%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
%\nopagenumbers
%\font\agur=msbm10
%\def\omd{\omega(\delta)}
\magnification=\magstep2
%\pagewidth{17 true cm}
%\vcorrection{-.5 true cm}
%\hcorrection{-.5 true cm}
\TagsOnRight
\pretitle{ \centerline{\bf { ����� ���� ����. ��⥬�⨪�. ��.~2}}
\centerline{\bf {�������, 1999}}

\noindent --------------------------------------------------------------------------------------------------
\vskip .1 cm
��� 517.955
\vskip 0.3 cm
\centerline {\bf �.~�.~���p��}
\vskip .3 cm
%\vskip 0.2 in
%\leftheadtext{\it �.~�.~���p�� }
%\rightheadtext{\it � ����� ��� ��� �������� �p������� }
\topmatter
%\author �.�. ���p��
%\endauthor
\title{\bf\noindent
� ����� ��� ��� �������� �p������� � ��p�����묨 \break �����樥�⠬�}
\endtitle
\abstract \nofrills
\vskip .3 cm\noindent
����祭� ������ �������⢥����� p�襭�� ����� ��� ��� �������� �p������� �
��p�����묨 p����騬� �����樥�⠬� � ����p���p���⢥.
\endabstract
\endtopmatter
\document
\pageno=1
\vskip .5 cm

� p���� [3] ����祭� ⥮p��� �����⢥����� p�襭�� ����� ��� ��� �p�������
 $$  D_t^m u(x,t)=\sum_{j=0}^{m-1}P_j(x,D_x)D_t^j u(x,t) \eqno(1)$$
($-\infty<x<+\infty$, $t\geq0$, $P_j(x,D_x)$ - ����p��樠��� ���p��p� ��p浪�
 $n_j$ � �����樥�⠬�, ������騬� �� �p���p���⢥���� ��p������� $x$)
� ��砫�묨 �᫮��ﬨ
$$D_t^j u(x,t)|_{t=0} = f_j(x) \hskip 0,3 in (j=\overline{0,m-1}). \eqno(2) $$
� ��⭮��, � [3] ��������, �� ������ �����⢥����� p�襭�� ����� ���
(1) -- (2) �p� ``�� ᫨誮� ����p�'' p������ �� ��᪮��筮�� �����樥���
��p��������� �p�������� ��p浪�� �p������� (1) ���, �� � �� ᠬ��, ����稭��,
��p�⭮� �������쭮�� ������⥫� $p$ ��p��� 童��� p��������� ��p��� �p�������
$$\lambda^m - \sum_{j=0}^{m-1}P_j(x,s)\lambda^j = \sum_{k=0}^{n-1}
\sum_{j=0}^{m_k}q_{kj}(x){\lambda^j}{s^k} = 0   \eqno(3) $$
($n=\max\limits_{0\leq j\leq m-1}{n_j}$) � p�� �� �� �⥯��� $\lambda$
� ��p��⭮�� �窨 $\lambda=\infty$.

� ������ ���� ��������, �� ������ �������⢥����� p�襭�� ����� ���
(1) -- (2) ��p��������� �᫮� $q$ - �������訬 �� ������⥫��, 㪠������ ���.
����⨬, �� ��ꥤ������ p�����⮢ �����饩 p����� � [3], ��� ����
��砩 ($p=q$), ᮤ�p��� � ᥡ� ⥮p��� �����⢥����� � �������⢥�����,
����祭�� � [1].

������⥫��⢮ ⥮p��� � �������⢥����� �᭮���� (�. [1]) �� �業��
p�襭�� ��몭�������� ����p��樠�쭮�� �p�������, ������饣� �� ��p����p�.
��� �業�� ����� �뫮 �� ������� � ������� �����筮 ��饣� p������,
ᮤ�p��饣��� � [2]. ������ �� �p�������� ����� �������p�� �p��� ������⥫��⢠
�⮩ �業��, �᭮����� �� ⥮p��� � ����p��樠���� ��p�����⢠�.

1. ������ �᭮��� ������祭��. �p���������, �� ����p���� ���⮭� �p�������
(3) �p� �� $x$ ($-\infty<x<+\infty$) ����� ���� � � �� 㧫��� �窨
(${k_l},{m_{k_l}}$) $l=\overline {0,N}$; ${k_0}=0$; ${k_N}=n$. ������稬
$\gamma_l$ ($l=\overline{0,N}$) ������⥫� p��������� ��p��� �p������� (3) �
p�� �� �� �⥯��� $\lambda$ � ��p��⭮�� �窨 ${\lambda}={\infty}$.
��᫠ $\gamma_l$ p�ᯮ����� � ��p浪� ���p��⠭�� $$p=
\gamma_1<\gamma_2<...<\gamma_N=q$$

�����
$\alpha_k=m_{k_{l-1}} + (k_{l-1} - k)\gamma_l$ �p� $k_{l-1}\leq k\leq k_l,
l=\overline{1,N}$. ������稬 $$ \Gamma_l = \{k: k_{l-1}\leq k\leq k_l,
  m_k = \alpha_k \},$$
 $$\Gamma^\prime = \cup_{l=0}^n \Gamma_l\,, \ \ \
  \Gamma^{\prime\prime}=\{0,1,...,n\} \setminus \Gamma^\prime.$$
����� � ⮩ �� �㪢�� $c$ � �����ᠬ� ��� ��� ��� �㤥� ��������� p������
������⥫�� ����ﭭ�.

2. ����稬 �業�� p�襭�� ��몭�������� ����p��樠�쭮�� �p�������
$$\sum_{k=0}^n\sum_{j=0}^{m_k}q_{kj}(x)\lambda^j D_x^k y(x,\lambda) = 0 \eqno (4) $$
� ������ $G$, ��� $G=\{(x,\lambda):-\infty<x<+\infty, Re\lambda \geq \alpha\}$
($\alpha>0$ - �����筮 ����讥 �᫮).

\proclaim {\indent \bf ���p��� 1} ����� $h(x)>0$ - �⭠� ���p�p뢭�� ���p������ �p� $x>0$ �㭪��.
�p���������, �� �����樥��� �p������� (4) 㤮���⢮p��� �᫮���
$$|q_{kj}(x)|\leq {[h(x)]}^{(\alpha_k - j)/p} \eqno (5)$$
($\,j=\overline{0,{m_k-1}}$ �p� $ k \in \Gamma^\prime$, $j=\overline{0,{m_k}}$
�p� $ k \in {\Gamma}^{\prime\prime}$), $q_{{k_l}{m_{k_l}}}$
$ (l=\overline{0,N})$ - ��p���祭� �� �ᥩ ����⢨⥫쭮� ��. �p��� ⮣�,
�p� �����筮 ����讬 $\alpha>0$, �믮�����
$$|\sum_{j=0}^{m_n} q_{kj}(x)\lambda^j| \geq c > 0 \hskip 0,3 in (x,\lambda)\in G. \eqno (6)$$

����� �p������� (4) ����� p�襭�� $y(x,\lambda)$, 㤮���⢮p��饥 �業��
$$|D^k_x y(x,\lambda)| \leq c_1 exp\{c_2 ({[h(x)]}^{q/p} + {|\lambda|}^q)(|x| + 1)\} \eqno (7)$$
$(x,\lambda) \in G, \, k = \overline{0,{n-1}}$.
\endproclaim
\underbar {������⥫��⢮}. � ᨫ� �᫮��� (6) �p������� (4) ����� p��p���� �⭮�⥫쭮
��p襩 �p��������� �p� $(x,\lambda) \in G$:
$$D^n_x y(x,\lambda) = \sum_{k=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{m_k} {\tilde q}_{kj} (x,\lambda)\lambda^j D_x^k y(x,\lambda) =
\sum_{k=0}^{n-1} q_k(x,\lambda) D_x^k y(x,\lambda), \eqno (8)$$
��� ${\tilde q}_{kj} (x,\lambda) = - q_{kj} (x)/ \sum_{j=0}^{m_n} q_{nj} (x) \lambda^j
\hskip 0,3 in (k = \overline{0,{n-1}},\, j = \overline{0,{m_k}}).$

����� ��p���� ᢥ��� �p������� (8) � ��⥬� ��p���� ��p浪�. �������
$D_x^k y=y_k \, (k = \overline{0,{n-1}})$, ����砥�

$$D_x Y = A(x,\lambda)Y, \eqno (9)$$
��� $Y = (y_0,y_1,...,y_{n-1}), \, A(x,\lambda)$ - ���p��, � ���p��
��᫥���� ��p��� - $(q_0 (x,\lambda),q_1 (x,\lambda),...,q_{n-1} (x,\lambda))$,
��� ������� ���������� ���� �������, � �� ��⠫�� �������� - �㫨.

�� (6) ᫥���, �� ${\tilde q}_{kj} (x,\lambda)$ ⠪�� 㤮���⢮p��� �業���
(5), ��������, � ������⥫�묨 ����ﭭ묨 �����⥫ﬨ � �p���� ���, ��㤠
�����
$$\max\limits_{|x| \leq r} |q_k (x,\lambda)| \leq \sum_{j=o}^{m_k} \max\limits_{|x| \leq r}
|{\tilde q}_{kj} (x,\lambda) {\lambda}^j| \leq c_0 (h^{1/p} (r) + |\lambda|)^{\alpha_k}. \eqno (10)$$

��p�� � ��⥬�� (9) p��ᬮ�p�� ��⥬�
$$D_x Z = B(r,\lambda) Z, 
\eqno (11)
$$
��� $Z = (z_0, z_1,..., z_{n-1})$, � $B(r,\lambda)$ - ���p��, �⫨������
�� $A(x,\lambda)$ ���� ��᫥���� ��p���� ���� $(b_0 (r,\lambda),b_1 (r,\lambda),...,
b_{n-1} (r,\lambda))$, ��� \break
$b_k (r,\lambda) = c_0 (h^{1/p} (r) + |\lambda|)^{{\alpha}_k}$
�p� $k = \overline{0,{n-1}}$. �� (10) ᫥���, �� ���p�� $B(r,\lambda)$
����p�p�� ���p��� $A(x,\lambda)$ �p� $|x| \leq r$.

��p���p����᪮� �p������� ��⥬� (11) ����� ���
$${\mu}^n - \sum_{k=0}^{n-1} b_k (r,\lambda) {\mu}^k = 0. \eqno (12)$$
�������, �� �p������� (12) ����� ��p���
$${\mu}_0 = a_0 {(h^{1/p} (r) + |\lambda|)}^q (1 + o(1)), \eqno (13)$$
��� ${a_0}>0,\, o(1) \to 0$ �p� $|\lambda| \to \infty,\, r>0$.

����⢨⥫쭮, ������� � (12) $\mu = a {t}^q (1 + \theta)$,
��� $t = h^{1/p} (r) + |\lambda|$,
\break $a$ -- ����ﭭ�� �᫮, $\theta$ -- ����� ��p�������.
����⠢�� ��p������ ���
$\mu$ � (12) � p������� ��� �� $t^{nq}$, ����稬
$$a^n {(1 + \theta)}^n - \sum_{k=0}^{n-1} c_0 {t}^{{\alpha}_k + q(k - n)} a^k {(1 + \theta)}^k = 0. \eqno (14)$$

�� ��p�������� �ᥫ $\alpha_k$ � $q$ ᫥���, ��
$${{\alpha_k}\over{n-k}} \leq q \hskip 1 in (k = \overline{0,{n-1}}), \eqno (15)$$
�p�祬 p�����⢮ � (15) ���⨣����� ���� �p� ${k_N}\leq k \leq n$. �� (15)
�����, �� �� �����樥���, ���騥 �p� �⥯���� $\theta$ � �p������� (14)
��p������ � ����⠭⠬ �p� $|\lambda| \to \infty$. �p��� ⮣�, �᫨ $a_0$ -
���� �� ��p��� �p�������
$$a^{q_N} - \sum_{k \in {\Gamma \setminus \{n\}}} c_0 a^{k-{k_{N-1}}} = 0 \eqno (16)$$
($q_N = {k_N} - {k_{N-1}}$), � ᢮����� 童� �p������� (14) ���� $o(1) \, (\lambda \to \infty).$
����� (14) ����� ��p��� $\theta = o(1) \, (\lambda \to \infty).$

����⨬, �� �.�. $c_0 > 0$, � (16) ����� ������⥫�� ��p��� $a_0$.
��p�㫠 (13) ��������.

������稬 $d(r,\lambda) = (1,\mu_0,...,\mu_0^{n-1})$. ����� ������, ��
$Z_0 (x,r,\lambda) = d(r,\lambda) exp \{\mu_0 (r,\lambda) x\}$ - p�襭��
��⥬� (11).

����� $Y(x,\lambda) = (y_0 (x,\lambda),...,y_{n-1} (x,\lambda))$ - p�襭��
��⥬� (9) � ��砫�묨 �᫮��ﬨ
$$y_0 (0,\lambda) = 1, \hskip 1 in y_k (0,\lambda) = 0 \hskip 0.3 in (k = \overline{1,{n-1}}). \eqno (17)$$
�祢����, ��
$$|Y(0,\lambda)| \leq Z_0 (0,r,\lambda) \hskip 1 in (Re \lambda \geq \alpha). \eqno (18)$$
��᫥���� ��p�����⢮ ���������� �����p����⭮.

�� (18) � ⮣�, �� ���p�� $B(r,\lambda)$ ����p�p�� ���p��� $A(x,\lambda)$,
᫥��� (�. [5])
$$|Y(x,\lambda)| \leq Z_0 (|x|,r,\lambda) \hskip 1 in (|x| \leq r),$$
��㤠 ����砥�, ��
$$|Y(x,\lambda)| \leq {\mu_0}^{n-1} exp\{\mu_0 |x| \} \hskip 1 in (x,\lambda) \in G. \eqno (19)$$
�� (19), �p� �����筮 ����讬 $\alpha$ � $(x,\lambda) \in G$, ����砥� (7).
���p�- \break
�� 1 ��������.

3. ��p�㫨p㥬 ⥮p��� �������⢥�����. �p� �⮬ ����⨬, �� ������
�������⢥����� p�襭�� ����� ��� (1) - (2) ��p��������� �������� ���
�᫮� $q$, ���p�� �� �㤥� ����� ����訬 ������� ($0<q<1$).

\proclaim {\indent ���p��� 2} ����� �p������� (1) ⠪���, �� �����樥���
�p���p����᪮��
�p������� (3) 㤮���⢮p��� �᫮��� (5) - (6) ⥮p��� 1. ������稬 $H(x)>0$ -
���� ���p�p뢭�� ���p������� �p� $x>0$ �㭪��, �易���� � $h(x)$
ᮮ⭮襭���
$$x h^{q/p} (x) = o(1) \int_0^x H(\xi) d \xi \hskip 0.3 in (x>0) \eqno (20)$$
$o(1) \to 0$ \, �p� $x \to +\infty$.

�᫨
$$\int_1^{+\infty} [H(x)]^{1-{q^{-1}}} dx < \infty, \eqno (21)$$
� ������� ���p�����쭮� p�襭�� $u(x,t)$ �p������� (1), 㤮���⢮p��饥
�㫥�� ��砫�� �᫮���
$$D_t^j u(x,t)|_{t=0} = 0 \hskip 1 in (j=\overline{0,{n-1}}) \eqno (22)$$
� �業���
$$|D_x^k u(x,t)| \leq c exp\{\alpha t + |\int_0^x H(\xi) d \xi| \} \eqno (23)$$
($k=\overline{0,{n-1}}, \, -\infty < x < +\infty, \, t \geq 0$).
\endproclaim
\underbar{������⥫��⢮}. �p������ ⥮p��� 1, ����砥�, �� �p������� (4) ����� p�襭��
$y(x,\lambda)$, 㤮���⢮p��饥 ��p�����⢠� (7). ������稬 $v(x,\lambda)$
�㭪��, ������ � �p���� ��� (7) ��� ������ ��ᯮ�����, � �業�� �� ��p������.

�� (20) ᫥���, �� ����� ��p��� �⮫� ����讥 $M>0$, �p� ���p�� �믮�����
$$v(x,\lambda) \leq {1 \over 2} \int_0^{|x|} H(\xi) d \xi + c_1 |x| |\lambda|^q
\hskip 0.2 in (|x| \geq M). \eqno (24)$$
�祢����, �� $v(x,\lambda)$ ����� �⥯����� p��� $q$ �� $\lambda$ �p� $|x| \leq M$.

��p������ �㭪�� $s(r)$ p�����⢮� $H(s(r)) = 2 c_1 {|\lambda|}^q$. �p������
��p�����⢮ ����, ����稬
$$c_1 |x| {|\lambda|}^q - {1 \over 2} \int_0^{|x|} H(\xi) d \xi \leq c_1
{|\lambda|}^q s(|\lambda|). \eqno (25)$$
�� (7), ���뢠� (24) - (25), ᫥���
$$\sup\limits_{-\infty < x < +\infty} |D_x^k y(x,\lambda)| exp\{ - \int_0^{|x|}
H(\xi) d\xi \} < c_4 exp\{c_5 |\lambda|^q s(|\lambda|) \} = \eta(\lambda). \eqno (26)$$
�᫮��� (21) �����
$$\int_1^{+\infty} r^{q-2} s(r) dr < \infty,$$
��㤠 [4] ����砥�, �� ������� �������᪠� � ���㯫�᪮�� $Re \lambda
\geq \alpha$ �㭪�� $\psi (\lambda)$, 㤮���⢮p���� �᫮���
$$|\psi (\lambda) \eta (\lambda)| < \infty. \eqno (27)$$

�롥p�� �����筮 ����讥 $\gamma > 0$ � p��ᬮ�p�� �㭪��
$$u(x,t) = {1 \over {2 \pi i}} \int_{- \infty}^{+ \infty} {(\alpha + i\tau)}^{- \gamma}
exp\{(\alpha + i\tau)t\}\, \psi(\alpha + i\tau)\,y(x,\alpha + i\tau)\, d\tau .
$$
�祢����, �� $u(x,t)$ ���� p�襭�� �p������� (1), � �� (26) - (27) ᫥���,
�� ��� 㤮���⢮p�� �業��� (23) � ��砫�� �᫮��� (22). ���p�- \break 
�� 2 ��������.

� �����祭�� ����� ᪠����, �� ��� ��⥬ �p������� ���� (1) ⠪�� �p��������
⥮p��� � �������⢥����� p�襭�� ����� ���, �������筠� ⥮p��� 2.

\vskip .5 cm
\centerline {\bf ���᮪ �ᯮ�짮������ ���p���p�}
\vskip 0.3 cm
\noindent 
\hangindent 0.5cm
1. {\it ��⮬�p᪨� �.~�.} ������ �����⢥����� p�襭�� ����� ���
��� �������� �p������� � p����騬� �����樥�⠬� // ���. �� ����. ��p.
���. �.31. ��.4. 1967. �.~763 -- 782.

\noindent 
\hangindent 0.5cm
2. {\it ��⮬�p᪨� �.~�.} �� \ ����� \ �業�� \ p�襭�� ��⥬� �������� ����p��樠����
�p�������, ᮤ�p���� ��p����p // ���p�� \break �㭪権, �㭪樮����� ������ � ��
�p��������. ��p쪮�, 1974. ��. 20. 
%\break 
�.~83 -- 86.

\noindent 
\hangindent 0.5cm
3. {\it ���p�� �.~�.} � �����⢥����� p�襭�� ����� ��� ��� �������� �p������� �
��p�����묨 �����樥�⠬� // ����⢥��� � �p��������� ��⮤� ��᫥�������
���p��p��� �p�������.  �p�᫠���, 1977. ��. 2. �.~141 -- 158.

\noindent 
\hangindent 0.5cm
4. {\it �������p��� �.} �p��몠�騥 p��. �����p����� ��᫥����⥫쭮�⥩.
�p��������. �., 1955. 268 c.

\noindent 
\hangindent 0.5cm
5. {\it ��p⬠� �.} ��몭������ ����p��樠��� �p�������. �., 1970. 720 c.

\end


