%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
\magnification=\magstep2
%\pagewidth{17 true cm}
%\pageheight{26 true cm}
%\vcorrection{-1.3 true cm}
%\hcorrection{-.5 true cm}
\TagsOnRight
\pretitle{\centerline{\bf Научные труды ИвГУ. Математика. Вып.~3}
           \centerline{\bf Иваново,~2000}
\vskip -.25 cm
\centerline{
-------------------------------------------------------------------------------------------- }}
\vskip 1 cm
УДК 514.83+514.7
\vskip .3 cm

\centerline{\bf А.~С.~Иванова, A.~Е.~Парфентьева, С.~В.~Хвойницкая}
\vskip.2 cm
%\leftheadtext{\it А.~С.~Иванова, A.~Е.~Парфентьева, С.~В.~Хвойницкая}
%\rightheadtext{\it Первые интегралы уравнений Лоренца}

\topmatter
\title
\centerline{\bf Первые интегралы уравнений Лоренца}
\centerline{\bf для трех классов электpомагнитных волн}
\endtitle
\abstract \nofrills

\vskip .5 cm
Найдены первые интегралы уравнений Лоренца для трех классов электромагнитных
волн, допускающих смещения по одной из пространственных координат.
\endabstract
\endtopmatter


\document
\pageno=1
\vskip  0.5 cm
\baselineskip 13 pt
\def\1{\partial}
\def\2{\lambda}
\def\3{\varphi}
\def\4{\tilde}
\def\6{\subset}
\def\5{\prime}
\def\8{\left(}
\def\9{\right)}

\centerline{\bf Введение. Постановка задачи}
\vskip 0.3 cm

В работе [1] проведена полная классификация электромагнитных волн,
допускающих смещение по одной из  пространственных  координат.  В
данной статье с помощью метода получения первых уравнений Лоренца,
приведенного в работах [2, 3], найдены первые интегралы для двух
классов волн, предложенных в [1] (см. п.~2.3).

В п.~1  предложено краткое содержание метода.  В п.~2 и 3 решены
задачи по нахождению первых интегралов для электромагнитных волн,
допускающих 3- и 4-мерную группы преобразований, решенные
А.~Е.~Парфентьевой  и С.~В.~Хвойницкой.

В п.~4 приведено решение задачи нахождения первых интегралов
уравнений Лоренца  для  частицы  в поле плоской поперечной волны,
выполненная А.~С.~Ивановой.

\vskip 0.5 cm
\centerline{\bf 1. Краткое содержание метода получения}
\centerline{\bf первых интегралов уравнений Лоренца}
\vskip 0.3 cm

Уравнения Лоренца
$$
{{\Cal D u^\alpha}\over {ds}} = - {{e}\over {m c^2}}
g^{\alpha \gamma} F_{\gamma \beta} u^\beta , \ \ \ \
u^\beta = {{dx^\beta}\over {ds}},  \eqno(1.1)
$$
являются уравнениями Эйлера-Лагранжа для функционала
$$
S[x] = \int (- mcds - {{e}\over {c}} A_\alpha  dx^\alpha), \eqno(1.2)
$$
где m, e, c -- константы; $ x^\beta (\beta = 1, \dots , 4) $ --
координаты частицы; $ F_{\gamma \beta} $ -- тензор электромагнитного
поля; $ g^{\alpha \gamma} $ -- псевдориманова метрика с сигнатурой
(+ + + --); $ A_\alpha $ -- 4-потенциал электромагнитного поля,
связанный с тензором $ F_{\alpha \beta} $ формулой
$ F_{\alpha \beta} = \1_\alpha A_\beta - \1_\beta A_\alpha $ ;
$ ds = \sqrt{- g_{\alpha \beta} dx^\alpha dx^\beta} $
и, наконец,
$$
{{\Cal D u^\alpha}\over {ds}} = {{d u^\alpha}\over {ds}} +
\Gamma^\alpha_{\beta \gamma} u^\beta u^\gamma,             \eqno(1.3)
$$
где $ \Gamma^\alpha_{\beta \gamma} $ -- символы Кристоффеля для
$ g_{\alpha \beta} $.

Обозначим через $F$ и $A$ соответственно симплектическую и
потенциальную структуры электромагнитного поля:
$$
F = {{1}\over {2}} F_{\alpha \beta} dx^\alpha \land  dx^\beta, \ \ \ \ \
A = A_\alpha dx^\alpha, \ \ \ \ \
F = dA.                                                \eqno(1.4)
$$

Группы диффеоморфизмов 4-мерного многообразия точек \break
$ (x^1, \dots, x^4) $, сохраняющих структуры $F, A$ и
$g = g_{\alpha \beta} dx^\alpha dx^\beta $,
обозначим соответствен\-но $G_F$ (симплектическая группа),
$G_A$ (потенциальная группа), $G_g$ (группа движений
псевдориманова пространства \break
$(\Bbb M^4, g_{\alpha \beta})$).
Соответствующие им алгебры Ли векторных полей определяются
так ($\Cal L$ -- множество векторных полей на ${\Bbb R}^4_3$,
$L_\xi$ -- производная Ли):
$$ \aligned
&\Cal L_F = \{\xi \in \Cal L : L_\xi F_{\alpha \beta} = 0\},$$ $$
&\Cal L_A = \{\xi \in \Cal L : L_\xi A_\alpha = 0\},$$ $$
&\Cal L_g = \{\xi \in \Cal L : L_\xi g_{\alpha \beta} = 0\}.
\endaligned
$$

Функционал (1.2) инвариантен относительно группы $G_A \cap G_g$.
Если эта группа нетривиальна, то согласно теореме Э.Нетер
уравнения Лоренца (1.1) имеют столько независимых первых
интегралов, какова размерность этой группы. При этом если
$\xi  \in  \Cal L_A \cap \Cal L_g$, то первый интеграл имеет вид:
$$
H = \xi^\alpha (mcg_{\alpha \beta} \dot x^\beta - {{e}\over {c}} A_\alpha),
\eqno(1.5)
$$
где точкой обозначено дифференцирование по параметру $s$,
интерпретируемому, как собственное время частицы.

Справедливы следующие включения:
$$
G_A \6 G_F,\ \ \ \ \Cal L_A \6 \Cal L_F.
$$

Пусть потенциал $A^\5_\alpha $ получен из $A_\alpha $
калибровочным преобразованием
$$
A^\5_\alpha = A_\alpha + \1_\alpha f,
$$
где $f$ -- некоторая функция на $\Bbb M^4$. Тогда для группы
$G_{A^\5}$ и алгебры $\Cal L_{A^\5}$, соответствующих полю
$A^\5_\alpha $, справедливы включения:
$$
G_{A^\5} \6 G_F,\ \ \ \ \Cal L_{A^\5} \6 \Cal L_F.
$$

Обозначим $G_S = G_F \cap G_g $ и $\Cal L_S = \Cal L_F \cap \Cal L_g.$
 $\ \ \ $ Тогда для любого  4-потенциала $A^\5_\alpha $ имеют место
включения:
$$
G_{A^\5} \cap G_g \6 G_S, \ \ \ \ \
\Cal L_{A^\5} \cap \Cal L_g \6 \Cal L_S.
$$

Отметим, что если в (1.2) заменить $A_\alpha $ на $A^\5_\alpha $,
то уравнения (1.1) не изменятся, так как тензор $F_{\alpha \beta}$
инвариантен относительно калибровочного преобразования. Поэтому
инвариантность функционала (1.2) относительно нетривиальной группы
$G_{A^\5} \cap G_g$ может приводить к новым интегралам уравнений
Лоренца,
$$
H = \xi^\alpha (mcg_{\alpha \beta} \dot x^\beta - {{e}V{c}}
A^\5_\alpha ),   \eqno(1.6)
$$
где $\xi^\alpha \in \Cal L_{A^\5} \cap \Cal L_g$.

Очевидно, что все получаемые таким образом первые интегралы
уравнений Лоренца связаны с группой $G_S$. Отсюда получаем
следующую процедуру нахождения первых интегралов уравнений
Лоренца:

1) отыскание базиса алгебры $\Cal L_S$;

2) нахождение для каждого базисного вектора $\xi_k \in \Cal L_S$
симметричного 4-потенциала $A^\5_\alpha = A_\alpha + \1_\alpha f$,
то есть такого, что $L_{\xi_k} A^\5_\alpha = 0$;

3) выписывание первого интеграла по формуле (1.6) с заменой
$\xi$ на $\xi_k$.

\vskip 0.5 cm
\centerline{\bf 2. Первые интегралы  уравнений Лоренца}
\centerline{\bf для одного класса электромагнитных волн,}
\centerline{\bf допускающих 3-мерную группу преобразований}
\vskip 0.3 cm

Компоненты тензора $F_{ij}$ (класс,соответствующий алгебре $\Cal L_{3,3}$
в [1]) выберем в виде:
$$ \aligned
&F_{12}=C_1, \ F_{13}=C_2, \  F_{14}=C_3, \ F_{24}=C_4,$$ $$
&F_{23}=\3 (x^2 - x^4), \ F_{34}=\3 (x^2 - x^4)+ C_5,
\endaligned
$$
где $C_i = const \  (i = 1,2,\dots ,5); \ \ \3 (t) - $
производная гладкая функция.

Найдем базис алгебры $\Cal L_S$. Для этого достаточно решить
следующую систему:
$$
L_\xi g_{\alpha \beta} = \xi^\mu \1_\mu g_{\alpha \beta} +
g_{\mu \beta} \1_\alpha \xi^\mu +
g_{\alpha \mu} \1_\beta \xi^\mu = 0,  \eqno(2.1)
$$
$$
L_\xi F_{\alpha \beta} = \xi^\mu \1_\mu F_{\alpha \beta} +
F_{\mu \beta} \1_\alpha \xi^\mu +
F_{\alpha \mu} \1_\beta \xi^\mu = 0.         \eqno(2.2)
$$

При этом алгебра $\Cal L_g$ уже известна, это алгебра Ли
группы Пуанкаре, которую можно представить в виде
$$
\xi^\mu = a^{\mu \gamma} x_\gamma + a^\mu , \ \
a^{\mu \gamma} = - a^{\gamma \mu},\ \
x_\gamma = g_{\mu \gamma} x^\mu,\eqno(2.3)
$$
где $a^{\mu \gamma} , a^\mu $ -- константы, а
$\xi^\mu \in \Cal L_g$.

После подстановки (2.3) в (2.2) и небольших вычислений,
получаем, что базис $\Cal L_S$ можно выбрать в виде:
$$
\xi_1 = (1,0,0,0),\ \
\xi_2 = (0,1,0,1),\ \
\xi_3 = (0,0,1,0).
$$

Пользуясь равенством
$$
F_{\alpha \beta} = \1_\alpha A_\beta -
\1_\beta A_\alpha,  \eqno(2.4)
$$
легко проверить, что потенциал $A_\alpha$
можно выбрать в виде:
$$ \aligned
&A_1 = - C_3 x^4 - C_1 x^2 - C_2 x^3, \ \ \ \
A_2 = - C_4 x^4,$$ $$
&A_3 = \Phi (x^2 - x^4) + C_5 x^4,\ \ \Phi (t) = \int \3 (t) dt,
\ \ \ A_4 = 0.
\endaligned
$$
Прежде чем выписать первые интегралы уравнений Лоренца,
проверим условие
$$
L_{\xi_k} A_\alpha = \xi^\mu_k \1_\mu A_\alpha +
A_\mu \1_\alpha \xi^\mu_k.                             \eqno(2.5)
$$

Для $\xi_1$ это соотношение выполняется, поэтому можно выписать
первый интеграл по формуле (1.5):
$$
H_1 = mc \dot x^1 + { e\over c}(C_3 x^4 + C_1 x^2 + C_2 x^3).
$$

Для $\xi_2$ и $\xi_3$ (2.5) не выполняется, поэтому для них
надо найти симметричные потенциалы, решив уравнение:
$$
L_{\xi_k} (A_\alpha + \1_\alpha f) = 0.                      \eqno(2.6)
$$

После некоторых вычислений получим, что
$$
A^\5_2 = A_2 + (\1_2 + \1_4)f = C_1 x^1 + C_4 (x^1 - x^4)- C_5 x^2,
$$
и соответствующий первый интеграл по (1.6):
$$
H_2=mc (\dot x^2 - \dot x^4) - { e\over c}(C_1 x^1 + C_4 (x^2 - x^4) - C_5 x^2).
$$
Аналогично
$$
A^\5_3 = \Phi (x^2 - x^4) + C_5 x^4 + C_2 x^1,
$$
и следовательно
$$
H_3 = mc \dot x^3 - { e\over c}(\Phi (x^2 - x^4)+C_5 x^4 + C_2 x^1), \ \
\Phi (t) = \int \3 (t) dt.
$$

\vskip 0.5 cm
\centerline{\bf 3. Первые интегралы  уравнений Лоренца}
\centerline{\bf для одного класса электромагнитных волн,}
\centerline{\bf допускающих 4-мерную группу преобразований}
\vskip 0.3 cm

Пусть тензор $F_{ij}$ (класс,соответствующий алгебре $\Cal L_{4,6}$ в [1])
имеет вид:
$$
F_{12}=F_{13}=F_{14}=0, \ \ F_{24}=B, \ \
F_{23}=F_{34}={ A\over {x^2 - x^4}},
$$
где $A,\  B$ -- константы $(A \ne 0, B \ne 0)$.

Решая систему (2.1) -- (2.2), используя соотношение (2.3),
получаем, что в качестве базиса алгебры $\Cal L_S$
можно выбрать:
$$
\xi_1 = (1,0,0,0), \ \
\xi_2 = (0,1,0,1),  \ \
\xi_3 = (0,0,1,0),  \ \
\xi_4 = (0,x^4,0,x^2).
$$

Пользуясь формулой (2.4) найдем, что 4-потенциал
можно взять в виде:
$$
A_1 = A_2 = 0, \ \
A_3 = A ln (x^2 - x^4), \ \
A_4 = B x^2.
$$

Ввиду того, что (2.5) выполняется для $\xi_1, \xi_3$, то для них
можно сразу выписать первые интегралы по формуле (1.5). Получим
$$
H_1 = mc \dot x^1,\ \
H_3 = mc \dot x^3 - { e\over c} A ln (x^2 - x^4).
$$

Для $\xi_2$ и $\xi_4$  (2.5) не выполняется. Найдем для
этих векторов симметричные потенциалы, решая уравнение (2.6).
После несложных вычислений получим для $\xi_2$, что
$$
A^\5_\alpha=A_\alpha+\1_\alpha f=(0,\ 0,\ A ln (x^2 - x^4),\ Bx^2 - Bx^4).
$$

Тогда первый интеграл уравнений Лоренца согласно (1.6) имеет вид:
$$
H_2 = mc (x^2 - x^4) - { e\over c} (A ln (x^2 - x^4) + B(x^2 - x^4)).
$$
Более трудоемкие вычисления для $\xi_4$ дадут следующее выражение для
симметричного потенциала $A^\5_\alpha$:
$$\aligned
&A^\5_1=0,$$ $$
&A^\5_2= - Ax^3 {{x^4}\over {{(x^2)}^2 - {(x^4)}^2}} +
{ B\over 4}\8x^2 ln {{x^2 + x^4}\over {x^2 - x^4}} - 2 x^4\9,$$ $$
&A^\5_3={ 1\over 2} A ln((x^2)^2-(x^4)^2),$$ $$
&A^\5_4=Bx^2+Ax^3{{x^2}\over {{(x^2)}^2 - {(x^4)}^2}}-
{ B\over 4}ln {{x^2 + x^4}\over {x^2 - x^4}},
\endaligned
$$
а следовательно, и интеграл
$$
H_4 = mc(x^4 \dot x^2 - x^2 \dot x^4) - { e\over c}\8 Ax^3 +
B{ {x^2(x^4-1)}\over 4} ln{{x^2+x^4}\over {x^2-x^4}}+
(x^2)^2-{ {(x^4)^2}\over 2}\9.
$$

\vskip 0.5 cm
\centerline{\bf 4. Первые интегралы  уравнений Лоренца для частицы}
\centerline{\bf в поле плоской поперечной волны}
\vskip 0.3 cm
Пусть дано поле плоской поперечной волны, имеющее вид:
$$
A_\alpha = (0,\ A_2 (x^1 - x^4),\ A_3 (x^1 - x^4),\ 0),
$$
где $A_2 (t), A_3 (t)$ -- функции одной переменной.
Используя (2.4), выпишем координаты $F_{\alpha \beta}$:
$$ \aligned
&F_{12} = A^\5_2 (x^1 - x^4), \ \
F_{13} = A^\5_3 (x^1 - x^4), \ \
F_{14} = 0,$$ $$
&F_{23} = 0, \ \
F_{24} = 0, \ \
F_{34} = A^\5_3 (x^1 - x^4),
\endaligned
$$
где $A^\5_2 (t)$ и $A^\5_3 (t)$ -- производные функций $A_2 (t)$ и $A_3 (t)$.
Решая систему (2.1) -- (2.2), используем (2.3).
После трудоемких вычислений получим, что в качестве
базиса $\Cal L_S$ можно выбрать следующий набор векторных полей
$$\aligned
&\xi_1 = (x^2,\ x^4 - x^1,\ 0,\ x^2), \ \ \
\xi_2 = (x^3,\ 0,\ x^4 - x^1,\ x^3),$$ $$
&\xi_3 = (0,\ 1,\ 0,\ 0), \ \
\xi_4 = (0,\ 0,\ 1,\ 0,), \ \
\xi_5 = (1,\ 0,\ 0,\ 1).
\endaligned
$$
Так как для векторов $\xi_3,\ \xi_4,\ \xi_5$ выполняется
(2.5), то для них выписываем по формуле (1.5) первые интегралы
уравнений Лоренца:
$$
H_3 = mc \dot x^2 - { e\over c} A_2 (x^1 - x^4),
$$
$$
H_4 = mc \dot x^3 - { e\over c} A_3 (x^1 - x^4),
$$
$$
H_5 = mc (\dot x^1 - \dot x^4).
$$

Для $\xi_1$ и $\xi_2$ найдем симметричные потенциалы,
решая уравнение (2.6).

Эта задача оказалась достаточно сложной,
поэтому для облегчения нахождения симметричных
потенциалов возьмем линейные
комбинации векторов $\xi_1,\ \dots,\ \xi_5$, т.~е. перейдем к новому базису
$\{\eta_k\}$:
$$\aligned
&\eta_1 = \xi_2 + \xi_3 = (x^3,\ 1,\ x^4 - x^1,\ x^3),$$ $$
&\eta_2 = \xi_1 - \xi_4 = (x^2, x^4 - x^1, -1, x^2),$$ $$
&\eta_3 = \xi_3, \ \ \eta_4 = \xi_4, \ \ \eta_5 = \xi_5.
\endaligned
$$

Для нахождения симметричного потенциала для
$\eta_1$  составим уравнение (2.6). Решив его, получим:
$$\aligned
&A^\5_1 = x^2 A_3 (x^1 - x^4),\ \ A^\5_2 =A_2(x^1 - x^4) +
\int_0^{x^1 - x^4} A_3 (t) dt,$$ $$
&A^\5_3 = A_3 (x^1 - x^4),\ \ A^\5_4= - x^2 A_3 (x^1 - x^4)).
\endaligned
$$
Ему соответствует первый интеграл
$$\aligned
H_1&=mc(x^3(\dot x^1-\dot x^4)+\dot x^3(x^4-x^1)+\dot x^2)-$$ $$
&-{ e\over c}\8A_2(x^1-x^4)+\int_0^{x^1-x^4} A_3(t)\,dt+(x^4-x^1)A_3(x^1-x^4)\9.
\endaligned
$$

Для $\eta_2$ имеем аналогично
$$\aligned
&A^\5_1 = - x^3 A_2 (x^1 - x^4),$$ $$
&A^\5_2 = A_2(x^1 - x^4),$$ $$
&A^\5_3=A_3 (x^1-x^4)-\int_0^{x^1-x^4} A_2(t)\,dt,$$ $$
&A^\5_4 = x^3 A_2 (x^1-x^4).
\endaligned
$$
Следовательно
$$\aligned
H_2&=mc(x^2(\dot x^1-\dot x^4)+\dot x^2(x^4-x^1)-\dot x^3)-$$ $$
&-{ e\over c}\8(x^4-x^1) A_2(x^1-x^4)-A_3(x^1-x^4)+\int_0^{x^1-x^4} A_2(t)\, dt\9.
\endaligned
$$

\newpage
%\vskip 0.5 cm
\centerline{\bf Список использованной литеpатуpы}
\vskip 0.3 cm

\noindent
\hangindent 0.45 cm
1. {\it Иванова А.~С.} Групповая классифиикация электромагнитных волн,
допускающих смещение по одной из пространственных координат // Науч.
~тр.~Иван.~гос.~ун-та. Математика. Иваново, 1999. Вып.~2. \linebreak
С.~50 -- 62. 1999.

\noindent
\hangindent 0.45 cm
2. {\it Паpинов М.~А.} Симплектическая группа электромагнитного поля и первые
интегралы уравнений движения Лоренца. Иваново, 1981. %\linebreak
11 с. Деп.в ВИНИТИ 22.02.82, №~802-82.

\noindent
\hangindent 0.45 cm
3. {\it Паpинов М.~А.} Первые интегралы уравнений Лоренца
(Cводка результатов)//Науч.~тр.~Иван.~гос.~ун-та. Математика. Иваново, 1997.
Вып.~1. С.~101 -- 110.

\end

