%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
\magnification=\magstep2
%\pagewidth{17 true cm}
%\vcorrection{-.5 true cm}
%\hcorrection{-.5 true cm}
\pageno=1
\TagOnRight
\pretitle\centerline{\underbar{\bf Научные труды ИвГУ. Математика. Вып. 3}}
\centerline{\bf Иваново, 2000}
\vskip 0.5cm
УДК 514.174.6
%\leftheadtext{Барановский, Виноградова, Новикова}
%\rightheadtext{Допустимые центрировки}
\vskip .2cm
\author {\bf Е.~П.~Барановский*, И.~Ю.~Виноградова, Н.~В.~Новикова }
\endauthor
\title
\vskip .2cm
\centerline{\bf ОБ L-РАЗБИЕНИЯХ РЕШЁТОК, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ}
\centerline{\bf В ВИДЕ ДОПУСТИМЫХ ЦЕНТРИРОВОК}

\endtitle
\abstract \nofrills
\vskip .5cm
%\hangindent=0.8cm \hangafter=-5
Представление решётки в форме допустимой центрировки
другой решётки, с известным устройством её L-разбиения,
является в ряде случаев
действенным подходом при изучении строения L-разбиения
исходной решётки. Приведён ряд примеров использования такого
подхода.

Библиография из 8 названий.
\endabstract
\endtopmatter
\vskip 1cm

{\bf 1. Допустимые центрировки: основные определения}. \break
Пусть $\Gamma^n$ ---
n-мерная решётка в евклидовом пространстве $E^n$, и пусть
$E=\{\bar 0;\bar e_1,...,\bar e_n\}$ --- один из её основных реперов.
Рассмотрим полуоткрытый параллелепипед, построенный на
репере $E$ и возьмём
внутри этого параллелепипеда такие $p-1$ точку $\bar a_1,...,\bar a_{p-1}$,
чтобы множество точек
$$\Lambda^n=\cup_{j=0}^{p-1}(\Gamma^n+\bar a_j),$$
где $\bar a_0=\bar 0$, было снова решёткой. Решётка $\Lambda^n$
называется центрировкой решётки $\Gamma^n$, а сама решётка $\Gamma^n$ ---
центрируемой решёткой. При этом число $p$ называется индексом центрировки,
векторы $\bar a_1,...,\bar a_{p-1}$ --- определяющими векторами центрировки,
а наименьший общий знаменатель их координат --- знаменателем
центрировки.

Минимальной базой центрировки называется любое подмножество её
определяющих векторов, обладающее тем свойством, что оно,
возможно, в совокупности с некоторыми векторами решётки $\Gamma^n$,
образует основной репер центрировки $\Lambda^n$.

Центрировка $\Lambda^n$ решётки $\Gamma^n$ называется допустимой,
если длины минимальных векторов решёток $\Lambda^n$ и $\Gamma^n$
совпадают. Если задающий
\vskip 0.1cm
\hrule width 5cm
{\cc * Автор поддержан РФФИ, проект 99-01-00010.}

\noindent решётку $\Gamma^n$ репер $E$ cоставлен из её
минимальных векторов, причём длина этих векторов равна 1, то его
называют выравненным репером. Рассматриваемые здесь центрируемые
решётки обладают выравненным репером и, как правило, заданы таким репером
или соответствующей ему квадратичной формой.


Допустимые центрировки существуют в пространствах $E^n$,
начиная с размерности $n=4$. В пространстве $E^4$ имеется только один тип
допустимых центрировок --- тип, заданный определяющим вектором
$({1\over 2},{1\over 2},{1\over 2},{1\over 2})$, причём
существует
только одна решётка, центрировка которой принадлежит этому типу ---
4-мерная кубичная решётка.

Более подробные сведения о допустимых центрировках можно найти в
работах [5, 7].

\vskip 0.5cm
{\bf 2. Применение метода "пустого шара" Делоне. Леммы.}
Исследование строения L-разбие\-ния какой-либо решётки
$\Lambda^n$ рассмотрением её как центрировки некоторой её подрешётки
$\Gamma^n$ (с уже известным строением L-разбиения)
позволяет облегчить задачу в том случае, когда ряд
существенных элементов L-разбиения решётки $\Gamma^n$ сохраняется и в
L-разбиении её центрировки $\Lambda^n$. (Под элементами разбиения
имеются ввиду его грани всех размерностей).
Опираясь на эти элементы,
обычно удаётся достаточно легко достроить и остальные элементы
L-разбиения решётки $\Lambda^n$. Такой подход с успехом
был использован в работах [1,2,3].
В основе подхода лежит известный метод "пустого шара" Б.Н.Делоне [4].

Пусть известен некоторый L-многогранник n-мерной решётки, или хотя бы
(n-1)-мерная грань её разбиения, скажем, грань $Q$,
расположенная в гиперплоскости $P(Q)$. Пусть
$K(t)$ --- n-мерный шар, при $t=0$ представляющий собой шар,
описанный вокруг грани $Q$. Шар $K(0)$ "пустой", то есть не содержит
внутри точек решётки. И пусть $x^i=c^i+p^it,\enskip i=1,...,n$ ---
уравнения перпендикуляра $\tau$ к грани $Q$, проходящего через центр
шара $K(0)$ --- точку $\bar c=(c^1,...,c^n).$ Будем перемещать
центр шара по перпендикуляру $\tau$, увеличивая его радиус и сохраняя
вершины грани $Q$ на его поверхности. Этот "раздувающийся" шар  и есть
шар $K(t)$  c центром в точке $\bar c(t)=(c^1+p^1t,...,c^n+p^nt)$.
Пока $t$ достаточно мало, шар $K(t)$ остаётся "пустым" --- внутри у него
точек решётки нет, а на поверхности расположены только вершины
грани $Q$. Однако при некотором значении $t=t_0$ на поверхность шара
попадают одна или несколько точек решётки. Очевидно, расположенные
на поверхности шара $K(t_0)$ точки решётки суть вершины одного из
двух L-многогранников, смежных по грани $Q$.

Конкретное вычисление значения $t_0$ в наших задачах обычно облегчается
знанием, кроме исходной гиперграни $Q$, ряда других элементов
L-разбиения.


 Частичный
ответ на вопрос о том, какие элементы L-разбиений сохраняются
во всех случаях допустимого центрирования, дают приводимая ниже лемма.

Как это иногда принято, n-мерный аналог правильного трехмерного октаэдра
будем называть  {\it ортаэдром} или  {\it n-ортаэдром}.

{\bf Лемма 1.} {\it Пусть в L-разбиении некоторой n-мерной решётки в качестве
её k-мер\-ной $(1\leq k\leq n)$ грани содержится правильный симплекс
или  ортаэдр с рёбрами,
длина которых равна длине минимального вектора решётки. Тогда эта
грань содержится в L-разбиении
любой допустимой центрировки этой решётки.}

Лемма основана на более общем утверждении,
доказательство которого вполне тривиально:

{\it Если среди точек некоторой n-мерной решётки найдутся такие, что их
выпуклая оболочка является правильным k-мер\-ным симплексом $(1\leq k\leq n)$ или
k-ортаэдром, рёбра которых имеют длину минимального вектора решётки,
то эта выпуклая оболочка представляет собой k-мерную грань
или k-мерное сечение грани большей размерности в
L-разбиении решётки. }

{\bf Лемма 2.} {\it Содержащийся в L-разбиении центрируемой решётки
трёхмерный или четырёхмерный L-многогранник (исключая 4-мерный куб)
с рёбрами, длина которых равна длине минимального
вектора ре\-шёт\-ки, сохраняется и в L-разбиении её центрировки.

В аналогичной ситуации 4-мерный  куб сохраняются в случае,
когда среди точек центрировки нет его центра.}

$\triangleright$ Доказательство основывается на том, что при $n<5$
не существует допустимых центрировок, кроме 4-мерной кубичной решётки.
$\bullet$

Отметим, что результаты относительно исследования L-раз\-бие\-ний на базе
использования допустимых центрировок получены в основном для
знаменателя 2, хотя есть случаи успешного применения центрировок и с большими
знаменателями, например, 3,4,5.
\vskip 0.5cm
{\bf 3. Некоторые допустимые центрировки первой
и второй совершенных решёток
и особенности их L-раз\-бие\-ний.} Для наших целей при общем подходе
к задаче отыскания строений L-раз\-бие\-ний решёток наиболее подходящими
являются первая $\Gamma^n_0$
и вторая $\Gamma^n_1$ совершенные решётки Вороного;
причина этого лежит в особенностях  строения их собственных
L-разбиений, описание которых можно найти, например, в работах [3,8].


Первая совершенная решётка $\Gamma^n_0$ может быть определена как ре\-шёт\-ка,
построенная на правильном симплексе. В этом случае, при единичной длине
минимальных векторов, ей соответствует квадратичная форма

$$\phi^n_0=\sum_{i=1}^n(x^i)^2+\sum_{1\leq i<j\leq n}x^ix^j.\eqno(1)$$
Так как в L-разбиении решётки содержится правильный n-мерный
симплекс, то согласно  лемме 1, он остаётся L-многогранником и в
любой её допустимой центрировке. Аналогично, ортаэдр из
L-разбиения второй совершенной решётки
$\Gamma^n_1$
переходит в качестве L-мно\-го\-гран\-ни\-ка и в любую её
допустимую центрировку.


Таким образом, исследование строения L-разбиений допустимых центрировок
этих двух решёток мы можем начинать с отыскания
L-многогранников, смежных по гиперграням
соответственно с правильным симплексом или ортаэдром.




Из рассмотрения формы (1), переписанной в виде
$${1\over 2}[\sum_{i=1}^n(x^i)^2+(\sum_{i=1}^nx^i)^2],\eqno(2)$$
и устройства её L-разбиения [3, \S 3]
следует, что минимальная размерность, при которой возможна
допустимая центрировка первой совершенной ре\-шёт\-ки, равна $n=7$, и
знаменатель её равен 2. Эта центрировка представляет собой
хорошо известную корневую решётку $E_7$; описание её L-разбиения,
выведенное на основе L-разбиения решётки  $\Gamma^n_0$, дано в [3].

При $n=9$ решётка $\Gamma_0^n$ допускает центрировку со знаменателем 3;
в этой центрировке все числители координат центрирующего вектора имеют
значение 1. Не составляет большого труда, исходя из строения
L-разбиения решётки $\Gamma^9_0$, получить описание L-разбиения
этой центрировки.



Рассмотрим центрировку 15-мерных решёток, заданную ми\-ни\-ма\-ль\-ной базой
$$\bar \tau_1={1\over 2}(1,0,0,0,0,1,1,1,1,1,0,0,1,0,0),$$
$$\bar \tau_2={1\over 2}(0,1,0,0,0,1,1,1,0,0,1,1,0,1,0),$$
$$\bar \tau_3={1\over 2}(0,0,1,0,0,1,0,0,1,1,1,1,0,0,1),\eqno(3)$$
$$\bar \tau_4={1\over 2}(0,0,0,1,0,1,1,0,1,0,1,0,1,1,1),$$
$$\bar \tau_5={1\over 2}(0,0,0,0,1,1,0,1,0,1,0,1,1,1,1).$$
Эта база определяет допустимую центрировку решётки $\Gamma^{15}_0$.
Центрировка представляет собой решётку, на которой достигается
известная плотнейшая решётчатая упаковка в пространстве $E^{15}$
(см., например, [6]).

 Вторую совершенную
решётку обычно принято задавать квадратичной
формой
$$\phi^n_1=\phi^n_0-x^1x^2.\eqno(4)$$
Однако всюду ниже мы будем её рассматривать заданной кубичной формой
$$q^n=\sum_{i=1}^n(y^i)^2,\eqno(5)$$
при условии, что точками решётки  являются
только те целочисленные точки, для координат которых выполнено
сравнение $\sum_{i=1}^n y^i\equiv 0(mod 2).$

Допустимые центрировки этой решётки появляются, начиная с размерности 8.
Центрировка с определяющим вектором
$${1\over 2}(1,1,1,1,1,1,1,1)$$
представляет собой корневую решётку $E_8$ (см. [3]).

Если векторы
(3) дополнить 16-ой координатой, равной соответственно 1,1,1,0,0,
то получим минимальную базу допустимой центрировки
второй совершенной решётки $\Gamma^{16}_1$,
представляющей собой известную решётку Барнса--Уолла [6].

Для образования некоторых допустимых
центрировок решёток $\Gamma_0^n$ и $\Gamma_1^n$
при $n=24$ и меньше будем пользоваться строками
таблицы 1, составленной из нулей и единиц на основе двоичного кода
Голея (столбцы 13 -- 23).

Для получения центрировки $\Lambda^{24}_0$
первой совершенной решётки \break
возьмём 12 векторов
$$\bar\alpha_i={1\over 2}\bar a_i,\quad i=1,2,...,12,\eqno(6)$$
где координатной строкой вектора $\bar a_i$ является строка
таблицы 1 с номером $i$.



\vskip 0.6cm
\centerline{\bf Таблица 1}
\vskip 0.3cm
\centerline{1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1}
\centerline{0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1}
\centerline{0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1}
\centerline{0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1}
\centerline{0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1}
\centerline{0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1}
\centerline{0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1}
\centerline{0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1}
\centerline{0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1}
\centerline{0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1}
\centerline{0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1}
\centerline{0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0}
\vskip 0.3cm

Если в таблице 1 отбросить последний столбец, из её 12  строк\break
$\bar b_1,...,\bar b_{12}$ образуем минимальную базу
$$\bar \beta_i={1\over 2}\bar b_i,\enskip i=1,2,...,12$$
центрировки $\Lambda^{23}_0$ решётки $\Gamma^{23}_0$.
Эта центрировка представляет интерес, в частности, из-за
центрально-симметричного многогранника в её L-разбиении
с центром в точке ${1\over 4}(1,...,1)$, имеющего 2576 вершин.
\vskip 0.4cm
{\bf 4. Решётка Лича как центрировка второй совершенной решётки.}
Решётка Лича $\Lambda^{24}$ --- одна из самых замечательных решё\-ток, ей
посвящены десятки статей в журналах, ряд глав
двухтомника [6] Конвея и Слоэна. Мы здесь рассмотрим эту
решётку ещё с одной точки зрения --- как центрировку $\Lambda^{24}_1$
решётки $\Gamma^{24}_1$, заданной квадратичной формой (5).

Эта центрировка имеет знаменатель 4 и определяется минимальной
базой из  12 векторов, 11 из которых суть векторы
$\bar\alpha_j,\enskip j=1,...,11,$ заданные равенствами (6),
а все координаты двенадцатого
вектора $\bar \gamma_{12}$ равны ${1\over 4}$, за исключением
координаты $y^{24}={-3\over 4}$.

Теперь в наших обозначениях решётка Лича получает вид
$$\Gamma^{24}_1+\sum_{j=1}^{11}p^j\bar \alpha_j+
p^{12}\bar \gamma_{12},$$
где $p^1,...,p^{12}$ пробегают множество целых чисел.

Первичными элементами L-разбиения (см.[3])
 решётки $\Lambda^{24}_1$ являются рёбра
(длиной $\sqrt 2$  и $\sqrt 3$) и 24-ортаэдры.
L-ортаэдры имеют рёбра длиной $\sqrt 2$, а центры их находятся в точках
$(\pm 1^1,0^{23}),$ ${1\over 2}(\pm 1^4,0^{20})$,
${1\over 4}(\pm 2^2\pm 1^8,0^{14})$, ${1\over 4}(\pm 1^{16},0^8)$,
${1\over 4}(3^1,\pm 1^7,0^{16})$, ${1\over 4}(2^1,\pm 1^{12},0^{11})$,
${1\over 8}(\pm 3^5,1^{19})$, ${1\over 8}(\pm 5^1,\pm 3^2, \pm 1^{21})$.
После того, как установлены
первичные элементы, стала известна часть гиперграней L-раз\-бие\-ния ---
гиперграни L-ор\-таэд\-ров. Возьмём одну из них, например гипергрань ортаэдра
с центром в точке $(0,0,...,0,1)$,
имеющую вершины
$$A_0=(0,0,...,0),A_1=(1,0,...,0,1),...,A_{23}=(0,0,...,0,1,1),$$
и находим, пользуясь методикой п.2,  второй L-многогранник, примыкающий
к этой грани.  Он представляет собой симплекс с вершиной в точке
$(1,..,1,5).$ Рассмотрев другие грани L-ортаэдров, устанавливаем, что в
L-разбиении решётки Лича с L-ортаэдрами смежны многогранники, полученные
на базе группы решётки из
симплексов четырёх видов, один из которых --- правильный,
и 30-вершинного бездиагонального многогранника.

Для получения полного описания строения L-разбиения решётки Лича
использование нашего метода, то есть последовательное
отыскание L-многогранников, смежных по гиперграням с уже найденными
L-многогранниками, без привлечения дополнительных идей, хотя и вполне
осуществимо, но выглядит чрезвычайно громоздким.

Полное описание L-многогранников решётки Лича имеется
в главе 25 книги [6].
\vskip 0.4cm
 {\bf 5. Решётки $\Gamma(\Phi^9)$ и $\Gamma(\Phi^{10})$,
на которых достигаются известные плотнейшие упаковки соответственно в
пространствах $E^9$ и $E^{10}$,
как допустимые центрировки.} Естественно, успешно использовать для
центрирования можно не только рассмотренные выше решётки $\Gamma^n_0$
и $\Gamma^n_1.$ В качестве примеров назовем представление в качестве
допустимых центрировок названных в заглавии этого раздела решёток.

Решётку $\Gamma(\Phi^9)$, заданную квадратичной формой
$$\Phi^9={1\over 2}[(x^1+x^2+{x^6\over 2})^2+(x^1+x^3+{x^6\over 2})^2+$$
$$+(x^2+x^3+x^4+x^5+{x^6\over 2})^2+\sum_{j=4,5,7,8}(x^j+{x^6\over 2}^2+$$
$$+(x^7+x^8+x^9+{x^6\over 2})^2+(x^9)^2],$$
будем рассматривать как допустимую центрировку
решётки $\Gamma(f^9)$, заданную формой
$$f^9=\sum_{i=1}^9(x^i)^2+(x^7+x^8)x^9$$
и центрированную с минимальной базой
$$\bar\sigma_1={1\over 2}(1,0,0,0;0,1,1,1;0),
\quad\bar\sigma_2={1\over 2}(0,1,0,0;1,0,1,1;0),$$
$$\bar\sigma_3={1\over 2}(0,0,1,0;1,1,0,1;0),
\quad\bar\sigma_4={1\over 2}(0,0,0,1;1,1,1,0;0).$$
В гиперплоскости $x^9=0$ мы имеем корневую решётку $E_8$, L-разбиение
которой состоит из правильных симплексов и ортаэдров. Следовательно,
это разбиение сохраняется в центрированной решётке и образует так называемый
L-слой,
то есть гиперплоскость,
полностью составленную из гиперграней L-разбиения. Рассмотрев 8-ортаэдры
и 8-симплексы этого слоя, найдём 9-мерные L-многогранники --- 32-вершинный,
не имеющий внутренних диагоналей, многогранник с радиусом описанного
шара $R=\sqrt{5\over 8}$ и симплекс с рёбрами длиной 1 и
$\sqrt
{3\over 2}$. Завершение исследования не вызывает трудностей.

Решётка $\Gamma( \Phi^{10})$, на которой достигается наибольшее
среди известных значение плотности упаковок конгруэнтных шаров
в пространстве $E^{10}$, может быть задана квадратичной
формой (см., например, [1])
$$\Phi^{10}=\Phi^9+(x^{10})^2+{1\over 2}x^{10}(x^4+x^5+2x^6+x^7+x^8+x^9).$$

Мы рассматриваем эту решётку как допустимую центрировку с
минимальной базой
$$\bar\mu_1={1\over 2}(1,0,0,0,0;1,1,1,1,1),
\quad\bar\mu_2={1\over 2}(0,1,0,0,1;0,1,1,1,1),$$
$$\bar\mu_3={1\over 2}(0,0,1,0,1;1,0,0,1,1),
\quad\bar\mu_4={1\over 2}(0,0,0,1,1;1,1,1,0,0).$$
решётки, заданной квадратичной формой
$$f_{10}=\sum_{i=1}^5(x^i)^2+{1\over 2}[\sum_{j=6}^{10}(x^j)^2+
(\sum_{j=1}^{10}x^j)^2].$$

Так как пересечение рассматриваемой центрировки ги\-пер\-плос\-кос\-тью
$$x^7+x^8+x^9+x^{10}=0$$
представляет собой решётку $\Gamma(\Phi^9)$ с уже известным
L-разбиением,
то дальнейший
действия при отыскании L-многогранников  решётки $\Gamma(\Phi^{10})$
очевидны.



\vskip 0.3cm
\centerline{\bf Список использованной литературы}
\vskip 0.2cm
1. {\it Барановский Е.~П.} Допустимые центрировки со знаменателем 2
и плотные упаковки шаров. Иваново, 1986. 27 с.
 Деп. ВИНИТИ. 02.01.86 N 38-В86.

2. {\it Барановский Е.~П.} Разбиение 8-мерного пространства на
правильные многогранники. Иваново, 1987. 12 с. Деп. ВИНИТИ.
03.02.87 N 779-В87.

3. {\it Барановский Е.~П.} Разбиение евклидовых пространств на
$L$-многогранники
некоторых совершенных решёток // Тр. МИАН\break СССР.
1991. Т. 196. C. 27-46.

4. {\it Делоне Б.~Н.} Геометрия положительных квадратичных форм //
УМН. 1937. Вып.3. С.16-62; 1938. Вып.4. С.102-164.

5. {\it Захарова (Новикова) Н.~В.} Центрировки 8-мерных решёток,
сохраняющие репер последовательных минимумов // Тр. МИАН\break СССР.
1980. Т. 152. С. 97-123.

6. {\it Конвей Дж., Слоэн Н.} Упаковки шаров, решётки и группы. М.,
 1990.

7. {\it Рышков С.~С.} К проблеме отыскания совершенных квадратичных
форм от многих переменных // Тр. МИАН СССР. 1976. Т. 142. С. 215-229.

8. {\it Рышков С.~С., Шушбаев С.~Ш.} Строение L-разбиения для
второй совершенной решётки // Мат. сб. 1981. Т. 116, N 2. С. 218-231.


\end
\end 
