5+1$ для каждой точки вида (6)
заслоняющей будет точка на единицу меньшей высоты
$N=(u^0-1,u^1,u^2,u^3,-v^4,-v^5,-v^6+1)$, поскольку разность
$$\Phi(M)-\Phi(N)=\Phi(1,1,0,0,0,0,-1)u^1+\Phi(1,0,1,0,0,0,-1)u^2+$$
$$+\Phi(1,0,0,1,0,0,-1)u^3+\Phi(-1,0,0,0,0,1,1)v^5+\Phi(-1,0,0,0,1,0,1)v^4+$$
$$+2h_{06}(u^0-v^4-v^5-1),$$
если выполнены названные в теореме 1 $L$-условия, будет положительной.
Если названное выше условие заменить двумя другими: $u^1\geq v^4+1$ и
$v^5\geq u^2+u^3,$ то можно доказать, что заслоняющей для точки вида (6)
будет точка $N=(u^0-1,u^1-1,u^2,u^3,-v^4,-v^5+1,-v^6+1)$ на две единицы
меньшей высоты.

Полный список заслоняющих точек и доказательство того, что они являются
заслоняющими для соответствующих точек, оказались весьма громоздкими
и оставлены для специальной публикации.
\vskip 0.3cm
\centerline{\bf 4. Гиперграни гиперметрического конуса $H_{6+1}$}
\vskip 3pt
Пусть на конечном множестве $X=\{0,1,...,n\}$ задана метрика
$h(k,l)=h_{kl}$. Метрическое пространство $(X,h)$ называется
гиперметрическим [5,8], если для любых целых $x^0,x^1,...,x^n,$
удовлетворяющих условию $\sum_{k=0}^n x^k=1,$ выполняется неравенство
$$\sum_{0\leq k<l\leq n}h_{kl}x^kx^l\leq 0.\eqno(7)$$
Поставим в соответствие пространству $(X,d)$ точку
$$(h_{01},h_{02},...,h_{0n},h_{12},...,h_{n-1,n})$$
евклидова пространства $R^N$ размерности $N={(n+1)n\over 2}.$
В пространстве $R^N$ множеству всех гиперметрических пространств
будет соответствовать конус $H_{n+1}$ с вершиной в начале координат.
Из неравенства (7) следует,что координаты внутренних точек конуса $H_{n+1}$
можно рассматривать как параметры стандартного $L$-симплекса $S(E)$
некоторой решётки
$\Gamma_E^n.$ Отсюда вытекает ряд дальнейших связей между теорией
гиперметрических пространств и геометрией решёток [4, 6, 7].

В частности, если из всех задающих  $L$-условия строгих неравенств
одно становится равенством (т.е. на поверхность шара, описанного
вокруг симплекса, кроме вершин симплекса, попадает ещё
одна точка решётки и $L$-симплекс превращается в $L$-многогранник
переделивания), то соответствующая этому случаю точка пространства
$R^N$ принадлежит гиперграни конуса $H_{n+1}.$ Следовательно, утверждение
теоремы 1 относительно определяющих $L$-условия точек можно
сформулировать как следующий факт теории гиперметрик:

\proclaim{\indent Теорема 2} Гиперграни конуса $H_{6+1}$ расположены на
гиперплоскостях, заданных уравнениями вида $\Phi(x^0,x^1,...,x^6)=0$,
в которых коэффициенты определяются переменными \break $x^0,x^1,...,x^6$,
пробегающими множество значений (5).
\endproclaim
\vskip .5 cm
\pagebreak
\centerline{\bf Список использованной литеpатуpы}
\vskip .3 cm
\noindent
1. {\it Барановский Е.П.} \ Об \ $L$-симплексах \ \ шестимерных \ \ решёток//
\linebreak \phantom{ны}
II Международная конфеpенция по теории чисел:Тез. Воронеж, 1995.
\linebreak \phantom{ны}
С.~13.

\noindent
2. {\it Барановский Е.П.} Симплексы \ $L$-разбиений \ \ евклидовых \ прост-
\linebreak \phantom{ны}
ранств//
Мат. заметки. 1971. Т.~10. $\No$~6. C.~659 -- 670.

\noindent
3. {\it Деза М. (Тылкин М.Е.)} О геометрии Хэмминга единичных кубов
\linebreak \phantom{ны}
//
ДАН СССР. 1960. Т.~134. С.~1037 -- 1040.

\noindent
4. {\it Assouad P.} Sur \ les inegalites \ valides \ dans $L^1$// Europ. J.
Comb.
\linebreak \phantom{ны}
1984. Vol.~5. P.~99 -- 112.

\noindent
5. {\it Deza M.} Matrices \ de formes \ quadratiques \ non negatives pour des
\linebreak \phantom{ны}
arguments binares// Comp. rend. l`Acad. Sc. Paris, 1973. Vol.~277(A).
\linebreak \phantom{ны}
P.~873 -- 875.

\noindent
6. {\it Deza M., Grishukhin V.P., Laurent M.} Hypermetrics \ in geometry of
\linebreak \phantom{ны}
numbers// DIMAS Series in Disc. Math. and Theor. Comput. Science.
\linebreak \phantom{ны}
1995. Vol.~20. P.~1 -- 109.

\noindent
7. {\it Deza M., Grishukhin V.P., Laurent M.} The hypermetric cone is poly-
\linebreak \phantom{ны}
hedral// Combinatorica. 1993. Vol.~13(4). P.~397 -- 411.

\noindent
8. {\it Kelly J.} Hypermetric spaces// Lecture Notes in Math. 1974.
Vol.~490.
\linebreak \phantom{ны}
P.~17 -- 31.
\end
