%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
%\nopagenumbers
\magnification=\magstep2
%\pagewidth{17 true cm}
%\vcorrection{-.5 true cm}
%\hcorrection{-.5 true cm}
\TagsOnRight
\pretitle{ \centerline{\bf { ����� ���� ����. ��⥬�⨪�. ��.~2}}
\centerline{\bf {�������, 1999}}

\noindent --------------------------------------------------------------------------------------------------
\vskip .1 cm

��� 517.512.7
\vskip 0.3 cm
\centerline {\bf �.~�.~�����, �.~�.~������}
\vskip .3 cm
% ��� ���}
%\leftheadtext{\it �.~�.~�����, �.~�.~������ }
%< ����� - ᮪p�饭��� �������� ��� �������㫠 >}
%\rightheadtext{\it � �஡���� �����⥫�� � $l_p$}
%< ����饭��� �������� ���� ��� �������㫠>}
\topmatter
%\author %%%%%%%%%%% ����� ���� %%%%%%%%%%%%%
%����� �.�., ������ �.�.
%\endauthor
\title
%%%%%%%%%%%% �������� ���� %%%%%%%%%%%%%%%%%
\centerline{\bf � �஡���� �����⥫�� � $l_p$}
\centerline{\bf  ��� �������� ��⮭�ନ஢�����}
\centerline{\bf  ��⥬ �� ��᪮����� �஬���⪠�}
\endtitle
\abstract \nofrills
%%%%% ������� ���� %%%%%%%%%%%%%%%
\vskip .3 cm\noindent
������� �᫮���, ���ᯥ稢��騥 ��࠭�祭����� � $l_p$  $(1\le p<+\infty)$
�����஢ �����⥫��, �易���� � ������묨 ����묨 ��⮭�ନ஢���묨
��⥬��� � ��ᮢ�� ���졥�⮢�� ����࠭�⢠� ������筮 �㬬��㥬��
�㭪権 �� ��᪮����� �஬���⪠� �᫮��� ��.

\endabstract
\endtopmatter
\document
\pageno=1
\def\ffi{\varphi}
\def\ctg{\, \text{\rm ctg}\,}
\def\arctg{\,\text{\rm arctg}\,}
\vskip .5 cm
%%%%%%%%%%%%%% ����� ���� %%%%%%%%%%%%%%%

{\bf 1.} ����� $X$ --- ����࠭�⢮ � $\sigma$-����筮� ��ன $\mu$,
$E=\{e_n(x)\}$
--- ��⮭�ନ஢����� ������ ��⥬� (����) � $L_2(X,\mu )$.
�� $\ffi\in L_\infty (X,\mu)$ ��� ��类� 䨭�⭮� �᫮���
��᫥����⥫쭮�� $\{a_n\}$
��ᬮ�ਬ ��᫥����⥫쭮��� $\{b_n\}$ �����樥�⮢ ���� �㭪樨 \break
$\varphi (x)\sum\limits_na_ne_n(x)$ �� ��⥬� $E$. �⭥ᥬ �㭪�� $\ffi$
� ������ $M_p(E)$,  $1\le p<+\infty$, �᫨
��஦����� �� ������� ``������ �����⥫��'' $\Phi(E)$, ᮯ��⠢���騩
��᫥����⥫쭮�� $\{a_n\}$ ��᫥����⥫쭮��� $\{b_n\}$, ��࠭�祭 �
$l_p$. �஡���� �����⥫�� � $l_p$ ��⮨� � ���ᠭ�� �������� �����
�ப�� ����ᮢ �㭪権 �� $M_p(E)$ �� $p\ne 2$ (� ᨫ� ࠢ���⢠ ���ᥢ���
$M_2(E)=L_\infty (X,\mu))$. �᫨ $\ffi \in M_p(E)$, � ������ $\Phi (E)$
����⢥��� ��ࠧ��
�த�������� �� �� ����࠭�⢮ $l_p$ � ��࠭����� ����; $M_p(E)$ ����
����客� ����࠭�⢮� �⭮�⥫쭮 ����
$\|\ffi\|_{p,E}\equiv \|\Phi(E)\|_{l_p\to l_p}$.

�᭮��� १����� �� �ਣ��������᪮� �஡���� �����⥫�� � $l_p$
(��� ���� $T=\{e^{2\pi inx}\}_{n=-\infty}^{+\infty}$ � $L_2(0,1)$)
����祭� �.~�.~��窨�� [5] � �.~���謠��� [10].
����� $C^\alpha [a,b]$, $0<\alpha <1$, --- ����� �㭪権, 㤮���⢮�����
�᫮��� ����� � ������⥫�� $\alpha$ �� $[a,b]$; $V_\beta [a,b]$,
$1\le\beta <\infty$, --- ����� �㭪権 ��࠭�祭��� $\beta$--��ਠ樨 ��
$[a,b]$.
�.~�.~ ��窨� ��⠭����, ��
$V_1[0,1]\subset M_p(T)$ �� $1<p<\infty$. � [10] �������� ��᪮�쪮 ⥮६, �� ������ �⬥⨬ ��
(��ࢠ�, ���� � ����� ⥮६� ���謠��): 1) $C^\alpha [0,1]\subset M_p(T)$,
$0<\alpha\le 1/2$, $|1/p-1/2|<\alpha$;
2)~ $(V_\beta \cap C^\alpha )[0,1]\subset M_p(T)$, $\beta \ge 2$,
$\alpha >0$, $|1/p-1/2|<1/\beta$;
3) $V_\beta [0,1]\subset M_p(T)$, $\beta >1$, $|1/p-1/2|<1/(2\beta)$.


� ���쭥�襬 �.~�.~��ଠ� � �.~�.~������ [2] (�. ⠪�� [4]) ��������, ��
�ਣ��������᪠� �஡���� �����⥫�� � $l_p$ ����� ���� ������� � �����
�奬� ������� �������� ��⥣ࠫ�� �⨫���. �� �⮬ ��� १�����
�.~�.~��窨�� � �.~���謠��, � ⠪�� �� ��������� ������� ��������� ���
���� ��砨 ����� ���� ⥮६.

�।�⠢��� ����� ���祭�� �஡���� �����⥫�� � $l_p$ � ��� ��㣨�
��⥬ $E$. �⮬� ���ࠢ����� ����饭� ࠡ��� [3], [7]--[9]. ����⨬, ��
१����� �� �஡���� �����⥫�� � $l_p$ ����⢥��� ������� �� �롮�
��⥬� $E$. � [8] �������� ᫥���饥 �⢥ত����: �᫨ $p\ne 2$, � ���
�� $\ffi \ne \text{\rm const}$ ������� ���� $E$ ⠪��, �� $\ffi \notin
M_p(E)$.

� ���� �.~�.~��ᨫ쥢�� [3] ����祭 ������ ��ࢮ� ⥮६� ���謠�� ��� ��⥬�
���� � $L_2(0,1)$. � [7] �������� ᫥����� ⥮६�  (�������� १����
�.~�.~��ᨫ쥢��): ����� $E$ --- ��⥬� ���� � $L_2(0,1)$, $\ffi\in
V_\beta[0,1]$ � $1\le\beta <2$, $1\le p<\infty$ ��� $\beta\ge 2$, $|1/p-1/2|
<1/\beta$; ⮣�� $\ffi\in M_p(E)$. �������⭮, ��७ �� ������ �⮩ ⥮६�
��� �ਣ��������᪮� ��⥬� $T$. � [8] ����祭� ������� ��ࢮ� � ��ன
⥮६ ���謠�� ��� ��⥬ ��������᪨� �����童���. � ࠡ�� [9]
������� ������� �᫮��� ��� �ਭ��������� �㭪樨 $\ffi\in L_\infty
(\text{\bf R})$ ������ $M_1(H)$, ��� $H=\{\widehat H_n(x)\}_{n=0}^\infty$ ---
���� �����童���
�ନ� � ����࠭�⢥ $L_2(\text{\bf R}, e^{-x^2}\, dx)$. ���㫨�㥬 ���
१����: ����� $H_1^s\equiv \{f\mid f, f'\in L_1(\text{\bf R}), \|f'(x+t)-
f'(x)\|_{L_1(R)}\le Ct^{s-1} \forall t\in (0,1)\}$, $s\in (1,2)$. �����,
�᫨ $x^j\ffi (x)\in H_1^s$ �� $j=0,1,2,3$ � $s>3/2$ �, �஬�
⮣�, $|x|^\delta \ffi (x)\in L_1(\text{\bf R})$  �� $\delta >
14/3$, � $\ffi (x)\in M_1(H)$.

{\bf 2.} ���ᬮ�ਬ ���졥�⮢� ����࠭�⢮ $L_{2, \sigma}(c,d)=
\{f\mid \sigma f\in L_2(c,d)\}$, ��� $-\infty \le c<d\le +\infty$, � �㭪��
$\sigma$ ����ਬ� � ������⥫쭠 �� $(c,d)$.
�����୮� �ந�������� � $L_{2, \sigma}(c,d)$
�������� ��㫮� $(f,g)=\int_c^df(x)\overline{g(x)}\sigma
^2(x)\, dx$.

�����  $H_k=L_{2, \sigma_k}(c_k,d_k)$  �� $k=1,2$. ����� $h$ ---
�����뢭� ����७��㥬�� �㭪��, ������� �������筮 �⮡ࠦ����
$(c_1,d_1)$ ��
$(c_2,d_2)$, ��祬 $h'(x)\ne 0$ $\forall x\in (c_1,d_1)$; $q=h^{-1}$ ---
���⭠� � $h$ �㭪��.

����� $\alpha (x)$ --- ����ਬ��  �� $(c_2,d_2)$ �㭪�� � $|\alpha (x)|=1$
$\forall x\in (c_2,d_2)$. ����㤭� 㡥������, �� ������� ������ $U$,
��।������ �� ��㫥 $(Uf)(x)=\alpha (x)f(q(x))\sigma_1(q(x))\sqrt{|q'(x)|}
/\sigma_2(x)\quad (c_2<x<d_2)$, ���� ��������᪨� �����஬ ��
���졥�⮢� ����࠭�⢠ $H_1$ �� ���졥�⮢� ����࠭�⢮ $H_2$ (�. [1]).
����� $E=\{e_n\}$ --- ���� � $H_1$, $\widetilde E=UE=\{\widetilde e_n\}$, ���
$\widetilde e_n=Ue_n \forall n$. � ᨫ� �������筮�� ������ $U$  ��⥬�
$\widetilde E$ ���� ���� � $H_2$.

����� $p\in [1,+\infty)$, $\psi\in L_{\infty,\sigma_1}(c_1,d_1)$. ����� ���
��类� 䨭�⭮� �᫮���
��᫥����⥫쭮�� $\{a_n\}$ ����� $f=\sum\limits_na_ne_n$, $\psi f=
\sum\limits_nb_ne_n$ � $H_1$. �ਬ���� � �⨬ ࠢ���⢠� � $H_1$
��������᪨� ������ $U$, ����砥� $Uf=\sum\limits_na_n\widetilde e_n$,
$U(\psi f)=\sum\limits_nb_n\widetilde e_n$ � $H_2$. ��� ��� $U(\psi f)=
\ffi\cdot Uf$, ��� $\ffi (x)\equiv \psi (q(x))$, � $\Psi (E)=
\Phi (\widetilde E)$. ��� ��⥪���

 {\bf ���६� 1} �⢥ত���� $\psi \in M_p(E)$ �
$\ffi \in M_p(\widetilde E)$ ࠢ��ᨫ��. �� �⮬ $\|\ffi\|_{p,\widetilde E}
=\|\psi \|_{p,E}$.

{\bf 3.} �����$H_1=L_2(0,1)$, $H_2=L_2(\text{\bf R})$, $h(x)=-\ctg (\pi x)$,
$|\alpha (x)|=1$  $\forall x\in\text{\bf R}$. ����� $\sigma_1=\sigma_2\equiv
1$, $q(x)=1/2+(1/\pi)\arctg x$. �����᭮ $\text{\rm n}^0 2$ ����砥�:
$(Uf)(x)=\alpha (x)f(1/2+(1/\pi)\arctg x)/\sqrt{\pi (1+x^2)}$, ��� $f\in H_1$,
$x\in \text{\bf R}$. ����� $E=T$, ⮣�� �� ���� $\widetilde e_n(x)=
(Ue^{2\pi inx})(x)$ ��室��
         $$
\widetilde e_n(x)=\alpha (x)[(x-i)/(x+i)]^n/
\sqrt{\pi (1+x^2)}, \quad n\in\text{\bf Z}.
\eqno{(1)}
	$$
� ��⭮��, ����� ����� ��������
$\alpha (x)\equiv 1$; ��  $\alpha (x)=|x+i|/(x+i)$ ����砥� $\widetilde
e_n(x)=(1/\sqrt \pi)(x-i)^n/(x+i)^{n+1}$. �� ⥮६� 1 ᫥���

 {\bf ���६� 2} ����� $\widetilde E=\{\widetilde e_n(x)\}_{n=-\infty}^
{+\infty}$ ---  ���� � $L_2(\text{\bf R})$, ��।������� ᮣ��᭮ $(1)$,
$\ffi\in L_\infty
(\text{\bf R})$,  $\psi (x)=\ffi (-\ctg \pi x)$   $\forall x\in (0,1)$,
$1\le p<\infty$. ����� �⢥ত���� $\ffi\in M_p(\widetilde E)$ � $\psi \in
M_p(T)$ ࠢ��ᨫ��; $\|\ffi\|_{p,\widetilde E}=\|\psi\|_{p,T}$.

�� ⥮६� 2 � १���⮢ �.~�.~��窨�� � �.~���謠�� �� �ਣ��������᪮�
�஡���� �����⥫�� � $l_p$ ����砥� ᫥������ ⥮६�.

{\bf ���६� 3} ����� $\widetilde E=\{\widetilde e_n(x)\}_{n=-\infty}^
{+\infty}$ ---  ���� � $L_2(\text{\bf R})$, ��।������� ᮣ��᭮ $(1)$,
$\psi\in L_\infty
(0,1)$, $\ffi(x)=\psi (1/2+(1/\pi)\arctg x)$ $\forall x\in \text{\bf R}$.
����� :

$1)$ �᫨ $\psi \in V_1[0,1]$, � $\ffi\in M_p(\widetilde E)$  $\forall p\in
(1,\infty)$;

$2)$ �᫨ $\psi \in C^\alpha [0,1]$, ��� $0<\alpha\le 1/2$, �
$\ffi\in M_p(\widetilde E)$ �� $|1/p-1/2|<\alpha$;

$3)$ �᫨ $\psi\in (V_\beta \cap C^\alpha)[0,1]$, ��� $\beta \ge 2$,
$\alpha >0$, �
$\ffi\in M_p(\widetilde E)$ �� $|1/p-1/2|<1/\beta$;

$4)$ �᫨ $\psi\in V_\beta [0,1]$, ��� $\beta >1$, �
$\ffi\in M_p(\widetilde E)$ �� $|1/p-1/2|<1/(2\beta)$.

{\bf 4.} ����� $H=\{\widehat H_n(x)\}_{n=0}^\infty$ --- ����
�����童��� �ନ�
$\widehat H_n(x)=(-1)^n\pi ^{-1/4}(n!)^{-1/2}2^{-n/2}e^{x^2}(e^{-x^2})^{(n)}$
� $L_2(\text{\bf R}, e^{-x^2}\, dx)$.
�� ${\alpha >-1}$ \break
$L_{(\alpha)}=\{\widehat L_{n,\alpha}(x)\}_{n=0}^\infty$ ����
���� ����饭��� �����童��� ������ \break
$\widehat L_{n,\alpha}(x)=(-1)^n
[n!\Gamma(\alpha +n+1)]^{-1/2}x^{-\alpha}e^x(x^{n+\alpha}e^{-x})^{(n)}$
� \hfill\break
$L_2((0,+\infty),x^\alpha e^{-x}\, dx)$.

{\bf ���६� 4} ����� $\psi (x)$ --- �⭠� �㭪�� ��
$L_\infty (\text{\bf R})$, $1\le p<+\infty$, $\ffi (x)=
\psi (\sqrt x)$ �� $x>0$. ����� �⢥ত���� {\rm 1)} $\psi\in M_p(H)$ �
{\rm 2)} $\ffi \in M_p(L_{(-1/2)})\cap M_p(L_{(1/2)})$  ࠢ��ᨫ��; �� �⮬
$\|\psi\|_{p,H}=\max (\|\ffi\|_{p,L_{(-1/2)}},\|\ffi\|_{p,L_{(1/2)}})$.

\underbar{������⥫��⢮}. �����᭮ [6] �����
       $$
\widehat L_{n,-1/2}(x)=\widehat H_{2n}(\sqrt x),\quad
\widehat L_{n,1/2}(x)=\widehat H_{2n+1}(\sqrt x)/\sqrt x.
\eqno{(2)}
       $$

�������, �� �� 1) ��⥪��� 2). �����
$\psi\in M_p(H)$. �� ������ $j\in \{0;1\}$ ��� ��类� 䨭�⭮� �᫮���
��᫥����⥫쭮�� $\{a_{2n+j}\}_{n=0}^\infty$ ����ந� ��᫥����⥫쭮���
$\{b_{2n+j}\}_{n=0}^\infty$ �� �ࠢ���
       $$
\ffi (x)\sum_{n=0}^\infty a_{2n+j}\widehat L_{n,j-1/2}(x)=
\sum_{n=0}^\infty b_{2n+j}\widehat L_{n,j-1/2}(x),
\eqno{(3)}
       $$
��� ࠢ���⢮ ��ᬠ�ਢ����� � $L_2((0,+\infty),x^{j-1/2}e^{-x}\, dx)$.
� ᨫ� (2), �⭮�� $\psi$, $\widehat H_{2n}$ � ���⭮��
$\widehat H_{2n+1}$ ࠢ���⢮ (3) ����� ������� � ����
       $$
\psi (x)\sum_{n=0}^\infty a_{2n+j}\widehat H_{2n+j}(x)=
\sum_{n=0}^\infty b_{2n+j}\widehat H_{2n+j}(x) \quad\text{\rm �}\hskip .2 cm
L_2(\text{\bf R}, e^{-x^2}\, dx).
\eqno{(4)}
       $$
��᪮��� $\psi\in M_p(H)$, � $\sum_{n=0}^\infty |b_{2n+j}|^p\le\|\psi\|
_{p,H}^p \sum_{n=0}^\infty |a_{2n+j}|^p$ $\forall j\in \{0;1\}$.
�� ⮣��, ����� (3),  ����砥� $\ffi \in M_p(L_{(-1/2)})\cap M_p(L_{(1/2)})$ �
$\max (\|\ffi\|_{p,L_{(-1/2)}},$  $\|\ffi\|_{p,L_{(1/2)}})\le\|\psi\|_{p,H}$.

�������, �� �� 2) ᫥��� 1). �����
$\ffi \in M_p(L_{(-1/2)})\cap M_p(L_{(1/2)})$.
��� �� 䨭�⭮� ��᫥����⥫쭮�� $\{a_n\}
_{n=0}^\infty$ ��ந� ��᫥����⥫쭮��� $\{b_n\}_{n=0}^\infty$ ��
��㫥 $ \psi (x)\sum_{n=0}^\infty a_n\widehat H_n(x)=
\sum_{n=0}^\infty b_n\widehat H_n(x)$ � $L_2(\text{\bf R}, e^{-x^2}\, dx)$.
���뢠� �⭮��� $\psi$ � $\widehat H_{2n}$, � ⠪�� ���⭮���
$\widehat H_{2n+1}$, ��ࠢ������ �� �⤥�쭮�� ��� � ����� ����������
����� ��⥩ ��᫥����� ࠢ���⢠. ����砥� ࠢ���⢮ (4), �.�., ����� (2),
ࠢ���⢮ (3) �� $j=0$ � $j=1$ ᮮ⢥��⢥���. ��᪮��� $\forall j\in
\{0;1\}$ ����� $\ffi \in M_p(L_{(j-1/2)})$, � �� (3) ᫥��� \hfill\break
$\sum_{n=0}^\infty |b_{2n+j}|^p\le\|\ffi\|_{p,L_{(j-1/2)}}^p\cdot
\sum_{n=0}^\infty |a_{2n+j}|^p$. �⠪, $\psi \in M_p(H)$ � \hfill\break
$\|\psi\|_{p,H}
\le\max (\|\ffi\|_{p,L_{(-1/2)}},\|\ffi\|_{p,L_{(1/2)}})$.

���६� ��������.
�� ⥮६� 4 � �᭮����� १���� [9] ��⥪���

{\bf ���६� 5} ����� $\ffi\in L_\infty (0,+\infty )$ � �믮�������
��� �᫮���: \hfill\break $1)$ $x^j\ffi (x^2)\in H_1^s$ �� $j=0,1,2,3$ � $s>3/2$;
$2)$ $x^\eta \ffi (x)\in L_1(0,+\infty )$ �� $\eta >11/6$. �����
$\ffi\in M_1(L_{(-1/2)})\cap M_1(L_{(1/2)})$.

\vskip .3 cm
\centerline{\bf ���᮪ �ᯮ�짮������ ���p���p�}
\vskip .2 cm
\noindent
\hangindent 0.5cm
1. {\it �娥��� �.~�., ������� �.~�.} ����� �������� �����஢ �
���졥�⮢�� ����࠭�⢥. �., 1966. 544 �.

\noindent
\hangindent 0.5cm
2. {\it ��ଠ� �.~�., ������ �.~�.} ������ ������� ��⥣ࠫ� �⨫��� //
�஡���� ��⥬���᪮� 䨧���. �., 1967. �.~26 -- 60. (��./���; ��.~2.)

\noindent
\hangindent 0.5cm
3. {\it ��ᨫ쥢� �.~�.} � �஡���� �����⥫�� � $l_p$  ��� ��⮣������� �冷�
�� ��⥬� ���� // ��. ���. ����. 1967. �.~328. �.~13 -- 18.

\noindent
\hangindent 0.5cm
4. {\it ������ �.~�.} � �࠭��ଠ���, ��஦������ �����묨 ������묨
��⥣ࠫ��� �⨫��� // ���. ����. ᥬ���஢ ����. 1967. �.~5. �.~201 -- 231.

\noindent
\hangindent 0.5cm
5. {\it ��窨� �.~�.} � ���������� �ଠ� // ��� ����. 1950. �.~71.
$\No$ 3.
�.~237 -- 240.

\noindent
\hangindent 0.5cm
6. {\it ��⨭ �.~�.} ������᪨� ��⮣������ �����童��. �., 1979. 416 �.

\noindent
\hangindent 0.5cm
7. {\it ����� �.~�.} � �஡���� �����⥫�� � $l_p$ // ����. ���. ��⥬�⨪�.
��堭���. ���஭����. 1973.
��.~1. �.~142 -- 144.

\noindent
\hangindent 0.5cm
8. {\it  ����� �.~�.} � �஡���� �����⥫�� � ����࠭�⢠� $l_p$ ���
��⮣������� �冷� �� ��������᪨� �����童��� // �஡����
��⥬���᪮�� �������. �., 1973. �.~114 -- 127. (��./���; ��.~4).

\noindent
\hangindent 0.5cm
9. {\it  ����� �.~�.} �� �᫮���� ��࠭�祭���� � $l_1$ ������ �����⥫��
��� ��⮣������� �冷� ���� -- �ନ�. �������, 1979. 18 �. ���. � ������
03.12.79, $\No$ 4085-79.

\noindent
\hangindent 0.5cm
10. {\it Hirschman I.~I.} On multiplier transformations // Duke Math. J. 1959.
Vol.~26. $\No$ 2. P.~221 -- 242.
\pagebreak
\end
