%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
%\nopagenumbers
\magnification=\magstep2
%\pageheight{26.5 true cm}
%\pagewidth{17 true cm}
%\vcorrection{-.5 true cm}
%\hcorrection{-.5 true cm}
\TagsOnRight
\pretitle{ \centerline{\bf { ����� ���� ����. ��⥬�⨪�. ��.~2}}
\centerline{\bf {�������, 1999}}

\noindent --------------------------------------------------------------------------------------------------
\vskip .1 cm
��� 517.11
\vskip .2 cm
\centerline{\bf �.�.�����p�����, �.�.��������}
\vskip .2 cm
%\leftheadtext{\it �.�.�����p�����, �.�.��������}
%\rightheadtext{\it �� �������� ⥮p��� �p�⥭����}
\topmatter
%\author �.�.�����p�����, �.�.��������
%\endauthor
\title{\bf\noindent
�� �������� ⥮p��� �p�⥭���� ��� �p���p���� � ᢮��⢠��,
�������� � ������⭮��
}\endtitle
\abstract \nofrills
\vskip .3 cm\noindent
���ᬠ�p������� ������� ⥮p��� �p�⥭���� ��� �p���p���� � \break ᢮��⢠��,
�������� � ������⭮�� � ��⭮� ������⭮��. ����祭�� p�������
��������� ����饭�� ⥮p��� �p�⥭����, �p��������� �.~�.~�ᠭ��� �
�.~�.~����窮 � [2].
\endabstract
\endtopmatter
\document
\pageno=1
\vskip 0.5 cm
%\define\1{\hskip 2 pt \Longrightarrow \hskip 2 pt}
%\define\Longrightarrow{\Longrightarrow}
%\vskip -.5 cm
\centerline{\bf 1. ��������}

����� $C_p(X)$ -- �p���p���⢮ ��� ���p�p뢭�� ����⢥���������
�㭪権, ��p��������� �� ⮯������᪮� �p���p���⢥ $X,$ � ⮯�������
����筮� �室�����. �.�p�⥭����� [6] �뫠 ��������

{\bf 1.1. ���p���} �᫨ �p���p���⢮ $X$ ��⭮ ������⭮ �
$F \subseteq C_p(X)$ ��⭮ ������⭮ � $C_p(X),$ � ���몠��� $F$ �
$C_p(X)$ ���� �������.

�.�.�p堭����᪨� � [1] �뤥��� �p� ���p������� � ����饭��� ⥮p���
1.1. ���� �� ��� ᮤ�p����� � p���� �.�.�ᠭ��� � \break �.�.����窮 [2].

{\bf 1.2. ���p���} �᫨ $X$ -- ᫠��� $q$-�p���p���⢮, � ��类�
��p���祭��� ������⢮ � $C_p(X)$ ����� ������⭮� ���몠���.

� ������ ᫠��� $q$-�p���p����  �p���������, ���p���p, ��⭮ \break 
��������
�p���p���⢠; $k$-�p���p���⢠; �p���p���⢠ ��⭮� �᭮��, � ��⭮��
ᥪ���樠��� � �p���p���⢠ �p�� -- �p�ᮭ�; �����쭮 ᥯�p������
�p���p���⢠ � �p.

� ������ p���� ⥮p��� �p�⥭���� ����頥��� �� ��砩 ��⭮ ��������������
� ��⭮ $H$-��������� ���, �� � �� ᠬ��, ᫠�� ��������� [4]
�p���p����, �p� �⮬ �����뢠����, �� �� �p���p���⢠ �� �����
᫠�묨 $q$-�p���p���⢠��.

����� ������� ⥮p��� �p�⥭���� p��ᬠ�p������� ��� �p���- \break
p���� �
᢮��⢠��, �������� � ������⭮�� [7] (�. �奬�).

\vskip .3cm
%\magnification=\magstep1

%\hskip 9cm {\bf �奬� 1}

{\eightpoint
\noindent
 \ \ ������⭮��� ${\hskip 1pt\Longrightarrow\hskip 1pt}$ �����������⭮��� ${\hskip 1pt\Longrightarrow\hskip 1pt}$ $H$-����������
\vskip .4cm

\noindent
 \ \ $l$-������⭮��� \quad ${\hskip 1pt\Longrightarrow\hskip 1pt}$ \quad $l$-�����������⭮���
\vskip .4cm

\noindent
 \ \ $\aleph _o$-��p���祭����� $\Longrightarrow$ $\aleph _o$-$\alpha$-��p���祭�����
$\Longrightarrow$ $\aleph _o$-$\theta$-��p���祭�����
\vskip .4cm

\noindent
 \ $l$-$\aleph _o$-��p���祭����� $\Longrightarrow$ $l$-$\aleph _o$-$\alpha$-��p���祭�����
$\Longrightarrow$ $l$-$\aleph _o$-$\theta$-��p���祭�����
\vskip .4cm

\noindent
\hskip 1 cm ���쭠� \hskip 2.5 cm  C��쭠� \hskip 2 cm C��쭠�

$\aleph _o$-������⭮��� $\Longrightarrow$  $\aleph _o$-�����������⭮���
$\Longrightarrow$
%\break
$\aleph _o$-$H$-����������
\vskip .4cm

\noindent
\hskip 1 cm $l$-ᨫ쭠� \hskip 2 cm $l$-ᨫ쭠� \hskip 2 cm $l$-ᨫ쭠�

$\aleph _o$-������⭮��� $\Longrightarrow$
$\aleph _o$-�����������⭮���
$\Longrightarrow$ $\aleph _o$-$H$-����������
\vskip .4cm

\noindent
��⭠� ������⭮��� $\Longrightarrow$ ��⭠� �����������⭮��� $\Longrightarrow$ ��⭠�
$H$-����������.
\vskip .4cm

\noindent
��⭠� �p�������⭮���. $\Longrightarrow$ ��⭠� ������p�������⭮���
}
\vskip .5cm
%\magnification=\magstep2
�p㣠� 楯�窠 �᫠������ ������⭮�� ����� ���:
\vskip .3 true cm

\noindent
������⭮��� ${\hskip 1pt\Longrightarrow\hskip 1pt}$ �㭪樮���쭠� ������⭮��� ${\hskip 1pt\Longrightarrow\hskip 1pt}$ \break
${\hskip 1pt\Longrightarrow\hskip 1pt}$ �������쭠� ��᤮p䮢����
%\vskip .2cm
%\noindent
${\hskip 1pt\Longrightarrow\hskip 1pt}$ $H$-������⭮��� ${\hskip 1pt\Longrightarrow\hskip 1pt}$ \break
 ${\hskip 1pt\Longrightarrow\hskip 1pt}$  ��⭠� $H$-����������
(᫠��� ������⭮���).
\vskip .3cm

�� ��� ᫥���, �� ����饭�� ⥮p��� �p�⥭���� �� ��砩 ��⭮
$H$-��������� �p���p���� �������� ������� �� ������� ��� �㭪樮���쭮
��������� � ���������� ��᤮p䮢�� �p���p����.

��� ������⥫��⢠ 㯮������ ��� p�����⮢ �p��������� ��⮤�
���⠭��p⭮�� ������� [3], � ��⭮�� ⥮p�� ������������� �p���p����
��p��� [8], ���p�� ���� 㤮��� � ���쬠 ��䥪⨢�� �p���⢮�,
��������騬 �p�������� 㭨��p������ ��⮤ ������⥫��⢠ 楫��� p鸞
⮯������᪨� ⥮p��.

\pagebreak
\vskip 1 cm
\centerline{\bf 2. ������ ⥮p��� �p�⥭����}
\centerline{\bf ��� ��⭮ $q$-��������� �p���p����}

�室������ (������������) �p���p���⢮� ���뢠���� ��p� \break
$(X,q)$, ���
$q~:~X \to P(^*X)$ 㤮���⢮p�� ᫥���騬 �᫮���:

$1) ~\forall x &\in X \quad [x \in q(x)];$

$2) ~\forall x &\in X \quad \exists A \subset {}^*X
\quad [q(x)= \cup \{ \mu ~\langle y \rangle ~/~ y \in A\}, ~\text
{�p� �⮬} $

$&\qquad \langle y ~\rangle = \{ B ~/~Y^* \in B \subset X \},
\quad \mu ~\langle y ~\rangle = \cap \{{}^*B ~/~B \in ~\langle y
~\rangle ~\}.
$

��窠 $x \in {}^*X$ ���뢠���� ������⠭��p⭮�, �᫨
$\exists x_0 \in X ~[x \in q(x_0)],$ � �p�⨢��� ��砥 $x$ --
�⤠������ �窠. ������⢮ ������⠭��p��� �祪 ������稬 �p��
$ns^*X.$

��窠 $x_0$ -- $q$-�p����쭠� ��� $X,$ �᫨
${}^*X \cap (q(x_0)~\backslash ~\{ x_0 \}~) \ne \oslash.$

�p���p���⢮ $(X,q)$ $q$-������⭮, �᫨ ${}^*X =ns^*X,$ ��⭮
$q$-���\-����\-��, �᫨ ��类� ��᪮��筮� ���������⢮ $A \subseteq X$
����� $q$-�p�\-����\-��� ���.

�p���p��� ��p��� �p���p���� ����� �������� \break $(q(x)=\mu (x))$,
������������� $(q(x)=\mu _\alpha (x)),$ $H$-��������
$(q(x)=\mu _\theta (x)),$ ��p�� -- ��⭮ �������� $(q(x)=\mu (x)),$
��⭮ ������������� $(q(x)=\mu _\alpha (x)),$ ��⭮ $H$-��������
$(q(x)=\mu _\theta (x))$ ⮯������᪨� �p���p���⢠ $[4].$

����� $(X,q)$ � $(Y,q')$ -- ������������ �p���p���⢠. �⮡p������
$f : X \to Y \quad (q,q')$-���p�p뢭� � �窥 $x_0 \in X,$ �᫨
${}^*f(q(x_0)) \subseteq q'(f(x_0)).$

���������᪨�� �p���p��� ⠪�� �⮡p������ �㦠� \break ���p�p뢭�, ����
���p�p뢭�, $\alpha$-���p�p뢭�, $\theta$-���p�p뢭� � �.�. $[4].$

���������⢮ $A \subseteq X$ �㤥� ���뢠�� $q$-��p���祭�� � $X,$
�᫨ ��� �� $(q, \mu)$-���p�p뢭�� �㭪樨 $f~:~X \to \Bbb R
\quad f(^*A) \subseteq ns^* \Bbb R.$

����� $(X,q)$ -- ������������� �p���p���⢮, $\Bbb R^X$ --
�p���p���⢮ �p���������� � �������� ��p���p�� [8]
$$
\mu _{\Bbb R^X}(f)= \{f' \in {}^* \Bbb R^{{}^*X}
~/~ \forall x \in X  [f'(x) \in \mu (f(x))]
\}.
$$

$C_p(X)$ -- �p���p���⢮ $(q, \mu)$-���p�p뢭�� ����⢥��������� \break
�㭪権 � ������������� ��p���p��
$$
\tilde q(f)=\mu _{\Bbb R^X}(f) \cap {}^*C_p(X)=
\{
f' \in {}^*C_p(X) ~/~ \forall x \in X \quad
[f'(q(x)) \subseteq \mu (f(x))~]~
\}.
$$

����� ��������, �� $\tilde q(f)$ ����⢨⥫쭮 ���� ������������� ��p���p��
� � ⮬ ��砥, ����� $q=\mu,$ ��� ��p������ ⮯������ ����筮� �室�����.


{\bf 2.1. ���p���} �᫨ $(X,q)$ -- ��⭮ $q$-������⭮� �p���p���⢮,
$F$ -- $\tilde q$-��p���祭� � $C_p(X),$ � ���몠��� $F ~\tilde q$-������⭮
� $C_p(X).$

\underbar{\bf ������⥫��⢮.} ����� $F$ -- $\tilde q$-��p���祭� � $C_p(X).$
�����
$$
\forall x \in X ~[~{}^*F_x={}^*\{f(x) ~/~f \in F\} \subseteq ns^*\Bbb R~],
$$
���� $(\tilde q, \mu)$ -- ���p�p뢭�� �⮡p������ $\Psi _x~:~C_p(X) \to \Bbb R,$
��p��������� �p������ $\Psi _x(f)=f(x)$, �㤥� ����p���祭� �� $F$.
�������⥫쭮, $\bar F_x$ ������⭮ � $\Bbb R$ �
$\Pi \{\bar F_x ~/~x \in X\}$ ������⭮ � $\Bbb R^X.$ �⠪,
$
{}^*\bar F \subseteq {}^*\Pi \{\bar F_x ~/~x \in X\}
\subseteq ns^*\Pi \{\bar F_x ~/~x \in X\} \subseteq ns^* \Bbb R^{*X},
$
��㤠 ����砥�, �� $\bar F$ ������⭮ � $\Bbb R^X.$ �������, ��
$\bar F \subseteq C_p(X).$

�p���������, �� $\bar F ~\backslash ~C_p(X) \ne \oslash$, � �����
$f_0 \in \bar F ~\backslash C_p(X).$ ����� $f_0~:~X \to \Bbb R$
�� ���� $(q, \mu)$-���p�p뢭� �⮡p�������, ���⮬�
$$
\exists x_0 \in X \quad \exists x_1 \in q(x_0)
~[f_0(x_1) \ncong f_0(x_0)~].
$$
��� ��� $f_0 \in \bar F,$ � �������� $f_1 \in {}^*F$ ⠪��, ��
$f_1(x_0) \simeq f_0(x_0)$ � $f_1(x_1) \simeq f_0(x_0).$
�� p��p뢭��� �⮡p������ $f$ � �窥 $x_0$ ᫥���, ��
������� $x_2,$
�⫨筠� �� $x_1,$ ⠪��, �� $f_0(x_2) \cong f_0(x_0)$.
�����, ������� $f_2 \in {}^*F,$ ��� ���p�� $f_2(x_0) \simeq f_0(x_0),
f_2(x_2) \simeq f_0(x_0),$ �� $f_2(x_1) \cong f_0(x_0)$ � �.�.

�⠪, �� ����稫� ����p����� ��᫥����⥫쭮��� �祪 \break
$\{~x_n  ~/\mathbreak n \in \Bbb N~\} \subset q(x_0)$ � ����p����� ��᫥����⥫쭮���
�㭪権 $\{~f_n~/\mathbreak n \in \Bbb N~\} \subset \mu (f_0)\cap {}^*F$ ⠪��, ��
$$
{}^*\models \quad &\exists ~\{ x_n~/~n \in \Bbb N~\} \subset {}^*X
\quad \exists ~\{~f_n~/~n \in \Bbb N~\}\subset {}^*F
\quad \forall n \in \Bbb N \quad \forall i<n 
$$ $$
& [~f_n(x_0) \simeq f_0(x_0)~\land ~f_n(x_n) \simeq f_0(x_0)~
\land ~f_n(x_i) \ncong f_0(x_0)~].
$$
�����, �᫨ $\varepsilon$ -- �����p�� ������⥫쭮� ����⢨⥫쭮�
�᫮, �
$$
{}^*\models \quad &\exists ~\{ x_n~/~n \in \Bbb N~\} \subset {}^*X
\quad \exists ~\{~f_n~/~n \in \Bbb N~\}\subset {}^*F
\quad \forall n \in \Bbb N \quad \forall i<n 
$$ $$
& [~|f_n(x_0)-f_0(x_0)|<\frac \varepsilon 4
~\land ~|f_n(x_n)-f_0(x_0)|< \frac \varepsilon 4
~\land 
$$ $$
&|f_n(x_i)-f_0(x_0)|>\frac 34 \varepsilon ~].
$$

�p������ �p��樯 ��p���� [3], ����稬, �� ������� ��᫥����⥫쭮���
�祪 $\{~x_n~/~n \in \Bbb N~\}\subset X$ � ��᫥����⥫쭮��� �㭪権
$\{~f_n~/~n \in \Bbb N\}\subset F$ ⠪��, ��
$$
\align
\forall n \in \Bbb N \quad \forall i<n \quad
&[~|f_n(x_0)-f_0(x_0)|<\frac \varepsilon 4 ~\land
~|f_n(x_n)-f_0(x_0)|<\frac \varepsilon 4 ~\land 
$$ $$
&\land |f_n(x_i)-f_0(x_0)|> \frac 34 \varepsilon~].
\endalign
$$

��� ��� $X$ ��⭮ $q$-������⭮, �������� �窠 $x'\in X$, $q$-�p�\-����\-���
��� $\{x_n ~/~n \in \Bbb N~\}$. ������稬 �p��
$X_0=\{x'\}\cup \{x_n~/~n \in \Bbb N\}.$ ��p������ �� $X_0$
������������� ��p���p� ᫥���騬 ��p����:
$$
\forall x \in X_0 ~[~q'(x)=q(x) \cap {}^*X_0~].
$$
�����
$g_n=f_n~\restriction ~X_0$ � $\Cal A=\{g_n ~/~n \in \Bbb N\}.$
���ᬮ�p�� �p���p���⢮ $C_p(X_0)$ � ������������� ��p���p��
$$
\hat q(f)=\{f' \in {}^*C_p(x_0)~/~\forall x \in X_0
~[~f'(q'(x))\subset \mu (f(x))~]~\}.
$$

�������, �� $\Cal A~\hat q$-��p���祭� � $C_p(X_0).$
����� $\varphi ~:~C_p(X_0) \to \Bbb R$ ����
$\quad (\hat q, \mu)$-���p�p뢭� �⮡p������� �
$\pi ~:~C_p(X) \to C_p(X_0)$ --
�p����p�������. ����� $\varphi \circ \pi ~:~C_p(X) \to \Bbb R$ --
$(\tilde q, \mu)$-���p�p뢭�� �⮡p������ �
$\varphi \circ \pi ({}^*F)\subseteq ns^*\Bbb R$ � ᨫ� $\tilde q$-��p���祭����
$F$ � $C_p(X).$ �����
$$
\varphi({}^*\Cal A)=\varphi \circ \pi ({}^* \{f_n ~:~n \in \Bbb N\})
\subseteq \varphi \circ \pi ({}^*F)\subseteq ns{}^*\Bbb R,
$$
��㤠 ᫥��� $\hat q$-��p���祭����� $\Cal A$ � $C_p(X_0).$

�������, �� $\Cal A$ ����� $\hat q$-�p������� ��� � $C_p(X_0).$
�p���������, �� �� �� ⠪. �����
$(\hat q(h) ~\backslash ~\{h\}~)\cap {}^*\Cal A =\oslash$ ��� ���
$h \in C_P(X_0).$ ���ᬮ�p�� �⮡p������ $\psi ~:~\Cal A \to \Bbb R,$
��p��������� ᫥���騬 ��p����:
$
\forall ~n \in \Bbb N ~[\psi (q_n)=n~].
$
�祢����, �� $\psi ~(\hat q, \mu)$-���p�p뢭� �� $\Cal A.$ ��� ���
$\Bbb R$ -- ���p��᪮� �p���p���⢮, � $X_0$ -- ��⭮, � $C_p(X_0)$ --
$\hat q$-��p���쭮. ������⢮ $\Cal A ~\hat q$-������� � $C_p(X_0).$
�������⥫쭮, ������� $(\hat q, \mu)$-���p�p뢭�� �⮡p������
$\Phi ~:~C_p(X_0) \to \Bbb R$ ⠪��, �� $\Phi \restriction \Cal A = \psi$
(�\.����砭�� 2.2). ����� ��p����, �⮡p������
$\Phi \quad (\hat q, \mu)$-���p�p뢭� � ����p���祭� �� $\Cal A,$ ��
�p�⨢�p��� $\hat q$-��p���祭���� ������⢠ $\Cal A$ � $C_p(X_0),$
�����, $\Cal A$ ����� $\hat q$-�p������� ��� � $C_p(X_0).$

����� $g$ -- $\hat q$-�p����쭠� ��� $\Cal A$ �窠 � $C_p(X_0).$
� ᨫ� �p��樯� ��p���� �����
$$
\exists \omega \in {}^*\Bbb N ~\backslash ~\Bbb N
~[~|f_\omega (x_\omega)-g(x')|<\frac \varepsilon 4 ~\land
~|f_\omega (x_{\omega -1})-g(x')|< \frac \varepsilon 4~].
$$
�p��� ⮣�,
$$
\forall n \in {}^*\Bbb N ~[
|f_n(x_n)-f_0(x_0)|<\frac \varepsilon 4 ~\land
~|f_n(x_{n-1})-f_0(x_0)|>\frac \varepsilon 4
~].
$$
�����
$$
|g(x')-f_0(x_0)|\le |g(x)-f_\omega(x_\omega)|+
|f_\omega(x_\omega)-f_0(x_0)|<\frac \varepsilon 2.
$$
� �p㣮� ��p���,
$$
|g(x')-f_0(x_0)| \ge |~|g(x')-f_\omega (x_{\omega -1})| -
|f_0(x_0)-f_\omega (x_{\omega -1})|~| >
\frac 34\varepsilon - \frac \varepsilon 4= \frac \varepsilon 2.
$$

����祭��� �p�⨢�p�稥 ����p蠥� ������⥫��⢮ ⥮p���.

{\bf 2.2. ����砭��} ������⥫��⢠ $\hat q$-��p���쭮��
$C_p(X_0)$ �p� �᫮���, �� $X_0$ ��⭮, � ������� ⥮p��� �p�ᮭ�
��� ������������� �p���p���� ����p��� ���⠭��p�� ���p�p��樨
������⥫��� �� ⮯������᪨� ��p���⮢.

{\bf  2.3. �����⢨�} ����� $X$ -- ��⭮ ������⭮�
(��⭮ �����������⭮�, ��⭮ $H$-������⮥) ⮯������᪮� �p���p���⢮.
����� ���몠��� ��类�� ��p���祭���� � $C_p(X)$ ������⢠ ���� ������� �
$C_p(X)$.

�������, �� � ��饬 ��砥 ��⭮ ������������� � ��⭮ $H$-��������
�p���p���⢠ �� ����� ᫠�묨 $q$-�p���p���⢠�� � ��᫥ [2]. ���
ᠬ� �㤥� ��������, �� ����祭�� ���� p������ �������� ����饭��
⥮p��� �p�⥭����, ������ �.�.�ᠭ��� � �.�.����窮.

{\bf 2.4. �p���p.} ����� $X=[0,1].$ ����� ��p��⭮�⥩ �祪
�p��\-�p���⢠ $X$ �㦠� ����� ��p��⭮�� �� �᪫�祭��� �� ����� 祬 ��⭮��
�᫠ �祪. ���p㤭� �������, �� ������ �p���p���⢮ ����
������������� � ��⭮ $H$-��������. ��������, �� �窠 $x$ ���뢠����
᫠��� $q$-�窮� �⭮�⥫쭮 ������⢠ $A \subseteq X,$ �᫨
$x \in \bar A \backslash A$ � ��᫥ �p������쭮�� �롮p� ��p��⭮��
$V_m$ �窨 $x$ ����� �����p��� ������⢮ $S_m \subseteq A,
~S_m=S_m(V_1,\,\hdots, V_m)$ ⠪��, �� $t(S_m,X)\le \aleph _0$ �
$$
\align
\overline{U\{S_m ~/~m \in \Bbb N\}} ~\cap &~(\cap ~\{ V_m ~/~m \in \Bbb N\})
\ne \oslash, \quad \text{���}
$$ $$
&t(A,B)=\min ~\{~\tau ~/~
A \subseteq \bar B',~B' \subseteq B, ~|B'|\le \tau~\}.
\endalign
$$
�᫨ ������ ��������⮥ ������⢮ � $X$ ����� ᫠��� $q$-���, �
$X$ ���뢠�� ᫠�� $q$-�p���p���⢮�.

��� ��� ��类� ��⭮� ���������⢮ $X$ �� ����� �p������� �祪, � �� ⮣�,
�� $t(A,X)\le \aleph _0,$ ᫥���, �� $A$ �� ����� 祬 ��⭮� ���������⢮
$X$.

%\noindent
����� $A=(0,1].$ ����� $\bar A \backslash =\{0\}.$ �������, �� �窠
$0$ �� ���� ᫠��� $q$-�窮� ������⢠ $A.$

%\noindent
����� $V_1=[0,1].$ �롥p�� �p������쭮� �� ����� 祬 ��⭮� ���������⢮
$S_1 \subseteq A.$ ������� $V_2=V_1 \backslash S_1.$ $V_2$ ����
��p�⮩ ��p��⭮���� ���. ����� $S_2$ -- �p������쭮� �� ����� 祬
��⭮� ���������⢮ ������⢠ $A.$ ������� $V_3=V_2 \backslash S_2$ �
�.�. ����� ��p����,
$$
\gather
(\cap ~\{ V_m ~/~m \in \Bbb N\}~) ~\cap ~\overline{\cup
~\{ S_m ~/~ m \in \Bbb N\}}=
(~\cup ~\{X \backslash S_m ~/~m \in \Bbb N\})~\cap 
$$ $$
~\cap ~(~\cup ~\{S_m ~/~ m \in \Bbb N\}~)
=(X \backslash ~(\cup ~\{S_m ~/~m \in \Bbb N\})~) ~\cap 
$$ $$
~\cap
~(~\cup ~\{S_m~/~m \in \Bbb N\}~)= \oslash.
\endgather
$$

�⠪, ��諮�� ��������⮥ ���������⢮ $A \subset X,$ �� ����饥
᫠��� $q$-�祪, �����, $X$ �� ���� ᫠�� $q$-�p���p���⢮�.

\vskip 0.3cm
\centerline {\bf 3. �����p� ᢮��⢠, ������� � ������⭮��,}
\centerline {\bf � ⥮p��� �p�⥭����}

� [7] �� p��ᬮ�p�� 楫� ����p ᢮���, ������ �᫠�����ﬨ
������⭮�� � ��⭮� ������⭮��. �� � ᢮� ��p��� ������
��������� �᫠������ ��� ��������������, $H$-���������, ��⭮
�������������� �p���p����.

{\bf 3.1. ��p��������} ���������᪮� �p���p���⢮ $X$
���뢠���� $l$-�������� ($l$-�������������, $l$-$H$-��������),
�᫨ ������� �����p�� ���⭮� ���������⢮ $D \subseteq X$ ⠪��,
�� �� ��� ��p�⮣� ���p��� $\Cal L$ �p���p���⢠ $X$ ����� ��p���
������ ����p �������
$O_1, O_2,\,\hdots,
%\mathbreak
O_n \in \Cal L,\  n \in \Bbb N,$
%\noindent
⠪��, ��
$D \subseteq \cup ~\{O_i ~/~ i=1,2,\,\hdots,n\}$
 \break
$(~D \subseteq \cup ~\{~\frac o{\dsize O_i} ~/~
%\mathbreak
i=1,2,\hdots,n\}
$,\ D \subseteq ~\cup ~\{\bar O_i ~/~i=1,2,\hdots,n\}~).$


� �⮬ ��砥 ⠪�� ����p��, �� ⮯������᪮� �p���p���⢮ ����
$l$-�������� ($l$-�������������, $l$-$H$-��������) �⭮�⥫쭮
$D$.

{\bf  3.2. ���p���} ���������᪮� �p���p���⢮ $X$
$~l$-������⭮
($l$-�����������⭮, $l$-$H$-�������) �⭮�⥫쭮 $D$ ⮣�� �
⮫쪮 ⮣��, �����
${}^*D \subseteq ns^*X~({}^*D \subseteq ns_\alpha {}^*X,~{}^*D
\subseteq ns_\theta {}^*X~).$

������⥫��⢮ � ������⥫�묨 ��������ﬨ ����p�� ������⥫��⢮
���⠭��p⭮�� �p��p�� ������⭮�� ⮯������᪮�� \break �p���p���⢠ [3].

���p㤭� �������, �� � ����� ��᤮p䮢�� �p���p���� $l$-$H$-����������
ᮢ������ � $H$-�����������. ���⮬� ����� ���� ᫥����� 楯�窠 ����祭��:

\vskip .3 true cm

\noindent
������⭮��� \quad ${\hskip 1pt\Longrightarrow\hskip 1pt}$ \quad �����������⭮���

\hskip 8 cm
$H$-����������

\noindent
$l$-������⭮��� \quad ${\hskip 1pt\Longrightarrow\hskip 1pt}$ \quad $l$-�����������⭮���
\vskip .3cm

{\bf  3.3. ��p��������} ������⢮ $T \subseteq X$ ���뢠����
$l$-�⭮�⥫쭮 �������� ($l$-�⭮�⥫쭮 �������������, $l$-�⭮�⥫쭮
\break
$H$-����\-����), �᫨ ��� ���몠��� � $\bar T$ ���� $l$-��������
\break
($l$-�������������, $l$-$H$-��������) �⭮�⥫쭮 $T$.

���ᬮ�p�� �� ���� �p㯯� ᢮���, ������� � ������⭮��.

{\bf  3.4. ��p��������} ���������᪮� �p���p���⢮ $X$
���뢠���� \break
ᨫ쭮 $\aleph _o$-�������� (ᨫ쭮 $\aleph _o$-�������������,
ᨫ쭮 \break $\aleph _o$-$H$-��������), �᫨ ������ ��᪮��筮� ������⢮ 
ᮤ�p��� ��᪮��筮� ���������⢮, ���p�� ᮤ�p����� � ������⭮� 
(�⭮�⥫쭮 ������⭮�, $H$-������⮬) ���������⢥.

{\bf  3.5. ���p���} ���������᪮� �p���p���⢮ $X$ -- ᨫ쭮
$\aleph _o$-���\-���⭮ (ᨫ쭮 $\aleph _o$-�����������⭮, ᨫ쭮
$\aleph _o$-$H$-�������) ⮣�� � \break
⮫쪮 ⮣��, ����� ��� ��� ��᪮��筮��
$A \subseteq X$ �������� $P \subseteq A$ ⠪��, ��
$$
%\align
\exists ~K \subseteq X \ \ [{}^*P \subseteq {}^*K =ns^*K] \ \
({}^*P \subseteq {}^*K=ns_\alpha {}^*K, \quad
{}^*P \subseteq {}^*K=ns_\theta {}^*K).
%\endalign
$$

{\bf  3.6. ��p��������} ���������᪮� �p���p���⢮ $X$
���뢠���� $\aleph _o$-��p���祭�� ($\aleph _o$-$\alpha$-��p���祭��
$\aleph _o$-$\theta$-��p���祭��), �᫨ ��类� \break
��⭮� ������⢮
ᮤ�p����� � ������⭮� (�����������⭮�, $H$-������⮬) ���������⢥.

{\bf  3.7. ���p���} ���������᪮� �p���p���⢮ $X$ ����
$\aleph _o$-��\-p�\-��祭�� ($\aleph _o$-$\alpha$-��p���祭��,
$\aleph _o$-$\theta$-��p���祭��) ⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, ����� ���
��� ��⭮�� ���������⢠ $A$ ������⢠ $X$  �������� $K \subseteq X$
⠪��, ��
${}^*A \subseteq {}^*K=ns{}^*K ~({}^*A \subset {}^*K=ns_\alpha {}^*K,
~A \subseteq {}^*K=ns_\theta {}^*K).$

�᫨ � ��p��������� 3.3 � 3.6 �������� �᫮��� ``ᮤ�p����� � ������⭮�
(�����������⭮�, $H$-������⮬) ���������⢥"  �� ``ᮤ�p\-����� �
$l$-�⭮�⥫쭮 ������⭮� ($l$-�⭮�⥫쭮 �����������⭮�,
$l$-�⭮�⥫쭮 $H$-������⮬ ���������⢥)", � ����稬 ��p��������
$l$-ᨫ쭮�
$\aleph _o$-������⭮�� ($l$-ᨫ쭮� $\aleph _o$-�����������⭮��,
$l$-ᨫ쭮� $\aleph _o$-$H$-������\-���) � $l$-$\aleph _o$-��p���祭����
($l$-$\aleph _o$-$\alpha$-��p���祭����, \break
$l$-$\aleph _o$-$\theta$-��p���祭\-����).

{\bf  3.8. ���p���} ���������᪮� �p���p���⢮ $X$ ����
$l$-ᨫ쭮 $\aleph _o$-�������� ($l$-ᨫ쭮 $\aleph _o$-�������������,
$l$-ᨫ쭮 \break
$\aleph _o$-$H$-��������) ⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, ����� ���
��� ��᪮��筮�� $A \subseteq X$ �������� ��᪮���� $P \subset A$
� $K \subseteq X$ ⠪��, �� $${}^*P \subseteq {}^*K \subseteq ns{}^* \bar K
(~{}^*P \subseteq {}^*K \subseteq ns_\alpha {}^* \bar K, \quad
{}^*P \subseteq {}^*K \subseteq ns_\theta {}^* \bar K~).
$$

{\bf  3.9. ���p���} ���������᪮� �p���p���⢮ $X$ ����
$l$-$\aleph _o$-��p�\-��祭�� ($l$-$\aleph _o$-$\alpha$-��p���祭��,
$l$-$\aleph _o$-$\theta$-��p���祭��) ⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, ����� ���
��� ��⭮�� ���������⢠ $A$ ������⢠ $X$ �������� $K \subseteq X$
⠪��, �� ${}^* \subseteq {}^*K \subseteq ns {}^* \bar K \quad
({}^*A \subseteq {}^*K \subseteq ns_\alpha {}^* \bar K,
~{}^*A \subseteq {}^*K \subseteq ns_\theta {}^* \bar K).$

��������, �� ⮯������᪮� �p���p���⢮ $X$ ���뢠���� ��⭮ �p���������,
�᫨ ������� ����p���p���⢮ $Y \subseteq X,$ ���� ���⭮� � $X$ �
��⭮ ������⭮� � $X$.

����� ��p������� ��⭮ ������p��������� � ᫠�� �p��������� �p���p���⢠,
������� ����� ������⭮��� �� ����� �����������⭮��� � ᫠��� ������⭮���
ᮮ⢥��⢥���.

�������, �� � ����� ��᤮p䮢�� �p���p���� ��类� ᫠�� �p�������⭮�
�p���p���⢮ ���� ᫠�� ��������.

����⢨⥫쭮, �p��������� �p�⨢���. ����� $\Cal L = \{U_i ~/~i \in \Bbb N\}$
\break
-- ��⭮� ��p�⮥ ���p�⨥ �p���p���⢠ $X$, �� ���p��� ����� ��\-�p���
����筮�� ���p���, � $Y$ -- ���� ���⭮� ᫠�� ������⭮� \break
����p���p���⢮.
�� ��p��� ��魮��, ����� �����, ��
\break
$U_i \cap Y \nsubseteq ~\cup ~\{\bar U_j ~/~ j>i\}$ ��� ��� $i \in \Bbb N.$
�롥p�� ��� ������� $i \in \Bbb N ~x_i \in ~(U_i \cap Y~)~/~\cup
~\{\bar U_j ~/~j>i\}.$ ������⢮ $D=\{x_i ~/~i \in \Bbb N\}$ -- ��᪮��筮�
���������⢮ $X$, ���⮬� ����� � $X$ �p������� ��� $X_0$.

���ᬮ�p�� �������쭮� $i_0,$ ��� ���p��� $x_0 \in U_{i_0}$. �����
$x_i \in \bar U_{i_0}$ ��� ��� $i >i_0$ �, ᫥����⥫쭮, �窠 $X_0$
�� ����� ���� $\theta$-�p����쭮� ��� $D$.

����� ��p����, � ����� ��᤮p䮢�� �p���p���� ����� 楯��� ����祭�� ��
��襯p��������� �奬�, �� ���p�� ᫥���, �� ��� ��� ���ᠭ��� ���
�p���p���� ��p��

{\bf 3.10. ���p���} ����� $X \in \Cal K,$ ��� $\Cal K$ --
����� �p���p����, ���p������� � ��襯p��������� �奬�. �᫨ $F \subseteq C_p(X)$
��p���祭� � $C_p(X),$ � ���몠��� $F$ � $C_p(X)$ ���� �������.
\vskip .1cm
\centerline{\bf 4. ������ ⥮p��� �p�⥭���� ��� �㭪樮���쭮 }
\centerline{\bf ��������� � ���������� ��᤮p䮢�� �p���p����}
\vskip .1cm

��������, �� ��᤮p䮢� ⮯������᪮� �p���p���⢮ ���뢠����
�㭪樮���쭮 ��������, �᫨ �� ���p�p뢭�� �⮡p������ $X$ �
�p������쭮� ��᤮p䮢� �p���p���⢮ $Y$ �������.

���������᪮� �p���p���⢮ $(X, \tau)$ -- �������쭮� ��᤮p䮢�, �᫨
�� $X$ �� �������  ��᤮p䮢�� ⮯������, ����� ᫠���, 祬 $\tau.$

�����⭠ [5] ᫥����� 楯�窠 ����祭��:
\vskip .3 cm

%{\eightpoint
\noindent
������⭮��� $\Longrightarrow$ �㭪樮���쭠� ������⭮��� ${\hskip 1pt\Longrightarrow\hskip 1pt}$ \break
�������쭠� ��᤮p䮢���� $\Longrightarrow$ $H$-���������� $\Longrightarrow$ \break
$\Longrightarrow$ ��⭠� $H$-���������� (᫠��� ������⭮���).
%}
\vskip .3cm

\noindent
����� ����� ����

{\bf  4.1. ���p���} �᫨ ��᤮p䮢� �p���p���⢮ $X$
�㭪樮���쭮 ������⭮ (�������쭮), � ��� ��� ��p���祭���� ������⢠
$F \subseteq C_p(X)$ ��� ���몠��� $\bar F$ � $C_p(X)$ ���� ��������.

\centerline{\bf ���᮪ �ᯮ�짮������ ���p���p�}
%\vskip .3 cm

\noindent
\hangindent 0.5cm
1. {\it �p堭����᪨� �.�.} ���������᪨� �p���p���⢠ �㭪権.
�., 1985. 222~c.

\noindent
\hangindent 0.5cm
2. {\it �ᠭ�� �.�., ����窮 �.�.} �������� ������⢠ � $C_p(X)$ //
Comm. M�th. Univ. Corol. 1981, Vol.~22. P.~255 -- 266.

\noindent
\hangindent 0.5cm
3. {\it ����� �.} �p�������� ���⠭��p�� ������. �., 1980. 236~c.

\noindent
\hangindent 0.5cm
4. {\it �������� �.�., ��⨭��� �.�.} \ ��⭠� \ ������⭮��� �
�ᥢ��⮯������᪨� �p���p���⢠� � �p����� ���⠭��p⭮�� ������� //
�����p���᪨� � ���p��� ��⥬�. �������, 1988. C.~85 -- 94.

\noindent
\hangindent 0.5cm
5. {\it Gross G., Viglino G.}  Some topologicol properties weake than
\hfill\break
compactness // Pacif. J. Math. 1970. Vol. 35. \char'362 ~3. P.~635 -- 638.

\noindent
\hangindent 0.5cm
6. {\it Grotendick A.} Criteres \ de \ compacibe' dans \ les \ espaces
fonctionnels generanx // Amer. J. Math., 1952. Vol.~74. P.~168 -- 186.

\noindent
\hangindent 0.5cm
7. {\it Hechler S.H.} On notion of weak compactness in non-regular
spaces // Studies in Topology. 1976. P.~215 -- 237.

\noindent
\hangindent 0.5cm
8. {\it Puritz C.} Quasimonad spaces: A non-standard approach
to convergences // Proc. London Math. Soc., 1976. Vol.~32. P.~230 -- 250.

\end
