%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
\magnification=\magstep2
%\pagewidth{17 true cm}
%\vcorrection{-.5 true cm}
%\hcorrection{-.5 true cm}
\TagsOnRight
\pretitle{ \centerline{\bf \underbar
{ ����� ���� ����. ��⥬�⨪�. 1999. ���� 3}}
\vskip 1 cm
��� 512.54

%\leftheadtext{�.~�.~��������᪨� }
%\rightheadtext{���室�饥 $HNN$-���७�� ��㯯}
\topmatter
\author
\centerline{\bf �.~�.~��������᪨�}
\endauthor
\title
\centerline{\bf  �� �⤥������ 横���᪨� �����㯯}
\centerline{\bf  ���室�饣� $HNN$-���७�� ��㯯}
\endtitle
\abstract \nofrills

\vskip .5 cm\noindent
��������, �� �� 横���᪨� �����㯯� ���室�饣� $HNN$-��\-�\-�\-��� ��㯯�
$G$ ����� 䨭�⭮ �⤥���묨 � �筮�� ⮣��, ����� � ���\-�� $G$
������ 横���᪠� �����㯯� �⤥���� ᥬ���⢮� ��� ᮢ���⨬��
��ଠ���� �����㯯 ����筮�� ������.
\endabstract
\endtopmatter
\document
\vskip .5 cm


����� $G$ --- ������� ��㯯�, $A$ � $B$ --- ��������
�����㯯� ��㯯� $G$ � $\varphi:A\to B$ --- 䨪�஢���� ������䨧�.
����� $G^*=(G, t;\ t^{-1}At=B, \varphi)$ --- $HNN$-���७�� ��㯯� $G$ �
��室��� �㪢�� $t$ � �易��묨 �����㯯��� $A$ � $B$.
$HNN$-���७�� ��㯯� $G$ ���뢠�� ���室�騬,
�᫨ ���� �� �易���� �����㯯, ᪠��� $A$, ᮢ������ � ��㯯�� $G$.

���� �����⭮ (�. ����. [2]), �� ����室���, �� ����� ������, ��
������� �᫮���� 䨭�⭮� ���பᨬ��㥬��� ��㯯� $G^*$
���� �ਢ���쭮��� ����祭�� ��� $(A, B, \varphi)$-ᮢ���⨬��
��ଠ���� �����㯯  ����筮�� ������ ��㯯� $G$. (�����㯯� $H$ ��㯯� $G$
���뢠�� $(A, B, \varphi)$-ᮢ����\-���, �᫨ $(H\cap A)\varphi =H\cap B$.)
� ࠡ�� [1] �뫮 ��������, �� � ��砥 ���室�饣� $HNN$-����\-���
�� ����室���� �᫮��� ����뢠���� � ������� ��� 䨭�⭮�
���பᨬ��㥬���. ����� �� �������, �� � �⮬ ��砥
䠪��᪨ � �� �� �ନ��� ����� ���㫨஢��� � ���਩ 䨭�⭮�
�⤥������ ��� 横���᪨� �����㯯. � ������, ����� ����

{\bf ���६�} ����� $G$ --- ������� ��㯯�, $B$ --- �����㯯� ��㯯�
$G$, ������䭠� �⮩ ��㯯�, � $\varphi:G \to B$ --- ������䨧�. �����
$G^* = (G, t;\ t^{-1} G t = B, \varphi)$ --- ���室�饥 $HNN$-���७��
��㯯� $G$. ������ 横���᪠� �����㯯� ��㯯� $G^*$ 䨭�⭮ �⤥���� ⮣��
� ⮫쪮 ⮣��, ����� ������ 横���᪠� �����㯯� ��㯯� $G$ �⤥����
ᥬ���⢮� ��� $(G,B,\varphi)$-ᮢ���⨬�� ��ଠ���� �����㯯 ����筮��
������ ��㯯� $G$.

��� ������⥫��⢠ ⥮६� �������� � �������� ����஥����, �易���� �
�ᯮ�짮������ ������ $(A, B, \varphi)$-ᮢ����\-��� �����㯯�.
� ��⭮� ��砥 ���室�饣� $HNN$-���७�� ᮮ⢥�����騥
�⢥ত���� �룫��� ᫥���騬 ��ࠧ��.

�᫨ $H$ --- �ந����쭠� $(G,B,\varphi)$-ᮢ���⨬�� ��ଠ�쭠� �����㯯�
����筮�� ������ ��㯯� $G$, � �⮡ࠦ���� $\varphi_{{}_H}$, ��।��塞��
�� �ࠢ��� $(xH)\varphi_{{}_H}=(x\varphi)H\ (x\in G)$, ���� ��⮬��䨧���
䠪��-��㯯� $G/H=BH/H$. ���⮬� ᮮ⢥�����饥 $HNN$-���७��
$G^*_H=(G/H, t;\ t^{-1}G/Ht=BH/H, \varphi_{{}_H})$ ���� ��饯���騬��
���७��� ����筮� ��ଠ�쭮� ��㯯� $G/H$ �� ����� ��᪮��筮� 横���᪮� ��㯯�,
��஦������ ������⮬ $t$.  ������� �������䨧� $\rho_{{}_H}$ ��㯯�
$G^*$ �� ��㯯� $G^*_H$, �த�����騩
����⢥���� �⮡ࠦ���� ��㯯� $G$ �� 䠪\-��-��㯯� $G/H$ � ��ॢ���騩 $t$
� $t$.
�஬� ⮣�, ����祭�� � ������� ��㯯�� $G$ �ந����쭮� ��ଠ�쭮�
�����㯯� $HNN$-���७�� $G^*=(G, t;\ t^{-1}Gt=B, \varphi)$
���� $(G, B, \varphi)$-ᮢ���⨬�� �����㯯�� ��㯯� $G$, � ��⮬�
�ந������ �������䨧� ���\-�� $G^*$ � ���� ��㯯� ��室�� �१
������� �������䨧� ���� $\rho_{{}_H}$.

��᫥���� ����砭�� ������ ���� "⮫쪮 ⮣��" �⢥ত���� ⥮६� ����
�祢�����. �᫨, � ᠬ�� ����, $C$ --- �ந����쭠� 横���᪠� �����㯯�
��㯯� $G$ � $a$ --- �� �ਭ������騩 �� ������� ��
��㯯� $G$, � �������� �������䨧� $\psi$
��㯯� $G^*$ � ������� ��㯯�, ⠪�� �� $a\psi \notin C\psi$. �祢����, ��
$a\notin CN$, ��� $N$ ���� ����祭�� �����㯯� $G$ � ��
�������䨧�� $\psi$ � ��⮬� ����
$(G,B,\varphi)$-ᮢ���⨬�� ��ଠ�쭮� �����㯯�� ����筮�� ������ ��㯯�
$G$.

���室� � ������⥫���� �����筮��, �⬥⨬ ᭠砫�, �� �ந������
������� $g$ ��㯯� $G^*$ �������筮 �����뢠���� � ���� $t^pat^{-q}$,
��� $a\in G$, 楫� �᫠
$p$ � $q$ ������⥫�� � �᫨ $pq\neq 0$, � $a\notin B$ (�. [1]).
����� ������ ������� ��㯯� $G^*$ �㤥� ���뢠�� �������᪮�.

�� ����砭��, �ਢ������� ��᫥ ��㫨஢�� ⥮६�, ᫥���, �� ���
������⥫��⢠ �⤥������ 横���᪨� �����㯯 ��㯯� $G^*$ �����筮 ���
�� �� 横���᪮� �����㯯� $C$ � ��� ������� $g\in G^*\setminus C$
㪠���� ⠪�� $(G,B,\varphi)$-ᮢ���⨬�� ��ଠ���� �����㯯� $H$ ����筮��
������ ��㯯� $G$, �� $g\rho_{{}_H} \notin C\rho_{{}_H}$.

�⠪, ����� $C$ --- �ந����쭠� 横���᪠� �����㯯� ��㯯� $G^*$. ��
���� �������᪮� ����� �� ��஦���饣� ������� ᫥���, �� �������
�����㯯� $C$ ᮯ�殮���� ��, �᫨ �� ����室���, ����� ��� ���� ��魮��
�����, �� �����㯯� $C$ ��஦������ ������⮬ ���� $c=t^ka$, ��� $a \in G$.
����� ������� $g\in G^*$ �� �ਭ������� �����㯯� $C$. ���ᬮ�ਬ
�⤥�쭮 ��� ���� � ����ᨬ��� �� ���祭�� $k$.

�᫨ $k=0$, � $C \leq G$, � ��⮬� �᫨ $g \in G$, �
�������� $(G,B,\varphi)$-ᮢ����\-��� ��ଠ�쭠� �����㯯� $H$ ����筮��
������ ��㯯� $G$ ⠪��, �� $g \notin CH$. ��� ��� �������䨧� $\rho_{{}_H}$
�த������ ����⢥���� �⮡ࠦ���� ��㯯� $G$ �� 䠪��-��㯯� $G/H$, �
$g\rho_{{}_H} \notin C\rho_{{}_H}$. �᫨ ������� $g \notin G$ �
$g=t^pbt^{-q}$ --- ��� �������᪠� ������, � �� $p-q \neq 0$ �⢥ত����
$g\rho_{{}_H} \notin C\rho_{{}_H}$ �����
���� ��� �� $(G,B,\varphi)$-ᮢ���⨬�� ��ଠ�쭮� �����㯯� $H$
��㯯� $G$. �᫨ �� $p-q=0$, � ��᪮��� ������� $b$ �� �ਭ�������
�����㯯� $t^{-p}Ct^p\leq G$, ����⢮����� �᪮��� �����㯯� $H$
�����뢠����, ��� ���.

�।������� ⥯���, �� $k \neq 0$. ����� ᭮�� �������᪠� ������ �������
$g$ ����� ��� $g=t^pbt^{-q}$. �।�������, �� ��� �����ன
$(G,B,\varphi)$-ᮢ���⨬�� ��ଠ�쭮� �����㯯� $H$ ����筮�� ������
��㯯� $G$ �  ��� �����ண� 楫��� �᫠ $n$ ����� ���� ࠢ���⢮
$g\rho_{{}_H} =(c\rho_{{}_H})^n$. ����ਧ�� ��㯯� $G^*_H$ �� �����㯯�
$G/H$, �� �����, �� ⮣�� $p-q=kn$ ��� �����ண� 楫��� �᫠ $n$.
�������⥫쭮, �᫨ $p-q$ �� ������� �� $k$, � �� �� �������䨧�� ����
$\rho_{{}_H}$ �㤥� ����� $g\rho_{{}_H} \notin C\rho_{{}_H}$. �᫨ ��
$p-q=kn$, � ��᪮��� ������� $gc^{-n}$ ��㯯� $G^*$ �⫨祭 �� ������� �
�� ��㯯� ����� [1] 䨭�⭮ ���பᨬ��㥬�, �������� �������䨧� �� ��
������� ��㯯�, ��ࠧ ������� $gc^{-n}$ �� ���஬ �� ࠢ�� 1. ����� ���
�������䨧� ��室�� �१ �����஥ �⮡ࠦ���� ���� $\rho_{{}_H}$,
��� ���ண� $g\rho_{{}_H}\neq (c\rho_{{}_H})^n$, � � ᨫ� �।��饣�
����� $g\rho_{{}_H} \notin C\rho_{{}_H}$. ���६� ��������.

\vskip 1 cm

\centerline{{\bf ���᮪ �ᯮ�짮������ ���p���p�}}
\medskip
\noindent
\hangindent 0.5cm
1. {\it ��������᪨� �.�.} ����⭠� ���பᨬ��㥬���� ���室��� \break
HNN-���\-�\-��� ��㯯 // ���. ��⥬. ���. 1992. �. 44.
�. 842 -- 845.

\noindent
\hangindent 0.5cm
2. {\it Shirvani M.} On residually finite HNN-extensions//Arch. Math. 1985.
V.44. P. 110 -- 115.

\end
