%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
%\nopagenumbers
\magnification=\magstep2
%\pagewidth{17 true cm}
%\vcorrection{-.5 true cm}
%\hcorrection{-.5 true cm}
\TagsOnRight
\pretitle{ \centerline{\bf { Научные труды ИвГУ. Математика. Вып.~2}}
\centerline{\bf {Иваново, 1999}}

\noindent --------------------------------------------------------------------------------------------------
\vskip .1 cm
УДК 512.543}
\vskip 0.3 cm
\centerline {\bf Е.~Д.~Логинова}
\vskip .3 cm
%\leftheadtext{\it Е.Д.Логинова }
%\rightheadtext{\it Аппроксимируемость cвободного произведения}

\topmatter
%\author
%Е.Д.Логинова
%\endauthor
\title
\centerline{\bf ФИНИТНАЯ АППРОКСИМИРУЕМОСТЬ}
\centerline{\bf СВОБОДНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ГРУПП}
\centerline{\bf С ЦЕНТРАЛИЗОВАННЫМИ ПОДГРУППАМИ}
\endtitle
\abstract \nofrills
\vskip .3 cm\noindent
Доказано, что свободное произведение финитно аппроксимируемых
(аппроксимируемых конечными $p$@-группами) групп $A$ и $B$ с
централизованными собственными подгруппами $H$ и $K$ является финитно
аппроксимируемой гpуппой (аппроксимируемой конечными $p$-группами) тогда и
только тогда, когда в группах $A$ и $B$ подгруппы $H$ и $K$ финитно
отделимы (отделимы в классе конечных $p$@-групп).

%Библиогp.: 2 назв.
\endabstract
\endtopmatter
\document
\pageno=1
\vskip .5 cm

1. Пусть $A$ и $B$ --- некоторые группы, $H$ --- подгруппа группы $A$
и $K$ --- подгруппа группы $B$. Фактор-группа
$\left(A*B; \ \left[H, K\right]=1\right)$  свободного произведения $A*B$
по нормальному замыканию взаимного коммутанта $[H,K]$ подгрупп $H$ и $K$
называется свободным произведением групп $A$ и $B$ с коммутирующими
подгруппами $H$ и $K$, а фактор-группа
$\left(A*B; \ \left[A, K\right]=1, \ \left[H, B\right]=1\right)$
группы $A*B$ по нормальному замыканию
взаимных коммутантов $[A,K]$ подгрупп $A$ и $K$ и $[H,B]$ подгрупп $H$ и $B$
называется свободным произведением групп $A$ и $B$ с централизованными
подгруппами $H$ и $K$ [2, с. 230].

Условия финитной аппроксимируемости
и аппроксимируемости конечными $p$-группами свободного произведения
с коммутирующими \break
подгруппами были анонсированы в работе [1].
Здесь будет показано, что аналогичные утверждения имеют место
и для свободного произведения с централизованными подгруппами.
Заметим сразу же, что в тех случаях, когда подгруппа $H$ совпадает
с группой $A$ или подгруппа $K$ совпадает с группой $B$, свободное
произведение \hfill\break
$
G=\left(A*B; \ \left[A, K\right]=1, \ \left[H, B\right]=1\right)
$
групп $A$ и $B$ с коммутирующими подгруппами $H$ и $K$ является прямым
произведением групп $A$ и $B$ и вопросы об аппроксимируемости группы $G$
тривиальны. В невырожденном случае имеет место

\proclaim {\indent Теорема} Пусть $A$ и $B$ --- произвольные финитно
аппрок\-симируемые (аппроксимируемые конечными $p$@-группами) \break
группы, $H$ и
$K$ --- собственные подгруппы групп $A$ и $B$
соответственно. Группа
$$
G=\left(A*B; \ \left[A, K\right]=1,\ \left[H, B\right]=1\right)
$$
финитно аппроксимируема (аппроксимируема конечными $p$-группами) тогда и
только тогда, когда в группах $A$ и $B$ подгруппы $H$ и $K$ являются финитно
отделимыми (отделимыми в классе конечных $p$@-групп).
\endproclaim

Отметим два следствия этой теоремы, аналогичные тем, которые приводятся в [1].
Так как все конечно порожденные подгруппы свободной группы финитно отделимы,
имеет место

\proclaim {\indent Следствие 1} Свободное произведение двух свободных \break
групп
с централизованными конечно порожденными подгруппами является финитно
аппроксимируемой группой.
\endproclaim

Точно так же финитная отделимость подгрупп полициклической груп\-пы дает

\proclaim {\indent Следствие 2} Свободное произведение двух
полициклических групп с централизованными подгруппами является финитно
аппроксимируемой группой.
\endproclaim


2. \underbar{Доказательство} теоремы начнем с описания того, как можно
построить группу
$G=\left(A*B; \ \left[A, K\right]=1,\ \left[H, B\right]=1\right)$ с
помощью конструкции свободного произведения с объединенной подгруппой.

Пусть $H_{1}$ и $K_{1}$  --- изоморфные копии групп $H$ и $K$ соответственно
и $\alpha: H\to H_{1}$ и $\beta: K\to K_{1}$ ---фиксированные изоморфизмы.
Пусть, далее,
$M=A\times K_{1}$ --- прямое произведение групп $A$ и $K_{1}$ и
$U=H\times K_{1}$ --- подгруппа группы $M$, порожденная подгруппами $H$ и
$K_1$. Аналогично, пусть $N=H_1\times B$ --- прямое произведение групп $H_1$
и $B$ и $V=H_1\times K$ --- подгруппа группы $N$, порожденная подгруппами
$H_1$ и $K$. Наконец, пусть $\varphi =\alpha \times \beta^{-1}$ ---
изоморфизм группы $U$ на группу $V$. Тогда свободное произведение
$(M*N; \ U=V, \,\varphi )$
групп $M$ и $N$ с подгруппами $U$ и $V$, объединенными относительно
изоморфизма $\varphi $, является группой, изоморфной группе $G$.

Необходимость условий теоремы теперь почти очевидна. Пусть, например,
$a$ --- такой элемент группы $A$, не принадлежащий подгруппе $H$, что
образ этого элемента при любом гомоморфизме группы $A$ на конечную группу
(или на конечную $p$@-группу) содержится в образе подгруппы $H$. Если
еще $b$ --- произвольный элемент группы $B$, не входящий в подгруппу $K$,
то элемент $w=[a, b]$ группы $G$ отличен от 1, т. к. его несократимая
запись в разложении группы $G=(M*N; \ U=V, \,\varphi )$ имеет длину 4.
Очевидно, с другой стороны,
что образ этого элемента при любом гомоморфизме группы $G$ на конечную
груп\-пу (или, соответственно, на конечную $p$@-группу) равен 1.

Переходя к доказательству достаточности условий теоремы, заметим сначала, что
естественные вложения групп $A$ и $B$ в прямое
произведение $A\times B$ этих групп определяют гомоморфизм $\sigma $
группы $G$ на группу $A\times B$. Поскольку, как легко видеть,
$M\cap \text{Ker}\,\sigma=N\cap \text{Ker}\,\sigma=1$, в силу теоремы
Х\. Нейманн [1, с. 254] ядро этого гомоморфизма является свободной группой.
Таким образом, если группы $A$ и $B$ являются конечными (конечными
$p$-груп\-па\-ми), то группа $G$ является расширением свободной группы при
помощи конечной (конечной $p$-группы) и потому финитно аппроксимируема
(аппроксимируема конечными $p$-группами).

Для произвольных нормальных подгрупп $X$ группы $A$ и $Y$ группы $B$
полагаем $R=X\cdot (Y\cap K)\beta$ и $S=(X\cap H)\alpha\cdot Y$. Тогда
$R$ и $S$ являются нормальными подгруппами групп $M$ и $N$ соответственно,
причем $(U\cap R)\varphi = V\cap S$. Поэтому изоморфизм $\varphi$
индуцирует изоморфизм $\overline \varphi $ подгруппы $UR/R$ фактор-группы
$M/R$ на подгруппу $VS/S$ фактор-группы $B/S$, и мы можем построить
свободное произведение $G(X,Y)$
групп $M/R$ и $N/S$ с подгруппами $UR/R$ и
$VS/S$, объединенными относительно изоморфизма $\overline \varphi $.
Эта группа является, очевидно, свободным произведением групп $A/X$ и $B/Y$
с централизованными подгруппами $HX/X$ и $KY/Y$.
Естественные отображения групп $M$ и $N$ на фактор-группы $M/R$ и $N/S$
соответственно продолжаемы до гомоморфизма $\rho (X,Y)$ группы $G$ на группу
$G(X,Y)$, и поэтому для завершения
доказательства достаточно показать, что при выполнении условий теоремы
для любого неединичного элемента $g\in G$ найдутся такие нормальные
подгруппы $X$ и $Y$ конечного индекса (конечного $p$-индекса) групп
$A$ и $B$ соответственно, что $g\rho (X,Y)\neq 1$.

Покажем сначала, что если элемент $g\neq 1$ лежит в одном из
свободных сомножителей группы $G=(M*N; \ U=V, \,\varphi )$, то для
подходящих $X$ и $Y$ $g\rho (X,Y)\neq 1$, а если, сверх того, элемент $g$
не входит соответственно в подгруппу $U$
или $V$, то подгруппы $X$ и $Y$ можно выбрать так,
что $g\rho (X,Y)\notin U\rho (X,Y)$.
Пусть, в самом деле, $g\in M$, тогда $g=ac_1$, где
$a\in A$ и $c_1\in K_1$. Так как $g\neq 1$, то или $a\neq 1$ или $c_1\neq 1$.
Выбирая в первом случае подгруппу $X$ не содержащей $a$ и $Y$ произвольной,
а во втором --- $X$ произвольной и $Y$ не содержащей элемента
$c=c_1\beta^{-1}$, для соответствующей подгруппы $R$ будем иметь, очевидно,
$g\notin R$. Если $g\notin U$, то $a\notin H$, и можно (в соответствии с
предположениями) выбрать подгруппу $X$ так, чтобы $a\notin HX$. Легко видеть,
что тогда при произвольном выборе подгруппы $Y$ элемент $g$ не войдет в
подгруппу $UR$. Поскольку действие гомоморфизма $\rho (X,Y)$ на подгруппе
$M$ совпадает с действием естественного гомоморфизма $M$ на $M/R$, подгруппы
$X$ и $Y$ являются искомыми. Случай $g\in N$ рассматривается аналогично.

Предположим теперь, что несократимая запись $g=g_1g_2\cdots g_n$
элемента $g$ имеет длину $n>1$. Тогда для каждого $i=1,2,\,\dots,\,n$ элемент
$g_i$ входит в одну из подгрупп $M$ или $N$ и не входит ни в подгруппу $U$,
ни в подгруппу $V$. Поэтому, как показано в предыдущем абзаце,
для каждого номера $i$ найдется пара подгрупп $X_i$, $Y_i$ такая, что
для соответствующих подгрупп $R_i$ и
$S_i$ элемент $g_i$ не входит в подгруппу $UR_i$ или в подгруппу $VS_i$.
Пусть $X=\bigcap_{i=1}^{n}X_i$ и $Y=\bigcap_{i=1}^{n}Y_i$. Легко видеть, что
если $R$ и $S$ --- подгруппы групп $M$ и $N$, соответствующие паре подгрупп
$X$ и $Y$, то $R=\bigcap_{i=1}^{n}R_i$ и $S=\bigcap_{i=1}^{n}S_i$.
Поэтому для каждого $i=1,2,\,\dots,\,n$ элемент $g_i$ не входит в подгруппу
$UR$ или $VS$. Это означает, что запись
$$
g\rho (X,Y)=(g_1\rho (X,Y))(g_2\rho (X,Y))\cdots (g_n\rho (X,Y))
$$
 элемента $g\rho (X,Y)$ группы $G(X,Y)$ является несократимой, и потому в
этой груп\-пе $g\rho (X,Y)\neq 1$. Теорема доказана.
\vskip .5 cm
\centerline{\bf Список использованной литеpатуpы}
\vskip .3 cm
\noindent
\hangindent 0.5cm
1. {\it Логинова Е.~Д.} О финитной аппроксимируемости свободного
произведения двух групп с коммутирующими подгруппами //
Международная алгебраическая конференция памяти Д.~К.~Фад\-де\-ева:
Тез. докл.
СПб., 1997. С.~235 -- 236.

\noindent
\hangindent 0.5cm
2. {\it Магнус В., Каррас А., Солитэр Д.} Комбинаторная теория групп.
М., 1974. 455 c.




\end
