%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
%\nopagenumbers
\magnification=\magstep2
%\pagewidth{17 true cm}
%\vcorrection{-.5 true cm}
%\hcorrection{-.5 true cm}
\TagsOnRight
\pretitle{ \centerline{\bf { ����� ���� ����. ��⥬�⨪�. ��.~2}}
\centerline{\bf {�������, 1999}}

\noindent --------------------------------------------------------------------------------------------------
\vskip .1 cm
{��� 517.17
% ��� ���}
\vskip 0.3 cm
\centerline {\bf �.~�.~�����}
\vskip .3 cm
%\leftheadtext{\it �.~�.~�����}
%< ����� - ᮪p�饭��� �������� ��� �������㫠 >}
%\rightheadtext {\it �।�⠢����� ������䨧��� ���졥�⮢�� ����࠭�� \ \ }
%{< ����饭��� �������� ���� ��� �������㫠>}
\topmatter
%\vskip.2 cm
%\author %%%%%%%%%%% ����� ���� %%%%%%%%%%%%%
%�.�.�����
%\endauthor
\title
%%%%%%%%%%%% �������� ���� %%%%%%%%%%%%%%%%%
\centerline{\bf � ��������� �������������� }
\centerline{\bf ������������ ������������ �����������}
\endtitle
\abstract \nofrills
%%%%% ������� ���� %%%%%%%%%%%%%%%
\vskip .3 cm\noindent
����祭� ���ᠭ�� ��������᪨� �����஢ � ����� ��� ���졥�⮢��
����࠭��, ������饥 �������� ⥮६� ��孥� �� �������᪮� �ଥ
㭨���� �����஢ � $L_2(a,b)$.

\endabstract
\endtopmatter
\document
\pageno=1
\vskip .5 cm
\baselineskip11
%%%%%%%%%%%%%% ����� ���� %%%%%%%%%%%%%%%
�������� ���� ⥮६�, �����஢����� � [8],
���� ����⢥��� ����饭��� �����⭮� ⥮६�
��孥� [5] �� �������᪮� �ଥ 㭨���� �����஢ � $L^2(a,b)$
�� ��砩 ��������᪨� �����஢ (������䨧���) � ����� ��� ���졥�⮢��
����࠭��.

����� $H_k$, $k=1,2$ --- �������� ���졥�⮢� ����࠭�⢠ (����⢥��� ���
���������, ����筮���� ��� ��᪮��筮����); �१ $(\cdot\, ,\cdot)_k$ �
$\|\cdot\|_k$ ������砥� ᮮ⢥��⢥��� ᪠��୮� �ந�������� � ���� �
$H_k$. �㤥� ��ᬠ�ਢ��� ��������᪨� ������ $U_1$ �� $H_1$ �� $H_2$,
�.�. ������, �⮡ࠦ��騩 $H_1$ �� �� ����࠭�⢮ $H_2$ � ��࠭��騩
᪠��୮�
�ந��������: $(U_1f,U_1g)_2=(f,g)_1$ �� ��� $f$ � $g$ �� $H_1$. ��直�
⠪�� ������ $U_1$ ������, ��࠭�祭 � ���⨬ [2]; ����� ������
$U_2=U_1^{-1}=U_1^*$ ��������᪨ �⮡ࠦ��� $H_2$ �� $H_1$.

����� $E_k=\{e_{k\alpha}\mid \alpha\in J_k\}$ --- ������ ��⥬� ������⮢ �
$H_k$, �.�. �������� �����窠 $X_k$ ��⥬� $E_k$ ���⭠ � $H_k$.

�������� $m=2$ �� $k=1$ � $m=1$ �� $k=2$.

 {\bf ���६�} I. ����� $U_1$ --- ��������᪨� ������ �� $H_1$ ��
$H_2$, $U_2=U_1^{-1}$. ����� �� �������� ������ � $H_k$ ��⥬�� $E_k$
������� �� �����஢ $U_k$ $(k=1,2)$ ����� ���⠢��� � ᮮ⢥��⢨�
��।������� ��⥬� $B_k=\{b_{k\alpha}\mid \alpha\in J_m\}$ ������⮢
����࠭�⢠ $H_k$ ⠪��, �� ��� ��� ��������᪨� �����஢ �ࠢ������
᫥���饥 �।�⠢����� (�� ��� $f$ �� $H_k$  � $\alpha\in J_m$ ):
	$$
(U_kf,e_{m\alpha})_m=(f,b_{k\alpha} )_k.
\eqno{(1})
	$$

�� �⮬ ��⥬� $B_k$ �������� ᫥���騬� ᢮��⢠��:
	$$
(b_{k\alpha},b_{k\beta})_k=(e_{m\alpha},e_{m\beta})_m;\quad
(b_{k\alpha},e_{k\beta})_k=(e_{m\alpha},b_{m\beta})_m.
\eqno{(2)}
	$$

II. ���⭮, ��� ��� ��⥬� $B_1$ � $B_2$, 㤮���⢮���騥 �᫮���
$(2)$, ��஦���� ᮣ��᭮ $(1)$ ��������᪨� ������ $U_1$ ��
$H_1$ �� $H_2$ � ����� � ���� ������ $U_2$.

\underbar{������⥫��⢮} � ����⢥���� ᫥��� �奬� ������⥫��⢠
⥮६� ��孥� � [5] ( �. ⠪��  [6]).

I. ������⢮ (1) �������筮 ��।���� ��⥬� $B_k$; ����⢨⥫쭮, �� ����
᫥��� $b_{k\alpha}=U_k^*e_{m\alpha}=U_me_{m\alpha}$. � ᨫ� �������筮��
� �������� ᮯ�殮����� �����஢ $U_1$ � $U_2$ ����砥� ᮮ⭮襭�� (2)
� ����
	 $$
(U_me_{m\alpha},U_me_{m\beta})_k=(e_{m\alpha},e_{m\beta})_m,\quad
(U_me_{m\alpha},e_{k\beta})_k=(e_{m\alpha},U_ke_{k\beta})_m.
\eqno{(3)}
	 $$

II. ��।���� ������ $U_k$ $(k=1,2)$ �� ��⥬� $E_k$ �� ��㫥
$U_ke_{k\alpha}=b_{m\alpha}$. ����� �� (2) ��⥪��� ᮮ⭮襭�� (3).
��� ��� �� $n\in \text{\bf N}$, $e_{k\alpha_j}\in E_k$ � ���� ᪠����
$\lambda_j$ $(j=\overline{1,n})$ �� ��ࢮ�� ࠢ���⢠ (3) ᫥���
$\|\sum_{j=1}^n\lambda_jU_ke_{k\alpha_j}\|_m=
\|\sum_{j=1}^n\lambda_je_{k\alpha_j}\|_k$, � � ᨫ� ⥮६� 1(IV.1)[4]
������ $U_k$ ����� �த������ �� ��������� � $E_k$ �� $X_k$.
�� (3), ��������� $U_k$ �� $X_k$ � ����������� ᪠��୮�� �ந��������
��室��
	$$
(U_kf,U_kg)_m=(f,g)_k,\quad (U_kf,h)_m=(f,U_mh)_k
\eqno{(4)}
	$$
�� ��� $f\in X_k$, $g\in X_k$, $h\in X_m$. ��᪮��� �� �᫮��� $X_k$
���⭮ � $H_k$, � ������ $U_k$ ����� �த������ �� �����뢭��� �
$X_k$ �� $H_k$ � ��࠭����� ᢮��� (4) �� ���
$f\in H_k$, $g\in H_k$, $h\in H_m$, ��㤠 ��⥪��� �������筮��� � ��������
ᮯ�殮������ �த�������� ⠪�� ��ࠧ�� �����஢ $U_k$ $(k=1,2)$, �
��⭮��, $U_m=U_k^{-1}$. ����⠢��� $h=e_{m\alpha}$ �� ��஥ ࠢ���⢮
(4), ����砥� (1).

���६� ��������.

 {\bf ����砭�� 1}  ����� 1 ⥮६� ��⠥���
��୮� � � ����� ��饬 ��砥, ����� $U_1$ --- ������� ��࠭�祭�� ������
�� $H_1$ � $H_2$, $U_2=U_1^*$, �᫨ ⮫쪮 ��ࢮ� �᫮��� (2) ��������
�᫮����
$(b_{k\alpha},b_{k\beta})_k=(e_{m\alpha},U_kU_me_{m\beta})_m$ ��� ���
᫥��⢨�� $\|b_{k\alpha}\|_k\le M\|e_{m\alpha}\|_m$, ��� $M=\|U_1\|=
\|U_2\|$; ����砥� ����饭�� ����� �� ��饬 ���� ��࠭�祭����
��������� ������ � $L^2(\text{\bf R})$ �� [2, �.78].

 {\bf ����砭�� 2}  �� $H_1=H_2=L^2(a,b)$, $-\infty\le a<b\le +\infty$,
$E_1=E_2=\{e_y(x)\mid a<y<b\}$, ��� $e_y(x)=\, \text{sign}\, y$  �� $x$
�� $(a,b)$, ������ ����� 0 � $y$, � $e_y(x)=0$ �� $x$ �� $(a,b)$, ��
������ ����� 0 � $y$, ⥮६� �ॢ�頥��� � ⥮६� ��孥� [5] (���
�ࠢ�������� ��᫥���� � �� ��㫨஢�� � [5] ������ �।�� ��⥣�஢����
0 �㦭� ���� �������� �᫮� $c=\max (a,0)+\min (b,0)$). �� $a=-\infty$, $b=
+\infty$ �� �� ��⥬� $E_1$ � $E_2$ ᮮ⢥������ ����� �� [2],
㯮���⮩ � ����砭�� 1.

 {\bf ����砭�� 3} �᭮���� १���� (⥮६�) [6] ���� ���� ��砥�
⥮६� �����饩 ����, �᫨ �������� � �᫮���� � �ନ������� [6]
$E_k=\Omega_k$  � $B_k=\{B_k(y,x)/\rho_k(x)\mid y\in G_m\}$; �� �⮬
��⥬� $E_k$ �������� ����� � $H_k$, �᫨ $\mu_k$ --- ॣ��ୠ�
��५��᪠� ��� �� $G_k$ [9]. ������� �ਬ������ ⥮६� [6]
ᮤ�ঠ��� � [7].

 {\bf ����砭�� 4} � ��� II ⥮६� ��ࢮ� �᫮��� (2) � ��饬 ��砥 �����
�������� ��� ᫥��⢨��
	 $$
\|b_{k\alpha}\|_k=\|e_{m\alpha}\|_m.
\eqno{(5)}
	 $$

����⢨⥫쭮, � �ਢ������� ���� �ਬ��� a) � b) ��⥬� $B_k$ 㤮���⢮����
(5) � ��஬� �᫮��� (2), �� �� 㤮���⢮���� ��ࢮ�� �᫮��� (2):
a) $H_1=H_2=\text{\bf R}^2$, $E_1=E_2=\{e_1,e_2\}$, $B_1=B_2=\{b_1,b_2\}$,
��� $e_1=(1,0)$, $e_2=(0,1)$, $b_1=(\sqrt 3/2,1/2)$, $b_2=(1/2,\sqrt 3/2)$;
b)~ $H_1=H_2=L^2(0,+\infty)$, $E_1=E_2$ �� ����砭�� 2, $B_1=B_2=\{b_y(x)
\mid y>0\}$, ��� $b_y(x)=\sqrt 3xy^2$ �� $0<x<1/y$ � $b_y(x)=0$ �� $x\ge
1/y$.

 {\bf ����砭�� 5}
� ����� [10] �।�⠢��� ��ਠ�� ⥮६� ��孥� ��� ����⢥�����
���졥�⮢� ����࠭�⢠ $L^2(a,b)$, $-\infty<a<b<+\infty$, ᮮ⢥�����騩
$E_1=E_2$ �� ����砭�� 2 � ������ ��ࢮ�� �᫮��� (2) �� (5). ����� ����砭��
4 ������⥫��⢮ �⮩ ⥮६� � [10] �訡�筮; ����� � �ࠢ��������
⥮६� ��孥� � ��㫨஢�� [10] ��⠥��� ������. �� �� �訡��
��������� � [3].

 {\bf ����砭�� 6}  ����� ��࠭�祭�� ��� ����࠭�祭�� 
ᠬ�ᮯ�殮��� ������ $A$ � ᥯�ࠡ��쭮�
���졥�⮢�� ����࠭�⢥ $H$ ���� 横���᪨�, �.�. ������� �������
$\xi\in D(A)$ ⠪��, �� $A^n\xi\in D(A)$ $\forall n\in\text{\bf N}$ � ��⥬�
$E=\{A^n\xi\mid n\ge 0\}$ ����� � $H$. �����६ ���뢠���� �� $\text{\bf R}$
�㭪�� $\sigma (x)$ ⠪, �⮡� �� $H_1=H$, $H_2=L^2(\text{\bf R},d\sigma
(x))$, $E_1=B_1=E$, $E_2=B_2=\{x^n\mid n\ge 0\}$ �믮��﫨�� �᫮��� (2),
�.�.
	$$
\int_{-\infty}^{+\infty}x^n\, d\sigma (x)=c_n\quad (n\ge 0),
\eqno{(6)}
	$$
��� $c_n=(A^n\xi,\xi)$. ��� ��� $\forall N\ge 0$
�� $\sum_{n=0}^N|\alpha_n|\ne 0$
� ��⮬ �������� ������ᨬ��� $E$ �����
$\sum_{m=0}^N\sum_{n=0}^Nc_{m+n}\alpha_m\overline \alpha_n =
\|\sum_{n=0}^N\alpha_nA^n\xi\|^2>0$, � �஡���� �����⮢ (6) ࠧ�訬� [1],
� �᪮��� ���뢠��� �㭪�� $\sigma (x)$ �������. �� $k=1$
ࠢ���⢮ (1) �����뢠���� � ���� $(f,A^n\xi)_1=(U_1f,x^n)_2$, ��� $f\in H$ �
$n\ge 0$. ��� ��� $f\in D(A)$ � $n\ge 0$ ��室��
$(Af,A^n\xi)_1=(x\cdot U_1f,x^n)_2$, ᫥����⥫쭮, $U_1A=xU_1$, �.�.
������
$A$ 㭨�୮ ���������⥭ ������� 㬭������ �� ������ᨬ�� ��६����� $x$
� $H_2$. ����祭 ���� �� ��ਠ�⮢ ᯥ��ࠫ쭮� ⥮६� ��� 横���᪮��
ᠬ�ᮯ�殮����� ������. �� �⮬ ��� ����㤭� ������� � ����� ��騥
ᯥ��ࠫ�� ⥮६�.


\vskip .5 cm

\centerline{\bf ���᮪ �ᯮ�짮������ ���p���p�}
\vskip .3 cm
\noindent
\hangindent 0.5cm
1. {\it �娥��� �.~�.} ������᪠� �஡���� �����⮢. �., 1961. 312 c.

\noindent
\hangindent 0.5cm
2. {\it �娥��� �.~�., ������� �.~�.} ����� �������� �����஢ �
���졥�⮢��
����࠭�⢥. �., 1966. 544 �.

\noindent
\hangindent 0.5cm
3. {\it �ਭ�� �.~�.} �������᪠� �ଠ ��������᪨� �����஢ �
��ᮢ�� ����࠭�⢠� ���졥�� // ���. �� ���. ���. C��. 䨧.-���.
1983. $\No$ 3. �.~17 -- 20.

\noindent
\hangindent 0.5cm
4. {\it ����஢�� �.~�., ������ �.~�.} �㭪樮����� ������ � ��ନ஢�����
����࠭�⢠�. �., 1959. 684 �.

\noindent
\hangindent 0.5cm
5. {\it ���� �., ����䠫좨--���� �.} ���樨 �� �㭪樮���쭮�� �������.
�., 1979. 592 �.

\noindent
\hangindent 0.5cm
6. {\it ����� �.~�.} �������᪠� �ଠ ��������᪨� �����஢ � ��ᮢ��
���졥�⮢�� ����࠭�⢠� // ���. 1994. �.~49. ��.~2. �.~173 -- 174.

\noindent
\hangindent 0.5cm
7. {\it ����� �.~�.} ��⥣ࠫ�� �।�⠢����� ��������᪨� �����஢
� ��ᮢ�� ���졥�⮢�� ����࠭�⢠� � ������� �� �ਬ������ //
��. 7-� ���⮢᪮� ������ 誮�� ``����� �㭪権 � �ਡ�������''.
���⮢, 1995. �.~3. �.~117 -- 120.

\noindent
\hangindent 0.5cm
8. {\it ����� �.~�.} ���ᠭ�� ��������᪨� �����஢ � �����
���졥�⮢�� ����࠭�� // ��. ⥧. ����. � ���ਠ��� �.
����.-��. ����. ����. ���. ����.-��ந�. ����. �������, 1996.
�.~175.

\noindent
\hangindent 0.5cm
9. {\it ������ �.} ����� ����. �., 1953. 292 �.

\noindent
\hangindent 0.5cm
10.~{\it ����� �.~�., ��� �� ����.} ��⥣ࠫ, ��� � �ந������� �� ��������
����࠭�⢠�. �., 1967. 192 �.

\end
