%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
%\nopagenumbers
\magnification=\magstep2
%\pagewidth{17 true cm}
%\vcorrection{-.5 true cm}
%\hcorrection{-.5 true cm}
\TagsOnRight
\pretitle{ \centerline{\bf { Научные труды ИвГУ. Математика. Вып.~2}}
\centerline{\bf {Иваново, 1999}}

\noindent --------------------------------------------------------------------------------------------------
\vskip .1 cm
УДК 513.6
\vskip .3 cm
\centerline {\bf Ю.~А.~Хашина}
\vskip .3 cm
%\leftheadtext{\it Ю.~А.~Хашина }
%\rightheadtext{\it Шрейеровы многообразия обобщенных колец}
\topmatter
%\author
%Ю.А.Хашина
%\endauthor
\title
\centerline{\bf Шрейеровы многообразия обобщенных колец}
\endtitle
\abstract \nofrills
\vskip .3 cm\noindent
Описываются шрейеровы многообразия $(m,n)$-колец, состоящие не \break только
из $n$-групп.

%Библиогp.: 19 назв.
\endabstract
\endtopmatter
\document
\pageno=1
\vskip .5 cm
\proclaim {\indent Определение} Многообразие универсальных алгебр $U$
называется
шрейеровым если любая неодноэлементная подалгебра $U$-свободной
алгебры сама является свободной в многообразии $U$. Или, другими
словами, свойство алгебры быть свободным является наследственным
в многообразии $U$.
\endproclaim
Понятие шрейерова многообразия идет от классической теоремы \linebreak
Нильсена -- Шрейера, в которой доказывается, что подгруппа абсолютно
свободной группы сама является абсолютно свободной, т.е. что
многообразие всех групп является шрейеровым.

Полное описание шрейеровых многообразий групп дали в 1964 г.
Дж. \linebreak
Виголд и П.~М.~Нейманн в работе [18]. Такими многообразиями являются
только многообразие всех групп, многообразие всех абелевых групп
и многообразия абелевых групп простой экспоненты. В 1969 г. в
работе [13] Т.~Эванс описал шрейеровы многообразия полугрупп. Это
многообразие правых (левых) нулей и многообразие с нулевым
умножением, а также многообразия абелевых групп простой
экспоненты. В работах [5] и [6] Ю.~А.~Бахтурин и М.~В.~Зайцев
получили описание шрейеровых многообразий алгебр Ли; такими
многообразиями являются только многообразие всех алгебр Ли и
многообразие алгебр Ли с нулевым умножением. В работе [7]
рассматривается свойство шрейеровости для многообразий решеток. В
работе [8] получен критерий шрейеровости многообразий унарных
алгебр. Шрейеровы многообразия неассоциативных и
мультиоператорных алгебр изучались А.~Г.~Курошем, А.~И.~Ширшовым,
М.~С.~Бургиным (см.обзор [4]).  В работе В.~А.~Артамонова [3] был дан
ответ на поставленную А.~Г.~Курошем задачу об  описании  $n$-подгрупп
свободной $n$-группы.

Приведем теперь необходимые определения.

Множество $A$ c $n$-арной операцией $w:A \times \dots \times A
\rightarrow A$ называется $n$-полугруппой , если эта операция
является ассоциативной, т.е. для любых элементов
$a_1,a_2,\,\dots,\,a_{2n-1}$ и любого числа $i$ от 1 до $n-1$
справедливо равенство
$$
w(w(a_1\dots a_n)a_{n+1}\dots a_{2n-1})=
w(a_1\dots a_iw(a_{i+1}\dots a_{i+n})a_{i+n+1}\dots a_{2n-1}).
$$
$n$-полугруппа $A$ называется $n$-группой, если для
любых элементов
$$
a_1,\,\dots,\,a_n
$$
из $A$ и любого числа $i$ от
1 до $n$ существует единственный элемент $b_i$ из $A$ такой, что
$$
w(a_1\dots a_{i-1}b_ia_{i+1}\dots a_n)=a_i.
$$
Другими словами, уравнение вида
$$
w(a_1\dots a_{i-1}Xa_{i+1}\dots a_n)=a_i
$$
однозначно  разрешимо  в  $n$-полугруппе  $A$  для  любых   элементов
$а_1,\,\dots,$ $\,a_n$ и любого номера $i$ от 1 до $n$.

Полиадические группы, или $n$-группы, были введены в работе Дернте [11]  и
изучались в работах Поста [19], Гляйхгевихта и Глазека [14],  Хоссу
[15].

$n$-арная операция $w$ на множестве $A$ называется коммутативной,  если
для любых элементов $а_1,\,\dots,\,a_n$ из $A$ и любой  перестановки  $s$
из
$S_n$ справедливо равенство
$$
w(a_1\dots a_n)=w(a_{s(1)}\dots a_{s(n)}).
$$
Множество $R$ с  $m$-арной  операцией  $w$  и  $n$-арной  операцией  $u$
называется $(m,n)$-кольцом, если:

а) относительно операции $w$ множество  $R$  является  коммутативной
$m$-группой;

б) относительно операции $u$ множество $R$ является $n$-полугруппой;

в) в $R$ имеет место следующий закон дистрибутивности: для любых
элементов $a_1,\,\dots,\,a_{n-1},b_1,\,\dots,\,b_m$ из $R$ и любого
номера $i$ от 1 до $n$ имеет место равенство
$$
u(a_1\dots a_{i-1}w(b_1\dots b_m)a_i\dots a_{i-1})=
$$
$$
w(u(a_1\dots a_{i-1}b_1a_i\dots a_{n-1})\dots u(a_1\dots a_{i-1}b_ma_i\dots a_{n-1})).
$$

Класс $(m,n)$-колец является одним из важных классов
универсальных алгебр.Теория $(m,n)$-колец, берущая свое начало с
работы Чупоны [10], к настоящему времени уже накопила значительное
количество интересных и глубоких результатов и собственных
методов. Различные вопросы теории $(m,n)$-колец освещены в работах
[1,9,16,17].

В настоящей работе получено описание шрейеровых многообразий
$(m,n)$-колец, состоящих не только из $(m,n)$-тел. В частности,
доказывается, что многообразие всех $(m,n)$-колец шрейеровым не
является. Шрейеровыми многообразиями $(m,n)$-колец, состоящими не
только из $n$-групп относительно операции $u$, являются следующие
многообразия:

а) многообразие  всех  абелевых  групп  с  $m$-арной  и    $n$-арной
операциями $w$ и $u,$ заданными формулами

$$
w(a_1\dots a_m)=a_1+\dots +a_m,    \tag{1}
$$

$$
u(b_1\dots b_n)=0;                 \tag{2}
$$

б) многообразие абелевых  групп  простой  экспоненты,  в  котором
операции $(m,n)$-кольца $w$ и $u$ задаются теми же формулами (1) и (2);

в) многообразие абелевых групп простой экспоненты p, где число  $p$
является делителем числа $m-1$,  в  котором  $m$-арная  операция  $w$
задана по-прежнему формулой (1), а $n$-арная операция $u$ формулой
                $$
         u(b_1\dots b_n)=b_n
                $$
либо формулой
                  $$
         u(b_1\dots b_n)=b_1.
                  $$

Для случая $ m=n=2$ многообразия типа в) являются вырожденными.

Наряду с другими  методами  в  предлагаемой  работе  неоднократно
используется следующее рассуждение.

Рассмотрим в шрейеровом многообразии $U$ свободную алгебру $A$ с
множеством свободных образующих $X$. Пусть $B$ есть подалгебра
алгебры $A$, порожденная специально подобранными $r$ элементами так,
чтобы алгебра $B$ была устроена достаточно просто. Тогда, в силу
шрейеровости многообразия $U$, $B$ является $U$-свободной алгеброй либо
одноэлементной. По лемме 1 из [2], если в многообразии $U$ есть
конечная нетривиальная алгебра, то ранги $U$-свободных алгебр
определены однозначно, и ,если алгебра порождается $r$- но не
$(r-1)$-элементом, то ее ранг равен $r$. Условие леммы выполнено для
многообразий $(m,n)$-колец, т.к., согласно [1], минимальные
многообразия $(m,n)$-колец локально конечны и порождаются конечными
нетривиальными алгебрами. Таким образом, ранг $U$-свободной алгебры
$B$ определен однозначно. Обозначим его $r(B)$. Ясно, что $r(B)$ не
превосходит $r$. Остается рассмотреть все возможные значения $r(B)$ и
наборы кандидатов в свободные образующие алгебры $B$. Тогда всякое
соотношение, выполненное для этих элементов, является тождеством
во всем многообразии $U$.

Суммируя результаты работы, сформулируем следующую теорему.

\noindent {\bf Теорема \ Пусть $U$ есть шрейерово многообразие
$(m,n)$-колец. \break 
Тогда либо $U$ является одним из следующих многообразий:

1) $x_1\dots x_n=y_1\dots y_n,$

2) $x_1\dots x_n=y_1\dots y_n,  px+(1-p)y=y$, где $p$ - простое число,

3) $x_1\dots x_n=x_n, px+(1-p)y=y$, где $p$ - простой делитель $m-1,$

4) $x_1y\dots x_n=x_1, px+(1-p)y=y$, где $p$ - простой делитель $m-1,$

\noindent либо всякое $(m,n)$-кольцо из $U$ относительно операции
$u$ является \linebreak
$n$-группой.
}

\vskip .5 cm
\centerline{\bf Список использованной литеpатуpы}
\vskip .3 cm
\noindent
\hangindent 0.5cm
1. {\it Артамонов В.~А.} Минимальные многообразия обобщенных полугрупп,
групп и колец// Сиб. мат. жуpн., 1980. Т.~21. $\No$ 3. \linebreak
C.~6 -- 22.

\noindent
\hangindent 0.5cm
2. {\it Артамонов В.~А.}  О  шрейеровых  многообразиях    $n$-групп    и
$n$-полу\-групп// Тр. семинаpа им. Петровского. 1979. Вып.~5. C.~193 -- 203.

\noindent
\hangindent 0.5cm
3. {\it Артамонов В.~А.} Свободные $n$-группы// Мат.заметки. 1970. Т.~8,
Вып.~4. C.~499 -- 507.

\noindent
\hangindent 0.5cm
4. {\it Баранович Т.~М., Бургин М.~С.} Линейные $ \omega$-алгебры// УМН.
1975. T.~30. Вып.~4. C.~61 -- 106.

\noindent
\hangindent 0.5cm
5. {\it Бахтурин Ю.~А.}  Два  замечания  о  многообразиях  алгебр  Ли//
Мат. заметки. 1968. T.~4. Вып.~4. C.~387 -- 398.

\noindent
\hangindent 0.5cm
6. {\it Зайцев М.~В.} О шрейеровых многообразиях алгебр Ли// Там же.
1980. T.~28. Вып.~1. C.~119 -- 126.

\noindent
\hangindent 0.5cm
7. {\it Игошин В.~И.} К вопросу  о  шрейеровых  многообразиях  решеток//
Упорядоченные множества и  решетки. Саратов, 1974. Вып.~2. \linebreak
C.~32 -- 41.

\noindent
\hangindent 0.5cm
8. {\it Скорняков Л.~А.}  Шрейеровы  и  холловы  многообразия  унарных
алгебр// Вестн. МГУ. Сеp.~1, Математика. Механика. 1983. $\No$ 3. \linebreak
C.~24 -- 28.

\noindent
\hangindent 0.5cm
9. {\it Crombez G.} On $(m,n)$-rings// Abh.  Math.  Sem.  Univ.  Hamburg.
1972. Vol.~37. P.~180 -- 199.

\noindent
\hangindent 0.5cm
10. {\it Cupona G.} On (m,n)-rings// Bull. Soc. Math. Phis. R.C. Macedonie.
1965. Vol.~16. P.~5 -- 10.

\noindent
\hangindent 0.5cm
11. {\it Dornte W.}  Untersuchungen  uber  einen    Verallgemeinerten
Gruppenbe\-grifs// Math.~Z. 1929. Vol.~29. P.~1 -- 19.

\noindent
\hangindent 0.5cm
12. {\it Dudek W.~A.} On the divisibiliti theory in  $(m,n)$-rings// Dem.
Math. 1981. Vol.~14. P.~19 -- 32.

\noindent
\hangindent 0.5cm
13. {\it Evans T.} Schreier varieties of semigroups// Math.~Z. 1969.
Vol.~112. P.~296 -- 299.

\noindent
\hangindent 0.5cm
14. {\it Gleichgewicht B., Glazek K.} Remarks  on  $n$-groups  as  abstract\break
algebras// Collog. Math. 1967. Vol.~17. $\No$ 2. P.~209 -- 219.

\noindent
\hangindent 0.5cm
15. {\it Hosszu M.}  On  the  explicit  form  of  $n$-group  operations//
Publ.~Math. 1963. Vol.~10. $\No$ 1 P.~88 -- 92.

\noindent
\hangindent 0.5cm
16. {\it Leeson J.~J. Butson A.~T.} Equationally  complete  $(m,n)$-rings//
Algebra Univers. 1980. Vol.~11. $\No$ 1. P.~28 -- 41.

\noindent
\hangindent 0.5cm
17. {\it Leeson J.~J. Butson A.~T.} On the general theory of $(m,n)$-rings//
Ibid. P.~42 -- 76.

\noindent
\hangindent 0.5cm
18. {\it Neumann P.~M. Wiegold J.} Schreier varieties of groups// Math.~Z.
1964. Vol.~85. P.~392 -- 400.

\noindent
\hangindent 0.5cm
19. {\it Post E.~L.} Poliadic groups// Trans. Amer. Math. Soc. 1940.
Vol.~48. P.~208 -- 350.

\end

