%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
\magnification=\magstep2
%\pagewidth{17 true cm}
%\vcorrection{-2 true cm}
%\hcorrection{-.5 true cm}
\TagsOnRight
\pretitle{\centerline{\bf ����� ���� ����. ��⥬�⨪�. ��.~3}
           \centerline{\bf �������,~2000}
\vskip -.25 cm
\centerline{
-------------------------------------------------------------------------------------------- }}
\vskip 1 cm
��� 513           % ��� ���}
%\leftheadtext{ �.~�.~�����,\ �.~�.~��設 }

%\rightheadtext{�����騥\ �।���������}

\centerline{\bf �.~����� \ �.~�.~��設}
\vskip.2 cm

\topmatter
\title
\centerline{\bf �����騥 �।��������� ���襣�}
\centerline{\bf  ���浪� ��� ��⮤�� �㭣�-����}
\endtitle
\abstract \nofrills

\vskip  0.3 cm
� ���� ��ந��� ⥮�� ������ �।��������� ��� ��⮤��
�㭣�-���� ���浪� 8 � ���, �������� �⠭����� ����騥
�।���������.
\endabstract
\endtopmatter
\document
\pageno=1
\vskip  0.5 cm

��⮤� �㭣�-����� (��), �ᯮ��㥬� ��� �᫥����� �襭��
��몭������� ����७樠���� �ࠢ�����, �ࠪ�ਧ����� ����
\break
��ࠬ��ࠬ� $(p,n)$ - ���浪�� ��⮤� � ������⢮� 蠣��
ᮮ⢥�\-�⢥���. ����⢥���, �� �� 䨪�஢����� ���浪� (�筮��)
��⮤�, ������⢮ 蠣�� �⥫��� �� ��������஢���. ������᪨�
��⮤� �� ����� ��ࠬ���� (4,4). � �����饬� �६��� ([1], [2])
������� ��⮤� � ��ࠬ��ࠬ� (5,6), (6,7), (7,9) (8,13) � �������
��㣨�.

����� $n$-蠣��� ��⮤ �� ���浪� $p$ ��������
�������㣮�쭮� $n\times n$-����楩 $\tilde{A}$ ����:

$$ \tilde{A} =
          \left(\matrix{ 0      & 0       &\dots  & 0 \cr
                       a_{21}  & 0       &\dots  & 0 \cr
                               &         &\dots  &   \cr
                       a_{n1}  & a_{n2}  &\dots  & 0 \cr
                    } \right),
$$
\noindent �  ����� $b=(b_{1},\ldots b_{n})$  �����  n.
��  �����  ��ꥤ�����  �  ���� ���७��� ������ $A$
ࠧ��� $(n+1)\times (n+1)$:
$$ A =
          \left(\matrix{ 0      & 0       &\dots  & 0 \cr
                       a_{21}  & 0       &\dots  & 0 \cr
                               &         &\dots  &   \cr
                       b_1     & b_2     &\dots  & 0 \cr
                    } \right).
$$

��� ��宦����� $n$-蠣����� ��⮤� �� �ॡ���� ����
${\Bbb R}$-���\-�\-�� $A$, �����樥��� ���ன 㤮���⢮��� �����ன
��⥬� ���������� (�������������) �ࠢ�����. � �ࠪ��᪨ ������
����� $(p=7..10)$ �� ����砥� ���������� ��⥬� �� ��᪮�쪨�
����⪮� (��� ���� �⥭) ��६����� � �� ����� �ࠢ�����. �
�����饥 �६� �� ������� ���� ᯮᮡ�� �� �襭��. ��宦�����
������� �⤥�쭮�� �襭�� ���� ����让 �஡�����.

��� ���ᠭ�� 㪠������ ��⥬� �ࠢ����� �ਬ������ "��⮤
��ॢ쥢" [2]: ������� ��ॢ� � �� ����� 祬 $p$ ���設���
ᮮ⢥����� ஢�� ���� �ࠢ�����. ���襬 �� ᮮ⢥��⢨� �����
���஡��.

������ $\tilde{A}$ � $A$ �㤥� �⮦���⢫��� � ᮮ⢥�����騬� ������묨
�����ࠬ� � ����࠭�⢠� ${\Bbb R}^{n}$ � ${\Bbb R}^{n+1}$.

��� ���� ����஢
$$
x = \left(\matrix{ x_1   \cr
                  \dots \cr
                  x_n   \cr
         } \right)
\ \text{ � }\
y = \left(\matrix{ y_1   \cr
                  \dots \cr
                  y_n   \cr
         } \right)
$$
�१ $x*y$ �㤥� ��������� �����
$$
x = \left(\matrix{ x_1\cdot y_1   \cr
                  \dots \cr
                  x_n\cdot y_n   \cr
         } \right).
$$
��१ $e$ ������稬 �����
$$
x = \left(\matrix{ 1   \cr
                  \dots \cr
                  1   \cr
         } \right)
$$

{\bf ��।������ 1}. a) ��ॢ��  �㤥�  ���뢠��  ���  ���  横���  �
�⬥祭��� ���設�� (��୥�).  �㤥�  �����,  ��  ��७�  ��ॢ�
�ᯮ����� �����.

�) ����� $a$ - ������� ���設� � ��ॢ� $t$, �१ $t_a$  ������稬
��ॢ�, ����饥 �� ��� ���設 ��ॢ� $t$, ������ ���  a.

�) ��१ $t_0$ ������稬 ��ॢ�, ����饥 ��  ������  ����.

�) ��� ���� ��ॢ쥢 $t_1$ � $t_2$ �१ $t_1t_2$ ������稬
��ॢ�, ������饥�� ��ꥤ������� ��୥� ��ॢ쥢 $t_1$ � $t_2$.
�⭮�⥫쭮 �⮩ ����樨 ������⢮ ��� ��ॢ쥢 ���� ᢮������
�����㯯�� ��᪮��筮�� ࠭��, ����ࠫ�� ������� - $t_0$,
��ࠧ��騬� ����� �� ��������� ��ॢ�� (� ������ �� ����
��室�� ���� ���� ॡ�).

�) ��� ��� ��ॢ� $t$ �१ $\alpha t$ ������稬 ��ॢ�, ����祭���
�� $t$ ����������� �� ����� ���設� "���" ��୥�. ��ॢ� $\alpha t$ -
�ᥣ�� ���������. �� ��ॢ� ����� ���� ����祭� �� $t_0$
�������樥� ����権 $\alpha $ � 㬭������.

�) ��� ��� ��ॢ� $t$ �१ $w(t)$ ������稬  ������⢮  ���設
��ॢ� �����  1  (�  ����  ������⢮  ॡ��).  ��᫮ $w(t)$  �㤥�
���뢠�� "��ᮬ" ��ॢ�.

�) ��� ��� ��ॢ� $t$ �१ $\delta (t)$ ������稬 �ந�������� ��
�ᥬ ���設�� $a$, �஬� ����
$(w(t_{a})+1)$; $\gamma (t):=\delta(t)(w(t)+1)$.

{\bf �।������� 1. } �) $w(t_{1}t_{2}) = w(t_{1}) + w(t_{2})$,

�) $w(\alpha t) = w(t) + 1$,

�) $\delta (t_{1}t_{2}) = \delta (t_{1}) \delta (t_{2}),$

�) $\delta (\alpha t) = \delta (t) (w(t)+1)$.

����� $a_{n}, b_{n}$ - ������⢮ ࠧ����� ��ॢ쥢 ��� $n (\le n$).
����� (�.[1]):

$$\matrix{
n     &0  &1 &2 &3 &4  & 5 &6  &7   &8   &9     \cr
a_{n} &1  &1 &2 &4 &9  &20 &48 &115 &286 &719   \cr
b_{n} &1  &2 &4 &8 &17 &37 &85 &200 &486 &1205  \cr
}
$$

{\bf ��।������ 2.} ��� ��� ��ॢ� $t$ � �����⭮� ������ $A$
��।���� ����� $\Phi_t(A)$ ᫥���騬 ��ࠧ��. ��� ��ॢ� $t_0$
������� $\Phi_{t_{0}}(A)=e$, ��� $e=(1,\ldots,1)$. ��� ��ॢ� $\alpha
t$ ������� $\Phi _{\alpha t}(A)=A\cdot \Phi _{t}(A)$, ���
$A\cdot v$ - �ந�������� ������ �� �����. ��� ���� ��ॢ쥢 $t_1$
� $t_2$ �������
$$
\Phi _{t_1 t_2}(A) = \Phi _{t_{1}}(A)*\Phi_{t_{2}}(A).
$$
\noindent ��� ��� � ������� ����樨 $\alpha $ � 㬭������ ��ॢ쥢 ��
��ॢ� $t_{1}$ ����� ������� �� ��ॢ��, � ��� �ࠢ�� �����筮
��� ������� ������� ������ $\Phi$.

$$\matrix{
&N      && w \quad && ��ॢ� \quad   && \Phi_t(A) \quad &&\delta(t) \cr
&0      && 0 && t_0         &&  e                       && 1        \cr
&1      && 1 &&t_1=\alpha t_0&& Ae                      && 1        \cr
&2      && 2 &&\alpha^2 t_0 && A^2e                     && 2        \cr
&3      && 2 &&t_1 \cdot t_1&& Ae*Ae                    && 1        \cr
&4      && 3 &&\alpha^3 t_0 && A^3e                     && 6        \cr
&5      && 3 &&\alpha(t_1\cdot t_1)&& A(Ae*Ae)          && 2        \cr
&6      && 3 &&t_1 \cdot t_2          && Ae*A^2e        && 2        \cr
&7\quad && 3 &&t_1 \cdot t_1 \cdot t_1 \quad && Ae*Ae*Ae \quad && 1 \cr
}
$$

�㬬� ���न��� ����� $x$ ������稬 �१ $\{x\}$,
��᫥���� ���न���� ����� ������稬 �१ $[x]$.

{\bf �।������� 2. } ����� $A$ - �������㣮�쭠� ����� � �㫥���
���������� ࠧ��� $(n+1)*(n+1)$, $\tilde{A}$ - ����� ࠧ��� $n*n$,
���������� �� $A$ ���ન������ ��᫥���� ��ப� � ��᫥����� �⮫��,
$b$ - ����� ����� $n$, ��⠢����� �� ��᫥���� ��ப� ������ $A$
(�஬� ᠬ��� ��᫥����� �������). ����� ��� ��� ��ॢ� $t$:
$$
�)\  \Phi_{t}(\tilde{A})\} = \tilde{\Phi_{t}(A)},
$$
$$
�)\  \{b*\Phi_{t}(\tilde{A})\} = [A\Phi_{t}(A)].
$$
{\bf ������⥫��⢮. } ��� ��� �� ��ॢ� ����� ������� ��
$t_0$ � ������� ����樨 $\alpha$ � 㬭������, � �����筮 ��������,
�� ᢮��⢠ (�) � (�) �믮������� ��� ��ॢ� $t_0$ � ��࠭����� ��
���室� �� ��ॢ� $t$ � $\alpha t$ � �� ��ॢ쥢 $t_1$, $t_2$ �
��ॢ� $t_1 \cdot t_2$.

��� ��ॢ� $t_0$ ����� � �ࠢ�� ��� ᮮ⭮襭�� (�) ࠢ�� ������,
����饬� �� ����� ������, � ����� ᮢ������. ����� ����
ᮮ⭮襭�� (�) ࠢ�� $\{b*e\} = b1+\dots+b_n$ � �ࠢ��:
$[Ae] = v1+\dots+b_n$, � ���� ⠪ �� ᮢ������.

{\bf ���६� 1.}[1] (�ࠢ����� �����) �������㣮�쭠� �����
$\tilde{A}$ � ����� $b$ ������ ��⮤ �㭣�-����� ���浪� $p$
$\Leftrightarrow$ ��� ������� ��ॢ� $t$ ��� $<p$ �믮����� ࠢ���⢮
$$
\{b*\Phi _{t}(\tilde{A})\} = 1/\gamma (t).
$$

��襭�� �⮩  ��⥬�  �������������  (����������)  �ࠢ�����
���� ���쬠 ᫮���� ����祩 � � ������ ���� ���  ��  �襭�  ��
�� ���. ����� $n_{\min }(p)$ - �������襥  ������⢮  蠣��  ���  ��⮤�
���浪� p. �� ᥣ���� �����⭮ ᫥���饥
\par
$$ \matrix{
p        & 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7&  8&            9&                10& \cr
n_{\min }& 1& 2& 3& 4& 6& 7& 9& 11&   12\le n\le 17&  13\le n\le 17& \cr
}
$$

{\bf ���६� 2.} ����७��� ����� $A$ ������ ��⮤ �㭣�-�����
���浪� $p$ $\Leftrightarrow$ ��� ������� ��ॢ� $t$ ���
$\le p$ �믮����� ࠢ���⢮
$$
[\Phi _{t}(A)] = 1/\delta (t).
$$
\noindent ��� �१ $[v]$ ������祭� ��᫥����, $(n+1)$-� ���न���
����� v.

{\bf ������⥫��⢮. } ��� ���
$$
\{b*\Phi_{t}(\tilde{A})\} = [A\Phi_{t}(A)].
$$
� �ࠢ����� �� ⥮६� 1 ����� ������� � ����
$$
[A\Phi_{t}(A)] = 1/\gamma (t)
$$
��� ��� ��ॢ쥢 ��� $<p$.

�᫨ $t$ - �ந����쭮� ��ॢ� ��� $<p$, � $t_1=\alpha t$ -
�ந����쭮� ��������� ��ॢ� ��� $\le p$. ���뢠�, ��
$[A\Phi_{t}(A)] = [\Phi_{\alpha t}(A)]$ �
$\delta(\alpha t) = \gamma(t)$, ��᫥���� �ࠢ����� ����� ��९����
� ����
$$
[\Phi_{t_1}(A)] = 1/\delta(t_1)
$$
��� ��� ��������� ��ॢ쥢 $t_1$ ��� $\le p$. ��� ���
$$
\Phi_{t_1*t_2}(A) = \Phi_{t_1}(A)*\Phi_{t_2}(A)
$$
�
$$
\delta_{t_1*t_2}= \delta_{t_1}\delta_{t_2}
$$
� �ࠢ����� ��� ����������� ��ॢ쥢 ����� ᫥��⢨ﬨ
�ࠢ����� ��� ���������.

{\bf ��।������ 3.} ����� $A$ - ����� ࠧ���
$(n+1)\times (n+1)$ ����
$$\left( \matrix{
 0&         0&         0&           . &   0&         0\cr
 a_{21}&    0&         0&           . &   0&         0\cr
 a_{31}&    a_{32}&    0&           . &   0&         0\cr
 \dots                                                \cr
 a_{n+1,1}& a_{n+1,2}& a_{n+1,3}& \dots & a_{n+1,n}& 0
} \right)
$$
�㤥� �⮦���⢫��� �� � ᮮ⢥�����騬 ���쯮⥭��
�����஬ � ����࠭�⢥ ${\Bbb R}^{n+1}$. ��१ $L_{k}=L_{k}(A)$
������稬 �������࠭�⢮ � ${\Bbb R}^{n+1}$, ��஦������ ����ࠬ�
$\Phi _{t}(A)$ ��� ��� ��ॢ쥢 ��� k. ��१ $L'_k$ ������稬
����� �� $L_{k}$ � �㫥��� ��᫥���� ���न��⮩:
$$
L'_k= \{ v\in L_{k}: [v]=0 \}.
$$

���஡���: $L_{0}=<e>, L_{1}=<Ae>, L_{2}=<A^{2}e, Ae*Ae>$,
$$
L_{3} = <A^{3}e, A(Ae*Ae), A^{2}e*Ae, Ae*Ae*Ae>.
$$
$$
L'_0 = L'_1 = 0,
$$
�᫨ ����� $A$ ������ ��⮤ �� ���浪� $\ge 2,$ �
$$
L'_2 = <Ae*Ae - 2*A^{2}e>.
$$

�� ��ॢ� $t$ ��� $k$ ����� �।�⠢��� ���� � ���� $\alpha t_1$,
���� � ���� $t_1 t_2$ ��� �������� ��ॢ쥢 $t_1$, $t_2$, ���⮬�
$$
L_{k} = A(L_{k-1}) + \sum_{i+j=k}L_{i}*L_{j}.
$$

{\bf ����砭��.} �᫨ ����� $A$ ������ ��⮤
�㭣�-����� ���浪� $p$, � ��� ��� $k \le p$:
$$
L_{k} = <A^{k}e> \oplus  L'_{k}
$$

{\bf ���६� 3.} ����� $A$ ������ ��⮤
�㭣�-����� ���浪� $p$ $\Leftrightarrow $ ��� ��� $k<p$:
$$
\forall v \in L_k: [Av] = [v]/(k+1) ,\tag{*}
$$
\noindent ��� �१ $[v]$ ������祭� ��᫥����, $(n+1)$-� ���न���
����� v.

\noindent{\bf ������⥫��⢮.} ����� ����� $A$ ������ ��⮤
�㭣�-����� ���浪� $p$, � ���� �믮����� ᮮ⭮襭��
$$
[\Phi _{t}(A)] = 1/\delta (t).
$$
��� ������⥫��⢠ ࠢ���⢠  (*)  �����筮  �஢����,  ��  ���
������� ��ॢ� $t$ ��� $k$ �믮�����
$$
[A\cdot \Phi _{t}(A)] = [\Phi _{t}(A)]/(k+1),
$$
�� ᫥��� �� $\delta (\alpha t) = \delta (t) (w(t)+1)$.

���⭮, ����� �믮����� ᮮ⭮襭�� (*). �� $k$=0 ����稬:
$[Ae]=[e]=1$ � ���� �᫮��� ⥮६� 2 �믮����� ��� ��ॢ쥢
��� 0. �᫨ ��� �����ண� ��ॢ� $t$
$$
[\Phi _{t}(A)] = 1/\delta (t),
$$
� �� ᮮ⭮襭�� (*) ����稬
$$
[A\cdot \Phi _{t}(A)] = [\Phi _{t}(A)]/(k+1) .
$$
�� � � ���� ��� ����⨢��� ������⥫��⢮ ⥮६�.

{\bf ���६� 4.} ����� $A$ ������ ��⮤ �� ���浪� $p$ $\Leftrightarrow$
$$ \alignat 2
&1)\quad [A^k e] = 1/k!, \quad            &&\text{�� }\  k=0,\dots,p,$$ $$
&2)\quad \forall v\in L'_k:[Av]\in L'_{k+1},\quad &&\text{�� }\ k<p\\
\endalignat
$$

\medskip
\centerline{��ᮥ������� �����}
\medskip

������稬 �१ $NMatr_n$ ����࠭�⢮ �������㣮���� ����� $A$
� �㫥��� ����������, � ������ �������� ��� ������� ���������� �⫨��
�� 0. ��� ���筮,
�१ $\{e_{j}\}$ ������稬 �⠭����� ����� � ����࠭�⢥
${\Bbb R}^{n+1}$: � ����� $e_{j}$ ⮫쪮 $j$-� ���न��� ࠢ�� 1,
��⠫�� - 0. ��� ������� ������ $A$ � ${\Bbb R}^{n+1}$ ������
�����⢥��� ����� $\{v_{j}\}$ ⠪��, ��:

1) $A(v_{j}) = v_{j+1},\text{ �� }j\le n, A(v_{n+1})=0$;

2) $v_{n+1}= e_{n+1}$;

3) � ����஢  $v_{1},\ldots v_{n}$ ��᫥���� ���न��� ࠢ�� 0.

����⢮����� � �����⢥������ ⠪��� ����� ���ᯥ稢����� \break
⥬, �� $Ae_{j}\in <e_{j+1},\ldots ,e_{n+1}>$. ������� ��� �����
��ᮥ������� � ����� $A$.

�믨襬 ���न���� ����஢ $v_{i}$ � �⮫���� � ���� ������:
$$\left( \matrix{
 v_{11}&    0&         0&           . &   0&         0\cr
 v_{21}&    v_{22}&    0&           . &   0&         0\cr
 v_{31}&    v_{32}&    v_{33}&      . &   0&         0\cr
 \dots                                                \cr
 v_{n,1}&   v_{n,2}&  v_{n,3}&  \dots & v_{n,n}&     0\cr
 0 &        0&         0&         \dots&  0&         1\cr
} \right)
$$

������ $\{e_{i}\}$ � $\{v_{j}\}$ �易�� ᮮ⭮襭���:
$$
\{v_{1}, \ldots, v_{n+1}\} = \{e_{1}, \ldots, e_{n+1}\}\cdot V
$$

�� ��।������ ����஢ $v_{i}$ ᫥���� ᮮ⭮襭�� ����� �����樥�⠬�
����� $A$ � V.

1) $A = V\cdot Q\cdot V^{-1}$, ���
$$
Q = \left( \matrix{
 0& 0& 0& . &     0&   0\cr
 1& 0& 0& . &     0&   0\cr
 0& 1& 0& . &     0&   0\cr
  &  &  & \dots&   &    \cr
 0& 0& 0& \dots&  1&   0\cr
} \right)
$$
- ��ठ���� ���⪠.

$$
2) \sum^{j-1}_{k=i} a_{jk}v_{ki} = v_{j,i+1},\text{ �� }1\le i<j\le n+1.
\qquad\qquad\qquad\qquad
$$

������ $A$ �१ $V$ ����� ��ࠧ��� � ᮮ⭮襭�� (1). �� ᮮ⭮襭�� (2)
᫥���
$$
v_{j-1,i}= \frac{1}{a_{j,j-1}}( v_{j,i+1}- \sum^{j-2}_{k=i} a_{jk}v_{ki})
\text{ �� } 1\le i<j\le n,
$$
�� �������� ��ࠧ��� �����樥��� ������ $V$ �१ $A$.

����� ��ࠧ��, ������ $A$ � $V$  ��ࠦ�����  ���  �१  ��㣠.
���⮬� ����� �����樥�⮢ $(v_{ij})$ ����� ��ᬠ�ਢ��� ��� ��������
����� ��⥬� ���न��� � ����࠭�⢥ $NMatr_n$.

{\bf ��।������.} �� $2\le j\le p$ �१ $M_{j}$ ������稬
�������࠭�⢮, ��஦������ ����ࠬ� $<v_{2}, \ldots,v_{j+n-p}>$.
� ��⭮��,
$$
M_{2} = <v_{2}, \dots ,v_{2+n-p}>,
$$
$$
M_{3} = <v_{2}, \dots,v_{3+n-p}>,
$$
$$
M_{p} = <v_{2}, \dots,v_{n}>.
$$

����� $v$ - ����� �� ${\Bbb R}^{n+1}$ � �㫥��� ��ࢮ� ���न��⮩
(�� $v_{1})$. �����
$$\align
v\in M_{p}   &\Leftrightarrow  [v]= 0,   $$ $$
v\in M_{p-1} &\Leftrightarrow  [v]= [Av]= 0, $$ $$
\dots                                           $$ $$
v\in M_{p-i} &\Leftrightarrow  [v]= [Av]= \ldots = [A^{i}v] = 0.
\endalign
$$

{\bf ���६� 5.} ����� $A$ ������ ��⮤ �� ���浪� $p$ $\Leftrightarrow$
$$\alignat 2
&1)\quad [A^k e] = 1/k!,   \quad &&\text{ �� } k=0, \dots, p, $$ $$
&2)\quad L'_k \subset M_k, \quad &&\text{ �� } k<p $$ $$
\endalignat
$$

\medskip
\centerline{�����騥 �।���������}
\medskip

����� $A$ - �����, ������� 11-蠣��� ��⮤ �� ���浪� 8.
��� ��⪮�� ⠪�� ������ �㤥� ���뢠�� ����栬� ⨯� $RK(8,11)$.
���\-�࠭\-�\-�\-�� $L'_0$ � $L'_1$ ��� ������ $A$  ����� �� ������ ���,
���\-�࠭\-�\-�\-�� $L'_2$ ��஦���� ����� ����஬ $(Ae*Ae-2A^2e)$,
���\-�࠭\-�\-�\-�� $L'_3$ ��஦���� �६� ����ࠬ�,
���\-�࠭\-�\-�\-�� $L'_4$ - ��ᥬ�� � �� �� ����࠭�⢠ ᮤ�ঠ��� � $M_4$.
����� ��ࠧ��, ����࠭�⢮
$L'_0 + L'_1 + L'_2 + L'_3 + L'_4$ ��஦������ 12 ����ࠬ� � ᮤ�ন���
� 6-��୮� ����࠭�⢥ $M_4$.

{\bf ��।������.} ����� $A$ - �����, �������
11-蠣��� ��⮤ �� ���浪� 8. �㤥� ���뢠�� �� {\it �⠭���⭮�},
�᫨
$$
L'_0 + L'_1 + L'_2 + L'_3 + L'_4= M_4.
$$

��१ $(v,w)$ ������稬 �⠭���⭮� ᪠��୮� �ந�������� ����஢
� ${\Bbb R}^{n+1}$.

{\bf ���६� 6.} ����� $A$ - �⠭���⭠� ����� �� $RK(8,11)$ � �����
$v$ � �㫥��� ��᫥���� ���न��⮩ ��⮣������ �ᥬ ����ࠬ ��
$$
L_0, L_1, L_2, L_3, L_4.
$$
����� ����� $v$ ࠢ�� 0.

{\bf ������⥫��⢮.} �������� ����� $e$ �� ������ $\{v_i\}$:
$$
e = (1,\dots,1) = x_1 v_1 + \dots + x_{12} v_{12}.
$$
�� ᮮ⭮襭�� $[A^k e] = 1/k!$ ����砥�:
$$\matrix{
1) \  &[A\ e] = 1\ \cr
2) \  &[A^2e] = 1/2 \cr
3) \  &[A^3e] = 1/3!\cr
4) \  &[A^4e] = 1/4!\cr
5) \  &[A^5e] = 1/5!\cr
6) \  &[A^6e] = 1/6!\cr
7) \  &[A^7e] = 1/7!\cr
8) \  &[A^8e] = 1/8!\cr
}
$$
���
$$ \align
e &= x_1 v_1 + x_2 v_2 + x_3 v_3 + $$ $$
  &+ \frac{1}{8!}v_4 +\frac{1}{7!}v_5 +\frac{1}{6!}v_6 +\frac{1}{5!}v_7+
   \frac{1}{4!} v_8 + \frac{1}{3!} v_9 + \frac{1}{2} v_{10}+v_{11}+v_{12}.
\endalign
$$

�⠪, ����� $v$ ����� �㫥��� ��᫥���� ���न����, � ���� ��
��⮣������ ������ $v_{12}$, ��⮣������ ����ࠬ ��
$$
L'_0 + L'_1 + L'_2 + L'_3 + L'_4= M_4,
$$
� ���� ����ࠬ $v_2, v_3, v_4, v_5, v_6, v_7$ � ����ࠬ
$e, Ae, A^2e, A^3e, A^4e$. � ᮢ��㯭���, �� ����� ��஦���� ��
����࠭�⢮ ${\Bbb R}^{n+1}$, � ����� ����� $v$ ࠢ�� 0. $\blacksquare$

��� ������ ������ $A$ �१ $B$ ������稬 �࠭ᯮ��஢����� ����\-�� �
�१ $d$ �����
$$
d = \left(\matrix{ 0   \cr
                  \dots \cr
                  0   \cr
                  1   \cr
         } \right).
$$
����� ��� ���� ����஢ $x,y,z$ �믮������� ᮮ⭮襭��
$$
[x] = (x,d),
$$
$$
(Ax,y) = (x, By),
$$
$$
(x*y,z) = (x,y*z).
$$

�����᭮ ⥮६� 3, �� $k \le 7$ ��� ��� $v \in L_k$ �믮�����
ࠢ���⢮ $[Av] = [v]/(k+1)$. �᫨ $v \in L_k$, �
$Av, Ae*v \in L_{k+1}$.
����� $v\in L_k$ ��� �����ண� $k \le 6$. �����
$$\align
[Av]      =& [v]/(k+1),$$ $$
[A^2v]    =& [v]/(k+1)(k+2),$$ $$
[A(Ae*v)] =& [v]/(k+2),
\endalign
$$
���
$$\align
(v, Bd)    =& [v]/(k+1),$$ $$
(v, B^2d)  =& [v]/(k+1)(k+2),$$ $$
(v, Ae*Bd) =& [v]/(k+2),
\endalign
$$

����� $v\in L_k$ ��� �����ண� $k \le 5$. �����, �������⥫쭮 �
�।��騬 ᮮ⭮襭��, �믮����� ᫥���饥:
$$\align
[A(A^2e*v)]  =& [v]/(2(k+3),\\
[A(Ae*Ae*v)] =& [v]/(k+3),$$ $$
[A(Ae*Av)]   =& [v]/(k+1)(k+3),$$ $$
[A^3v]       =& [v]/(k+1)(k+2)(k+3),$$ $$
[A^2(Ae*v)]  =& [v]/(k+2)(k+3),$$ $$
\endalign
$$
���
$$\align
(v, A^2e*Bd)  =& [v]/(2(k+3),$$ $$
(v, Ae*Ae*Bd) =& [v]/(k+3),$$ $$
(v, B(Ae*Bd)) =& [v]/(k+1)(k+3),$$ $$
(v, B^3d)     =& [v]/(k+1)(k+2)(k+3),$$ $$
(v, Ae*B^2d)  =& [v]/(k+2)(k+3),\\
\endalign
$$

\def\ria{\rightarrow}

{\bf ���६� 7.} (�����饥 �।��������� �஢�� 2.)
����� $A$ - �⠭���⭠� ����� ⨯� $RK(8,11)$. �����
$$
Bd = B^2d + Ae*Bd,
$$
��� $B = A^t$ - �࠭ᯮ��஢����� ����� �
$$
d = \left(\matrix{ 0   \cr
                  \dots \cr
                  0   \cr
                  1   \cr
         } \right).
$$

{\bf ������⥫��⢮.} �����᭮ ᪠������� ���
$$
(v, Bd - B^2d - Ae*Bd) = 0
$$
��� ��� ����஢ $v$ �� $L_k$ �� $k=0, \dots, 6$. ������ �� ⥮६� 6
᫥���, �� ����� $Bd = B^2d + Ae*Bd$ ࠢ�� 0.

{\bf ����砭��. } �� �� ᮮ⭮襭�� ����� ������� � ����
$$
B^2d = (e-Ae)*Bd.
$$

{\bf ���६� 8.} (�����騥 �।��������� �஢�� 3.)
����� $A$ - ����� �� $RK(8,11)$. �����
$$\align
1)& B^2d = (e-Ae)*Bd, $$ $$
2)& (Ae*Ae - 2A^2e)*Bd = 0, $$ $$
3)& 2B(Ae*Bd) = (e-Ae*Ae)*Bd.
\endalign
$$

{\bf ������⥫��⢮.} ����� $v\in L_k$ ��� �����ண� $k \le 5$. �����
$$\align
(v, Bd)    =& [v]/(k+1),$$ $$
(v, B^2d)  =& [v]/(k+1)(k+2),$$ $$
(v, Ae*Bd) =& [v]/(k+2), \\
\endalign
$$
�
$$\align
(v, A^2e*Bd)  =& [v]/(2(k+3),$$ $$
(v, Ae*Ae*Bd) =& [v]/(k+3),$$ $$
(v, B(Ae*Bd)) =& [v]/(k+1)(k+3),$$ $$
(v, B^3d)     =& [v]/(k+1)(k+2)(k+3),$$ $$
(v, Ae*B^2d)  =& [v]/(k+2)(k+3),\\
\endalign
$$
��� ����砥�:
$$\align
1)& (v,w_1) = (v, Bd - B^2d - Ae*Bd ) = 0, $$ $$
2)& (v,w_2) = (v, 2A^2e*Bd - Ae*Ae*Bd) = 0, $$ $$
3)& (v,w_3) = (v, B(Ae*Bd) - B^3d - Ae*B^2d) = 0, $$ $$
4)& (v,w_4) = (v, Ae*Bd - Ae*Ae*Bd - Ae*B^2d) = 0,\\
\endalign
$$
��� ��� ����஢ $v$ �� $L_k$ �� $k=0, \dots, 5$. ������ �� ⥮६�
6 ᫥���, �� ����� $ w_1, w_2, w_3, w_4 $ ࠢ�� 0. ��祬 ��
����� ��ࠧ��� ������ ��⥬� �⭮襭��.

��� ��� $ w_4 = Ae*w_1 $, � �� ⮣�, �� $w_1$ ࠢ�� 0, ᫥���, ��
� $w_4$ ࠢ�� 0. �ࠢ����� $w_3=0$ ��९�襬 � ��᪮�쪮 ��㣮� ����.
��� �⮣� ����⨬, �� �� �ࠢ����� $w_1=0$ ᫥���
$$ \align
 B^2d =& Bd - Ae*Bd, $$ $$
 B^3d =& B(B^2d) = B(Bd-Ae*Bd) =$$ $$
      =& B^2d-B(Ae*Bd) = Bd-Ae*Bd-B(Ae*Bd).
\endalign
$$
����⠢�� ��ࠦ���� ��� $B^3d$ � �ࠢ����� $w_3=0$, ����稬
$$
2B(Ae*Bd) = Bd*(e-Ae*Ae),
$$
�� � �ॡ������� ��������.

\vskip 0.5 cm
\centerline{\bf ���᮪ �ᯮ�짮������ ���p���p�}
\vskip 0.3 cm

\noindent
\hangindent 0.45 cm
\noindent 1. {\it Breman K.E., Campbell S.L., Petzold L.R.} Numerical
Solution of Initial Problems in Differntial-algebraic Equations, Noth
Holland, NY, 1989.

\hangindent 0.45 cm
\noindent 2. {\it Butcher J.C.} The Numerical Alalysis of Ordinary
Differential Equations. Runge-Kutta and General Linear Methods, NY,
1987.


\end


% �� ������⥫��⢠ ⥮६� 6:

���뢠�, �� $Av_1=v_2,\quad \dots, \quad Av_{11}=v_{12}, \quad Av_{12}=0$
����砥�:
$$\align
e    & = x_1 v_1 + x_2 v_2 + x_3 v_3 + $$ $$
   &\frac{1}{8!} v_4 + \frac{1}{7!} v_5 + \frac{1}{6!} v_6 + \frac{1}{5!} v_7 +
   \frac{1}{4!} v_8 + \frac{1}{3!} v_9 + \frac{1}{2 } v_10+ v_{11} + v_{12},$$ $$
Ae   & = x_1 v_2 + x_2 v_3 + x_3 v_4 + $$ $$
   &\frac{1}{8!} v_5 + \frac{1}{7!} v_6 + \frac{1}{6!} v_7 + \frac{1}{5!} v_8 +
   \frac{1}{4!} v_9 + \frac{1}{3!} v_10+ \frac{1}{2 } v_{11}+ v_{11},       $$ $$
A^2e & = x_1 v_3 + x_2 v_4 + x_3 v_5 + $$ $$
   &\frac{1}{8!} v_6 + \frac{1}{7!} v_7 + \frac{1}{6!} v_8 + \frac{1}{5!} v_9 +
   \frac{1}{4!} v_10+ \frac{1}{3!} v_{11}+ \frac{1}{2 } v_{12},             $$ $$
A^3e & = x_1 v_4 + x_2 v_5 + x_3 v_6 +
   \frac{1}{8!} v_7 + \frac{1}{7!} v_8 + \frac{1}{6!} v_9 + \frac{1}{5!} v_10+
   \frac{1}{4!} v_{11}+ \frac{1}{3!} v_{12},                               $$ $$
A^4e & = x_1 v_5 + x_2 v_6 + x_3 v_7 +
   \frac{1}{8!} v_8 + \frac{1}{7!} v_9 + \frac{1}{6!} v_10+ \frac{1}{5!} v_{11}+
   \frac{1}{4!} v_{12},                                                 $$ $$
A^5e & = x_1 v_6 + x_2 v_7 + x_3 v_8 +
   \frac{1}{8!} v_9 + \frac{1}{7!} v_10+ \frac{1}{6!} v_{11}+ \frac{1}{5!} v_{12}$$ $$
A^6e & = x_1 v_7 + x_2 v_8 + x_3 v_9 +
   \frac{1}{8!} v_10+ \frac{1}{7!} v_{11}+ \frac{1}{6!} v_{12}, $$ $$
A^7e & = x_1 v_8 + x_2 v_9 + x_3 v_10+
   \frac{1}{8!} v_{11}+ \frac{1}{7!} v_{12}, $$ $$
A^8e & = x_1 v_9 + x_2 v_10+ x_3 v_{11}+ \frac{1}{8!} v_{12}, $$ $$
A^9e & = x_1 v_10+ x_2 v_{11}+ x_3 v_{12}, $$ $$
A^{10}e & = x_1 v_{11}+ x_2 v_{12}, $$ $$
A^{11}e & = x_1 v_{12}, $$ $$
A^{12}e & = 0.
\endalign
$$
��祬 �����樥�� $x_1$ �⫨祭 �� 0.
















































E��F*.FRM*.MAC<��������������������������������������