%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
%\documentstyle{amsppt}
%\nopagenumbers
\magnification=\magstep2
%\pagewidth{17 true cm}
%\pageheight{17cm}
%\vcorrection{-.5 true cm}
%\hcorrection{-.5 true cm}
\TagsOnRight
\pretitle{ \centerline{\bf { Научные труды ИвГУ. Математика. Вып.~2}}
\centerline{\bf {Иваново, 1999}}

\noindent -----------------------------------------------------------------------------------------------
%\define\bs{\bigskip}
%\define\lbr{\linebreak}
%\define{тогда и только тогда, когда }{тогда и только тогда, когда }
\vskip .1 cm
УДК 514.7
\vskip .3 cm
\centerline {\bf И.~В.~Шевченко, Н.~И.~Яцкин}
\vskip .3 cm
%\leftheadtext{\it И.~В.~Шевченко, Н.~И.~Яцкин}
%\rightheadtext{\it Неабелевы когомологии де Рама}
\topmatter
%\author
%И.В.Шевченко, Н.И.Яцкин
%\endauthor

\title
\centerline{\bf НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ}
\centerline{\bf НЕАБЕЛЕВЫХ КОГОМОЛОГИЙ ДЕ РАМА}
\endtitle

\abstract\nofrills
\vskip .3 cm\noindent
Рассматриваются неабелевы когомологии де Рама гладкого многообразия
с коэффициентами в группе Ли, а также соответствующие неабелевым
коциклам абелевы когомологии и мультипликативные структуры в них.
\endabstract

\endtopmatter
\document
\pageno=1
\vskip .5 cm
\subhead\indent
1. Неабелевы когомологии де Рама
\endsubhead
Пусть $M\ -$ $C^{\infty}-$гладкое многообразие, $A\ -$
конечномерная (вещественная или комплексная)
\break группа Ли
(для простоты~-- матричная,
т\.е\. подгруппа Ли в группе
\break $GL(n,\Bbb P),$ где $\Bbb P=\Bbb R$
или $\Bbb C)$; $\frak a\ -$ соответствующая алгебра Ли.

Неабелевы когомологии де Рама (НКдР) многообразия $M$
с коэффициентами
в группе $A$ определяются (\cite3, см\. также \cite2) следующим образом:
$$
H^1(M,A)=\Cal L^1(M,\frak a)/\rho,\eqno(1)
$$
где $\Cal L^1(M,\frak a)=\{\alpha\in\Lambda^1(M,\frak a):
d\alpha=\frac12[\alpha,\alpha]\}\ -$ множество неабелевых \linebreak 
1-коциклов
(вполне интегрируемых $\frak a$-значных 1-форм на $M),$
$\rho\ -$ действие группы $\Cal F_A(M)=C^{\infty}(M,A)$ калибровочных
преобразований: $$\rho(Q)\alpha=dQ\cdot Q^{-1}+Q\alpha Q^{-1};
\alpha\in\Cal L^1(M,\frak a); Q\in\Cal F_A(M).$$

НКдР представляют собой контравариантный функтор из категории
многообразий {\bf MAN} в категорию
$\bold S\bold E\bold T^{\bullet}$ пунктированных множеств
(отмеченным элементом в $H^1(M,A)$ служит класс нулевой формы).
Пусть $\pi:\widetilde M\rightarrow M\ -$ универсальное накрывающее
многообразие для $M$ и его естественная проекция на $M.$
Фундаментальное решение, соответствующее
коциклу $\alpha$
и отмеченной точке $y_0\in\widetilde M,$
определяется \cite2 как отображение
$\Phi_{\alpha}:\widetilde M\rightarrow A,$ являющееся решением задачи Коши
$d\Phi_{\alpha}\cdot\Phi_{\alpha}^{-1}=\widetilde\alpha,$
$\Phi_{\alpha}(y_0)=I,$ где $\widetilde\alpha=\pi^*\alpha,$
$I\ -$ единица груп\-пы~$A.$ Гомоморфизм
монодромии $\alpha^{\sharp}:\Gamma\rightarrow A$ фундаментальной группы
$\Gamma=\pi_1(M,x_0)$ многообразия $M$ (с отмеченной точкой $x_0=\pi(y_0)$
определяется как сужение $\Phi_{\alpha}$ на $\Gamma$ -- орбиту точки $y_0.$
Если операцию в $\Gamma$ определять так, чтобы $\Gamma$
действовало на $\widetilde M$ справа, то будет иметь место
формула \cite{1,~c.~66}:
$\Phi_{\alpha}(y.\gamma)=\Phi_{\alpha}(y)\alpha^{\sharp}(\gamma);$
$y\in\widetilde M;$ $\gamma\in\Gamma.$
Возникает отображение $\sharp:\Cal L^1(M,\frak a)\rightarrow
\text{Hom}(\Gamma,A),$ $\sharp(\alpha)=\alpha^{\sharp},$
классифицирующее неабелевы коциклы: два коцикла
эквивалентны (относительно дейст\-вия~$\rho)$ {тогда и только тогда, когда } соответствующие
гомоморфизмы монодромии сопряжены в $A.$ Отображение $\sharp$ опускается
\cite3 до инъекции (но не обязательно~-- биекции)
пунктированных множеств
$\widehat\sharp:H^1(M,A)\rightarrow\widehat{\text{Hom}}(\Gamma,A),$
где $\widehat{\text{Hom}}(\Gamma,A)\ -$ множество классов сопряженности
гомоморфизмов.


\subhead\indent
2. Гомотопическая инвариантность НКдР и теорема Шорохова.
\endsubhead
Гладкую гомотопию многообразий будем понимать, следуя \cite{1, c.~44.}

{\bf Теорема 1}
Если гладкие отображения многообразий $f,g:M\rightarrow N$ гладко гомотопны,
то они порождают одинаковые морфизмы
$f^*=g^*:H^1(N,A)\rightarrow H^1(M,A).$

\underbar{Доказательство}
может быть получено из имеющегося соответствия НКдР с неабелевыми
когомологиями, определяемыми с помощью пучков \cite3.
Возможно, однако, прямое доказательство на языке дифференциальных форм.
При этом сначала устанавливается изоморфизм: \break
$H^1(M,A)\cong H^1(M\times\Bbb R,A),$
для чего с использованием
представления $\alpha=\alpha_0(x,t)dt+\alpha'(x,t)$ (в котором:
$x\in M,$ $t\in\Bbb R;$ $\alpha_0(x,t)\ -$ функция на $M\times\Bbb R;$
$\alpha'(x,t)\ -$ 1-форма на $M\times\Bbb R,$ не содержащая $dt)$
доказывается эквивалентность формы
$\alpha$ форме
$\alpha'_0,$ определяемой
равенством $\alpha'_0(x,t)=\alpha'(x,0).$
Для доказательства эквивалентности форм решается (на $M\times\Bbb R)$
дифференциальное уравнение $dQ=\alpha Q-Q\alpha'_0.$

Из теоремы 1 следует, что многообразия одинакового (гладкого)
гомотопического типа имеют изоморфные НКдР.

В работе \cite4 доказывается следующий результат.

{\bf Теорема 2} (С.В.Шорохов).
Если многообразие $W$ односвязно, то
\break
$H^1(M\times W,A)\cong H^1(M,A).$

\underbar{Доказательство}
С.В.Шорохова основано на упомянутом соотношении с пучковыми неабелевыми
когомологиями. И снова можно предложить прямое вычисление, основным
этапом которого является доказательство совпадения на
$\widetilde M\times \{w_0\}\subset\widetilde M\times W$
(где $w_0\ -$ отмеченная точка в $W)$
фундаментальных решений $\Phi_{\alpha}$ и $\Phi_{\alpha_0},$
соответствующих формам $\alpha$ и
$\alpha_0=(i\circ p)^*\alpha,$ где $i:M\rightarrow M\times W\ -$
вложение, а $p:M\times W\rightarrow M\ -$ проекция.

\subhead\indent
3. Неабелевы когомологии $H^1(\Bbb RP^2,\frak s\frak u(2))$
\endsubhead
Рассмотрим пример вычисления неабелевых когомологий:
$M=\Bbb RP^2;$ $\widetilde M=S^2;$ $\Gamma\cong\Bbb Z^*;$
элемент $-1\in\Bbb Z^*$ действует на $S^2$ как инверсия;
$A=SU(2);$ $\frak a=\frak s\frak u(2);$
классифицирующим отображением является:
$\widehat\sharp:H^1(\Bbb RP^2,SU(2))\rightarrow
\widehat{\text{Hom}}(\Bbb Z^*,SU(2)),$
где, как нетрудно показать,
множество классов сопряженности гомоморфизмов изоморфно двухэлементному
множеству \linebreak
$\{I,-I\}.$

{\bf Теорема 3}
Множество НКдР
проективной плоскости $\Bbb RP^2$
с коэффициентами в группе $SU(2)$ изоморфно
$\{I,-I\}.$

\underbar{Доказательство}
представляет собой явное построение коцикла
\break
$\alpha\in\Cal L(\Bbb RP^2,\frak s\frak u(2))$
такого, что $\alpha^{\sharp}(-1)=-I.$
Форма $\alpha$ получается как результат
опускания на $\Bbb RP^2$ (инвариантной относительно инверсии) формы
$\beta$ на $S^2,$ заданной в координатах объемлющего $\Bbb R^3$
формулой
$\beta(y)=$
\break $\beta_1(y)dy^1+\beta_2(y)dy^2+\beta_3(y)dy^3;$ $y\in S^2,$
где
$$
\beta_1(y)=-y_2\pmatrix{ 0&i\cr i&0}
+y_3\pmatrix 0&1\\-1&0\endpmatrix;\
\beta_2(y)=y_1\pmatrix{ 0&i\cr i&0}
-y_3\pmatrix{ i&0\cr 0&-i};
$$
$$
\beta_3(y)=-y_1\pmatrix{ 0&1\cr -1&0}
+y_2\pmatrix{ i&0\cr 0&-i}.
$$

%Фундаментальным решением, соответствующим форме $\alpha$ (и
%отмеченной точке $y_0=(1,0,0)),$ является функция
%$$
%\Phi_{\alpha}(y)=\pmatrix{ y_1&-y_3+y_2i\cr y_3+y_2i&y_1}.
%$$

\subhead\indent
4. Абелевы когомологии, порождаемые неабелевыми ко\-цик\-ла\-ми, и
муль\-ти\-пли\-ка\-тив\-ные структуры в них
\endsubhead
В этом пункте мы рассмотрим случай полной линейной алгебры
$\frak a=\frak g\frak l(n,\Bbb P)$  и будем использовать не только лиевскую,
но и ассоциативную структуру алгебры $\frak a.$ Из условия полной
интегрируемости формы $\alpha$ (в ассоциативных терминах оно
выглядит так:
$d\alpha=\alpha\land\alpha)$ следуют свойства
$d_{\alpha}^2=0;$ $\delta_{\alpha}^2=0$ для операторов
$d_{\alpha}^{(p)},\delta_{\alpha}^{(p)}:
\Lambda^p(M,\frak a)\rightarrow\Lambda^{p+1}(M,\frak a),$
определяемых формулами:
$d_{\alpha}^{(p)}\omega=d\omega-\alpha\land\omega;$
$\delta_{\alpha}^{(p)}\omega=d\omega+(-1)^p\omega\land\alpha,$
где $\omega\in\Lambda^p(M,\frak a);$ $p=0,1,\,\dots,\,n-1;$ $n=\text{dim}(M).$

Таким образом, возникают так называемые возмущенные комплексы де Рама
\cite5 и определяются соответствующие когомологии~-- линейные
пространства:
$$
H_{\alpha}^p(M,\frak a)=\text{Ker}\ d_{\alpha}^{(p)}/
\text{Im}\ d_{\alpha}^{(p-1)};
\ {}'H_{\alpha}^p(M,\frak a)=\text{Ker}\ \delta_{\alpha}^{(p)}/
\text{Im}\ \delta_{\alpha}^{(p-1)}.
$$

Для случая $\alpha=0$ когомологии $H_0^p={}'H_0^p$ совпадают с обычными
дерамовскими когомологиями. Легко проверяются следующие свойства
дифференциалов $d,$ $d_{\alpha},$ $\delta_{\alpha}:$
$$
%\align
d_{\alpha}(\xi\land\eta)=d_{\alpha}\xi\land\eta+(-1)^p\xi\land d\eta;\
\delta_{\alpha}(\xi\land\eta)=d\xi\land\eta+
(-1)^p\xi\land\delta_{\alpha}\eta;
$$
$$
d(\xi\land\eta)=\delta_{\alpha}\xi\land\eta+(-1)^p\xi\land d_{\alpha}\eta,
\eqno(2)
%\endalign
$$
где $\xi\in\Lambda^p(M,\frak a),$ $\eta\in\Lambda^q(M,\frak a).$ Свойства
(2) позволяют корректным образом ввести некоторые мультипликативные
структуры в ``возмущенных когомологиях де Рама"
$$
H_{\alpha}^*(M,\frak a)=\bigoplus_{p=0}^n H_{\alpha}^p(M,\frak a);
\ {}'H_{\alpha}^*(M,\frak a)=\bigoplus_{p=0}^n{}'H_{\alpha}^p(M,\frak a),
$$
а именно:

1) пространство $H_{\alpha}^*(M,\frak a)$ превращается в правый модуль
над кольцом $K=H_0^*(M,\frak a)$ (дерамовских когомологий многообразия
$M$ с коэффициентами в ассоциативной алгебре $\frak a)$ относительно
умножения
$$
m_1:H_{\alpha}^*(M,\frak a)\times K\rightarrow H_{\alpha}^*(M,\frak a);
\ m_1([\xi]_{\alpha},[\eta]_0)=[\xi\land\eta]_{\alpha};\eqno(3)
$$

2) пространство ${}'H_{\alpha}^*(M,\frak a)$ превращается в левый
$K$-модуль относительно умножения
$$
m_2:K\times {}'H_{\alpha}^*(M,\frak a)\rightarrow {}'H_{\alpha}^*(M,\frak a);
\ m_2([\xi]_0,{}'[\eta]_{\alpha})={}'[\xi\land\eta]_{\alpha};\eqno(4)
$$

3) определяется спаривание
$$
m_3:{}'H_{\alpha}^*(M,\frak a)\times H_{\alpha}^*(M,\frak a)\rightarrow K;
\ m_3({}'[\xi]_{\alpha},[\eta]_{\alpha})=[\xi\land\eta]_0.\eqno(5)
$$

Рассмотрим следующие категории:

-- категорию {\bf MANFORM}, объектами которой служат пары \break $(M,\alpha),$
где $M\ -$ гладкое многообразие $\alpha\in\Cal L^1(M,\frak a),$
а морфизмами $f:(N,\beta)\rightarrow(M,\alpha)$ служат гладкие отображения
$f,$ ``согласованные с формами":
\break
$f^*\alpha=\beta;$

-- категорию {\bf LMOD}, объектами которой служат всевозможные
пары $(K,G),$ где $K\ -$ кольцо, а $G\ -$ левый
$K$-мо\-дуль,
а морфизмами из $(K,G)$ в $(K',G')$
служат пары
$(h_1,h_2),$ где $h_1:K\rightarrow K'\ -$ гомоморфизм колец, а
$h_2:G\rightarrow G'\ -$ гомоморфизм абелевых групп, согласованный
с модульными структурами, т\.е\. удовлетворяющий условию
$h_2(k\cdot g)=h_1(k)\cdot h_2(g);$ $k\in K,$ $g\in G;$

-- аналогично определяемую категорию правых модулей {\bf RMOD}.

Справедливы следующие две теоремы.
{\bf Теорема 4}
Когомологии $H_{\alpha}^*(M,\frak a)$  и ${}'H_{\alpha}^*(M,\frak a)$
представляют собой контравариантные функторы из категории
{\bf MANFORM} в категории
\break
{\bf RMOD} и {\bf LMOD}, причем морфизмы
модулей $(f^*,f^*),$ порожденные морфизмом
$f:(N,\beta)\rightarrow(M,\alpha),$ согласованы с умножением (5).

{\bf Теорема 5}
Калибровочное преобразование коциклов
$\alpha'=\rho(Q)\alpha,$
\break
$Q\in\Cal F_A(M),$ порождает изоморфизмы
$K$-модулей
$$
\align
L_Q:H_{\alpha}^*(M,\frak a)\rightarrow H_{\alpha'}^*(M,\frak a)&;\
L_Q[\xi]_{\alpha}=[Q\xi]_{\alpha'};
$$ $$
R_{Q^{-1}}:{}'H_{\alpha}^*(M,\frak a)\rightarrow
{}'H_{\alpha'}^*(M,\frak a)&;\
R_{Q^{-1}}{}'[\xi]_{\alpha}={}'[\xi Q^{-1}]_{\alpha'},
\endalign $$
сохраняющие инвариантным результат умножения (5).

\vskip .3 cm
\centerline{\bf Список использованной литературы}
\vskip .2 cm
\noindent\hangindent .5 cm
1. {\it Ботт Р., Ту Л.~В.}
Дифференциальные формы в алгебраической топологии.
М., 1989. 336~с.

\noindent\hangindent .5 cm  
2. {\it Крейн С.~Г., Яцкин Н.~И.}
Линейные дифференциальные уравнения
на многообразиях. Воронеж, 1980. 132~с.

\noindent\hangindent .5 cm  
3. {\it Онищик А.~Л.}
Некоторые понятия и применения теории неабелевых когомологий //
Тр. Моск. мат. о-ва. 1967. Т.~17. С.~45 -- 88.

\noindent\hangindent .5 cm  
4. {\it Шорохов С.~Н.}
О неабелевых когомологиях прямого произведения //
Вопросы теории групп и гомологической алгебры. Ярославль,
1991. С.~168 -- 169.

\noindent\hangindent .5 cm  
5. {\it Яцкин Н.~И.}
Умножения в $(d-\alpha\land)-$когомологиях //
Операторные методы в дифференциальных уравнениях. Воронеж, 1979. С.~138 -- 141.

\enddocument


