%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
%\nopagenumbers
\magnification=\magstep2
%\pagewidth{17 true cm}
%\vcorrection{-.5 true cm}
%\hcorrection{-.5 true cm}
\TagsOnRight
\pretitle{ \centerline{\bf { ����� ���� ����. ��⥬�⨪�. ��.~2}}
\centerline{\bf {�������, 1999}}

\noindent --------------------------------------------------------------------------------------------------
\vskip .1 cm
��� 513.6
\vskip .3 cm
\centerline {\bf �.~�.~��設�}
\vskip .3 cm
%\leftheadtext{\it �.~�.~��設� }
%\rightheadtext{\it �३�஢� �������ࠧ�� ����饭��� ⥫}
\topmatter
%\author�.�.��設�
%\endauthor
\title
\centerline{\bf �३�஢� �������ࠧ�� ����饭��� ⥫}
\endtitle
\abstract \nofrills
\vskip .3 cm\noindent
����뢠���� �३�஢� �������ࠧ�� $(m,n)$-�����, ����騥 ⮫쪮
�� $n$-��㯯.

%�������p.: 1 ����.
\endabstract
\endtopmatter
\document
\pageno=1
\vskip .5 cm
\proclaim {\indent ��।������} �������ࠧ�� 㭨���ᠫ��� ������ $U$ 
���뢠����
�३�஢�, �᫨ �� ������������⭠� ��������� $U$-᢮������
������� ᠬ� ���� ᢮������ � �������ࠧ�� $U$. ���, ��㣨��
᫮����, ᢮��⢮ ������� ���� ᢮����� ���� ��᫥��⢥���
� �������ࠧ�� $U$.
\endproclaim
���ᠭ�� �३�஢�� �������ࠧ�� $(m,n)$-�����, ������ �� ⮫쪮
�� $n$-��㯯 �⭮�⥫쭮 ����樨 $n$-�୮�� 㬭������ $u,$ ����祭� �
���� ``�३�஢� �������ࠧ�� ����饭��� �����''.� �����饩
ࠡ�� �������� �३�஢� �������ࠧ�� $(m,n)$-�����, ����騥
⮫쪮 �� $n$-��㯯.

\proclaim {\indent ��।������} $(m,n)$-����� ��������� $(m,n)$-⥫��, 
�᫨ ������⢮
��� ��� ������⮢ �஬�, ���� �����, ����ࠫ쭮�� �������
����樨 ᫮�����, ��ࠧ�� $n$-��㯯� �⭮�⥫쭮 ����樨
$n$-�୮�� 㬭������ $u$.
\endproclaim
�᫨ $m$ ����� ����, � ��� � ����� ��� � �� $(m,n)$-⥫�
���� $n$-��㯯��.

��᪮��� ������ $n$-��㯯� � $(m,n)$-����� ����� ����饭���
����⨩ ��㯯� � ���樠⨢���� �����, � ����⢥���
�ᯮ�짮���� ����� ��ᥭ�� ��⮤�� ⥮ਨ ��㯯 �
���樠⨢��� ����� � 㭨���ᠫ쭮� ��砥. �⮬� �㦠�
᫥���騥 �������樨.

��㯯� $G$ ���뢠���� �����뢠�饩 ��� $n$-��㯯� $A$,
�᫨:

�) $G$ ᮤ�ন� $A,$

�) $A$ ��஦���� $G,$

�) �᫨ $a_1,\,\dots,\,a_n$ - �������� �� $A$, �
$$
u(a_1\dots a_n) = a_1*\dots *a_n,
$$
��� $u$ - $n$-�ୠ� ������ � $n$-��㯯� $A$, � $*$ ���� 㬭������ �
��㯯� $G$.

����� $V$ ���뢠���� ����뢠�騬 ��� $(m,n)$-����� $R$,
�᫨:

�) $R$ ���� ���������⢮� $V$,

�) $R$ ��஦���� $V$ ��� �����,

�) ��� ���� ������⮢ $a_1,\,\dots,\,a_m,b_1,\,\dots,\,b_n $ �� $R$ �����
���� ᫥���騥 ࠢ���⢠:
$$
w(a_1 \dots a_m)=a_1+\dots +a_m,
$$
$$
u(b_1\dots b_n)=b_1*\dots *b_n,
$$
��� $w$ � $u$ - ����樨 $(m,n)$-�����, � $+$ � $*$ - ����樨 �
���樠⨢��� ����� $U$.

��⮤� ��᫥������� �������ࠧ�� $(m,n)$-�����, ��� ��
$(m,n)$\-����� ���� $n$-��㯯�� �⭮�⥫쭮 ����樨
$n$-�୮�� 㬭������ $U$, ������ ��⮤�� ࠡ��� 
�.~�.~��⠬����� ``��������� �������ࠧ�� ����饭��� �����㯯,
��㯯, �����.'' (���. ���. ��p�. 1980. T.~21, $\No$ 3. C.~6 -- 22).
�����뢠����, � ��⭮��, �� � $(m,n)$-����� $R$, ��饬��
$n$-��㯯��, ����� ����� �� ����� (�������) ����権,
�易���� � ������� 䨪�஢���� ������⮬ $x_0$ �� $R$ :

$$
a \oplus  b = a + b - x_0,
$$
$$
a \odot  b = a * x_0^{-1} * b,
$$
$$
a \circ  b = a \odot  b \ominus a \ominus b,
$$
��� $+$ ���� ������ ᫮����� � ����뢠�饬 �����, � $*$ -
������ � �����뢠�饩 ��㯯� ��� $R$. ������ $\ominus$ ����
���⭮� ��� ����樨 $\oplus$ . (��� ��।�����, �.�. 
�⭮�⥫쭮 $\oplus$ ������⢮ $R$ ���� �������� ��㯯��.)
����⨬, �� �ࠢ� ��� ��� ��ࠦ���� �ਭ������� $R$ ���
���� ������⮢ $a$ � $b$ �� $R$.

����� �஢����, �� �⭮�⥫쭮 ����権 $\oplus$ � $\circ$ ���
$(m,n)$-����� $R$ �㤥� ���樠⨢�� ����殬. ������稬 ���
$R_1$.

�� �᫮��� $R$ ���� $n$-��㯯�� �⭮�⥫쭮 ����樨 $u$,
���⮬� ����� $R_1$ �㤥� ��㯯�� �⭮�⥫쭮 ����樨

$$
a \odot  b = a \circ  b \oplus  a \oplus  b
$$

�������⥫쭮, ����� $R_1$ ᮢ������ � ᢮�� ࠤ������
������ᮭ�.

�᫨ $(m,n)$-����� $R$ �ਭ������� �३�஢���
�������ࠧ�� \break $(m,n)$-����� $U$, � 㬭������ $\circ$ �
ᮮ⢥�����饬 ��� ���樠⨢��� ����� $R_1$ �㫥���. � �⮬
��砥 ����樨 $\odot$ � $\oplus$ ᮢ������.

�����뢠����, �� $(m,n)$-����� $R$ ���� ������ ����࠭�⢮�
��� ������ ����� $F_q = F_p[f]$, ��஦����� ��⮬��䨧���
$$
f(a) = x_0 * a * x_0^{-1},
$$
� ���஬ ����樨 $(m,n)$-����� �������� ��㫠��
$$
w(a_1\dots a_m) = a_1 +\dots + a_m + w_0,
$$
$$
u(b_1\dots b_n) = \sum_{i=1}^n f^{i-1} b_i,
$$
��� $+$ ���� ������ ᫮����� � ����୮� ����࠭�⢥ $R$,
$$
w_0 = w(x_0\dots x_0).
$$
��᫥����� ����ᨬ���� ��஥��� ⠪��� $(m,n)$-����� ��
�롮� ������� $f$ � ���� $F_q$.

�㬬���� १����� ࠡ���, ���㫨�㥬 ᫥������ ⥮६�.

{\bf ���६� }\ ����� $U$ ���� �३�஢� �������ࠧ�� \break
$(m,n)$-�����,
� ���஬ ������ $(m,n)$-����� ���� \break $n$-��㯯�� �⭮�⥫쭮
����樨 $n$-�୮�� 㬭������ $u$. ����� $U$ ���� ����� ��
᫥����� �������ࠧ��:

1) $x_1\dots x_n = x_1+\dots +x_n+x_0^n-nx_0 ,
px+(1-p)y=y,$

\noindent ��� p ���� ��騩 ���⮩ ����⥫� �ᥫ $m-1$ � $n-1;$ 

2) $x_1\dots x_n = x_1+\dots +x_n+(r(m-1)+1-n)x_0 , px+(1-p)y=y,$

\noindent ��� $r$  - �᫮ �� ��� �� $p-1$, � $p$ ���� ��騩 ���⮩ 
����⥫�
 $m-1$ � $n-1;$

3) $x_1\dots x_n = x_1+\dots +x_n+x_0^n-nx_0 , px + (m-p)y = y,$

\noindent ��� $p$ ���� ��騩 ���⮩ ����⥫� $m-1$ � $n-1;$

4) $x_1\dots x_n = x_1 +\dots +x_n - (n-1)x_0 , px + (m-p)y = y,$

\noindent ��� $p$ ���� ��騩 ���⮩ ����⥫� $m-1$ � $n-1;$

5) $x_1\dots x_n = x_1+\dots +x_n+x_0^n-nx_0 , px + (m-p)y = y,
x^r =y^r,$

\noindent ��� $r=0\mod(p)$ � $r=1\mod(n-1)$ � ���⮩ ����⥫� $p$ �᫠ $m-1$
�� ����� $n-1;$

6) ��类� $(m,n)$-����� �� $U$ ���� ������ ����࠭�⢮� ���
������ ����� $F_q=F_p[a]$, ��� $a^{n-1}=1$ � $p$ ���� ���⮩ ����⥫�
$m-1$, � �����ﬨ $(m,n)$-�����, ������묨 ��㫠��:
$$
w(x_1\dots x_m) = \sum x_i,
$$
$$
u(x_1\dots x_n) = \sum a^{i-1}x_i.
$$

�� �������ࠧ�� ����� ������ ����஬ ᫥����� ⮦����:
$$
x^n=x, \quad px + (m-p)y = y,
$$
$$
x_1\dots x_n = \sum y^{i-1}x_iy^{i-1} +(1-n)y,
$$
$$
\sum_{i=0}^t c_i x^i y x^{-i} + (1 - \sum_{i=0}^t c_i)x = x,
$$
��� �����童�
$$
P(X) = \sum_{i=0}^t c_i X^i
$$
���� ���ਢ����� ����⥫�� �����童�� $ x^{n-1}-1 $, �᫮ $p$
����� $(m-1)$ � $q=p^t$.
\endproclaim

\end

