%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
\magnification=\magstep2
%\pagewidth{17 true cm}
%\vcorrection{-.5 true cm}
%\hcorrection{-.5 true cm}
\TagsOnRight
\pretitle{ \centerline{\bf \underbar
{ Научные труды ИвГУ. Математика. 2000. Выпуск 3}}
\vskip 1 cm
УДК 512.54

%\leftheadtext{Е.~Д.~Логинова }
%\rightheadtext{финитная отделимость циклических подгрупп}
\topmatter
\author
\centerline{\bf Е.~Д.~Логинова }
\endauthor\title

\centerline{\bf ФИНИТНАЯ ОТДЕЛИМОСТЬ ЦИКЛИЧЕСКИХ}
\centerline{\bf  ПОДГРУПП СВОБОДНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ}
\centerline{\bf  ГРУПП С КОММУТИРУЮЩИМИ ПОДГРУППАМИ}
\endtitle
\abstract \nofrills

\vskip .7 cm\noindent
Доказано, что все циклические подгруппы свободного произведения \break двух
групп
с коммутирующими подгруппами финитно отделимы тогда и только тогда, когда
в сомножителях финитно отделимы коммутирующие и все циклические подгруппы.
\endabstract
\endtopmatter
\document
\vskip .7 cm

Пусть $A$ и $B$ --- некоторые группы, $H$ --- подгруппа группы $A$
и $K$ --- подгруппа группы $B$. Группа
$G=\left(A*B; \ \left[H, K\right]=1\right)$,
порождаемая образующими групп $A$ и $B$ и определяемая всеми соотношениями
этих групп, а также --- всевозможными соотношениями вида $[h, k]=1$
\ ($h\in H$, $k\in K$) называется свободным произведением групп $A$ и $B$ с
коммутирующими подгруппами $H$ и $K$ (см\. [2], с\. 230).

Критерий финитной аппроксимируемости группы
$G$ был найден в работе [1]:
если подгруппы $H$ и $K$ неединичны, то группа $G$ финитно аппроксимируема
тогда и только тогда, когда
подгруппы $H$ и $K$ являются финитно отделимыми в группах $A$ и $B$
соответственно. Естественный вопрос о том, при каких условиях все (конечно
порожденные) подгруппы такой группы являются финитно отделимыми,
не имеет столь же однозначного ответа.
Легко видеть, в самом деле, что уже свободное произведение двух свободных
групп с коммутирующими нециклическими подгруппами содержит неотделимую
конечно порожденную подгруппу. Действительно, подгруппы $H$ и $K$ группы
$G$  порождают их прямое произведение, а в прямом произведении двух свободных
групп ранга 2 существует неотделимая конечно порожденная подгруппа (см. [3]).
Если же рассматривать лишь циклические подгруппы группы $G$, положение
становится более определенным, а именно здесь будет доказана


 {\bf Теорема} Пусть $A$ и $B$ --- произвольные группы, все
циклические подгруппы которых финитно отделимы, $H$ и $K$ --- подгруппы
групп $A$ и $B$ соответственно. Если  в группах $A$ и $B$ подгруппы $H$ и
$K$ являются финитно отделимыми, то и все циклические подгруппы группы
$G=\left(A*B; \ \left[H, K\right]=1\right)$ финитно отделимы.


Заметим, что поскольку группа, все циклические подгруппы которой финитно
отделимы, должна быть финитно аппроксимируемой, из упомянутого результата
работы [1] следует, что сформулированное в теореме условие является и
необходимым. Отметим также, что из этой теоремы следует, в частности, что
все циклические подгруппы группы $G=\left(A*B; \ \left[H, K\right]=1\right)$
финитно отделимы, если группы $A$ и $B$ являются полициклическими или
группы $A$ и $B$ свободны и подгруппы $H$ и $K$ конечно порождены.

Для доказательства теоремы необходимо напомнить ряд понятий и утверждений,
используемых при изучении финитной аппроксимируемости свободных произведений
с объединенной подгруппой и восходящих к работе [4].

Будем говорить, что семейство $(N_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$
нормальных подгрупп конечного индекса некоторой груп\-пы $G$ является
фильтрацией, если \break
$\bigcap _{\lambda \in \Lambda }N_{\lambda }=1$.
Если $H$ --- некоторая подгруппа
группы $G$, то фильтрация $(N_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$
называется $H$@-филь\-т\-ра\-цией при условии, что
$\bigcap _{\lambda \in \Lambda }HN_{\lambda }=H$.

Пусть, далее, $M$ и $N$ --- некоторые группы, $U\le M$, $V\le N$ и
$\varphi :U\rightarrow V$ --- изоморфизм. Подгруппы  $R\le M$ и $S\le N$
называются  $(U,V,\varphi)$@-совмес\-ти\-мы\-ми,  если
$(U\cap R)\varphi =V\cap S$. Семейства $(R_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$
и $(S_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ нормальных подгрупп конечного
индекса групп $M$ и $N$ соответственно назовем максимальными
$(U,V,\varphi)$@-совмес\-ти\-мы\-ми,  если для любого $\lambda \in \Lambda$
подгруппы $R_{\lambda }$ и $S_{\lambda }$ являются
$(U,V,\varphi)$@-совмес\-ти\-мы\-ми и для любых
$(U,V,\varphi)$@-совмес\-ти\-мых нормальных подгрупп $R$ и $S$ конечного индекса групп
$M$ и $N$ соответственно существует такое $\lambda \in \Lambda$, что
$R=R_{\lambda }$ и $S=S_{\lambda }$.  Существование таких семейств и их
замкнутость относительно конечных пересечений легко устанавливается.

Предложение 2 из работы [4] фактически утверждает, что если
$(R_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ и
$(S_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ --- максимальные
$(U,V,\varphi)$@-совмес\-ти\-мые семейства нормальных подгрупп конечного
индекса групп $M$ и $N$ и \break
$G = \left(M * N; \ U = V, \,\varphi \right)$ --- свободное произведение
групп $M$ и $N$ с подгруппами $U$ и $V$, объединенными в соответствии с
изоморфизмом $\varphi $, то для финитной аппроксимируемости группы $G$
достаточно потребовать, чтобы
семейство $(R_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ являлось
$U$@-фильтрацией и семейство $(S_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ являлось
$V$@-фильтрацией. Некоторая модификация доказательства этого утверждения
приводят к следующему результату:


{\bf Предложение 1} Пусть $G = \left(M * N; \ U = V, \,\varphi \right)$
--- свободное произведение групп $M$ и $N$ с подгруппами $U$ и $V$,
объединенными в соответствии с изоморфизмом $\varphi $, и пусть
$(R_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ и
$(S_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ --- максимальные
$(U,V,\varphi)$@-совмес\-ти\-мые семейства нормальных подгрупп конечного
индекса групп $M$ и $N$.
Предположим, что семейство $(R_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ является
$U$@-фильтрацией, а также --- $A$@-фильтра\-ци\-ей для любой циклической
подгруппы $A$ группы $M$ и семейство $(S_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$
является $V$@-фильтрацией , а также --- $B$@-фильтрацией для любой
циклической подгруппы $B$ группы $N$. Тогда все циклические подгруппы
группы $G$ финитно отделимы.


Напомним, далее, что строение группы
$G=\left(A*B; \ \left[H, K\right]=1\right)$ может быть описано в
терминах конструкции свободного произведения с объединенной подгруппой
следующим образом.

Пусть для $i=1,2$ $H_{i}$  --- изоморфная копия
группы $H$, $K_{i}$ --- изоморфная копия группы $K$ и
$\sigma^{i}: H\to H_{i}$ и $\tau^{i}: K\to K_{i}$
--фиксиро\-ван\-ные изоморфизмы. Пусть, далее, $U_{i}=H_{i}\times K_{i}$ ---
прямое произведение групп $H_{i}$ и $K_{i}$ и
$M=(A*U_{1}; \ H=H_{1}, \,\sigma^{1})$
--- свободное произведение групп $A$ и $U_{1}$ с подгруппами $H$ и $H_{1}$,
объединенными относительно изоморфизма $\sigma^{1}$,
$N=(B*U_{2}; \ K=K_{2}, \,\tau^{2})$
--- свободное произведение групп $B$ и $U_{2}$ с подгруппами $K$ и $K_{2}$,
объединенными относительно изоморфизма $\tau^{2}$. Тогда группа $G$
изоморфна свободному произведению групп $M$ и $N$ с подгруппами $U_{1}$ и
$U_{2}$, объединенными относительно изоморфизма $\varphi $,
продолжающего отображения
$$
(\sigma^{1})^{-1}\sigma^{2}: H_{1}\to H_{2} \quad \text{и} \quad
(\tau^{1})^{-1}\tau^{2}: K_{1}\to K_{2}.
$$


{\bf Предложение 2} Для любых нормальных подгрупп $X$ и $Y$
конечного индекса групп $A$ и $B$ соответственно существуют
$(U_{1},U_{2},\varphi)$@-совместимые нормальные
подгруппы конечного индекса $R$ группы $M$ и $S$ группы $N$ такие, что
$A\cap R=X$ и $B\cap S=Y$. Более того,

1) если группы $A$ и $B$ финитно аппроксимируемы, а
их подгруппы $H$ и $K$ финитно отделимы, то для любого неединичного
элемента $g$ группы $M$ (группы $N$) подгруппы $R$ и $S$ могут быть выбраны
так, что $g\notin R$ (соответственно, $g\notin S$), а если, кроме того,
$g$ не лежит в $U_{1}$ (в $U_2$), то подгруппы $R$ и $S$
могут быть выбраны так, что $g\notin U_{1}R$ (соответственно,
$g\notin U_{2}S$);

2) если, к тому же, все циклические подгруппы групп $A$ и $B$ финитно
отделимы, то для любой циклической подгруппы $W$ группы $M$ (группы $N$) и
элемента $g\in M\setminus W$ (соответственно, $g\in N\setminus W$) подгруппы
$R$ и $S$ можно выбрать так, что $g\notin WR$ (соответственно, $g\notin WS$).


Очевидно, что в силу предложения 1 наша теорема является непосредственным
следствием предложения 2.

Доказательство предложения 2 аналогично доказательству леммы 1 из работы [1],
причем утверждение 1) содержится непосредственно в формулировке этой леммы.
Приведем соответствующие рассуждения.

Пусть $X$ и $Y$ --- произвольные нормальные подгруппы конечного индекса
групп $A$ и $B$ соответственно. Полагаем $C=X\cap H$, $D=Y\cap K$ и для
$i=1,2$ пусть $C_{i}=C\sigma^{i}$,  $D_{i}=D\tau^{i}$ и $V_{i}=C_{i}D_{i}$.
Ясно, что
$V_{i}$ --- такая нормальная подгруппа конечного индекса группы $U_{i}$, что
$$
H_{i}\cap V_{i}=C_{i} \quad \text{и} \quad K_{i}\cap V_{i}=D_{i}.
$$

В частности, поскольку $(X\cap H)\sigma^{1}=C_{1}=H_{1}\cap V_{1}$,
нормальные подгруппы $X$ и $V_{1}$ групп $A$ и $U_{1}$ оказываются
$(H,H_{1},\sigma^{1})$@-совместимыми, и мы можем, как обычно, рассмотреть
свободное произведение
$$
M_{X,V_{1}} = \left(A/X * U_{1}/V_{1}; \ HX/X = H_{1}V_{1}/V_{1}, \
\sigma^{1}_{{}_{X,V_{1}}}\right)
$$
групп $A/X$ и $U_{1}/V_{1}$ с подгруппами $HX/X$ и $H_{1}V_{1}/V_{1}$,
объединенными в силу изоморфизма $\sigma^{1}_{{}_{X,V_{1}}}$, переводящего
элемент $hX$ в элемент $(h\sigma^{1})V_1$ ($h\in H$). Пусть еще
$\rho_{{}_{X,V_{1}}}$ обозначает гомоморфизм  группы $M$ на группу
$M_{X,V_{1}}$, продолжающий естественные отоб\-ражения $A$ на $A/X$
и $U_{1}$ на $U_{1}/V_{1}$.

Группа $M_{X,V_{1}}$, будучи свободным произведением с объединенной
подгруппой двух конечных групп, является финитно аппроксимируемой, и потому в
ней существует нормальная подгруппа $Z$ конечного индекса такая, что
$A\left/X\,\cap Z\right.=1=U_{1}\left/V_{1}\,\cap Z\right.$.
Тогда прообраз $R=Z\rho_{{}_{X,V_{1}}}^{-1}$ подгруппы $Z$
относительно отображения $\rho_{{}_{X,V_{1}}}$ является нормальной
подгруппой конечного индекса группы $M$, причем
$A\cap R=X$ и $U_{1}\cap R=V_{1}$.
Аналогично строится нормальная подгруппа $S$ конечного индекса группы $N$
такая, что $B\cap S=Y$ и $U_{2}\cap S=V_{2}$, и очевидно, что подгруппы $R$
и $S$ являются $(U_{1},U_{2},\varphi)$@-совместимыми.

Покажем теперь, что для любой
циклической подгруппы $W$ группы $M$ и не принадлежащего ей элемента $g\in M$
подгруппы $X$, $Y$ и $Z$ можно подобрать так, чтобы соответствующие
подгруппы $R$ и $S$ удовлетворяли заключению утверждения 2). Заметим сразу
же, что для этого достаточно указать такие подгруппы $X$ и $Y$, что в группе
$M_{X,V_{1}}$ элемент $g\rho_{{}_{X,V_{1}}}$ не принадлежит
подгруппе $W\rho_{{}_{X,V_{1}}}$. Действительно, поскольку все
конечно порожденные подгруппы группы $M_{X,V_{1}}$ (как свободного
произведения с объединенной подгруппой двух конечных групп) финитно
отделимы, в этом
случае подгруппу $Z$ можно выбрать так, чтобы она удовлетворяла условиям,
указанным выше, и подгруппа $(W\rho_{{}_{X,V_{1}}})Z$ не содержала
бы элемента $g\rho_{{}_{X,V_{1}}}$. Очевидно, что тогда для
соответствующей подгруппы $R$ будем иметь $g\notin WR$.

Из финитной отделимости подгрупп $H$ и $K$ групп $A$ и $B$ следует, что
для любых конечных последовательностей элементов $x_1, x_2, \dots , x_m$
группы $A$, не принадлежащих подгруппе $H$, и элементов
$y_1, y_2, \dots , y_n$ группы $U_1$, не принадлежащих подгруппе $H_1$,
в группах $A$ и $B$ можно выбрать такие нормальные подгруппы конечного
индекса $X$ и $Y$, что каждый элемент $x_i$ не входит в подгруппу $HX$ и
каждый элемент $y_j$ не входит в подгруппу $H_1V_1$. Отсюда, в свою очередь,
следует, что для любой конечной последовательности элементов
$f_1, f_2, \dots , f_k$ группы $M$ в группах $A$ и $B$ существуют такие
нормальные подгруппы конечного индекса $X$ и $Y$, что длина каждого
элемента $f_i\rho_{{}_{X,V_{1}}}$ группы $M_{X,V_{1}}$
совпадает с длиной элемента $f_i$, причем если $f_i$ циклически несократим,
то и $f_i\rho_{{}_{X,V_{1}}}$ является циклически несократимым.

Без потери общности можно предполагать, что порождающий элемент $w$
подгруппы $W$ является циклически несократимым. Рассмотрим сначала случай,
когда длина $m$ этого элемента больше 1. Обозначим еще длину элемента $g$
через $n$ и в соответствии с замечанием в предыдущем абзаце выберем
подгруппы $X$ и $Y$ так, чтобы в соответствующей группе $M_{X,V_{1}}$
элементы $\widehat w =w\rho_{{}_{X,V_{1}}}$ и
$\widehat g=g\rho_{{}_{X,V_{1}}}$ имели длину $m$ и $n$
соответственно. Если для некоторого целого числа $k$ выполнено равенство
$\widehat g=\widehat w^k$, то ввиду циклической несократимости элемента
$\widehat w$ мы должны иметь $n=m|k|$. Поэтому если $n$ не делится на $m$,
указанные подгруппы $X$ и $Y$ являются искомыми. Пусть $n=ml$. Так как
элемент $g$ не принадлежит подгруппе $W$, элементы $gw^l$ и $gw^{-l}$
группы $M$ отличны от единицы. В этом случае искомые подгруппы $X$ и $Y$
получаются, если выбирать их в соответствии с предыдущим абзацем так, чтобы
при переходе к образам сохранялась длина и этих элементов. Аналогично
рассматривается случай, когда $m=1$ и $n>1$: здесь подгруппы $X$ и $Y$
достаточно выбрать так, чтобы сохранить длину образа элемента $g$.

Остается рассмотреть случай, когда элементы  $g$ и $w$ принадлежат
сомножителям разложения группы $M$. Предположим сначала, что $w\in A$.
Если и элемент $g$ лежит в подгруппе $A$, то из отделимости циклических
подгрупп этой группы следует, что $g\notin AX$ для подходящей нормальной
подгруппы $X$ конечного индекса группы $A$. Очевидно, что подгруппа $X$
вместе с произвольной нормальной подгруппой $Y$ конечного индекса группы $B$
составляет искомую пару подгрупп. Если же элемент $g$ лежит в подгруппе $U_1$,
но не входит в подгруппу $A$, то он не входит в подгруппу $H_1$ и потому
имеет вид $g=h_{1}k_{1}$, где $h_{1}\in H_{1}$, $k_{1}\in K_{1}$ и
$k_1\neq 1$. Так как группа $B$ финитно аппроксимируема, в ней найдется
нормальная подгруппа $Y$ конечного индекса, не содержащая
$\tau^{1}$@-прообраза элемента $k_1$. Очевидно, что тогда при любой
нормальной подгруппе $X$ конечного индекса группы $A$ образ относительно
отображения $\rho_{{}_{X,V_{1}}}$ элемента $g$ не принадлежит
образу подгруппы $A$ и, тем более, --- образу подгруппы $W$.

Предположим, наконец, что элемент $w$ лежит в подгруппе $U_1$,
так что $w=xy$, где $x\in H_{1}$, $y\in K_{1}$. Если $g\in A\setminus U_1$,
то $g\notin H$, и искомую пару подгрупп $X$ и $Y$ можно получить,
выбрав $X$ так, чтобы $g\notin HX$, и
взяв $Y$ произвольной. Пусть $g\in U_1$ и пусть снова
$g=h_{1}k_{1}$, где $h_{1}\in H_{1}$ и $k_{1}\in K_{1}$. Если элемент
$h_1$ не принадлежит циклической подгруппе $(x)$, порожденной элементом $x$,
то для подходящей нормальной подгруппы $X$ конечного индекса группы $A$
будем иметь $h_1\notin (x)X$, и легко видеть, что $X$ вместе с произвольной
нормальной подгруппой $Y$ группы $B$ составляет искомую пару. Аналогично
рассматривается случай, когда элемент $k_1$ не принадлежит циклической
подгруппе, порожденной элементом $y$. Остается предположить, что $h_1=x^r$
и $k_1=y^s$ для некоторых целых чисел $r$ и $s$. Здесь придется отдельно
рассмотреть три случая в зависимости от порядков элементов $x$ и $y$.

Предположим сначала, что элементы $x$ и $y$ имеют конечные порядки $m$ и $n$
соответственно. Ввиду финитной аппроксимируемости групп $A$ и $B$ в них можно найти такие
нормальные подгруппы конечного индекса $X$ и $Y$ соответственно, по
модулю которых элементы $x(\sigma^1)^{-1}$ и $y(\tau^1)^{-1}$ имеют те же
порядки $m$ и $n$. Эти подгруппы являются искомыми, так как если для
некоторого целого числа $t$ имеет место сравнение $g\equiv w^t \pmod {V_1}$,
то должны выполняться и сравнения
$(x(\sigma^1)^{-1})^r \equiv (x(\sigma^1)^{-1})^t \pmod X$ и
$(y(\tau^1)^{-1})^s \equiv (y(\tau^1)^{-1})^t \pmod Y$, которые равносильны
сравнениям $r \equiv t \pmod m$ и $s \equiv t \pmod n$ соответственно. Но
тогда выполнено равенство $g=h_{1}k_{1}=x^ry^s=x^ty^t=w^t$, которое
противоречит условию $g\notin W$.

Для рассмотрения двух оставшихся случаев нам потребуется следующее
легко проверяемое замечание: если все циклические подгруппы некоторой группы
$F$ финитно отделимы, то для любого элемента бесконечного порядка $f\in F$ и
любого целого числа $m>1$ найдется нормальная подгруппа $N$ конечного индекса
группы $F$, порядок элемента $f$ по модулю которой делится на $m$.

Пусть теперь в точности один из элементов $x$ и $y$ имеет конечный порядок;
пусть для определенности порядок элемента $x$ бесконечен, а $|y|=n$. Выберем
нормальные подгруппы $X$ и $Y$ конечного индекса групп $A$ и $B$
соответственно так, что порядок элемента $x(\sigma^1)^{-1}$ по
модулю $X$ делится на $n$, а порядок элемента $y(\tau^1)^{-1}$ по модулю
$Y$ равен $n$. Тогда из сравнения $g\equiv w^t \pmod {V_1}$ следует, что
$r \equiv s \pmod n$,
откуда снова в группе $M$ получаем противоречащее предположению равенство
$g=h_{1}k_{1}=x^ry^s=x^ry^r=w^r$.

Предположим, наконец, что порядки элементов $x$ и $y$ бесконечны.
Так как $r-s\neq 0$, найдется
целое число $n>0$, не делящее разности $r-s$. Выберем нормальные подгруппы
$X$ и $Y$ конечного индекса групп $A$ и $B$ соответственно так, чтобы
порядки элемента $x(\sigma^1)^{-1}$ по модулю $X$ и элемента $y(\tau^1)^{-1}$
по модулю $Y$ делились на $n$. Тогда из сравнения $g\equiv w^t \pmod {V_1}$
следовало бы сравнение $r \equiv s \pmod n$, что противоречит выбору $n$.
Предложение 2 доказано.
\vskip 1 cm

\centerline{{\bf Список использованной литеpатуpы}}
\medskip

\noindent
\hangindent 0.5cm
1. {\it Логинова Е.~Д.} Финитная аппроксимируемость свободного произведения
двух групп с коммутирующими подгруппами // Сиб. матем. журн. 1999. Т. 40.
С. 395 -- 407.

\noindent
\hangindent 0.5cm
2. {\it Магнус В., Каррас А., Солитэр Д.} Комбинаторная теория групп.
М. 1974. 455 с.

\noindent
\hangindent 0.5cm
3. {\it Allenby R. and Gregorac R.} On locally extended residually finite
groups // Lecture Notes Math. 1973. V. 319. P. 9 -- 17.

\noindent
\hangindent 0.5cm
4. {\it Baumslag G.} On the residual finiteness of generalized free
products of nilpotent groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. V. 106.
P. 193--209.

\end
