%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
%\nopagenumbers
\magnification=\magstep2
%\pagewidth{17 true cm}
%\vcorrection{-.5 true cm}
%\hcorrection{-.5 true cm}
\TagsOnRight
\pretitle{ \centerline{\bf { ����� ���� ����. ��⥬�⨪�. ��.~2}}
\centerline{\bf {�������, 1999}}

\noindent --------------------------------------------------------------------------------------------------
\vskip .1 cm
��� 517.93 }
\vskip 0.3 cm
\centerline {\bf �.~�.~��஢���}
\vskip .3 cm
%\leftheadtext{\it �.~�.~��஢���}
%\rightheadtext{\it � ᫮���� ���ﭨ�� p��������}
\topmatter
%\author
%�.�.��஢���
%\endauthor

\title{\bf\noindent
� ᫮���� ���ﭨ�� ࠢ������ ����� �������᪮� \break
��⥬�}
 \endtitle
\abstract \nofrills
\vskip .3 cm\noindent
���ᬠ�ਢ����� �����  �  ⮯������᪮�  �������  �襭��  �������᪮�
��⥬� � ����⭮�� ᫮����� ���ﭨ� ࠢ������,   �����  �ࠢ�  ���
��⥬� - �����童�� �⥯��� ��� ��ࢮ�.

%��������. 3 ����.
 \endabstract
\endtopmatter
\document
\pageno=1
\vskip .5 cm

����ઠ樨 ᫮����� ���ﭨ� ࠢ������, ����騥 � ���������
⮯������᪮� �������� �������᪮� ��⥬�
  $$ {{dy}\over {dt}}=P(x,y),{{dx}\over {dt}}=Q(x,y)$$

\noindent � ����⭮�� ���ﭨ�, ���ᠭ� [1] � ��砥, ����� ࠧ�������
�㭪権
$P$ � $Q$ � �� � ����⭮�� ��� ᮤ�ঠ� �� �ࠩ��� ��� ���� ������� 童�.

  � ������ p���� �ਢ������ �����䨪��� ���ﭨ� ࠢ������ ���
�������᪮� ��⥬�
 $$
\align
{{dy}\over {dt}}&=A_0x^9+A_1x^6y+A_2x^3y^2+A_3y^3,
$$ $$
{{dx}\over {dt}}&=B_0x^7+B_1x^4y+B_2xy^2,\eqno(1)
\endalign
$$
 �ࠢ� ��� ���ன �� ᮤ�ঠ� ��������� 童�� � ࠧ������� � �� �
����⭮�� ��砫� ���न���.

  ������� ��६����� $x=\bar x ,y=\bar y \bar x^2$ ��⥬� (1) �ਢ������ � ����
  $$
\align
{{d\bar y}\over {dt}}&=A_0\bar x^2+(A_1-2B_0)\bar x\bar y+(A_2-2B_1)\bar y^2,
$$ $$
{{d\bar x}\over {dt}}&=B_0\bar x^2+B_1\bar x\bar y+B_2\bar y^2,\eqno(2)
\endalign
$$

  � ������� ���न���� �� 䠧���� ���᪮�� �⮩ ��⥬� ᮮ⢥�����
�ࠢ�����
 $$
{{d\rho }\over {d\varphi }}={{z(\varphi )}\over {N(\varphi )}},\eqno(3)
 $$

\noindent ���
$$
\align
z(\varphi)&=(A_0 cos^2\varphi +(A_1-2B_0)cos\varphi sin\varphi +
(A_2-2B_1)sin\varphi+
(B_0cos^2\varphi+
$$ $$
&+B_1sin\varphi cos\varphi+B_2sin^2\varphi )cos\varphi,
\endalign
$$
$$
\align
N(\varphi)&=(B_0 cos^2\varphi +B_1cos\varphi sin\varphi +
B_2sin^2\varphi)sin\varphi-(A_0 cos^2\varphi +(A_1-
$$ $$
&-2B_0)cos\varphi sin\varphi+(A_2-2B_1)sin^2\varphi)cos\varphi.
\endalign
$$

  �᫨ $tg\varphi=u$, �
$$ N_1(u)=B_2u^3+(3B_1-A_2)u^2+3(B_0-A_1)u-A_0. \eqno(4) $$

  �ࠢ����� $N_1(u)=0$ �� $B_2\neq 0$ �������� �� �ࠩ��� ��� �����
����⢨⥫�� ��୥�.
�������⥫쭮, ��⥬� (1) ����� �� ����� ��� � �� ����� ����� ��⥣ࠫ쭮�
�ਢ��, �.�. �ᮡ�� �窠 O(0,0) ��⥬� (1) �� ����� ���� �� 業�஬, ��
䮪�ᮬ. �����⭮ [3], �� � ����ᨬ��� �� ����� ���ਬ�����
$L$ �㡨�᪮�� �ࠢ����� (4) ��� �㤥� �����:

1) ���� ����⢨⥫�� ��७�, �᫨ $L<0$,

2) ��� ����⢨⥫��� ����, �᫨ $L=0$, ��祬 ���� �� ��� ������,

3) ���� ������ ��७�, �᫨ $L=0$ � �믮������ �᫮���
 $$
{{3B_2(3B_0-A_1)-(3B_1-A_2)^2}\over {9B_2^2}}=0,\eqno(5)
 $$

4) �� ����⢨⥫��� ����, �᫨ $L>0$.

�⠪, �ਢ���� ᫥������ �����䨪��� ���ﭨ� ࠢ������ O(0,0) ��⥬� (1).

1.�����⭮, �� �᫨ ��⥬� (2) ����� ���� ��⥣ࠫ��� �ਢ��, ��室����
�१ ��砫� ���न���, ��।��塞�� ��୥� �ࠢ����� (3) ���⭮� ��⭮��,
� ��⠢���騥 �� ��� ����:

a) �����஢���묨, � ��࠭�稢���� ��� ᥪ�� -- ����࡮���᪨�.

����� ��⥬� (1) �㤥� ����� ���� ��⥣ࠫ��� �p���, ��室���� �१
��砫� ���न��� � ࠧ�������� ����⭮��� �ᮡ�� �窨 �� ��ࠡ����᪨�
ᥪ���. �ᮡ�� �窠 �(0,0) � �⮬ ��砥 ���� ��஦����� 㧫�� (��.1);

�) 㧫��묨, � ��࠭�稢���� ��� ᥪ�� -- �������᪨�.

����� ��⥬� (1) ����� ���� ᥯������, ��室���� �१
��砫� ���न��� � ࠧ�������� ����⭮��� �ᮡ�� �窨 �� ᥪ���
�������᪮�� ⨯�. �ᮡ�� �窠 � �⮬ ��砥 -- 㧥� 1-�� த� (��.2).

%\vbox to 10 cm{

%\bmptopcx korovina.bmp
%\com{korovina.pcx}

%}
2.�����⭮ [2], �� �᫨ �ࠢ�����
$$ {{dy}\over {dx}}={{a_1x^2+a_2xy+a_3y^2}\over {b_1x^2+b_2xy+b_2y^2}} $$
\noindent ����� ��� ��⥣ࠫ�� �ਢ�, ��室�騥
�१ ��砫� ���न���, ���� �� ������ ᮮ⢥����� ����⭮�� ����
�ࠢ�����, �������筮�� (3), � � �⮬ ��砥 �������� ࠧ����
⮯������᪨� ��������.

 �� 䠧���� ���᪮�� ��⥬� (1) �㤥� �����:

a) ᥯������, ��室���� �१ ��砫� ���न��� � ࠧ�������� ����⭮���
�ᮡ�� �窨 �� ��ࠡ����᪨� � ����࡮���᪨� ᥪ���.

�ᮡ�� �窠 �(0,0) � �⮬ ��砥 -- ��஦����� 㧥�--ᥤ�� \break (��.3).

�) ᥯������, ��室���� �१ ��砫� ���न��� � ࠧ�������� �������᪨�
� ��ࠡ����᪨�   ᥪ���.
�ᮡ�� �窠 �(0,0) � �⮬ ��砥 ���� 㧫�� 1-�� த� -- ��஦����� 㧫��
(��.4).

3.����� ��⥬� (2) ����� �� ��⥣ࠫ�� ����, ��室�騥
�१ ��砫� ���न���, ������ �� ������ ����� ������ ���� ��
 �����஢�����, ���� �� 㧫���� ��祩.
\pagebreak

\pagebreak
\topinsert
%\vspace{6 cm}
\botcaption{���.1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ���.2}
\endcaption{}
\endinsert
\midinsert
\vspace{6 cm}
\botcaption{���.3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ���.4}
\endcaption{}
\endinsert

������� ᫥���騥 ࠧ��������� �ᯮ������� ��⥣ࠫ��� \linebreak
�ਢ��:

a) ���� ��ﬠ� ��⮨� �� 㧫���� ��祩, ��� -- �� �����஢�����. �
㧫����� ���� � �⮬ ��砥 ����� �ਬ몠�� ���� ��ࠡ����᪨� ᥪ���, �
ᥪ���, ��࠭�稢���� �����஢���묨 ��砬�, ���� ����࡮���᪨��.

��� ��⥬� (1) �㤥� ����� ��� ᥯������, ࠧ�����騥 ��\-��⭮���
�ᮡ�� �窨 �� ��ࠡ����᪨� � ����࡮���᪨� ᥪ���; ��ﬠ�, ������
�� 㧫���� ��祩, ��࠭�稢��� ��ࠡ����᪨� ᥪ��. �ᮡ�� �窠 �(0,0)
 -- ᥤ��-㧥� (��.5);

�) ���� ��ﬠ� ��⮨� �� �����஢����� ��祩, � ��� -- �� 㧫����. �
�����஢������ ���� ����� �ਬ몠�� ���� ��ࠡ����᪨� ᥪ���, �
ᥪ���, ��࠭�稢���� 㧫��묨 ��砬�, ���� �������᪨��.

����� ��� ��⥬� (1) �㤥� ����� ᥯������, ��室���� �१ ��砫�
���न��� � ࠧ�������� �������᪨� � ��ࠡ����᪨�   ᥪ���.
�ᮡ�� �窠 � �⮬ ��砥 ���� 㧫�� 1-�� த� -- ��஦�����
\noindent 㧫�� (��.6);

�) �� �� ���� ����� �� �����஢����� ��祩, ⮣�� �� ���� ᥪ�஢
����࡮���᪨�.

�⠪, ��⥬� (1) ����� ���� ࠧ����� ���⨭ �ᯮ������� ��⥣ࠫ���
�ਢ�� ��� ���� ࠧ��������⥩ �ᮡ�� �窨.

���㫨�㥬 �᫮��� ��� ������� �� ��������� ��砥�.

\proclaim {\indent ���६�}
�᫨ ��� ��⥬� (1) �믮������� �᫮���:

1) $L<0$ � ${{z(\varphi_1)}\over {N_1(\varphi_1)}}>0$ ��� $L=0$, ����� ���� (4)
�  ${{z(\varphi_1)}\over {N_1(\varphi_1)}}>0$, � �ᮡ�� �窠 �(0,0) --
��஦����� 㧥�;

2) $L<0$ � ${{z(\varphi_1)}\over {N_1(\varphi_1)}}<0$ ��� $L=0$, ����� ���� (4)
�  ${{z(\varphi_1)}\over {N_1(\varphi_1)}}<0$, � �ᮡ�� �窠 �(0,0) --
 㧥� 1-�� த�;

3) $L=0$ � ��� ������⭮�� ��� $\varphi=\varphi_1$
${{z(\varphi_1)}\over {N_1(\varphi_1)}}>0$, � �ᮡ�� �窠 �(0,0) --
��஦�����  㧥�-ᥤ��;

4) $L=0$ � ��� ������⭮�� ��� $\varphi=\varphi_1$
${{z(\varphi_1)}\over {N_1(\varphi_1)}}<0$, � �ᮡ�� �窠 �(0,0) --
㧥� 1-�� த� -- ��஦�����  㧥�;

5) $L>0$ ��� $\varphi=\varphi_1$
${{z(\varphi_1)}\over {N_1(\varphi_1)}}<0$, ��� $\varphi=\varphi_i(i=2,3)$
${{z(\varphi_i)}\over {N_i(\varphi_i)}}>0$,� �ᮡ�� �窠 �(0,0) --
 ᥤ��-㧥�;

6)$L>0$
��� $\varphi=\varphi_1$
${{z(\varphi_1)}\over {N_1(\varphi_1)}}>0$, ��� $\varphi=\varphi_i(i=2,3)$
${{z(\varphi_i)}\over {N_i(\varphi_i)}}<0$,
��� $L>0$ ��� $\varphi=\varphi_i(i=\overline{1,3})$
${{z(\varphi_i)}\over {N_i(\varphi_i)}}>0$
,� �ᮡ�� �窠 �(0,0) -- 㧥� 1-�� த� -- ��஦�����  㧥�.
\endproclaim
\pagebreak
\topinsert
%\vspace{6 cm}
\botcaption{���.5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ���.6}
\endcaption{}
\endinsert
 \vskip 1 cm
\centerline{\bf ���᮪ �ᯮ�짮������ ���p���p�}

\noindent
\hangindent 0.5cm
1. {\it ���஭�� �.~�., ����⮢�� �.~�., ��म� �.~�., ����� �.~�.}
����⢥���� ⥮�� �������᪨� ��⥬. �., 1966. 488 c.

\noindent
\hangindent 0.5cm
2. {\it ������� �.~�.}
�����䨪��� �ᮡ�� �祪 �p�������
$$ y '={{a_0x^2+a_1xy+a_2y^2}\over {b_0x^2+b_1xy+b_2y^2}} $$
��⮤�� ��p��p�
//����७樠��� �ࠢ�����. 1984. $\No$ 10. C.~1809-1813.

\noindent
\hangindent 0.5cm
3. {\it ��஢��� �.~�., ��ᮥ�� �.~�.} � ⮯������᪮� ������� �襭��
������
����७樠�쭮�� �ࠢ����� � ����⭮�� ᫮����� ���ﭨ� ࠢ������.
�������, 1988. 6 c. ���. � ������ 16.08.88, $\No$ 6573-B88.



\end

