%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
%\nopagenumbers
\magnification=\magstep2
%\pageheight{26.5 true cm}
%\pagewidth{17 true cm}
%\vcorrection{-.5 true cm}
%\hcorrection{-.5 true cm}
\TagsOnRight
\pretitle{ \centerline{\bf { Научные труды ИвГУ. Математика. Вып.~2}}
\centerline{\bf {Иваново, 1999}}

\noindent --------------------------------------------------------------------------------------------------
\vskip .1 cm
УДК 514.83+514.7
\vskip 0.3 cm
\centerline {\bf А.~С.~Иванова}
\vskip 0.3 cm
%\leftheadtext{\it А.~С.~Иванова}
%\rightheadtext{\it Гpупповая классификация электpомагнитных волн}
\topmatter
%\author А.С.Иванова
%\endauthor
\title{\bf\noindent
Гpупповая классификация электpомагнитных волн, допускающих смещение по одной из пpостpанственных кооpдинат
%\footnote"*"{}
}\endtitle
\abstract \nofrills
\vskip 0.3 cm\noindent
Получена полная классификация электpомагнитных волн, допускающих
смещение по одной из пpостpанственных кооpдинат.

\endabstract
\endtopmatter
%\footnote""{* Работа выполнена пpи финансовой поддеpжке
%Министеpства общего и
% пpофессионального обpазования РФ (пpоект 97-0-1.3-99). }
\document
\pageno=1
\vskip .5 cm
%\define\1{\partial}
%\define\lambda{\lambda}
\head {\bf Введение. Постановка задачи }\endhead

Для нахождения  первых  интегралов  уравнений Лоренца -- уравнений
движения пробной заряженной частицы в электромагнитном поле --
используется метод,  предложенный М.А.Париновым в работе [4].
В основе метода лежит группа $G_S$  диффеоморфизмов  четырехмерного
многообразия $M$,  сохраняющих метрический тензор $g_{ij}$ и
тензор электромагнитного поля $F_{ij}$.

В работах [2, 3] приведены примеры получения первых  интегралов  с
использованием этого метода.

Следующим этапом  в  изучении  систем  ``электромагнитное поле --
гравитационное поле -- пробная заряженная частица'' в направлении
получения первых  интегралов уравнений Лоренца мог бы стать
переход от решения частных задач к исследованию целых классов полей
$(g_{ij}, F_{ij})$. В этой связи естественна постановка задачи
классификации таких полей по группам $G_S$.

Частным случаем сформулированной проблемы является задача \break
классификации электромагнитных  полей в отсутствие тяготения,  т.е.
когда псевдориманово многообразие $(M,  g_{ij})$ является плоским \break
пространством Минковского.  При этом все группы $G_S$ будут
подгруппами группы Пуанкаре.

В настоящей работе рассматривается еще более частный случай  этой
задачи --  случай электромагнитных волн,  допускающих смещение по
одной из координат. Получена полная классификация таких полей.

Под электромагнитной волной в статье понимается  антисимметричный
тензор $F_{ij}$,   определенный  на  пространстве  Минковского  с
сигнатурой (+ + + --) и удовлетворяющий уравнениям Максвелла
$$
{\partial}_{[i} F_{jk]} = 0, \eqno(1)
$$
$$
{\partial}_i F^{ij} = 0, \eqno(2)
$$
где $F^{ij} = g^{ik}g^{jl}F_{kl}$ и $g^{ij} =$ diag (1,1,1,--1).

Базис алгебры Ли,  соответствующей группе Пуанкаре, можно выбрать
в виде:
$$\xi_1 = (1,0,0,0),\  \xi_2 = (0,1,0,0), \ \xi_3 = (0,0,1,0),
\ \xi_4 = (0,0,0,1)$$
 -- векторы, задающие смещения по осям;
$$\xi_5 = (0,-x^3,x^2,0),\ \xi_6 = (-x^3,0,x^1,0),
\ \xi_7 =  (-x^2,x^1,0,0)$$
 --  векторы,   задающие   повороты   в
плоскости $O x^i x^j$;

$$\xi_8 = (x^4,0,0,x^1),\  \xi_9 = (0,x^4,0,x^2),
\ \xi_{10} = (0,0,x^4,x^3)$$
 -- векторы, задающие псевдовращения в
плоскости $O x^i x^4$.

Список различных с геометрической точки зрения подгрупп группы
Пуанкаре приведен в работе [4]. Из него выберем те подгруппы,
которые содержат смещения по координате $x^1$. Соответствующие
алгебры Ли этих подгрупп выписаны ниже. Символ
$L\{\xi_1,\,\dots,\,\xi_k\}$ обозначает линейную оболочку векторов
$\xi_1,\,\dots,\,\xi_k$.

$1)&\Cal L_1 = L\{\xi_1\}; $ 

$2)&\Cal L_{2,1} = L\{\xi_1,\xi_2\},\ \Cal L_{2,2} = L\{\xi_1,\xi_4\},$ 

$&\Cal L_{2,3} = L\{\xi_1,\xi_2+\xi_4\},
 \Cal L_{2,4} = L\{\xi_1,\xi_9+\lambda\xi_3\};$ 

$3)&\Cal L_{3,1} = L\{\xi_1,\xi_2,\xi_3\},
\ \ \Cal L_{3,2} = L\{\xi_1,\xi_2,\xi_4\}, $ 

$&\Cal L_{3,3} = L\{\xi_1,\xi_2+\xi_4,\xi_3\},
\ \Cal L_{3,4} = L\{\xi_1,\xi_9+\lambda\xi_3,\xi_2-\xi_4\};$ 

$4)&\Cal L_{4,1} = L\{\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4\},
\ \Cal L_{4,2} = L\{\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_6+\lambda\xi_4\},$ 

$&\Cal L_{4,3} = L\{\xi_1,\xi_2,\xi_4,\xi_9+\lambda\xi_3\},
\ \Cal L_{4,4} = L\{\xi_1,\xi_2,\xi_4,\xi_7-\xi_8+\lambda\xi_3\},$ 

$&\Cal L_{4,5} = L\{\xi_1,\xi_2+\xi_4,\xi_3,\xi_6+\lambda\xi_4\},
\ \Cal L_{4,6} = L\{\xi_1,\xi_2+\xi_4,\xi_3,\xi_9\}, $ 

$&\Cal L_{4,7} = L\{\xi_1,\xi_2+\xi_4,\xi_3,\xi_6+\lambda\xi_9\};$ 

$5)&\Cal L_{5,1} = L\{\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4,\xi_8-\xi_9\},
\ \Cal L_{5,2} = L\{\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4,\xi_6+\lambda\xi_9\},$ 

$&\Cal L_{5,3} = L\{\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4,\xi_9\},
\ \Cal L_{5,4} = L\{\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4,\xi_7-\xi_8\},$ 

$&\Cal L_{5,5} = L\{\xi_1,\xi_2,\xi_4,\xi_9+\lambda\xi_3,\xi_7-\xi_8\},
\ \Cal L_{5,6} = L\{\xi_1,\xi_2+\xi_4,\xi_3,\xi_9,\xi_6\};   $ 

$6)&\Cal L_{6,1} = L\{\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4,\xi_9,\xi_7-\xi_8\},
\ \Cal L_{6,2} = L\{\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4,\xi_9,\xi_6\},$ 

$&\Cal L_{6,3} = L\{\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4,\xi_7-\xi_8,\xi_5+\xi_{10}\}.
$

\proclaim{\indent Замечание 1} Здесь выписаны только подгруппы группы Пуанкаре
размерностей, не превосходящих шести. В работе [5] показано, что
электромагнитных полей,  инвариантных относительно подгрупп  размерностей
больше шести, не существует.
\endproclaim
\proclaim{\indent Замечание 2} Если две группы $G_1$ и $G_2$ связаны включением \linebreak
$G_1 \subset  G_2$,  то  класс   полей   $F_{ij}$,   инвариантных
относительно группы  $G_2$,  является  подклассом соответствующего
класса группы $G_1$. Это же верно и для соответствующих алгебр Ли.
\endproclaim

\head {\bf \S~1. Класс электромагнитных волн, допускающих
смещение по координате $x^1$}
\endhead

Найдем для алгебры $\Cal L_1 = L\{\xi_1\}$ соответствующий класс
электромагнитных волн. Тензор $F_{ij}$ должен удовлетворять
уравнениям Максвелла (1) -- (2), а производная Ли, определяемая
по формуле
$$
L_{\xi}F_{ij} = \xi^k {\partial}_k F_{ij} + F_{kj} {\partial}_i  \xi^k  +  F_{ik} {\partial}_j \xi^k,    \eqno(3)
$$
должна обращаться в нуль.

Для удобства записи получаемых результатов перепишем
тензор $F_{ij}$ в виде
$$
F_{ij} = \pmatrix{
0 & -B_3 & B_2 & E_1 \cr
B_3 & 0 & -B_1 & E_2 \cr
-B_2 & B_1 & 0 & E_3 \cr
-E_1 & -E_2 & -E_3 & 0  \cr
} ,
$$
где $\B E = (E_1,E_2,E_3)$ -- вектор электрической напряженности, а
$\B B =$ \linebreak $=(B_1,B_2,B_3)$ -- вектор магнитной индукции.

Подставив компоненты вектора $\xi_1$ в формулу для производной Ли (3) и
приравняв последнюю к нулю, получим, что тензор $F_{ij}$ не зависит
от $x^1$, т.е.
$$
F_{ij} = F_{ij}(x^2,x^3,x^4),\ \ \ i,j = 1,\,\dots,\,4.   \eqno(4)
$$

С использованием условия (4) уравнения (1) -- (2) можно записать
в виде:
$$
div \B B = 0,  \eqno(5)
$$
$$
{{{\partial}\B B}\over {{\partial} x^4}}-rot\B E = 0,   \eqno(6)
$$
$$
\aligned
&-{\partial}_2B_3+{\partial}_3B_2+{\partial}_4E_1 = 0, \ \ \ \ \
{\partial}_3B_1+{\partial}_4E_2 = 0,$$ $$
&-{\partial}_2B_1+{\partial}_4E_3 = 0,\ \ \ \ \ \ \
{\partial}_2E_2+{\partial}_3E_3 = 0.$$ $$
\endaligned \eqno(7)
$$

Таким образом, компоненты тензора $F_{ij}$, соответствующего
алгебре $L\{\xi_1\}$, должны удовлетворять уравнениям (5) -- (7) и
не зависеть от $x^1$.
%\vskip .5 cm

\head {\bf \S~2. Классы электромагнитных волн, допускающих
двумерные подгруппы}
\endhead
\vskip .1 cm
\centerline{\bf 2.1. Класс, соответствующий алгебре $\Cal L_{2,1}$}
\vskip .1 cm
Равенство нулю  производной Ли для векторов $\xi_1,\xi_2$
показывает, что тензор $F_{ij}$ не зависит от
переменных $x^1,x^2$, т.е.
$$
F_{ij} = F_{ij}(x^3,x^4).  \eqno(8)
$$
Уравнения Максвелла (1) -- (2) с учетом (8) принимают вид
$$
{\partial}_3F_{12} = 0,\ \ {\partial}_4F_{12} = 0,\ \ {\partial}_3F_{41}+{\partial}_4F_{13} = 0,
\ \ {\partial}_3F_{42}+{\partial}_4F_{23} = 0; \eqno(9)
$$
$$
 {\partial}_3F_{13}+{\partial}_4F_14 = 0,\ \  -{\partial}_3F_{23}+{\partial}_4F_{24} = 0,
\ \ {\partial}_4F_{34} = 0,\ \ {\partial}_3F_{34} = 0. \eqno(10)
$$

Для анализа системы (9) -- (10) перейдем к новой системе
координат $\{u,v\}$:
$$
u = x^3+x^4,\ \ v = x^3-x^4.  \eqno(11)
$$

В результате длинных вычислений получим, что тензор $F_{ij}$
в новой системе координат имеет следующие компоненты:
$$
F_{12} = C_1,\  F_{34} = C_2,\  F_{24} = C_3(v)+C_4(u),
\ F_{23} = -C_3(v)+C_5(u),
$$
где $C_1, C_2$ -- произвольные постоянные, а $C_3(v), C_4(u),
C_5(u)$ -- произвольные достаточно гладкие функции  одного  переменного,
а $F_{13}, F_{14}$ -- функции, удовлетворяющие уравнениям
$$
{{{\partial}^2F_{13}}\over {{\partial}u^2}}+{{{\partial}^2F_{13}}\over {{\partial}v^2}} = 0,
\ \ {{{\partial}^2F_{14}}\over {{\partial}u^2}}+{{{\partial}^2F_{14}}\over {{\partial}v^2}} = 0.  \eqno(12)
$$
%\vskip .5 cm
\vskip .2 cm
\centerline{\bf 2.2. Класс, соответствующий алгебре $\Cal L_{2,2}$}
\vskip .1 cm
Равенство нулю  производной   Ли  от   $F_{ij}$   для   векторов
$\xi_1,\xi_4$ показывает, что тензор $F_{ij}$  не зависит от
$x^1$ и $x^4$, т.е.
$$
F_{ij} = F_{ij}(x^2,x^3).  \eqno(13)
$$

Подставляя (13) в (1) -- (2), получаем соответственно
$$
{\partial}_2F_{31}+{\partial}_3F_{12} = 0,
\ \ {\partial}_2F_{41} = 0,
\ \ {\partial}_3F_{41} = 0,
\ \ {\partial}_2F_{34}+{\partial}_3F_{42} = 0;
 \eqno(14)
$$
$$
{\partial}_2F_{12}+{\partial}_3F_{13} = 0,
\ \ {\partial}_3F_{23} = 0,
\ \ {\partial}_2F_{23} = 0,
\ \ {\partial}_2F_{24}+{\partial}_3F_{34} = 0.
 \eqno(15)
$$

Для анализа системы уравнений (14) -- (15) перейдем к новой системе
координат $\{\^u,\^v\}$:
$$
\^u = x^3+x^2,\ \   \^v = x^3-x^2.  \eqno(16)
$$
В результате тензор $F_{ij}$  в  новой  системе  координат  имеет
следующие компоненты:
$F_{14} = C_1,\  F_{23} = C_2\ (C_1,\ C_2$ -- произвольные
постоянные), а $F_{12},\  F_{13},\  F_{24},\  F_{34}$ удовлетворяют
уравнению Лапласа
$$
{{{\partial}^2F_{ij}}\over {{\partial}^2 \^u^2}}+{{{\partial}^2F_{ij}}\over {{\partial} \^u^2}} = 0,
\ \ (i,j) = (1,2),(1,3),(2,4),(3,4).   \eqno(17)
$$
%\vskip .5 cm
\vskip .2 cm
\centerline{\bf 2.3. Класс, соответствующий алгебре $\Cal L_{2,3}$}
\vskip .1 cm
Равенство нулю производной Ли от $F_{ij}$ для векторов $\xi_1$ и
$\xi_2+\xi_4 = (0,1,0,1)$ показывает, что
$$
F_{ij} = F_{ij}(x^2,x^3,x^4),\ \ {\partial}_2F_{ij} = -{\partial}_4F_{ij}.  \eqno(18)
$$
Подставляя (18) в (1) -- (2), получаем
$$\aligned
&{\partial}_2F_{31}+{\partial}_3F_{12} = 0,
\ \ \ {\partial}_2F_{41}-{\partial}_2F_{12} = 0,$$ $$
&{\partial}_3F_{41}-{\partial}_2F_{13} = 0,
\ \ {\partial}_2F_{34}+{\partial}_3F_{42}-{\partial}_2F_{23} = 0;
\endaligned  \eqno(19)
$$
$$\aligned
&{\partial}_2F_{12}+{\partial}_3F_{13}-{\partial}_2F_{14} = 0,
\ \ {\partial}_3F_{23}+{\partial}_2F_{24} = 0,$$ $$
&{\partial}_2F_{23}-{\partial}_2F_{34} = 0,
\ \ {\partial}_2F_{24}+{\partial}_3F_{34} = 0.
\endaligned \eqno(20)
$$

Анализируя (19) -- (20), получим следующие выражения для компонент
$F_{ij}$:

$$\split
F_{12} = C_1(x^2,x^3,x^4),\  F_{14} = F_{12}+\^C_1,
\ \ F_{34} = x^3C_2(x^2,x^4)+C_3(x^2,x^4),$$ $$
F_{23} = F_{34}+\^C_2,
\ \ F_{24} = \int C_2(x^2,x^4)dx^2,
\endsplit \eqno(21)
$$
пpичем ${\partial}_2F_{ij} = -{\partial}_4F_{ij};\  \^C_1,\ \^C_2$ -- произвольные
постоянные, а компонента $F_{14}$ удовлетворяет уравнению
$$
{{{\partial}^2F_{13}}\over {{\partial}(x^3)^2}}+2{{{\partial}^2F_{13}}\over {{\partial}(x^2)^2}} = 0.   \eqno(22)
$$
%\vskip .5 cm
\vskip .2 cm
\centerline{\bf 2.4. Класс, соответствующий алгебре $\Cal L_{2,4}$}
\vskip .1 cm
Найдем вид электромагнитной волны,  соответствующей алгебре $\Cal L_{2,4}$,
где $\xi_9+\lambda\xi_3 = \eta = (0,x^4,\lambda,x^2)$.

Так как $\Cal L_{2,4} \subset \Cal L_1$, то для тензора $F_{ij}$
имеет место условие (4).

Далее, подставим компоненты вектора $\eta$ и условие (4) в
уравнение (3) и приравняем его к нулю:
$$
L_\eta F_{ij} = x^4{\partial}_2F_{ij}+\lambda{\partial}_3F_{ij}+x^2{\partial}_4F_{ij}+
F_{2j}\delta^4_i+F_{4j}\delta^2_i+F_{i2}\delta^4_j+
F_{i4}\delta^2_j = 0.
$$

Перепишем последнее уравнение для всех возможных наборов индексов:
$$
x^4{\partial}_2F_{12}+x^2{\partial}_4F_{12}+\lambda{\partial}_3F_{12}+F_{14} = 0,
 \eqno(23.1)
$$
$$
x^4{\partial}_2F_{13}+x^2{\partial}_4F_{13}+\lambda{\partial}_3F_{13} = 0,
 \eqno(23.2)
$$
$$
x^4{\partial}_2F_{14}+x^2{\partial}_4F_{14}+\lambda{\partial}_3F_{14}+F_{12} = 0,
 \eqno(23.3)
$$
$$
x^4{\partial}_2F_{23}+x^2{\partial}_4F_{23}+\lambda{\partial}_3F_{23}-F_{34} = 0,
 \eqno(23.4)
$$
$$
x^4{\partial}_2F_{24}+x^2{\partial}_4F_{24}+\lambda{\partial}_3F_{24} = 0,
 \eqno(23.5)
$$
$$
x^4{\partial}_2F_{34}+x^2{\partial}_4F_{34}+\lambda{\partial}_3F_{34} = 0.
 \eqno(23.6)
$$

Для анализа системы (23.1 -- 23.6) введем новую систему координат \linebreak
$\{\tilde x^1, r, \tilde x^3, \varphi\}$:
$$
x^1 = \tilde x^1,
\ \ x^2 = r ch\varphi,
\ \ x^3 = \lambda\varphi+\tilde x^3,
\ \ x^4 = r sh\varphi.  \eqno(24)
$$

В результате получим:
$$\split
&F_{12} = C_{11}ch\varphi -C_{12}sh\varphi,
\ F_{14} = -C_{11}sh\varphi +C_{12}ch\varphi,
\ F_{13} = F_{13}(r,\tilde x^3), $$ $$
&F_{34} = C_{21}ch\varphi +C_{22}sh\varphi,
\ F_{23} = C_{21}sh\varphi +C_{22}ch\varphi,
\ F_{24} = F_{24}(r,\tilde x^3), $$ $$
&C_{ij} = C_{ij}(r,\tilde x^3),\ \   i,j = 1,2.
\endsplit \eqno(25)
$$

Подставив выражения компонент тензора $F_{ij}$ из (25) в
(1)--(2), получим окончательное выражение для $F_{ij}$:
$$\aligned
&F_{12} = C_1 r ch\varphi,
\ \ F_{14} = -C_1 r sh\varphi,
\ \ F_{13} = C_2, $$ $$
&F_{23} = C_3 sh\varphi +C_4 ch\varphi,
\ \ F_{34} = C_3 ch\varphi +C_4 sh\varphi, $$ $$
&F_{24} = F_{24}(r,\tilde x^3),
\endaligned \eqno(26)
$$
где $C_1,  C_2$  --  произвольные  постоянные,  $C_3$  и $C_4$ --
произвольные достаточно гладкие функции от $r$ и $\tilde x^3$,
удовлетворяющие уравнениям:
$$\aligned
&{{{\partial}C_4}\over {{\partial}\tilde x^3}}+{{\lambda}\over {r}}
{{{\partial}F_{24}}\over {{\partial}\tilde x^3}} = 0,
\ \ {{{\partial}C_3}\over {{\partial}\tilde x^3}}+{{{\partial}F_{24}}\over {{\partial}r}} = 0, $$ $$
&{{{\partial}C_4}\over {{\partial}r}}-{{\lambda}\over {r}}{{{\partial}C_3}\over {{\partial}\tilde x^3}}+
{{C_4}\over {r}} = 0,
\ \ {{{\partial}C_3}\over {{\partial}r}}-{{\lambda}\over {r}}{{{\partial}C_4}\over {{\partial}\tilde x^3}}+
{{C_3}\over {r}}-{{{\partial}F_{24}}\over {{\partial}\tilde x^3}} = 0
\endaligned \eqno(27)
$$
%\vskip .5 cm

\head {\bf \S~3. Классы электромагнитных волн, допускающих
трехмерные подгруппы}
\endhead
\vskip .1 cm
\centerline{\bf 3.1. Класс, соответствующий алгебре $\Cal L_{3,1}$}
\vskip .1 cm
Из равенства нулю производной Ли от $F_{ij}$ для векторов
$\xi_1,\xi_2,\xi_3$ следует, что тензор $F_{ij}$ зависит только от
$x^4$, т.е.
$$
F_{ij} = F_{ij}(x^4).  \eqno(28)
$$

С использованием условия (28) уравнения Максвелла (1) -- (2)
принимают вид:
$$
0 = 0,\ \ {\partial}_4F_{12} = 0,\ \ {\partial}_4F_{13} = 0,\ \ {\partial}_4F_{23} = 0,
$$
$$
{\partial}_4F_{14} = 0,\ \   {\partial}_4F_{24} = 0,\ \   {\partial}_4F_{31} = 0,\ \   0 = 0.
$$

Эти уравнения и условие (28)
показывают, что   все   компоненты   тензора   $F_{ij}$  являются
произвольными постоянными, т.е.
$$
F_{ij} = C_{kij};\ \   i,j=1,\,\dots,\,4,\ \    k = 1,\,\dots,\,6.  \eqno(29)
$$
%\vskip .5 cm
\vskip .2 cm
\centerline{\bf 3.2. Класс, соответствующий алгебре $\Cal L_{3.2}$}
\vskip .1 cm
Рассуждая аналогично п.~3.1, получаем,что алгебре $\Cal L_{3,2}$
соответствует класс электромагнитных волн (29).
%\vskip .5 cm
\vskip .1 cm
\centerline{\bf 3.3. Класс, соответствующий алгебре $\Cal L_{3.3}$}
\vskip .2 cm
Алгебра $\Cal L_{2,3} \subset \Cal L_{3,3}$, следовательно, класс
электромагнитных волн $F_{ij}$, соответствующих алгебре
$\Cal L_{3,3}$ является подклассом класса, соответствующего
$\Cal L_{2,3}$.

Для нахождения  вида электромагнитной волны,  соответствующей
алгебре $\Cal L_{3,3}$, решим уравнение
$L_{\xi_3}F_{ij} = 0,$
где $F_{ij}$ удовлетворяют формулам (21) -- (22).

Вычисления показывают, что компоненты $F_{ij}$ имеют вид:
$$
\aligned
F_{12} = C_1,\ \ F_{13} = C_2,\ \ F_{14} = C_3,\ \ F_{24} = C_4,$$ $$
F_{23} = F_{23}(x^2-x^4),\ \ F_{34} = F_{23}+C_5,
\endaligned \eqno(30)
$$
где $C_k$ -- произвольные постоянные $(k = 1,\,\dots,\,5),
а $F_{23}$ -- произвольная достаточно гладкая функция
от $x^2-x^4$.
%\vskip .5 cm
\vskip .2 cm
\centerline{\bf 3.4. Класс, соответствующий алгебре $\Cal L_{3.4}$}
\vskip .1 cm
Равенство нулю производной Ли от $F_{ij}$ для вектора \break
$\xi_2-\xi_4 = (0,1,0,-1)$ показывает, что
$$
{\partial}_2F_{ij} = {\partial}_4F_{ij}.    \eqno(31)
$$

Класс электромагнитных волн, соответствующих алгебре $\Cal L_{3.4}$,
является подклассом класса электромагнитных волн, соответствующих
алгебре $\Cal L_{2.4}$. Используя условие (31) для результатов,
полученных в $\S~2$ п.~2.4, будем иметь:
$$
F_{12} = F_{13} = F_{14} = F_{23} = F_{34} = 0,
\ \ F_{24} = C = const.
$$
%\vskip .5 cm

\head {\bf \S~4. Классы электромагнитных волн, допускающих
четырехмерные подгруппы}
\endhead
\vskip .1 cm
\centerline{\bf 4.1. Класс, соответствующий алгебре $\Cal L_{4,1}$}
\vskip .1 cm
Из равенства нулю производной Ли для векторов $\xi_1,\xi_2,
\xi_3,\xi_4$ следует, что все компоненты тензора $F_{ij}$
являются константами. При этом уравнения Максвелла (1) -- (2) выполняются
автоматически.
Поэтому класс для $\Cal L_{4,1}$ совпадает с классом для $\Cal_{3,1}$.
%\vskip .5 cm
\vskip .2 cm
\centerline{\bf 4.2. Класс, соответствующий алгебре $\Cal L_{4,2}$}
\vskip .1 cm
Алгебра $\Cal L_{4,2}$ содержит в себе алгебру $\Cal L_{3,1}$. Из
замечания 2    следует,    что   класс   электромагнитных   волн,
соответствующих алгебре $\Cal L_{4,2}$,  должен  быть  подклассом
класса (29), соответствующего алгебре $\Cal L_{3,1}$.

Для нахождения  вида  электромагнитной   волны,   соответствующей
алгебре $\Cal L_{4,3}$, решим уравнение  \\
$L_\eta F_{ij} = 0$, где \hfill\break
$\eta = \xi_9+\lambda\xi_4 = (-x^3,0,x^1,\lambda)$,
а все $F_{ij}$ -- произвольные постоянные.

Вычисления показывают, что компоненты $F_{ij}$ имеют вид:
$$
F_{12} = F_{14} = F_{23} = F_{34} = 0,
\ \ F_{13} = C_1,\ \ F_{24} = C_2,          \eqno(32)
$$
где $C_1,C_2$ -- произвольные постоянные.
\vskip .2 cm
\centerline{\bf 4.3. Класс, соответствующий алгебре $\Cal L_{4,3}$}
\vskip .1 cm
Проводя рассуждения, аналогичные п.~4.2, с той лишь разницей, что
$\Cal L_{3,2}  \subset \Cal L_{4,3}$  и $\eta = \xi_9+\lambda\xi_9 =
(0,x^4,\lambda,x^2)$, легко убедиться, что компоненты тензора $F_{ij}$
определяются формулами (32).
%\vskip .5 cm
\vskip .2 cm
\centerline{\bf 4.4. Класс, соответствующий алгебре $\Cal L_{4,4}$}
\vskip .1 cm
Так как  $\Cal  L_{3,2}  \subset  \Cal  L_{4,4}$,  то класс волн,
соответствующих $\Cal L_{4,4}$, является подклассом  класса волн (29),
соответствующих $\Cal L_{3,2}$.

Для нахождения   электромагнитной  волны,  соответствующей
$\Cal L_{4,4}$, решим уравнение
$$
L_\eta F_{ij} = 0,
$$
где $\eta = \xi_7-\xi_8+\lambda\xi_3 = (-x^2-x^4,x^1,\lambda,-x^1)$,
а все $F_{ij}$ -- произвольные постоянные.

Вычисления показывают, что компоненты $F_{ij}$ имеют вид:
$$
F_{12} = F_{14} = C_1,
\ \ F_{23} = C_2,
\ \ F_{34} = -C_2,
\ \ F_{24} = F_{13} = 0, \eqno(33)
$$
где $C_1, C_2$ -- произвольные постоянные.

\proclaim{\indent Замечание 3.} Ввиду того, что алгебры  $\Cal L_{4,5},
\Cal L_{4,6},
\Cal L_{4,7}$   содержат   алгебру   $\Cal  L_{3,3}$, классы
электромагнитных волн,  соответствующих  этим  алгебрам,   должны
удовлетворять (30).
\endproclaim
%\vskip .5 cm
\vskip .1 cm
\centerline{\bf 4.5. Класс, соответствующий алгебре $\Cal L_{4,5}$}
\vskip .1 cm
Для нахождения компонент $F_{ij}$ решим уравнение
$L_\eta F_{ij} = 0$, \linebreak
где $\eta = \xi_6+\lambda\xi_4 = (-x^3,0,x^1,\lambda)$, а
$F_{ij}$ удовлетворяют (30).

Получаем, что компоненты $F_{ij}$ определяются формулами (32).
%\vskip .5 cm
\vskip .2 cm
\centerline{\bf 4.6. Класс, соответствующий алгебре $\Cal L_{4,6}$}
\vskip .1 cm
Для нахождения компонент $F_{ij}$ решим уравнение
$L_{\xi_9} F_{ij} = 0$, где $F_{ij}$ удовлетворяют (30).

Получим, что
$$
F_{12} = F_{13} = F_{14} = 0,
\ \ F_{23} = F_{34} = {{C_1}\over {x^2-x^4}},
\ \  F_{24} = C_2, \eqno(34)
$$
где $C_1, C_2$ -- произвольные постоянные.
%\vskip .5 cm
\vskip .2 cm
\centerline{\bf 4.7. Класс, соответствующий алгебре $\Cal L_{4,7}$}
\vskip .1 cm
Для нахождения компонент $F_{ij}$ решим уравнение
$L_\eta F_{ij}=0$, где \linebreak
$\eta = \xi_6+\lambda\xi_9 = (-x^3,\lambdax^4,x^1,\lambdax^2)$
и $F_{ij}$ удовлетворяют (30).

Получим, что
$F_{12} = F_{14} = F_{23} = F_{34} = 0,\ \  F_{13} = C_1,
\ \ F_{34} = 0$.
%\vskip .5 cm

\head {\bf \S~5. Классы электромагнитных волн, допускающих
пятимерные подгруппы}
\endhead

\proclaim{\indent Замечание 4} Ввиду того, что алгебры $\Cal L_{5,1},
\ \Cal L_{5,2},\ \Cal L_{5,3},\ \Cal L_{5,4}$ содержат
алгебру $\Cal L_{4,1}$, классы электромагнитных волн,
соответствующих этим алгебрам, должны удовлетворять (29).
\endproclaim
\vskip .1 cm
\centerline{\bf 5.1. Класс, соответствующий алгебре $\Cal L_{5,1}$}
\vskip .1 cm
Используя замечание 4, для нахождения компонент $F_{ij}$
решим уравнение
$$
L_\eta F_{ij} = 0,
$$
 где $\eta = \xi_8-\xi_9(x^4,-x^4,0,x^1-x^2)$, все
$F_{ij}$ -- произвольные постоянные. Получим:
$F_{12} = F_{34} = 0,\ \  F_{14} = F_{42} = C_1,\ \  F_{31} = F_{32} = C_2$,
где $C_1, C_2$ -- произвольные постоянные.
%\vskip .5 cm
\vskip .2 cm
\centerline{\bf 5.2. Класс, соответствующий алгебре $\Cal L_{5,2}$}
\vskip .1 cm
Проводя рассуждения, аналогичные п.~5.1, с той лишь разницей,
что
$\eta = \xi_6+\lambda\xi_9 = (-x^3,\lambdax^4,x^1,\lambdax^2)$,
получаем, что
$$
F_{12} = F_{34} = 0,\ \ F_{13} = C_1,\ \ F_{24} = C_2
$$
Если $\lambda\ne\pm1$, то $F_{23} = F_{14} = 0$;
если $\lambda=\pm1$, то $F_{23} = C_3,\ \  F_{14} = \pm C_3$.
Пpи этом $C_1,\ C_2,\ C_3$ -- произвольные постоянные.
%\vskip .5 cm
\vskip .2 cm
\centerline{\bf 5.3. Класс, соответствующий алгебре $\Cal L_{5,3}$}
\vskip .1 cm
Для нахождения $F_{ij}$ используем (29) и решим уравнение:
$L_{\xi_9}F_{ij} = 0$, где $F_{ij}$ -- произвольные постоянные.
Получим, что компоненты $F_{ij}$ удовлетворяют (32).
%\vskip .5 cm
\vskip .2 cm
\centerline{\bf 5.4. Класс, соответствующий алгебре $\Cal L_{5,4}$}
\vskip .1 cm
Для нахождения $F_{ij}$ используем (29) и решим уравнение
$L_\eta F_{ij} = 0$, где
$\eta = \xi_7-\xi_8 = (-x^2-x^4,x^1,0,-x^1)$.
Получим:
$$
F_{12} = F_{14} = C_1,
\ \ F_{23} = F_{43} = C_2,
\ \ F_{24} = F_{13} = 0,    \eqno(35)
$$
где $C_1, C_2$ -- произвольные постоянные.
\pagebreak

\centerline{\bf 5.5. Класс, соответствующий алгебре $\Cal L_{5,5}$}
\vskip .1 cm
Так как $\Cal L_{4,3} \subset \Cal L_{5,5}$, то используя (32)
и решая уравнение
$L_\eta F_{ij} = 0,$ где $\eta = \xi_7-\xi_8$,
получаем, что класс электромагнитных волн пуст, т.е.
$$
F_{ij} = 0,\ \ i,j = 1,\,\dots,\,4.  \eqno(36)
$$
%\vskip .5 cm
\vskip .2 cm
\centerline{\bf 5.6. Класс, соответствующий алгебре $\Cal L_{5,6}$}
\vskip .1 cm
Так как $\Cal L_{4,6} \subset \Cal L_{5,6}$,
то компоненты тензора $F_{ij}$, соответствующего алгебре $\Cal L_{5,6}$,
должны удовлетворять (34) и уравнению $L_{\xi_6}F_{ij} = 0$.
Вычисления показывают, что
$F_{12} = F_{14} = F_{23} = F_{34} = 0,\ \   F_{13} = C_1,\ \   F_{24} = C_2$,
где $C_1, C_2$ -- произвольные постоянные.
%\vskip .5 cm

\head {\bf \S~6. Классы электромагнитных волн, допускающих
шестимерные подгруппы}
\endhead

\proclaim{\indent Замечание 5.}Так как алгебры $\Cal L_{6,1}$ и
$\Cal L_{6,2}$ содержат алгебру
$\Cal L_{5,3}$,то классы электромагнитных волн, соответствующих
$\Cal L_{6,1}$ и $\Cal L_{6,2}$, должны удовлетворять
формулам (32).
\endproclaim
%\vskip .5 cm
\vskip .1 cm
\centerline{\bf 6.1. Класс, соответствующий алгебре $\Cal L_{6.1}$}
\vskip .1 cm
Для нахождения компонент $F_{ij}$ решим уравнение
$L_\eta F_{ij} = 0$, \linebreak
где $\eta = \xi_7-\xi_8 =
(-x^2-x^4,x^1,0,-x^1)$, а $F_{ij}$ удовлетворяют (32).

Вычисления показывают,  что  в этом случае класс электромагнитных
волн пуст,  т.е. компоненты  $F_{ij}$  удовлетворяют  формулам
(36).
%\vskip .5 cm
\vskip .2 cm
\centerline{\bf 6.2. Класс, соответствующий алгебре $\Cal L_{6.2}$}
\vskip .1 cm
Для нахождения компонент $F_{ij}$ решим уравнение
$L_{\xi_6}F_{ij} = 0$, где $F_{ij}$ удовлетворяют (32).

Вычисления показывают, что  в этом случае класс электромагнитных
волн пуст, т.е. компоненты $F_{ij}$ удовлетворяют (36).
%\vskip .5 cm
\vskip .2 cm
\centerline{\bf 6.3. Класс, соответствующий алгебре $\Cal L_{6.3}$}
\vskip .1 cm
Так как $\Cal L_{5,4} \subset \Cal L_{6,3}$, то компоненты
$F_{ij}$ должны  удовлетворять  (35)   и
уравнению
$L_\eta F_{ij} = 0,$
 где $\eta = \xi_5+\xi_{10} =
(0,-x^3,x^2+x^4,x^3)$.

Вычисления показывают, что в этом случае электромагнитная волна
имеет вид (35).

   \head {\bf Заключение}
   \endhead

   В работе проведена полная классификация электромагнитных
волн, допускающих смещение по одной из пространственных координат.

   Получено 15 непустых классов. Причем алгебрам
$\Cal L_{3,1}$ и $\Cal L_{4,1}$ соответствует один и тот же класс
электромагнитных волн (29), а алгебрам
$\Cal L_{4,2}$, $\Cal L_{4,5}$ и $\Cal L_{5,3}$ соответствует
волна (32).

   В $\S~1$ получен непустой класс электромагнитных волн,
в $\S~2$ -- 4 класса, в $\S~3$ -- 3,
в $\S~4$ -- 4, в $\S~5$ -- 4 класса,
в $\S~6$ -- нет новых классов электромагнитных волн.

\vskip .5  cm
\centerline{\bf  Список использованной литеpатуpы}
\vskip .3 cm
\noindent
1. {\it Белько И.~В.} Подгруппы группы Лоренца -- Пуанкаре // Изв. АН
\linebreak
\phantom{ны}
БССР. Сер. физ-мат. наук. 1971. $\No$~1. С.~5 -- 13.

\noindent
2. {\it Иванова А.~С., Паринов М.~А.} Первые интегралы
уравнений Лорен-
\linebreak
\phantom{ны}
ца в случае плоской монохроматической волны //
Науч. тр. Иван.
\linebreak
\phantom{ны}
гос. ун-та. Математика. Вып.~1. Иваново, 1997. С.~36 -- 38.

\noindent
3. {\it Паpинов  М.~А.}  Пеpвые  интегpалы
уpавнений Лоpенца:(Сводка  pе-
\linebreak
\phantom{ны}
зультатов) // Там же. C.~101 -- 110.

\noindent
4. {\it Паринов М.~А.} Симплектическая группа электромагнитного
поля и
\linebreak
\phantom{ны}
первые интегралы уравнений движения Лоренца. Иваново, 1981.
\linebreak
\phantom{ны}
11 с. Деп. в ВИНИТИ 22.02.82, $\No$~802-82.

\noindent
5. {\it Combe Ph., Sorba P.} Electromagnetic fields
with symmetry // Physica.
\linebreak
\phantom{ны}
1975. Vol.~A80. $\No$~3. P.~271 -- 286.
\end

Пусть $\Bbb R^4_3$ -- пpостpанство-вpемя Минковского с сигнатуpой (+ + + --).
Возьмем 1-меpную подгpуппу  гpуппы Пуанкаpе (гипеpболический винт) в виде:

$$
\tilde x^1 = x^1 + \lambda a, \ \ \tilde x^2 = x^2 ch a + x^4 sh a, \ \
\tilde x^3 = x^3,\ \ \tilde x^4 = x^2 sh a + x^4 ch a.  \eqno(1)
$$
где $\lambda$ -- фиксиpованное действительное число, $a$ -- гpупповой
паpаметp. Соответствующий инфинитезимальный опеpатоp имеет вид:
$$
X = \xi^i(x){\partial}_i, \ \ \ \xi(x) = (\lambda, x^4, 0, x^2). \eqno(2)
$$

Задача состоит в нахождении антисимметpичного тензоpа $F_{ij}$,
удовлетвоpяющего уpавнению Максвелла
$$
{\partial}_{[i}F_{jk]} = 0 \eqno(3)
$$
и условию инваpиантности
$$
L_{\xi}F_{ij}=\xi^s {\partial}_s F_{ij}+F_{sj}{\partial}_i \xi^s+F_{is}{\partial}_j\xi^s=0 \eqno(4)
$$
( $L_{\xi}$ --- пpоизводная Ли).

дем сначала тензоp $F_{ij}$, удовлетвоpяющий уpавнению (4). Выпишем
уpавнения системы (4) пpи всех значениях индексов:
$$
\lambda {\partial}_1F_{12}+x^4{\partial}_2F_{12}+x^2{\partial}_4F_{12}+F_{14}=0, \eqno(5.1)
$$
$$
\lambda {\partial}_1F_{13}+x^4{\partial}_2F_{13}+x^2{\partial}_4F_{13}=0, \eqno(5.2)
$$
$$
\lambda {\partial}_1F_{14}+x^4{\partial}_2F_{14}+x^2{\partial}_4F_{14}+F_{12}=0, \eqno(5.3)
$$
$$
\lambda {\partial}_1F_{23}+x^4{\partial}_2F_{23}+x^2{\partial}_4F_{23}+F_{43}=0, \eqno(5.4)
$$
$$
\lambda {\partial}_1F_{24}+x^4{\partial}_2F_{24}+x^2{\partial}_4F_{24}=0, \eqno(5.5)
$$
$$
\lambda {\partial}_1F_{34}+x^4{\partial}_2F_{34}+x^2{\partial}_4F_{34}+F_{32}=0, \eqno(5.6)
$$
Для pешения этой системы сделаем замену кооpдинат
$$
x^1=\lambda\3+\4 x^1,\ \ x^2 = r ch \3, \ \ x^3 = \4 x^3, \ \ x^4 = r sh \3. \eqno(6)
$$
В pезультате этой замены система (5) пpиводится к виду
$$
\5{{\partial} F_{12}}{{\partial}\3}+F_{14}=0,  \eqno(7.1)
$$
$$
\5{{\partial} F_{14}}{{\partial}\3}+F_{12}=0,  \eqno(7.2)
$$
$$
\5{{\partial} F_{13}}{{\partial}\3}=0,  \eqno(7.3)
$$
$$
\5{{\partial} F_{23}}{{\partial}\3}-F_{34}=0,  \eqno(7.4)
$$
$$
\5{{\partial} F_{34}}{{\partial}\3}-F_{23}=0,  \eqno(7.5)
$$
$$
\5{{\partial} F_{24}}{{\partial}\3}=0.  \eqno(7.6)
$$
Из (7.3) и (7.6) видим, что $F_{13}$ и $F_{24}$ не зависят от $\3$.
Решая попаpно уpавнения (7.1) -- (7.2) и (7.4) -- (7.5) , в итоге
получим следующие выражения для компонент тензоpа $F_{ij}$:
$$ \split
F_{12}=c_1 ch \3 +c_2 sh \3,\ \
F_{14}=c_1 sh \3 +c_2 ch \3,\\
F_{34}=c_3 ch \3 +c_4 sh \3,\ \
F_{23}=c_3 sh \3 +c_4 ch \3,\\
F_{13}=F_{13}(\4 x^1, r, \4 x^3),\ \
F_{24}=F_{24}(\4 x^1, r, \4 x^3),\endsplit   \eqno(8)
$$
где $c_i\ (i=1, \dots ,4)$ -- функции от $\4 x^1, r, \4 x^3$: $c_i =
c_i(\4 x^1,r,\4x^3).$

Подставляя компоненты (8) в систему уpавнений Максвела (3), после
элементаpных, но гpомоздких пpеобpазований получим:
$$
ch \3\left(\5{{\partial} c_4}{{\partial}\4 x^1}-\5{{\partial} F_{13}}{{\partial} r}+
\5{{\partial} c_1}{{\partial}\4 x^3}\right)+
sh \3\left(\5{{\partial} c_3}{{\partial}\4 x^1}-\5{\lambda}r\5{{\partial} F_{13}}{{\partial}\4 x^1}+
\5{{\partial} c_2}{{\partial}\4 x^3}\right) = 0,      \eqno(9.1)
$$
$$
\5{{\partial} F_{24}}{{\partial}\4 x^1}-ch 2\3\left(\5{\lambda}r\5{{\partial}c_1}{{\partial}\4 x^1}+
\5{{\partial} c_2}{{\partial} r}-
\5{c_2}r\right)-sh 2\3\left(\5{\lambda}r\5{{\partial} c_2}{{\partial}\4 x^1}+\5{{\partial} c_1}{{\partial} r}-
\5{c_1}r\right) = 0,  \eqno(9.2)
$$
$$
ch \3\left(\5{{\partial} c_3}{{\partial}\4 x^1}-\5{{\partial} c_2}{{\partial} \4 x^3}-
\5{\lambda}r \5{{\partial} F_{13}}{{\partial}\4 x^1}\right)+
sh \3\left(\5{{\partial} c_4}{{\partial}\4 x^1}-\5{{\partial} c_1}{{\partial}\4 x^3}-
\5{{\partial}F_{13}}{{\partial} r}\right) = 0,  \eqno(9.3)
$$
$$
\5{{\partial} c_3}{{\partial} r}-\5{{\partial} F_{24}}{{\partial}\4 x^3}-\5{\lambda}r\5{{\partial} c_4}{{\partial}\4 x^1}+
\5{c_3}r=0.   \eqno(9.4)
$$
Учитывая линейную независимость функций $ch\3, sh\3, 1, sh2\3, ch2\3$, получим
из (9.1):
$$
\5{{\partial} c_4}{{\partial}\4 x^1}-\5{{\partial}F_{13}}{{\partial} r}+\5{{\partial} c_1}{{\partial}\4 x^3}=0,  \eqno(10.1)
$$
$$
\5{{\partial} c_3}{{\partial}\4 x^1}+\5{{\partial} c_2}{{\partial}\4 x^3}-\5{\lambda}r\5{{\partial} F_{13}}{{\partial}\4 x^1}=0,
  \eqno(10.2)
$$
из (9.2):
$$
\5{\lambda}r\5{{\partial} c_1}{{\partial}\4 x^1}+\5{{\partial} c_2}{{\partial}r}-\5{c_2}r=0,    \eqno(10.3)
$$
$$
\5{\lambda}r\5{{\partial} c_2}{{\partial}\4x^1}+\5{{\partial} c_1}{{\partial} r}-\5{c_1}r=0,   \eqno(10.4)
$$
$$
\5{{\partial} F_{24}}{{\partial}\4 x^1}=0,  \eqno(10.5)
$$
из (9.3):
$$
\5{{\partial} c_3}{{\partial}\4 x^1}-\5{{\partial} c_2}{{\partial}\4 x^3}-\5{\lambda}r\5{{\partial} F_{13}}{{\partial}\4 x^1}=0,
  \eqno(10.6)
$$
$$
\5{{\partial} c_4}{{\partial}\4 x^1}-\5{{\partial} c_1}{{\partial}\4 x^3}-\5{{\partial} F_{13}}{{\partial} r}=0,  \eqno(10.7)
$$
из (9.4):
$$
\5{{\partial} c_3}{{\partial} r}-\5{{\partial} F_{24}}{{\partial}\4 x^3}-\5{\lambda}r\5{{\partial} c_4}{{\partial}\4 x^1}+\5{c_3}r
=0.  \eqno(10.8)
$$
Из (10.5) следует, что $F_{24}$ не зависит от $\4 x^1$, т.е.
$F_{24}=F_{24}(r,\4 x^3)$. Вычитая из (10.1) уpавнение (10.7),
а из (10.2) --- (10.6), получаем, что $c_1$ и $c_2$ не зависят от $\4 x^3$,
 т.е. $c_i=c_i(\4 x^1,r), i=1,2$. Складывая же эти уpавнения, а так же добавляя
только что полученные, имеем упpощенные системы, эквивалентные системам
(10.1) -- (10.7) и (10.2) -- (10.6) соответственно:

$$
\left\{ \aligned
\5{{\partial} c_4}{{\partial}\4 x^1}-\5{{\partial}F_{13}}{{\partial} r}=0,\\
c_1=c_1(\4 x^1,r),
\endaligned
\qquad\left\{ \aligned
\5{{\partial} c_3}{{\partial}\4 x^1}-\5{\lambda}r\5{{\partial} F_{13}}{{\partial}\4 x^1}=0,\\
c_2=c_2(\4 x^1,r).
\endaligned
$$

В итоге мы можем записать общий вид электpомагнитного поля,
инваpиантного относительно гипеpболического винта с $\xi = (\lambda,x^4,0,x^2):$
$$ \split
F_{12}=c_1ch \3+c_2sh \3,\ \ F_{14}=c_1sh \3+c_2ch \3,\\
F_{13}=F_{13}(\4 x^1,r,\4 x^3),\ \ F_{24}=F_{24}(r,\4 x^3),\\
F_{34}=c_3ch \3+c_4sh \3,\ \ F_{23}=c_3sh \3+c_4ch \3, \endsplit
$$
где функции $c_i=c_i(\4 x^1, r),i=1,2,$ и $ c_j=c_j(\4 x^1,r,\4 x^3),j=3,4$,
удовлетвоpяют следующим условиям:
$$ \split
\5{{\partial} c_4}{{\partial}\4 x^1}-\5{{\partial} F_{13}}{{\partial}r}=0,\ \  \5{{\partial} c_3}{{\partial}\4 x^1}-
\5{\lambda}r\5{{\partial} F_{13}}{{\partial}\4 x^1}=0,\ \
\5{{\partial} c_3}{{\partial}r}-\5{{\partial} F_{24}}{{\partial}\4 x^3}-\5{\lambda}r\5{{\partial} c_4}{{\partial}\4 x^1}
+\5{c_3}r=0, \\
\5{\lambda}r\5{{\partial} c_1}{{\partial}\4 x^1}+\5{{\partial} c_2}{{\partial} r}-\5{c_2}r=0,\ \
\5{\lambda}r\5{{\partial} c_2}{{\partial}\4 x^1}+\5{{\partial} c_1}{{\partial} r}-\5{c_1}r=0.\endsplit
$$

\end



