%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
\magnification=\magstep2
%\pagewidth{17 true cm}
%\pageheight{26 true cm}
%\vcorrection{-1.3 true cm}
%\hcorrection{-.5 true cm}
\TagsOnRight
\pretitle{\centerline{\bf ����� ���� ����. ��⥬�⨪�. ��.~3}
           \centerline{\bf �������,~2000}
\vskip -.25 cm
\centerline{
-------------------------------------------------------------------------------------------- }
\vskip 1 cm
��� 514.83+514.7
\vskip .3 cm

\centerline{\bf �.~�.~������, �.~�.~��p����, �.~�.~��ਭ��}
\centerline{\bf �.~�.~��p�����, �.~�.~���p���}

\vskip.2 cm
%\leftheadtext{\it �.~�.~������, �.~�.~��p����, �.~�.~��ਭ�� � �p.}
%\rightheadtext{\it �����䨪��� �����p��������� �����}

\topmatter
\title
\centerline{\bf �����䨪��� ����᪨� �����p��������� }
\centerline{\bf ����� �� ����p㯯�� �p㯯� �㠭��p�*}
\endtitle
\abstract \nofrills
\vskip .3 cm\noindent
���ᠭ� ������ �����䨪��� �����p��������� �����, ����᪠��� ᬥ饭��
�� �p�����. ������� 22 �������� ����� �����.
\endabstract
\endtopmatter
\footnote""{* ����� �믮����� �p� 䨭��ᮢ�� �����p���
������p�⢠ ��饣� � �p���ᨮ���쭮�� ��p�������� �� (�p���� 97-0-1.3-99). }

\document
\pageno=1
\vskip  0.5 cm
\baselineskip 11 pt
\def\1{\partial}
\def\2{\lambda}
\def\3{\varphi}
\def\4{\tilde}
\def\5{\frac}
\def\7{\theta}
\def\8{\rho}
\def\ch{\text{\rm ~ch}}
\def\sh{\text{\rm ~sh}}
\def\6{\left(}
\def\9{\right)}

\centerline{\bf ��������}

� p���� [10] �p������� ��⮤ ����祭�� ��p��� ��⥣p���� �p������� ��p���
-- �p������� �������� �p����� ��p殮���� ����� � �����p������⭮� ����
(�p� ����稨 �p����樨 ��� � �� ������⢨�). ��� ��⮤ �᭮��� ��
�ᯮ�짮����� �p㯯� $G_S$ �p���p�������� 4-��p���� �������p���� $M$
�p���p���⢠-�p�����, ��p������ ��� ⥭��p �����p������⭮�� ����
$F_{ij}$, ⠪ � ���p��᪨� ⥭��p $g_{ij}$. ��䥪⨢����� ��⮤� �p���p﫠��
�� ����p���� �p���p�� [2, 5, 9]. ������, ��� ����� 楫����p��������� ���᪠
�����, p�蠥��� �⨬ ��⮤��, ����⥫쭮 ����� �����䨪��� �����p���������
����� �� ����p㯯�� $G_S$. � ��⭮��, ⠪�� �����䨪��� ����⥫쭮 �����
� ��砥 ������⢨� �⥭��. � �⮬ ��砥 �������p���� $M$ �⠭������
�p���p���⢮� ������᪮�� ��� ��� ����� (��������), � �p㯯� $G_S$ ����
����p㯯��� �p㯯� ��p��� -- �㠭��p�. ���᮪ ����p㯯 �p㯯� �㠭��p�
� �筮���� �� ᮯp殮����� ����� ����, ���p���p, � p���� [1].
������ �����䨪��� �����p��������� ����� �� ����p㯯�� �p㯯� �㠭��p�
� p����� ����� ���� �� ����� ���� ���ᠭ� ����� ����讣� ��ꥬ� ⠪��
p�����. �����p� �p������� p�襭�� �p������ �����䨪�樨 �p���⠢���� �
p����� [3, 4, 6, 8].

� �����饩 p���� ���ᠭ� �����䨪��� ����᪨� �����p��������� �����
�.~�.~����� $F_{ij}$, �� �������� �� �p�����, � ��⭮��, �����p�����᪨�
� ����������᪨�. ��� �����p�����᪨� ����� �����䨪��� ���ᠭ� �
��������� p����� �.~�.~������� � �.~�.~���\-p����, ��� ����������᪨� --
� ��������� p����� �.~�.~��p������ � �.~�.~��p����.

\vskip 0.5 cm
\centerline{\bf \S~1. ���⠭���� ����� � ��⮤ p�襭��}
\vskip 0.3 cm

��� �����p�������� ����� ����� ���������� �p���� \break
$(M, g_{ij}, F_{ij})$,
��� $M$ -- ������� � 4-��p��� �p���p���⢥ ������᪮�� $\Bbb R^4_3$ �
���p��᪨� ⥭��p�� $g_{ij}$, ᨣ����p� ���p��� $(+ + + -)$, � $F_{ij}$ --
���ᨬ���p��� ⥭��p �����p������⭮�� ����, 㤮���⢮p��騩 �p�������
���ᢥ��� [7]
$$
\1_{[i}F_{jk]}=0. \eqno(1)
$$
�p㣨�� ᫮����, �����p�������� ����� ����� ������ ������p��᪨� ��ꥪ�,
����騩 �� �ᥢ������������ ���p��� �� $M$ � ᨬ������᪮� ��p���p�
$F={1\over 2}F_{ij} dx^i \land dx^j$. �p� �⮬ ��p�� �p������� ���ᢥ���
$$
\nabla_kF^{ik}={1\over {c \varepsilon_0}}J^i
$$
�� ���뢠����, �᫥��⢨� 祣� �� ����� ⠪�� ������p��᪨� ��ꥪ� �����
����᪠�� 䨧����� ���p�p����.

����� $\{x^i\}$ -- ��������� ���p������ � $M$, �.~�.~⠪��, � ���p��
$g_{ij}=diag(1, 1, 1, -1)$. ���筮��� ���� $F_{ij}$ ����砥�, �� ���
���������� �� ������� �� �p�����\'�� ���p������ ${x^4}$, �.~�.~
$$
F_{ij}=F_{ij}(x^1, x^2, x^3).\tag2
$$
�p������� (1) ��� ⠪�� ����� ��p����뢠���� � ���� ᫥���饩 ��⥬�
$$
div\bold B=0,\tag3.1
$$
$$
rot\bold E=0,\tag3.2
$$
���
$$
\bold B=(B_1, B_2, B_3)=(F_{23}, F_{31}, F_{12}),\tag4
$$
$$
\bold E=(E_1, E_2, E_3)=(F_{14}, F_{24}, F_{34}),\tag5
$$
-- 3-����p� �����⭮� ����樨 � �����p��᪮� ���p殮�����.

�믨襬 �p������� (3.1) � (3.2) � p����p��⮬ ����:
$$
\1_1F_{23}+\1_2F_{31}+\1_3F_{12}=0,\tag6.1
$$
$$
\1_1F_{24}-\1_2F_{14}=0,\ \ \1_1F_{34}-\1_3F_{14}=0,\ \
\1_2F_{34}-\1_3F_{24}=0.\tag6.2
$$
��� �p���⠢���� ᮡ�� ������ᨬ� �����⥬� �p������� � ��p�������
ᮮ⢥��⢥��� ����������᪨� � �����p�����᪨� ����,\break �����
�� �易��� ����� ᮡ��. ���⮬� ����᪮� ���� �p���⠢��� ᮡ�� �㬬�
�����p�����᪮�� � ����������᪮�� �����:
$$
(F_{ij})=\pmatrix{
   0  &   0  &   0   & E_1\cr
   0  &   0  &   0   & E_2\cr
   0  &   0  &   0   & E_3\cr
 -E_1 & -E_2 & -E_3  &  0
} +
\pmatrix{
   0  &  B_3 & -B_2  &  0 \cr
 -B_3 &   0  &  B_1  &  0 \cr
  B_2 & -B_1 &   0   &  0 \cr
   0  &   0  &   0   &  0
}.  \eqno(7)
$$

����� $G_1: \4x^i=\4x^i(x, a)$ -- 1-��ୠ� ��㯯� ���䥮���䨧���
�������ࠧ�� $M$, � $X=\xi^i\1_i$ -- �� ��䨭�⥧������ ������.
��� ����ਠ�⭮�� ���� $F_{ij}$ �⭮�⥫쭮 $G_1$ ����室��� � �����筮
�믮������ �᫮��� ࠢ���⢠ ��� �ந������� ��:
$$
L_{\xi}F_{ij}=\xi^k\1_kF_{ij}+F_{kj}\1_i\xi^k+F_{ik}\1_j\xi^k=0.\eqno(8)
$$
��� ����� ���� (2) � ����� $\xi=(0, 0, 0, 1)$
$$
L_{\xi}F_{ij}=\1_4F_{ij}=0,\eqno(9)
$$
�� ����砥� ����ਠ�⭮��� ����᪨� ����� �� �⭮襭�� � ᬥ饭��
�६���.

�믨襬 ����� ������� �� ��㯯� �㠭���:
$$
\aligned
&e_1=(1, 0, 0, 0),\ \ e_2=(0, 1, 0, 0),\ \ e_3=(0, 0, 1, 0),\ \
e_4=(0, 0, 0, 1),$$ $$
&e_{12}=(-x^2, x^1, 0, 0),\ \ e_{13}=(x^3, 0, -x^1, 0),\ \
e_{23}=(0, -x^3, x^2, 0),$$ $$
&e_{14}=(x^4, 0, 0, x^1),\ \ e_{24}=(0, x^4, 0, x^2),\ \
e_{34}=(0, 0, x^4, x^3).
\endaligned\eqno(10)
$$

�������� �१ $\Cal L_S$ ������� �� ������� �����, ᮮ⢥�������� ��㯯�
$G_S$, ����⨬, �� ��� ����᪮�� ���� ��� ᮤ�ন� ����� $e_4$.
�஬� ⮣�, ��� �������� � [11], ࠧ��୮��� ��㯯� $G_S$ �� �ॢ��室��
���. ���⮬� �� ᯨ᪠ ���������, ᮮ⢥������� �����㯯�� ��㯯�
�㠭��� [1], �롥६ �, ����� 㤮���⢮���� ��襯���᫥��� �᫮���.
����稬 ᫥���騩 ����� �������⮢ �� ஫� $\Cal L_S$.

\noindent
\hangindent 0.45 cm
1) $\Cal L_1=L\{e_4\}$;

\noindent
\hangindent 0.45 cm
2) $\Cal L_{2,1}=L\{e_4, e_2\},\ \ \Cal L_{2,2}=L\{e_4, e_{12}\},\ \
\Cal L_{2,3}=L\{e_4, e_{12}+\2e_3\}$;

\noindent
\hangindent 0.45 cm
3) $\Cal L_{3,1}=L\{e_4, e_1, e_2\},
\Cal L_{3,2}=L\{e_4, e_2, e_{24}+\2e_3\},
\Cal L_{3,3}=L\{e_4, e_2, e_{13}+\2e_{24}\}$;

\noindent
\hangindent 0.45 cm
4) $\Cal L_{4,1}=L\{e_4, e_1, e_2, e_3\},\ \
\Cal L_{4,2}=L\{e_4, e_1, e_2, e_{12}+\2e_3\}$, \break
$\Cal L_{4,3}=L\{e_4, e_1, e_2, e_{24}+\2e_3\},\ \
\Cal L_{4,4}=L\{e_4, e_1, e_2, e_{12}-e_{14}+\2e_3\}$, \break
$\Cal L_{4,5}=L\{e_4, e_2, e_{13}, e_{24}\},\ \
\Cal L_{4,6}=L\{e_4, e_{12}, e_{13}, e_{23}\}$;

\noindent
\hangindent 0.45 cm
5) $\Cal L_{5,1}=L\{e_4, e_1, e_2, e_3, e_{24}\},\ \
\Cal L_{5,2}=L\{e_4, e_1, e_2, e_3, e_{13}+\2e_{24}\}$, \break
$\Cal L_{5,3}=L\{e_4, e_1, e_2, e_3, e_{12}-e_{14}\},\ \
\Cal L_{5,4}=L\{e_4, e_1, e_2, e_{12}-e_{14}, e_{24}+\2e_3\}$;

\noindent
\hangindent 0.45 cm
6) $\Cal L_{6,1}=L\{e_4, e_1, e_2, e_3, e_{13}, e_{24}\},\ \
\Cal L_{6,2}=L\{e_4, e_1, e_2, e_3, e_{12}-e_{14}, e_{23}+e_{34}\}$,\break
$\Cal L_{6,3}=L\{e_4, e_1, e_2, e_3, e_{12}-e_{14}, e_{24}\},\ \
\Cal L_{6,4}=L\{e_4, e_1, e_2, e_{12}, e_{14}, e_{24}\}$.

� ������祭�� $\Cal L_{k,l}$ ���� ������ 㪠�뢠�� �� ࠧ��୮��� �������.
��१ $L\{\xi_1, \dots, \xi_k\}$ ������祭� �������� �����窠 ����஢ \break
$\xi_1, \dots, \xi_k$.
�����㯯� ��㯯� �㠭���, ᮮ⢥�������� ������ ��
$\Cal L_{k,l}$, ������稬 $G_{k,l}$. ���� �����饩 ࠡ��� ��⮨� � ���ᠭ��
����ᮢ �����஬������� ����� ���� (2), ����ਠ���� �⭮�⥫쭮 \break 
��㯯 $G_{k,l}$ � �����ࠬ� �� �� ��襯ਢ�������� ᯨ᪠.

���⠢������ ����� ᢮����� � �襭�� ��� ������ ������� $\Cal L_{k,l}$
��⥬� �ࠢ����� (6.1), (6.2) �
$$
L_{\xi_{\alpha}}F_{ij}=0,\ \ \alpha=1, \dots, k, \eqno(11)
$$
��� $\xi_{\alpha}$ -- ������ ������ � $\Cal L_{k,l}$.

������稬 �१ $C_{k,l}$ �����, ᮮ⢥�����騩 ������ $\Cal L_{k,l}$.

\remark{\indent ����砭�� 1} �᫨ ������� $\Cal L_{k_1,l_1}$ �
$\Cal L_{k_2,l_2}$ �易�� ����祭��� \break
$\Cal L_{k_1,l_1} \subset \Cal L_{k_2,l_2} \ \ (k_1<k_2),$
� ᮮ⢥�����騥 ������ �易�� ����� ����祭���:
$C_{k_2,l_2} \subset C_{k_1,l_1}$.
\endremark

\remark{\indent ����砭�� 2} ������� �� ������ $\Cal L_{k,l}$ ᮮ⢥������
⮫쪮 �㫥�� �襭�� ��⥬� (6.1) -- (6.2) -- (11), �.~�. ᮮ⢥�����騥
������ $C_{k,l}$ �����.
\endremark

\vskip 0.5 cm
\centerline{\bf \S~2. ���砩 ��饣� ���������}
\vskip 0.3 cm

��� 㦥 �⬥砫��� � \S~1, �� ����᪨� ���� ����ਠ��� �⭮�⥫쭮
ᬥ饭�� �� �६���. �⨬ ��� � �ࠪ�ਧ�����. ����� ��ࠧ��, ��騩 ���
�����஬����⭮�� ����, ����ਠ�⭮�� �⭮�⥫쭮 ��㯯� ᬥ饭�� �� �६���
$G_1$, ��।������ ��㫮� (2) � �ࠢ����ﬨ (6.1) � (6.2).

\vskip 0.5 cm
\centerline{\bf \S~3. ������, ᮮ⢥�����騥 2-���� ��㯯��}
\vskip 0.3 cm

{\bf 1. ��㯯� $G_{2,1}$.} ��� ������� $\Cal L_{2,1}=L\{e_4, e_2\}$ ��⥬�
�ࠢ����� (11) ����� ��� (9) �
$$
\1_2F_{ij}=0,\eqno(12)
$$
��㤠 ᫥���, ��
$$
F_{ij}=F_{ij}(x^1, x^3),\eqno(13)
$$
� �ࠢ����� (6.1) � (6.2) �ਮ����� ���
$$
\1_1F_{23}+\1_3F_{12}=0;\ \ \1_1F_{24}=0,\ \
\1_1F_{34}=\1_3F_{14},\ \ \1_3F_{24}=0.\eqno(14)
$$

�� �᫮��� (13) -- (14) ᫥���, �� {\it ����� ����� $F_{ij}$ ����ਠ����,
�⭮�⥫쭮 ��㯯� $G_{2,1}$, ��।������ �㭪�ﬨ
$$
F_{ij}=F_{ij}(x^1, x^3)\ \ ((i, j)\ne(2, 4)),\ \ \ F_{24}=const,\eqno(15)
$$
�易��묨 �ࠢ����ﬨ}
$$
\1_1F_{23}+\1_3F_{12}=0,\ \ \1_1F_{34}=\1_3F_{14}.\eqno(16)
$$

\vskip .1 cm
{\bf 2. ��㯯� $G_{2,3}$.} ��� ������� $\Cal L_{2,3}=L\{e_4, e_{12}+\2e_3\}$
$(\2\ne0)$ ��⥬� �ࠢ����� (11) ��⮨� �� �ࠢ����� (9) � (17):
$$
XF_{13}+F_{23}=0,\ \ \ XF_{23}-F_{13}=0,\eqno(17.1)
$$
$$
XF_{14}+F_{24}=0,\ \ \ XF_{24}-F_{14}=0,\eqno(17.2)
$$
$$
XF_{12}=0,\ \ \ XF_{34}=0,\eqno(17.3)
$$
���
$$
X=-x^2\1_1+x^1\1_2+\2\1_3.\eqno(18)
$$
��᫥ ���室� �� ���न��� $\{x^i\}$ � ���न��⠬
$\{r, \3, \4x^3, x^4\}$, �� ��㫠�
$$
x^1=r\cos\3,\ \ \ x^2=r\sin\3,\ \ \ x^3=\4x^3+\2\3 \eqno(19)
$$
������ $X$ ��������� �� ����७�஢���� �� $\3$, � ��⥬� (17.1) --
(17.3) ����� ��⥣�������. � ��⮬ �ࠢ����� (9) �����
$$
F_{13}=c_1\cos\3+c_2\sin\3,\ \ F_{23}=c_1\sin\3-c_2\cos\3,\eqno(20.1)
$$
$$
F_{12}=F_{12}(r, \4x^3),\ \ F_{34}=F_{34}(r, \4x^3), \eqno(20.2)
$$
$$
F_{14}=c_3\cos\3-c_4\sin\3,\ \ F_{24}=c_3\sin\3+c_4\cos\3, \eqno(20.3)
$$
��� $c_i=c_i(r, \4x^3), (i=1, \dots, 4),\  F_{12}(r, \4x^3),\
F_{34}(r, \4x^3)$ -- �ந������ ������� �㭪樨. ����⠢��� ��ࠦ���� (20)
� �ࠢ����� (6), ��᫥ �������, �� ���������� ���᫥��� �ਤ�� � �뢮��,
�� $c_2$ �� ������ �� $r$, $c_2=c_2(\4x^3)$, � ��⠫�� �㭪樨
㤮���⢮���� �ࠢ�����
$$
{{\2}\over r}{{\1c_1}\over {\1\4x^3}}+{{\1F_{12}}\over {\1\4x^3}}-
{{c_2}\over r}=0,\eqno(21.1)
$$
$$
{{\2}\over r}{{\1c_3}\over {\1\4x^3}}+{{\1c_4}\over {\1r}}+{{c_4}\over r}=0,\eqno(21.2)
$$
$$
{{\1c_3}\over {\1\4x^3}}-{{\1F_{34}}\over {\1r}}=0,\eqno(21.3)
$$
$$
{{\2}\over r}{{\1F_{34}}\over {\1\4x^3}}+{{\1c_4}\over {\1\4x^3}}=0. \eqno(21.4)
$$

\vskip .1 cm
{\bf 3. ��㯯� $G_{2,2}$.} ������ $\Cal L_{2,2}=L\{e_4, e_{12}\}$ ����
���� ��砥� ������� $\Cal L_{2,3}$, ����� ����� $e_{12}+\2e_3$,
ᮮ⢥�����騩 ��㯯� ���⮢�� ��������, ���室�� � ����� $e_{12}$,
ᮮ⢥�����騩 ��㯯� �����⮢. ���⮬� ���㦤���� �।��饣� �㭪�
�ਬ����� � �����, ���� ⮫쪮 �� ��� ��㫠� �������� $\2=0$. � ��⭮��,
������ ���न��� (19) ��������� �� ᫥������
$$
x^1=r\cos\3,\ \ \ x^2=r\sin\3, \eqno(22)
$$
� ����� $\4x^3$ �� ��� ��㫠� �㤥� 䨣��஢��� $x^3$. ����⠢��� $\2=0$
� �ࠢ����� (21), ����稬 ᫥���騩 ����� �᫮��� �� �㭪樨, ���������騥
� ��㫠� (20),
$$
c_1=c_1(r, x^3),\ \ c_2=c_2(x^3),\ \ c_3=c_3(r, x^3),\ \ c_4={{C_4}\over r} \
(C_4=const),\eqno(23.1)
$$
$$
F_{12}={1\over r}\int c_2(x^3)\,dx^3+C_2 \ (C_2=const),\eqno(23.2)
$$
$$
{{\1c_3}\over {\1x^3}}-{{\1F_{34}}\over {\1r}}=0.\eqno(23.3)
$$

\vskip 0.5 cm
\centerline{\bf \S~4. ������, ᮮ⢥�����騥 3-���� ��㯯��}
\vskip 0.3 cm

{\bf 1. ��㯯� $G_{3,1}$.} ������ $\Cal L_{3,1}=L\{e_4, e_1, e_2\}$
���� ���७��� ������� $\Cal L_{2,1}$. ���⮬� ����� $C_{3,1}$
���� �������ᮬ ����� $C_{2,1}$. ��� ��� ���ᠭ�� � �᫮���,
ᮤ�ঠ騬�� � �.~1 \S~3, ���� �������� �ࠢ�����
$$
L_{e_1}F_{ij}=\1_1F_{ij}=0.\eqno(24)
$$
���������� ��� � (15) � (16), ����稬 ��騩 ��� ����, ����ਠ�⭮��
�⭮�⥫쭮 ��㯯� $G_{3,1}$:
$$
\aligned
&F_{12}=const,\ \ F_{13}=F_{13}(x^3),\ \ F_{14}=const,$$ $$
&F_{23}=F_{23}(x^3),\ \ F_{24}=const,\ \ F_{34}=F_{34}(x^3)
\endaligned\eqno(25)
$$
(�� �㭪樨 � (25) �ந������ �������).

\vskip .1 cm
{\bf 2. ��㯯� $G_{3,2}$.} ������ $\Cal L_{3,2}=L\{e_4, e_2, e_{24}+\2e_3\}$
⠪�� ���� ���७��� ������� $\Cal L_{2,1}$, � ᮮ⢥�����騩 �����
$C_{3,2}$ ���� �������ᮬ ����� $C_{2,1}$. �����뢠� �ࠢ����� (11)
��� ����� $\xi_{\alpha}=e_{24}+\2e_3$, ����稬
$$
\aligned
&\2\1_3F_{12}+F_{14}=0,\ \ \2\1_3F_{13}=0,\ \ \2\1_3F_{14}+F_{12}=0,$$ $$
&\2\1_3F_{23}-F_{34}=0,\ \ \2\1_3F_{24}=0,\ \ \2\1_3F_{34}-F_{23}=0.
\endaligned\eqno(26)
$$
���������� (26) � (15) � (16), ����稬 ��� ⥭��� $F_{ij}$

�) �� $\2\ne 0$:
$$\aligned
&F_{23}=C_1(x^1)\sh{{x^3}\over {\2}}+C_2(x^1)\ch{{x^3}\over {\2}},$$ $$
&F_{34}=C_1(x^1)\ch{{x^3}\over {\2}}+C_2(x^1)\sh{{x^3}\over {\2}},$$ $$
&F_{13}=F_{13}(x^1),\ \ \ \ F_{24}=C_3=const,$$ $$
&F_{14}=\2C_1^{\prime}(x^1)\sh{{x^3}\over {\2}}+\2C_2^{\prime}(x^1)\ch{{x^3}\over {\2}},$$ $$
&F_{12}=-\2C_1^{\prime}(x^1)\ch{{x^3}\over {\2}}-\2C_2^{\prime}(x^1)\sh{{x^3}\over {\2}};
\endaligned\eqno(27)
$$

�) �� $\2=0$:
$$
F_{12}=F_{14}=F_{23}=F_{34}=0,\ \ F_{13}=F_{13}(x^1, x^3),\ \ 
F_{24}=const.\eqno(28)
$$

\remark{\indent ����砭�� 3} �ਬ�� ���� (27) �����뢠��, �� ������⢮
����᪨� �����஬������� ����� �� ᢮����� � ��ꥤ������
����������᪨� � ����������᪨� �����, �.~�. ��������
����᪨� ����, � ������ ���������� ��� �������᪠�, ⠪ �
�����⭠� ��⠢���騥, �易��� ����� ᮡ��.
\endremark

\vskip .1 cm
{\bf 3. ��㯯� $G_{3,3}$.} ������
$\Cal L_{3,3}=L\{e_4, e_2, e_{13}+\2e_{24}\}$
⠪�� ���� ���७��� ������� $\Cal L_{2,1}$, � ᮮ⢥�����騩 �����
$C_{3,3}$ ���� �������ᮬ ����� $C_{2,1}$. �����뢠� �ࠢ����� (11)
��� ����� $\xi_{\alpha}=$  \break
$=e_{13}+\2e_{24}$, ����稬 � ��⮬ (15):
$$
\aligned
&XF_{12}+F_{23}+\2F_{14}=0,\ \ XF_{13}=0,\ \ XF_{14}-F_{34}+\2F_{12}=0,$$ $$
&XF_{23}-F_{12}-\2F_{34}=0,\phantom{333333333333} XF_{34}+F_{14}-\2F_{23}=0,
\endaligned\eqno(30)
$$
���
$$
X=x^3\1_1-x^1\1_3.\eqno(31)
$$
���室� �� ���न��� $\{x^i\}$ � ���न��⠬ $\{r, x^2, \3, x^4\}$ ��
��㫠�
$$
x^1=r\cos\3,\ \ x^3=r\sin\3,\eqno(32)
$$
����稬, �� ������ $X$ ��������� �� $-\1/\1\3$. ���⮬� ᫥��⢨��
��ண� �� �ࠢ����� (30) �㤥� ������ᨬ���� $F_{13}$ �� $\3$,
$$
F_{13}=F_{13}(r),\eqno(33)
$$
� ��⠫�� �ࠢ����� (30), � ⠪�� (16) ��९������ � ����:
$$
\aligned
&{{\1F_{12}}\over {\1\3}}=F_{23}+\2F_{14},\ \
{{\1F_{14}}\over {\1\3}}=\2F_{12}-F_{34},$$ $$
&{{\1F_{23}}\over {\1\3}}=-F_{12}-\2F_{34},\ \
{{\1F_{34}}\over {\1\3}}=F_{14}-\2F_{23};
\endaligned\eqno(34)
$$
$$
\aligned
&\cos\3\6{{\1F_{34}}\over {\1r}}-{ 1\over r} {{\1F_{14}}\over {\1\3}}\9-
\sin\3\6{{\1F_{14}}\over {\1r}}+{1\over r} {{\1F_{34}}\over {\1\3}}\9=0,$$ $$
&\cos\3\6{{\1F_{23}}\over {\1r}}+{1\over r} {{\1F_{12}}\over {\1\3}}\9+
\sin\3\6{{\1F_{12}}\over {\1r}}-{1\over r} {{\1F_{23}}\over {\1\3}}\9=0.
\endaligned\eqno(35)
$$

���⥬� �ࠢ����� (34) -- (35) ����᪠�� ���쭥�訩 ������, �� �����
�஬������� �� ��� ���᪠��.

{\it �뢮�:} ���� $F_{ij}$, ����᪠���� ��㯯�� $G_{3,3}$, �������� �㭪�ﬨ
$$
F_{ij}=F_{ij}(r, \3)\ \ ((ij)=(12), (14), (23), (34)),\eqno(36)
$$
㤮���⢮���騬� �ࠢ����� (34) � (35), $F_{13}$ -- ��㫮� (33), �
$F_{24}=$ $=const$.

\remark{\indent ����砭�� 4} �� $\2=0$, �.~�. ��� ��㯯�, ᮮ⢥�����饩
������ $L\{e_4, e_2, e_{13}\}$, ���� $F_{ij}$ ����� ���:
$$
\aligned
&F_{12}=c_1(r)\cos\3+{{C_2}\over r}\sin\3,\ \
F_{23}=-c_1(r)\sin\3+{{C_2}\over r}\cos\3,$$ $$
&F_{14}=c_3(r)\cos\3+{{C_4}\over r}\sin\3,\ \
F_{34}=c_3(r)\sin\3-{{C_4}\over r}\cos\3,$$ $$
&F_{13}=F_{13}(r),\ \ F_{24}=C_5=const,
\endaligned\eqno(37)
$$
��� $c_1(r)$ � $c_3(r)$ -- �ந������ ������� �㭪樨, � $C_2,\ C_4,\ C_5$
-- �ந������ ����⠭��.
\endremark

\vskip 0.5 cm
\centerline{\bf \S~5. ������, ᮮ⢥�����騥 4-���� ��㯯��}
\vskip 0.3 cm

{\bf 1. ��㯯� $G_{4,1}$.} ������ $\Cal L_{4,1}=L\{e_4, e_1, e_2, e_3\}$
���� ���७��� ������� $\Cal L_{3,1}$. ���⮬� ����� $C_{4,1}$
���� �������ᮬ ����� $C_{3,1}$, ��।��塞��� ��㫠�� (25). ��������
�᫮���
$$
L_{e_3}F_{ij}=\1_3F_{ij}=0.\eqno(38)
$$
�ਤ�� � �뢮��, �� �� ���������� ���� $F_{ij}$, ����ਠ�⭮��
�⭮�⥫쭮 ��㯯� �࠭��権 $G_{4,1}$, -- �ந������ ����⠭��:
$$
F_{ij}=const.\eqno(39)
$$

\vskip .1 cm
{\bf 2. ��㯯� $G_{4,2}$.} ������
$\Cal L_{4,2}=L\{e_4, e_1, e_2, e_{12}+\2e_3\}$ ���� ���७���
������ $\Cal L_{3,1}$ � $\Cal L_{2,3}$. �������� � (25) �ࠢ����� (17),
����� ����� �ਭ����� ���
$$
\aligned
&\2\1_3F_{13}+F_{23}=0,\ \ \2\1_3F_{23}-F_{13}=0,$$ $$
&\2\1_3F_{34}=0,\ \ F_{24}=0,\ \ F_{14}=0,
\endaligned\eqno(40)
$$
����稬 ᫥���騥 १�����:

�) �� $\2=0$ ��騩 ��� ���� ��।������ ࠢ���⢠��
$$
F_{12}=const,\ \ F_{13}=F_{14}=F_{23}=F_{24}=0,\ \ F_{34}=F_{34}(x^3);\eqno(41)
$$

�) �� $\2\ne 0$ ����� $C_{4,2}$ ��।������ 4-� ������ᨬ묨 ����ﭭ묨
$$
\aligned
&F_{13}=C_1\cos{{x^3}\over {\2}}+C_2\sin{{x^3}\over {\2}},\ \
F_{23}=C_1\sin{{x^3}\over {\2}}-C_2\cos{{x^3}\over {\2}},$$ $$
&F_{12}=C_3=const,\ \ F_{14}=F_{24}=0,\ \ F_{34}=C_4=const.
\endaligned\eqno(42)
$$

\vskip .1 cm
{\bf 3. ��㯯� $G_{4,3}$.} ������
$\Cal L_{4,3}=L\{e_4, e_1, e_2, e_{24}+\2e_3\}$ ���� ���७��� ������
$\Cal L_{3,1}$ � $\Cal L_{3,2}$. �������� � (25) �ࠢ����� (26), �ਭ����騥
� ������ ��砥 ��� (⮦���⢮ ���襭�)
$$
F_{14}=0,\ \ \2\1_3F_{13}=0,\ \ F_{12}=0,\ \ \2\1_3F_{23}=0,\ \
\2\1_3F_{34}-F_{23}=0,\ \ \eqno(43)
$$
����稬 ᫥���騩 १����: ���� $F_{ij}$, ����ਠ�⭮� �⭮�⥫쭮 ��㯯�
$G_{4,3}$, ����� ���

�) �� $\2=0$
$$
F_{12}=F_{23}=F_{14}=F_{34}=0,\ \ F_{13}=F_{13}(x^3),\ \ 
F_{24}=const,\ \ \eqno(44)
$$

�) �� $\2\ne0$
$$
F_{12}=F_{14}=0,\ \ F_{13}=C_1,\ \ F_{23}=C_2,\ \
F_{24}=C_4,\ \ F_{34}={{C_2}\over {\2}}x^3+C_3,\eqno(45)
$$
��� $C_1, \dots, C_4$ -- �ந������ ����⠭��.

\vskip .1 cm
{\bf 4. ��㯯� $G_{4,4}$.} ������
$\Cal L_{4,4}=L\{e_4, e_1, e_2, e_{12}-e_{14}+\2e_3\}$ ���� ���७���
������� $\Cal L_{3,1}$. �ࠢ����� (11) ��� �����
$\xi_{\alpha}=e_{12}-e_{14}+\2e_3$ � ��⮬ (25) �룫廊� ᫥���騬 ��ࠧ��:
$$
\aligned
&F_{24}=0,\ \ \ \2\1_3F_{13}+F_{23}+F_{34}=0,\ \ \ F_{24}=0,$$ $$
&\2\1_3F_{23}-F_{13}=0,\ \ -F_{14}+F_{12}=0,\ \
\2\1_3F_{34}+F_{13}=0.
\endaligned\eqno(46)
$$
��᫮��� ������ ��⥬� (46) -- (25) �ਢ���� � ᫥���饬� ���� ���� $F_{ij}$

�) �� $\2=0:$
$$
F_{12}=F_{14}=const,\ \ F_{13}=F_{24}=0,\ \ F_{23}=-F_{34}(x^3);\eqno(47)
$$

�) �� $\2\ne0:$
$$
\aligned
&F_{12}=F_{14}=C_1,\ \ \ F_{24}=0,\ \ \ F_{13}={{C_2}\over {\2}}x^3+C_3,$$ $$
&F_{23}={{C_2}\over {2\2^2}}(x^3)^2+{{C_3}\over {\2}}x^3+C_4,\ \ \ 
F_{34}=-F_{23}-C_2,
\endaligned\eqno(48)
$$
��� $C_1,~\dots~,C_4$ -- �ந������ ����ﭭ�.

\vskip .1 cm
{\bf 5. ��㯯� $G_{4,5}$.} ������
$\Cal L_{4,5}=L\{e_4, e_2, e_{13}, e_{24}\}$ ���� ���७��� �������
$\Cal L_{3,3}$ �� $\2=0$. ���⮬� ����� $�_{4,5}$ ���� �������ᮬ �����
(37) �� ���������� �ࠢ����� (11) ��� ����� $\xi_{\alpha}=e_{24}$.
� ��⮬, �� $F_{ij}$ �� ������ �� $x^2$ � $x^4$, �� �ࠢ����� ����
(⮦���⢠ ���襭�)
$$
F_{14}=0,\ \ F_{12}=0,\ \ F_{43}=0,\ \ F_{32}=0.
$$

����� ��ࠧ��, ����� $�_{4,5}$ ����� ���:
$$
F_{12}=F_{14}=F_{23}=F_{34}=0,\ \ F_{13}=F_{13}(r),\ \ F_{24}=const,\eqno(49)
$$
��� $r$ ��।������ �� (34): $r=\sqrt{(x^1)^2+(x^3)^2}$.

\vskip .1 cm
{\bf 6. ��㯯� $G_{4,6}$.} � ��砥 �������
$\Cal L_{4,6}=L\{e_4, e_{12}, e_{13}, e_{23}\}$ ��⥬� �ࠢ����� (6) -- (11)
����� ���� �襭� � ����᪨� ���न���� $\{r, \3, \7, x^4\}$, �易���� �
���न��⠬� $\{x^i\}$ ��㫠��
$$
x^1=r\cos\3\cos\7,\ \ x^2=r\sin\3\cos\7,\ \ x^3=r\sin\7, \eqno(50)
$$
��᪮��� ���᫥��� �祭� �஬�����, �� �� ���᪠��. ������� ����� ���:
$$
F_{14}=x^1C(r),\ \ F_{24}=x^2C(r),\ \ F_{34}=x^3C(r),\ \
F_{12}=F_{13}=F_{23}=0,\eqno(51)
$$
��� $C(r)$ -- �ந����쭠� �㭪��.

� ��⭮��, ��� ����� ����砥� � ᥡ� �㫮���᪮� ����, �᫨ ��������
$C(r)=K/r^3,\ K=const$.

\vskip 0.5 cm
\centerline{\bf \S~6. ������, ᮮ⢥�����騥 5-���� ��㯯��}
\vskip 0.3 cm

{\bf 1. ��㯯� $G_{5,1}$.} ������
$\Cal L_{5,1}=L\{e_4, e_1, e_2, e_3, e_{24}\}$
���� ���७��� ������� $\Cal L_{4,1}$. ���⮬� ����� $C_{5,1}$
���� �������ᮬ ����� $C_{4,1}$, ��।��塞��� ��㫮� (39). ��������
�ࠢ����� (8) ��� ����� $\xi=e_{24}$, ����稬 � १����:
$$
F_{12}=F_{14}=F_{23}=F_{34}=0,\ \ F_{13}=C_1,\ \ F_{24}=C_2, \eqno(52)
$$
��� $C_1$ � $C_2$ -- �ந������ ����⠭��.

\vskip .1 cm
{\bf 2. ��㯯� $G_{5,2}$.} ������
$\Cal L_{5,2}=L\{e_4, e_1, e_2, e_3, e_{13}+\2e_{24}\}$ ⠪��
���� ���७��� ������� $\Cal L_{4,1}$. ���⮬� ����� $C_{5,2}$
���� �������ᮬ ����� $C_{4,1}$. ��������
�ࠢ����� (8) ��� ����� $\xi=e_{13}+\2e_{24}$, ����稬 � १���� �� ��
��� ����, �� � � �.~1.

\vskip .1 cm
{\bf 3. ��㯯� $G_{5,3}$.} ������
$\Cal L_{5,3}=L\{e_4, e_1, e_2, e_3, e_{12}-e_{14}\}$ ⠪��
���� ���७��� ������� $\Cal L_{4,1}$. ���⮬� ����� $C_{5,3}$
���� �������ᮬ ����� $C_{4,1}$. ��������
�ࠢ����� (8) ��� ����� $\xi=e_{12}-e_{14}$, ����稬 � १����:
$$
F_{12}=F_{14}=C_1,\ \ F_{23}=C_2,\ \ F_{13}=F_{24}=F_{34}=0, \eqno(53)
$$
��� $C_1$ � $C_2$ -- �ந������ ����⠭��.

\vskip .1 cm
{\bf 4. ��㯯� $G_{5,4}$.} ������
$\Cal L_{5,4}=L\{e_4, e_1, e_2, e_{12}-e_{14}, e_{24}+\2e_3\}$
���� ���७��� ������� $\Cal L_{4,3}$. ���⮬� ����� $C_{5,4}$
���� �������ᮬ ����� $C_{4,3}$. �������� � �᫮��� (44) ��� (45)
�ࠢ����� (8) ��� ����� $\xi=e_{12}-e_{14}$, ����稬, �� � ����� �����
$F_{ij}=0$, �.~�. ����� $C_{5,4}$ ���⮩.

\pagebreak
\centerline{\bf \S~7. ������, ᮮ⢥�����騥 6-���� ��㯯��}
\vskip 0.3 cm

{\bf 1. ��㯯� $G_{6,1}$.} ������
$\Cal L_{6,1}=L\{e_4, e_1, e_2, e_3, e_{13}, e_{24}\}$
���� ���७��� ������ $\Cal L_{5,1}$ � $\Cal L_{5,2}$. ���⢥�����騩
�� ����� $C_{6,1}$ ᮢ������ � $C_{5,1}$ � $C_{5,2}$, �.~�. ����� ��� (52).
��᫥���� ����砥�, �� �����ன $\Cal L_S$ ��� ���� (52) �㤥�
$\Cal L_{6,1}$.

\vskip .1 cm
{\bf 2. ��㯯� $G_{6,2}$.} ������
$\Cal L_{6,2}=L\{e_4, e_1, e_2, e_3, e_{12}-e_{14}, e_{23}+e_{34}\}$
���� ���७��� ������� $\Cal L_{5,3}$. ���⮬� ����� $C_{6,2}$
���� �������ᮬ ����� $C_{5,3}$, ����������� ��㫠�� (53).
�������� � �᫮��� (53) �ࠢ����� (8) ��� ����� $\xi=e_{23}+e_{34}$,
����稬 � १����:
$$
F_{12}=F_{14}=const,\ \ F_{13}=F_{23}=F_{24}=F_{34}=0. \eqno(54)
$$

\vskip .1 cm
{\bf 3. ��㯯� $G_{6,3}$.} ������
$\Cal L_{6,3}=L\{e_4, e_1, e_2, e_3, e_{12}-e_{14}, e_{24}\}$
���� ���७��� ������ $\Cal L_{5,1}$ � $\Cal L_{5,3}$. ���⮬�
����� $C_{6,3}$ ���� �������ᮬ ����ᮢ $C_{5,1}$ � $C_{5,3}$,
� ᫥����⥫쭮, � �������ᮬ �� ����祭��. ��ꥤ���� �ࠢ����� ��⥬
(52) � (53), ����稬 � १����, �� $F_{ij}=0$, �.~�. ����� $C_{6,3}$ ����.

\vskip .1 cm
{\bf 4. ��㯯� $G_{6,4}$.} ������
$\Cal L_{6,4}=L\{e_4, e_1, e_2, e_{12}, e_{14}, e_{24}\}$
���� ���७��� ������ $\Cal L_{4,2}$ � $\Cal L_{4,3}$ �� $\2=0$.
���⮬� ����� $C_{6,4}$ ���� �������ᮬ ����祭�� ����ᮢ $C_{4,2}$ �
$C_{5,3}$, ���������� ��⥬��� (41) � (44). �� ����祭��, ��� �����
㢨����, �।�⠢��� ᮡ�� �㫥��� ���� $F_{ij}=0$. ���⮬� ����� 
$C_{6,4}$ ����.

\vskip 0.5 cm
\centerline{\bf �����祭��}
\vskip 0.3 cm

� ࠡ�� ���ᠭ� ������ �����஬������� �����, ����ਠ���� �⭮�⥫쭮
�����㯯 ��㯯� �㠭���, ������� �� ������ �믨ᠭ� � \S~1. ��� ࠧ��୮�⥩
�� 1 �� 4 �� ������ �������. � ��砥 ࠧ��୮�� 5 ⮫쪮 ����� �� ��㯯
ᮮ⢥����� �����⮩ ����� ((53)). ��� ࠧ��୮�� 6 ⠪�� ����ᮢ ���
((52) � (54)). �ᥣ� ���ᠭ� 22 �����.

\vskip 0.5 cm
\centerline{\bf ���᮪ �ᯮ�짮������ ���p���p�}
\vskip 0.3 cm

\noindent
\hangindent 0.45 cm
1. {\it ���쪮 �.~�.} �����㯯� ��㯯� ��७� -- �㠭��� // ���. ��
����. ���. 䨧-���. ���. 1971. �~1. �.~5 -- 13.   % $\No$

\noindent
\hangindent 0.45 cm
2. {\it ��p����� �.�., ���� �.�, ��p���� �.�.}  ��p�� ��⥣p���
�p������� ��p��� ��� �����p�� ����ᮢ �����p��������� �����.
�������, 1993. 10 c. ���. � ������ 03.11.93, �~2736-B93 .

\noindent
\hangindent 0.45 cm
3. {\it ��஡쥢 �.~�., ��ਭ�� �.~�.} �����஬������ ����, ����ਠ���
�⭮�⥫쭮 ����࡮���᪨� ���⮢//����.~��.~����.~���.~�-�. ��⥬�⨪�.
�������, 1999. ��.~2. �.~36 -- 39.

\noindent
\hangindent 0.45 cm
4. {\it ������� �.~�.} �p㯯���� �����䨪��� �����஬������� ����,
����᪠��� ᬥ饭�� �� ����� �� �p���p���⢥���� ���p�����//
����.~��.~����.~���. �-�. ��⥬�⨪�. �������, 1999. ��.~2. \break
�.~50 -- 62.

\noindent
\hangindent 0.45 cm
5. {\it ������� �.~�., ��ਭ�� �.~�.} ���� ��⥣ࠫ� �ࠢ����� ��७�
� ��砥 ���᪮� �����஬���᪮� ����� //����.~��.~����.~���.~�-�.
��⥬�⨪�. ��.~1. �������, 1997. �.~36 -- 38.

\noindent
\hangindent 0.45 cm
6. {\it ��襫��� �.~�., ��ਭ�� �.~�.} �����஬������ ����, ����ਠ���
�⭮�⥫쭮 �������᪨� ���⮢//����.~��.~����.~���. �-�. ��⥬�⨪�.
�������, 1999. ��.~2. �.~98 -- 100.

\noindent
7. {\it ������ �.~�., ����� �.~�.} ���p�� ����. �., 1967.  460 �.

\noindent
\hangindent 0.45 cm
8. {\it �좮� �.~�., ��ਭ�� �.~�.} �����஬������ ����, ����ਠ���
�⭮�⥫쭮 ��ࠡ����᪮�� ����//����.~��.~����.~���. �-�. ��⥬�⨪�.
�������, 1999. ��.~2. �.~105 -- 109.

\noindent
\hangindent 0.45 cm
9. {\it ��p���� �.~�.} ���� ��⥣ࠫ� �ࠢ����� ��७�
(C����� १���⮢)//����.~��.~����.~���.~�-�. ��⥬�⨪�. �������, 1997.
��.~1. �.~101 -- 110.

\noindent
\hangindent 0.45 cm
10. {\it ��p���� �.~�.} ���������᪠� ��㯯� �����஬����⭮�� ���� � ����
��⥣ࠫ� �ࠢ����� �������� ��७�. �������, 1981. 11 �. ���.� ������ 22.02.82, �~802-82.

\noindent
\hangindent 0.45 cm
11. {\it Combe Ph., Sorba P.} Electromagnetic fields with symmetry // Physica.
1975. Vol.~A80. �~3. P.~271 -- 286.

\end

