%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
\magnification=\magstep2
%\pagewidth{17 true cm}
%\pageheight{26 true cm}
%\vcorrection{-1.3 true cm}
%\hcorrection{-.5 true cm}
\TagsOnRight
\pretitle{\centerline{\bf ����� ���� ����. ��⥬�⨪�. ��.~3}
           \centerline{\bf �������,~2000}
\vskip -.25 cm
\centerline{
-------------------------------------------------------------------------------------------- }}
\vskip 1 cm
��� 514.74
\vskip .3 cm

\centerline{\bf �.~�.~��������, �.~�.~��ਭ��}
\vskip.2 cm
%\leftheadtext{\it �.~�.~��������, �.~�.~��ਭ��}
%\rightheadtext{\it �p㯯���� �����䨪��� ������p��� �����}

\topmatter
\title 
\centerline{\bf ��㯯���� �����䨪���}
\centerline{\bf  �������� ����஦������}
\centerline{\bf �������᪨� ��������� �����}
\centerline{\bf �� ��㬥୮� �������ࠧ��}

\endtitle
\abstract \nofrills
\vskip .3 cm\noindents
�p������� ������ �����䨪��� �������� ����p����� ����p�������� ������p���
����� �� ��㬥p��� ����⢥���� �������᪮� �������p���� �� �p㯯��
$G_A$ ���䥮��p䨧���, ��p������ �� ����. �p� �⮬ ����p����������
������p���� ���� ����砥�, �� ���譨� ����p��樠� ᮮ⢥�����饩
����p��樠�쭮� 1-�p�� ���� ����p�������� ᨬ������᪠� ��p���p�.
��������, �� ������� �����⢥��� ����� ⠪�� �����, ����᪠���
3-��p��� (ᨬ���������) �p㯯� $G_A$, � ��᪮��筠� �p�� ����ᮢ �����,
����᪠��� 2-��p��� �p㯯� $G_A$. ������� �����⢥��� (�᪫��⥫��)
����� ⠪�� �����, ����᪠��� ��᪮��筮��p��� �p㯯� $G_A$. �� ��⠫��
���� ����᪠�� 1-��p��� �p㯯� $G_A$.
\endabstract
\endtopmatter
\document
\pageno=1
\vskip  0.5 cm
\baselineskip12
\centerline{\bf ��������}
\vskip  0.3 cm

����⨥ 䠪� ����筮��୮�� ��㯯� $G_A$ ���䥮���䨧���, ��࠭����
����஦������ �������᪮� ������୮� ����  �� �������ࠧ�� �⭮�
 ࠧ��୮�� [1 --- 3], �ਢ���� � ���⠭���� ����� �����䨪�樨 ⠪��
����� �� ��㯯�� $G_A$. � �����饩 ࠡ�� �� ������ ����, �祭� �����쪨�
蠣 � �襭�� �⮩ �஡���� --- ��������㥬 ������� �������� ���� ��
��㬥୮� ����⢥���� �������ࠧ��. ��᪮��� �� �� ���ࠣ����� ����� �
⮯������᪮� ������� �������ࠧ��, ����� �����, �� �� ��ᬠ�ਢ����
�������� ���� ������ �� �������ࠧ��, ���䥮���䭮� ���᪮�� $R^2$ ���
�����吝�� ������ � $R^2$. ��� p������ �����p���� � [4].
\vskip  0.5 cm
\centerline{\bf \S 1. ���⠭���� ����� �����䨪�樨}
\vskip  0.3 cm

����� $M$ --- �������᪮� �������ࠧ�� �⭮� ࠧ��୮�� $N = 2n$,
$A_i = A_i(x)$ --- ������୮� ���� �� ���. ���� $A_i$ �㤥� �।��������
{\it �������᪨�}, �.�. ࠧ������ � �������� �������� ���न����
$\{x^i\}$ � �⥯����� ��
$$
A_i(x) = \sum_{k=0}^\infty c_{i j_1 \dots j_k}x^{j_1} \dots x^{j_k}. \eqno(1)
$$

���� $A_i$ ���뢠���� {\it ����p�������}, �᫨ ���譨� ����p��樠�
ᮮ⢥�����饩 {\it ��⥭樠�쭮� ��p���p�} $A=A_idx^i$ ����
{\it ����p��������} ᨬ������᪠� ��p���p�
$$
F=dA={1\over 2}(\partial_iA_j - \partial_jA_i)dx^i \land dx^j =
{1\over 2}F_{ij}dx^i \land dx^j,  \eqno(2)
$$
�.�.
$$
detF_{ij}=det(\partial_iA_j - \partial_jA_i) \ne 0. \eqno(3)
$$

�p㯯� ���䥮��p䨧��� �������p���� $M$, �� ������� ���� $A_i$, �㤥� ���������
$G_A$ � ���뢠�� {\it ��⥭樠�쭮� �p㯯��}, ᫥��� p���� [3]. � �⮩
p���� ��������
{\bf �᭮���� T��p���} �p㯯� $G_A$ ��� �������᪮�� ����p���������
������p���� ���� (1) �� $M$ ����筮��p�� �
$$
dimG_A \leqslant N(N+1)/2.  \eqno(4)
$$


��� �� 㢨��� �����, ����p �᫮��� �⮩ ⥮p��� �p���� ��筥��� (�.
����砭�� 4).

����� �����䨪�樨 ������p��� ����� ��⮨� � ���ᠭ�� ��������� �p㯯
$G_A$ � ����� $A_i$, ����᪠��� �� �p㯯�. ���ᠭ�� �p㯯 $G_A$ ᢮�����
� ���ᠭ�� ᮮ⢥������� �����p �� ����p��� �����
$$
\Cal L_A = \{\xi: L_{\xi}A_i = 0\}, \eqno(5)
$$
��� $L_{\xi}$ --- �p��������� ��.

���ᬮ�p�� ���� ��砩 ���� (1) --- ��砩 �������� ����ᨬ��� ���������
���� $A_i$ �� ���p�����
$$
A_i=c_{ij}x^j,    c_{ij}=const.   \eqno(6)
$$
����� ���� ��������, ���p���p, �� $R^N$ ��� ������ � $R^N$.
����p��� ���� $\xi \in \Cal L_A$ �p���⠢�� � ���� �⥯������ p鸞
$$
\xi^s=\sum_{k=0}^\infty a^s_{i_1 \dots i_k}x^{i_1} \dots x^{i_k},  \eqno(7)
$$
�p�祬 ���p��� $a^s_{i_1 \dots i_k}$ �㤥� ����� ᨬ���p��묨 �� ������
�����ᠬ. �᫮��� �p����������� ����p� (7) � �����p� (5)
$$
L_\xi A_i = \xi^s \partial_sA_i + A_s \partial_i\xi^s = 0  \eqno(8)
$$
����� ������� � ����
$$
c_{is}a^s+\sum_{k=1}^\infty (c_{is} a^s_{j_1 \dots j_k} +
kc_{sj_1}a^s_{ij_2 \dots j_k})x^{j_1} \dots x^{j_k} = 0. \eqno(9)
$$
�p������� (9) p����ᨫ쭮 ᫥���饩 ��᪮��筮� ��⥬� �������� �����p���᪨�
�p������� �⭮�⥫쭮 $a^s_{i_1 \dots i_k} (k=0,1,2, \dots):$

\vskip 0.2cm
\noindent
$(k=0) \hskip 3cm      c_{is}a^s=0, \hskip 5.1cm       (10)$

\vskip 0.5cm
\noindent
$(k \geqslant 1) \hskip 2.5cm  c_{is}a^s_{j_1 \dots j_k} +
kc_{sj_1}a^s_{ij_2 \dots j_k} = 0. \hskip 3cm (11)$
\vskip 0.2cm

\noindent
��p���襬 �p������� (11) � ����
$$
(c_{is}\delta^t_{j_1} + kc_{sj_1}\delta^t_i)a^s_{tj_2 \dots j_k} = 0. \eqno(12)
$$
����� ���p��� ��p浪� $N^2\times N^2$
$$
B^{(k)t}_{ijs} = c_{is}\delta^t_j + kc_{sj}\delta^t_i, \eqno(13)
$$
�p������� (12) ����� ��p������ � ����
$$
B^{(k)t}_{ij_1s}a^s_{tj_2 \dots j_k} = 0.\; \; (k = 1,2, \dots) \eqno(14)
$$
�����䨪��� ����� ���� (6) ᢮����� � ��᫥������� ��⥬� ����p�����
�����⥬ �p������� (10) � (14).

\remark{\bf ����砭�� 1} ���� ���� (6) 㭨���쭮 � ⮬ ��᫥,
�� �p�������
(10) � (14) ��� ������� $k=1,2, \dots$ ����� ������ᨬ묨 �����⥬���
�������� �p�������. ���⮬� ��� ���� ᠬ� �p���� ��� ��᫥�������.
\endremark

\remark{\bf ����砭�� 2} ��᫥������� ��� ����⢥���� � ����������
�������p����
���� � �����p��� ������ p���������. �� ��p���稬�� ����⢥��� ��砥�.
\endremark

\vskip  0.5 cm
\centerline{\bf \S 2. ������p��� ���� ��饣� ���������}
\centerline{\bf �� 2-��p��� �������p����}
\vskip  0.3 cm

���� � ���쭥�襬, �᫨ �� �����p��� �p�⨢���������, �㤥� p��ᬠ�p�����
⮫쪮 ��砩 $N=2.$

�� p��ᬠ�p������ ������p�� ���� ���� (6) �p���⠢������ ���\-p�栬�
$$
c_{ij} = \pmatrix{ c_{11} & c_{12}\cr
                  c_{21} & c_{22} }. \eqno(15)
$$
�᫮��� (3) ����p��������� ���� ����� ��� :
$$
det F_{ij} = (c_{12} - c_{21})^2 \ne0  \eqno(16)
$$
���
$$
c_{12} - c_{21} \ne 0. \eqno(17)
$$

����� ��������� �p������� (8), ������p�� ����, �⫨��騥�� �� ���㫥���
����ﭭ� �����⥫�, ����� ���� � �� �� ��⥭樠���� �p㯯�. ���⮬�
����� 4-��p���� �p���p���⢠ ���p�� (15) ����� ��p�������� p��ᬮ�p�����
3-��p���� �p���⨢���� �p���p���⢠ --- ������⢠ �p���, �p�室��� �p��
�㫥��� ���p���. �᫮��� ����p��������� (17) ����砥�, �� �� �⮣�
�p���⨢���� �p���p���⢠ ���� �᪫���� 2-��p��� ���᪮���.

���⠢�� �⭮襭��
$$
a={ {c_{11}}\over {c_{12}}-c_{21}}, \; b={ {c_{12}}\over {c_{12}} - c_{21}}, \;
c={ {c_{21}}\over {c_{12}} - c_{21}}, \; d={ {c_{22}}\over {c_{12}}-c_{21}}. \eqno(18)
$$
���뢠� �祢����� ᮮ⭮襭��
$$
b=c+1,  \eqno(19)
$$
����稬 �������--�������筮� ᮮ⢥��⢨�:
$$
\{\lambda A_i\} \longmapsto \{\lambda c_{ij}\} \longmapsto
\pmatrix{ a & b\cr c & d } =
\pmatrix{ a & 1 + c \cr c & d } , \eqno(20)
$$
��� $(a,c,d) \in R^3,$ $\lambda \in R \setminus \{ 0 \}$ �p��������. �믨襬,
�������, ��騩 ��� ��������� ����p��������� ���� � ��砥 $N = 2$
$$
A_i = (ax^1 + bx^2 , cx^1 + dx^2) = (ax^1+(c+1)x^2 , cx^1+dx^2). \eqno(21)
$$

{\bf ����� 1} �����p����� ��⥭樠�쭮� �p㯯� $G_A$ ��� ���������
����஦������� �������᪮��  ������p���� ���� (21) �� ����� �������.

\underbar{������⥫��⢮}. ���p��� (13) �p� $N=2$ ����� �p���⠢��� � ����
�p���������� $(B^{(k)t}_{ijs}) = (c_{12} - c_{21})\~B^{(k)}$, ���
$$
\~B^{(k)}= \pmatrix{
(1+k)a  &    0    &   |   &   b+kc  &   0     \cr
  c     &   ka    &   |   &    d    &   kc    \cr
- - - - & - - - - &  -|-  & - - - - & - - - - \cr
  kb    &    a    &   |   &    kd   &    b    \cr
  0     &   c+kb  &   |   &     0   &  (1+k)d
} \; .\eqno(22)
$$
� �⮩ ���p�� $i$ � $t$ --- ����p� ��p�� � �⮫�殢 � ������, � $j$ � $s$ ---
����p� ��p�� � �⮫�殢 �� ������. ���᫥���� ����� 㡥������, �� ���p��
(22) �p� $k=1$ ��p������: $det\~B^{(1)}=0$. �� ����砥�, �� �p������� (14)
�p� $k=1$ ����� ���p�����쭮� p�襭��, � ����� � $dim\Cal L_A \geqslant 1$.
���⮬� $dimG_A \geqslant 1$.

\remark{\bf ����砭�� 3} �����祭�� ����� 1 ��p�� ��� ��� ����⢥����,
⠪ � ��� ���������� ������p��� ����� � �������p����.
\endremark

\vskip  0.5 cm
\centerline{\bf \S 3. ������p�� ����, ����᪠�騥 ��㬥p��� �p㯯�}
\vskip  0.3 cm

��� ��⠭������ � $\S 2$, ��⥭樠�쭠� �p㯯� ��� ��������� ���� (21) � ��砥
��饣� ��������� ������p��. ������ ���祭�� ��p����p�� $a,c,d$, �p� ���p��
$dim G_A=2$.

���᭨� �᫮���, �p� ���p�� ���� $A_i$ �㤥� ����p���⭮ �⭮�⥫쭮 ᬥ饭��.

{\bf ����� 2} ��� ⮣�, �⮡� ����⢮���� �p����樨
�� �������p���� $M$,
�� �����騥 ���� (6), ����室��� � �����筮, �⮡�
$$
det(c_{ij}) = 0. \eqno(23)
$$


�� �⢥p������ �祢����, �.�. ����室��� � ������� �᫮���� ����⢮�����
���p�����쭮�� p�襭�� �p������� (10) �⭮�⥫쭮 $a^s$ ���� ������
��p���������� ���p��� $c_{ij}$.

�⬥⨬, �� ����� 2 ��p�� ��� �������p���� ���� p����p���⥩. �p� $N=2$
�᫮��� (23) �p���p�⠥� ���
$$
ad-bc=0   \eqno(24)
$$
���
$$
ad-c^2-c=0.  \eqno(25)
$$

�p���⠢�� ᮣ��᭮ (20) ������⢮ ��� ����p�������� ������p��� ����� ����
(21) ��� ������⢮ �祪 � $R^3$, ����� ᪠����, �� ������⢮ �����, ����᪠���
�p����樨, ���� ����p孮��� ��p��� ��p浪� � $R^3:$
$$
S_0=\{(a,c,d) \in R^3: ad-c^2-c=0\}. \eqno(26)
$$

{\bf �����⢨� 1} ��� ����� ���� (21), ᮮ⢥�������
�窠� �� $S_0$, $dimG_A \geqslant 2.$

\pagebreak

��᫥���� �⢥p������ ���� �祢����� ᫥��⢨� ���� 1 � 2.

���ᬮ�p��, � ����� �� �窠� ����� 㢥��稢����� p����p����� �p㯯� $G_A$
�� �p������� � ��騬 ����������. ��� �⮣� ���᭨�, ����� ��������
���p������� p�襭�� �����⥬ �p������� (14). ����室��� � �������
 �᫮���� ��� �⮣� ���� p�����⢮:
$$
det\~B^{(k)}=(k^2-1)(ad-bc)[(ad-bc)k^2+(2ad-b^2-c^2)k+(ad-bc)]=0.      \eqno(27)
$$

�p� $k=1$ �� ����稬 㦥 ������� p������, ��p������ ������ 1
$(det\~B^{(1)}=0)$. �᫨ �� �窠 $(a,c,d) \in S_0$, �
$det\~B^{(k)}=0$ ��� ��� $k$. �� ����砥�,
�� �p㯯� $G_A$ ����� ��᪮����� p����p�����. � �� ����砥� �p�⨢�p�稥 �
�᭮���� ⥮p����.

\remark{\bf ����砭�� 4} ��p�㫨p���� ⥮p��� � ����筮��p���� �p㯯� $G_A$ ���
����p��������� �������᪮�� ������p���� ���� �p���� ��筥���. � ��砥
2-��p���� �������p���� � ���� (21) ����室��� ���p������� ��� ������
�믮������ �������⥫쭮�� �᫮���
$$
det c_{ij}=ad-bc\ne 0,  \eqno(28)
$$
(������⢨� �p����権 � �p㯯� $G_A$ ). ����� ��p����, ������⢮ ����� $A_i$,
����᪠��� ����筮��p�� �p㯯� $G_A$, � ����⢨⥫쭮�� ���� �����
㧪�� � � ��襬 ��砥 ��� �p���⠢����� ������⢮� $R^3\setminus S_0$.
\endremark

����� ⥯�p� $k>1$ --- 楫�� �᫮ � $(a,c,d) \in R^3\setminus S_0$. �����
�᫮��� ��p��������� ���p��� $\~B^{(k)}$ ����� �p�����, p������� (27) ��
��p������ $(k^2-1)(ad-bc)^2$:
$$
k^2+{{2ad-b^2-c^2}\over {ad-bc}}k+1=0. \eqno(29)
$$

� �p������� (29) ⮫쪮 ���� �� ��p��� ����� ���� 楫� � ������⥫��.
���⮬� �� ������ ���� ⠪��:
$$
k=-{{2ad-b^2-c^2}\over {2ad-2bc}}+\sqrt{\left({{2ad-b^2-c^2}\over {2ad-2bc}}\right)
^2-1}.  \eqno(30)
$$
���������� �� �pp�樮���쭮�� � (30), ��᫥ �������p��� �p���p��������
����稬 �᫮��� ��p��������� ���p��� $\~B^{(k)}$:
$$
ad-bc={{k}\over {(k+1)^2}}, \;\;  k=2,3,4, \dots   \eqno(31)
$$

���뢠� ᮮ⭮襭�� (18) � (19), �᫮��� (31) ����� ������� � ����:
$$
{{c_{11}\over c_{22}}-c_{12}c_{21}}{(c_{12}-c_{21})^2}=
{ k\over {(k+1)^2}},\ \ \ k=2, 3, 4, \dots \eqno(31a)
$$

������稬 �p�� $S_k$ ����p孮��, ��������� �p�㫮� (31):
$$
S_k=\{(a,c,d): ad-c(c+1)=k/(k+1)^2\}.  \eqno(32)
$$
� ��⮬ �p��������� p���㦤���� � ����� 1 ����稬 ᫥���饥 �⢥p������.

{\bf ����� 3} ��� ������ �� �祪 ����p孮�⥩
$S_k (k=2,3,4, \dots)$
$$
dimG_A \geqslant 2.
$$


��� ��� ����p孮�� $S_0,S_2,S_3, \dots$ ����p�� �� ��p�ᥪ�����, �
������� �᫮���� ��� p�����⢠ $dimG_A=2$ �� ����p孮�� $S_k$ �㤥�
$$
rang\~B^{(1)}=rang\~B^{(k)}=3,\;\;  k=2,3,4, \dots  \eqno(33)
$$

{\bf ����� 4} ��� ��� �祪 ������⢠ $R^3\setminus S_0$ \;
$rang\~B^{(1)}\ne 2$.
�᫨ $rang\~B^{(1)}=1$, � $a=d=0$ � $b=-c=1/2.$


\underbar{������⥫��⢮}. ���p�� $\~B^{(1)}$ � ��⮬ (19) ����� ���
$$
\~B^{(1)} = \pmatrix{
	    2a   &   0   & 2c+1 &   0 \cr
	    c    &   a   &  d   &   c \cr
	    c+1  &   a   &  d   & c+1 \cr
	    0    & 2c+1  &  0   &  2d
} \; . \eqno(34)
$$
� ������� �������p��� �p���p�������� (����⢨� � ��p�����) ��� �p��������
� ����
$$
\~B^{(1)} \sim \pmatrix{
1  &  0  &  0   &  1 \cr
0  &  a  &  d   &  0 \cr
0  &  0  & 2c+1 & -2a\cr
0 & 2c+1 &  0   &  2d
}.    \eqno(35)
$$
�p� $a\ne 0$ (35) �p�������� � ����
$$
\~B^{(1)} \sim \pmatrix{
1   &   0   &   0   &   1 \cr
0   &   a   &   d   &   0 \cr
0   &   0   & 2c+1  & -2a \cr
0   &   0   &   0   &   0
} \; \;    (a\ne 0),  \eqno(36)
$$
� �p� $d\ne 0$ --- � ����
$$
\~B^{(1)} \sim \pmatrix{
1   &   0  &   0   &   1 \cr
0   &   d  &   a   &   0 \cr
0   &   0  & 2c+1  &  2d \cr
0   &   0  &   0   &   0
} \; \; (d\ne 0).    \eqno(37)
$$
�祢����, �� � ����� ����� $rang\~B^{(1)}=3$. �᫨ �� $a=d=0$, �
ᮣ��᭮ (35)
$$
\~B^{(1)} \sim \pmatrix{
1   &   0   &   0   &   1 \cr
0   &   0   &   0   &   0 \cr
0   &   0   & 2c+1  &   0 \cr
0   & 2c+1  &   0   &   0
} \; \; (a=d=0),  \eqno(38)
$$
��㤠 $rang\~B^{(1)}=3$ �p� $c\ne -1/2$ � $rang\~B^{(1)}=1$ �p� $c = -1/2$.

����� ��p����, ����� 4 ��������.

{\bf ����� 5} �� ����p孮�� $S_k$ \; $rang \~B^{(k)}=3$ \;\;
 $(k=2,3,4, \dots)$.


\underbar{������⥫��⢮}. ��� ��� $k\ne 0$, � ���p�� (22) � �������
�������p���
�p���p��������, � ��⮬ ᮮ⭮襭�� (19), ����� ���� �p������� � ����:
$$
\~B^{(k)}= \pmatrix{
k  &   a(1-k^2)     &   0   &      b-ck^2      \cr
0  &  a(bk^2-c)     &   d   &     bc(k^2-1)    \cr
0  & a^2(k^2-1)(k+1) & b+ck &  a(1+k)(ck^2-b)  \cr
0  &     c+bk       &   0   &       d(1+k)
} \; .  \eqno(39)
$$
����p �⮩ ���p���, ����祭�� ���p�������� 1-� ��p��� � 1-�� �⮫��,
$$
\pmatrix{
   a(bk^2-c)     &   d   &      bc(k^2-1)  \cr
a^2(k^2-1)(k+1)  &  b+ck &  a(1+k)(ck^2-b) \cr
      c+bk       &   0   &       d(1+k)
} \; .  \eqno(40)
$$
��᫥ ����⢨� � ��p��� � ��p�� ��p�����, �p�������� �p� $d\ne 0$ � ����
$$
 \pmatrix{
a(bk^2-c) &  d  &  bc(k^2-1) \cr
   u      &  0  &     v      \cr
  c+bk    &  0  &    d(1+k)
},
$$
���
$$ u = a^2d(k^2-1)(k+1)-(b+ck)a(bk^2-1), $$
$$ v = ad(1+k)(ck^2-b)-bc(k^2-1)(b+ck).$$
� ��᫥���� ���p�� ���� ���㫥��� ����p ��p��� ��p浪�.
�� ����砥��� ���p�������� ��p�� ��p��� � ��p���� �⮫��. ���⮬�
$rang\~B^{(k)} \ge 3$. ��� ���  $det\~B^{(k)}=0$ �� $S_k$, �
�����祭�� ����� �p� $d\ne 0$ ��⠭������. �������筮 ��⠭����������
�p����������� �����祭�� � ��砥 $a\ne 0$.

����� ⥯�p� $a=d=0$. ���p�� (40) �p���p�⠥� ���
$$
\pmatrix{
 0   &   0   & bc(k^2-1) \cr
 0   & b+ck  &    0      \cr
c+bk &   0   &    0
} \; .  \eqno(41)
$$
�����᭮ (31) $bc(k^2-1)\ne0$, ��㤠 $b\ne0$ � $c\ne0$. ���⮬� ��������
$b+ck$ � $c+bk$ ���p��� (41) �p� $k>1$ �� ����� �����p������ ��p������
� ���. ��� ����p
$$
\left| \matrix{   0  & b+ck\cr
	       c+bk &   0   } \right| =
bc(k^2+{{b^2+c^2}\over {bc}}k+1)   \eqno(42)
$$
ᮣ��᭮ (29) p���� ��� �� $S_k$. ���⮬� p��� ���p��� (41) p���� ���,
� ᫥����⥫쭮, �� ����p孮�� $S_k$
$$
rang\~B^{(k)}=3.
$$
����� ��������.

\vskip  0.5 cm
\centerline{\bf \S 4. ���p��� �����䨪�樨}
\vskip  0.3 cm

�㬬�p�� p�������, ����祭�� � ������ 1 -- 5, ����� ��p�㫨p�����
᫥���饥 �⢥p������.

{\bf ���p���} ����� �� �������᪮� ����⢥���� ��㬥p��� �������p����
$M$ � �������� ���p������ $\{x^i\}$ ������ �������� ������p��� ���� (21).
�����

(1) �p㯯� $G_A$ �p�嬥p�� � ᮢ������ � ᨬ������᪮� �p㯯�� $Sp(1,R)$
� �����⢥���� ��砥 --- �p� $a=d=0$ � $b=-c=1/2;$

 (2) ��� ����p孮�⥩ $S_k$, ���������� �p�㫮� (32), $k=2,3,4, \dots$,
�p㯯� $G_A$ ��㬥p��;

 (3) ��� ����p孮�� $S_0$, ���������� �p�㫮� (26), �p㯯� $G_A$ �����
��᪮����� p����p�����;

 (4) ��� ��⠫�� ����� ���� (21) �p㯯� $G_A$ ������p��.


\underbar{������⥫��⢮}. ��, �� �p㯯� $G_A$ 3-��p�� � ᮢ������
� $Sp(1,R)$
�p� $a=d=0$ � $b=-c=1/2$, ᫥��� �� �᭮���� ⥮p��� [3], � �, �� ���
��砩 �����⢥��� --- �� ����� 4. ��p�� �⢥p������ ⥮p��� ���� �祢�����
᫥��⢨� ���� 3 � 5. �p��� �⢥p������ ���� ᫥��⢨� ⮣�, �� �� $S_0$
�� ���p��� $\~B^{(k)}$ ��p������ (�. �p��� (27) � ⥪�� �� ����砭�� 4).
��⢥p⮥ �⢥p������ ᫥��� �� \linebreak  ����� 1.

\vskip  0.5 cm
\centerline{\bf �����祭��}
\vskip  0.3 cm

����祭� ������ �����䨪��� �������� ����p�������� �������᪨�
������p��� ����� �� 2-��p��� ����⢥���� �������p���� �� �p㯯�� $G_A$.
�p� �믮������ �⮩ p����� �����, �� �p�㫨p���� �᭮���� ⥮p��� �
����筮��p���� �p㯯� $G_A$ � [3] �p���� ��筥���. � p��ᬠ�p�������
��砥 �����筮 �������⥫쭮 ���p�������, �⮡� $det (c_{ij})\ne0$, �.�.
�⮡� ���� $A_i$ �� ����᪠�� �࠭��権.

\vskip  0.5 cm
\centerline{\bf ���᮪ �ᯮ�짮������ ���p���p�}
\vskip  0.3 cm

\noindent
\hangindent 0.45 cm
1. {\it ��p���� �.~�.} � �p㯯�, ��p����塞�� ����p������� ����p�� �����//
���.� ������ 18.10.79. $\No$ 3608-79. �������, 1979. 11 �.

\noindent
\hangindent 0.45 cm
2. {\it ��p���� �.~�.} � ��㯯�� ���䥮���䨧���, ��࠭���� ����஦�����
�������᪨� �������� ����// �㭤����⠫�� �p������ ��⥬�⨪�
� ��堭���. ��⥬�⨪�. �., 1994. �.~164 -- 166.

\noindent
\hangindent 0.45 cm
3. {\it ��p���� �.~�.} � ��㯯�� ���䥮���䨧���, ��࠭���� ����஦�����
�������᪨� �������� ����//��⥬. �. 1995. �.~186. $\No$ 5. �.~115 --
126.

\noindent
\hangindent 0.45 cm
4. {\it �������� �.~�., ��p���� �.~�.} �����䨪��� �������� ����p��������
�������᪨� ��⥭樠���� ��p���p �� 2-��p��� ���᪮��// ����p�᪨�
�⥭�� -- 9: ������ ��������. ��p����, 1998. �.~121.
\end






