%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
\magnification=\magstep2
%\pagewidth{17 true cm}
%\pageheight{26 true cm}
%\vcorrection{-1.3 true cm}
%\hcorrection{-.5 true cm}
\pageno=1
\TagsOnRight
\pretitle{\centerline{\bf ����� ���� ����. ��⥬�⨪�. ��.~3}
           \centerline{\bf �������,~2000}
\vskip -.25 cm
\centerline{
-------------------------------------------------------------------------------------------- }}
\vskip 1 cm
��� 512.543
\vskip .3 cm

\centerline{\bf �.~M.~�������᪨�}
\vskip.2 cm
%\leftheadtext{\it �.~M.~�������᪨�}
%\rightheadtext{\it ���਩ 宯䮢��� $HNN$-���७��}

\topmatter
\title
\centerline{\bf ���਩ 宯䮢��� $HNN$-���७��}
\centerline{\bf  ����筮 ��஦������ �������� ��㯯}
\endtitle
\abstract \nofrills

\vskip .3 cm\noindent
������ ���਩ 宯䮢��� $HNN$-���७�� �ந����쭮� ����筮 ��஦������
�������� ��㯯�
\endabstract
\endtopmatter

\centerline{\S 1. ��������.}
\bigskip

����� $K$ --- ������� ��㯯�, $A$ � $B$  ---  �����㯯�  ��㯯� $K$  �
$\varphi :A\rightarrow B$ --- ������䨧�. ��㯯�
\par
$$
G=<K,t;\ t^{-1}At=B,\varphi >,
$$
\noindent ��஦������ ��㯯�� $G$ � ������⮬ $t$ �  ��।��塞��
ᮮ⭮襭�ﬨ
��㯯� $G$ � ᮮ⭮襭�ﬨ ���� $t^{-1}at=a\varphi \  (a\in A)$,
���뢠����  $HNN$-���७��� ��㯯� $G$ � ��室��� �㪢�� $t$  �⭮�⥫쭮  �易����
�����㯯 $A$ � $B$ � ������䨧�� $\varphi $ [1].
\par
��������, �� ��㯯� $G$ ���뢠����  䨭�⭮  ���பᨬ��㥬��,
�᫨ ��� ��� �������筮��  ������� $G$  �������  �������䨧�
��㯯� $G$ � ���室���� ������� ��㯯�, �� ���஬  ��ࠧ  �������
������� �⫨祭 �� �������.
\par
�������� ⠪��, �� ��㯯� $G$ ���뢠���� 宯䮢��, �᫨ ��� ��
������䭠 ������� ᢮�� ��⨭��� 䠪��-��㯯�. ����� ������,  ��
��㯯� $G$ ���� ��宯䮢��  ⮣��  �  ⮫쪮  ⮣��,  �����  ���
�������� ���쥪⨢�� �������䨧��� � ���ਢ����� �஬.
\par
�����⭠�     ⥮६�     �.�.����楢�     �⢥ত���     ��
�ந����쭠� ����筮 ��஦������ 䨭�⭮  ���பᨬ��㥬��  ��㯯�
宯䮢�.
\par
� ࠡ�� [5] �뫨 ������� ����室��� �  �������  �᫮���
��� 䨭�⭮�  ���பᨬ��㥬���  $HNN$-���७��  �ந����쭮� \break
����筮 ��஦������ �������� ��㯯�. �  �拉  ࠡ��  ��᫥��������
�᫮��� 宯䮢��� $HNN$-���७��. � ��⭮��, � ࠡ�� [3] �뫨 ����
������� �᫮���  ���  ��宯䮢��� $HNN$-���\-७��  �ந����쭮�
���\-���  �  ������묨  �易��묨 �����㯯���. � ������, �뫠 �������� ⥮६�:
\par
{\sl ����� $K$ --- ������� ��㯯�, $A$ � $B$ --- ������� �����㯯�  ��㯯�
$K$ � $\varphi :A\rightarrow B$ --- ������䨧�. �।�������, �� ������� �������䨧� $\vartheta $
��㯯� $K$, �������騩 ᫥���騬� ᢮��⢠��:
\par
$i)$  �����㯯� $A$  � $B$  �����⨬�  �⭮�⥫쭮 $\vartheta $,   �.�.
$A\vartheta \subseteq A, B\vartheta \subseteq B$;
\par
ii)  ��࠭�祭�� $\vartheta $   ��   �����㯯� $A$   ����⠭���筮 �
������䨧��� $\varphi $, �.�. ��� ���
$a\in A a(\vartheta \varphi )=a(\varphi \vartheta )$;
\par
iii) ��㯯� $K$   ��஦������   �����㯯���
$K\vartheta$, $(K\vartheta \cap A)\varphi $,   �
$(K\vartheta \cap B)\varphi ^{-1}$;
\par
iv) �������� �������� $f,g\in K$ ⠪��, ��
$f\vartheta \in A$ � $f\not\in A$, $g\vartheta \in B$ �
$g\not\in B$.
\par
����� ��㯯� $G=<K,t;\ t^{-1}At=B,\varphi >$ ��宯䮢�.}
\par
�᭮���� १���� ������ ࠡ��� (�. \S  3) �⢥ত���, ��  �
��砥, ����� ��㯯� $K$ ����筮 ��஦������ �������, � � �������
�᫠�������  �ॡ������  iii)   㪠�����   �᫮���   �����   �
����室��묨 ��� ��宯䮢��� ��㯯� G. ������ �⬥���, ��  ���
����,   ����� $K$   ����   ᢮������    ��������    ��㯯��,
ᮮ⢥�����騩 ���਩ �� ������ � ࠡ�� [6]. �� �⮬, �  ⮬
��砥, ����� �����㯯� $A$ � $B$ ����� ������ ������  �  ��㯯� $K$,
��㫨஢�� �� [6] 䠪��᪨  ᮢ������  �  ��襩.  �  ��饬  ��
��砥 ���਩ ��� � ��㣨� �ନ���. �஬� ⮣�, ������⥫��⢮,
�ਢ������ �����, ���� �� ������⢨� ���祭�� � ��㯯� $K$ ����
�孨�᪨ ����� ����� � ����⢥���.
\par
� \S 2 ������ ࠡ��� �ਢ������ ����室��� ᢥ����� � ��஥���
�������� �����㯯 $HNN$-���७��. � \S 3 �ਢ������
��㫨஢�� ��� �᭮���� �⢥ত����, �ਢ����� �
�᭮����� १����� ࠡ���. ������� ���祢� �⢥ত���� �ਢ������
��� ������⥫���. ����� ��ਠ�� ࠡ��� �㤥� ��㡫������ � ��㣮� ����.
\par
\medskip
\centerline{ \S 2. �।���⥫�� ����砭��.}
\bigskip

����� $K$ --- �ந����쭠� ��㯯�, $A$ � $B$ --- �����㯯� ��㯯� $K$   �
$\varphi :A\rightarrow B$ --- ������䨧�. ����� ⠪��
$G=<K,t; t^{-1}at=a\varphi,\ a\in A>$  ���� $HNN$-���७�� ��㯯� $K$
� �易��묨 �����㯯��� $A$ � $B$   �⭮�⥫쭮
������䨧�� $\varphi $.
\par
�� �ନ��, �易��� � �������樥� $HNN$-���७��, ᮣ��ᮢ��� � [1].
$|g|$ �㤥� ��������� ����� ������� $g \in G$, �.�. ����� ��� ���ਢ������
�����. �㤥� ������� ⠪��, �� �ந�������� $gh$ ������⮢ $g$ � $h$ ��㯯�
$G$ �ਢ����� (��� ��᮪�⨬�), �᫨ $g$ � $h$ �ਢ����� � � �ந�������� $gh$
 $t$-।�樨 ����������.
\par
���ᠭ��  ��������  �����㯯   �ந����쭮��   $HNN$-���७�� \break
����� �뫮 ����  �.�.��������᪨�  �  [2].  �  ������,  ��  �뫮
��������,  ��  ��猪�  �������  �����㯯� $G$  ᮯ�殮��   ���   �
�����㯯��  �� $K$,  ���   �   ����   �ந���������   ��᪮��筮�
横���᪮� ��㯯� � �����ன �����㯯� �� $A$ ��� $B$, ���  ����
��ꥤ������� �������饩  楯�窨  �����㯯,  ������  ��  ������
ᮯ�殮�� � �����㯯�� �� $A$  ���  $B$.  ���  ���ॡ����  �����஥
��筥��� ��� ����, ����� $K$ --- ������� ��㯯�.
������稬  �१ $K_{r}$  �����㯯� $t^{r}Kt^{-r}$   ��㯯�   $G$.   �����
������,�� �� $r\ge 1$ $K\cap K_{r}$ ��⮨� �� ��  �  ⮫쪮   ��  ������⮢
��㯯� $K$, ��� ������� �� ������ $g\varphi ^{i}$ ��।����
�� $i=0,\ldots ,r$, � ����
\par
$$
K\cap K_{r}=  \{ g\in K; g\varphi ^{i}\in A\text{ �� }i=0,\ldots,r-1  \}.
$$
�������筮 �� $r\ge 1$
\par
$$
K\cap K_{-r}=  \{  g\in K;  g\varphi ^{-i}\in B\text{ �� }i=0,\ldots,r-1  \}.
$$
����� $H^{+}=\bigcap^{}_{r\ge 0}K_{r}$, $H^{-}=\bigcap^{}_{r\le 0}K_{r}$,
$H^{*}=H^{-}\cap H^{+}$. ����� $H^{*}$  -  ���ᨬ��쭠�
�����㯯� $K$, ⠪��, �� $H^{*}\varphi =H^{*}$. �᫨ ��㯯� $K$ �������,
 � $H^{*}$ --- ���c������ �।� ��ଠ���� ����⥫�� ��㯯� $G$, ᮤ�ঠ���� � $K$.
\par
������� ��� 楫��� $p$
\par
$$
C_{p}=  \{  g\in K ;  g\varphi ^{p}=g   \}.
$$
�祢����, �� $C_{p}=C_{-p}$ � �� $p$,  �⫨筮� �� ���, $C_{p}$ �㤥�
��ଠ��� ����⥫�� � $G$ �, ᫥����⥫쭮, $C_{p}\subseteq H^{*}$.
\par
��।����  ⠪��  ���   �㭪樨   ��   ��������   $G$.   �����
%\NoBlackBoxes
$$ g=g_{0}t^{\epsilon _{1}}\ldots
   t^{\epsilon _{n}}g_{n}
$$    ---  �ਢ�������    ������    ������� $g\in G$.
������稬 $s_{i}=\epsilon _{1}+\ldots
+\epsilon _{i}$ ��� $i=1,\ldots ,n$.   �����   ��   ��।������
$\underline{s}(g)=\min  \{  s_{i}  \}$,
$\bar{s}(g)=\max \{  s_{i}  \}$. �᫨ $g\in K$, �
�������� $\underline{s}(g)=\bar{s}(g)=0.$
�祢����,  �� $\underline{s}(g)\le \sigma _{t}(g)\le \bar{s}(g)$,
��� $\sigma _{t}(g)$ - �㬬� ������⥫�� �� $t$
�  �ਢ������� ����� ������� g. ����� ������, �� �᫨ $\sigma _{t}(g)=0,$
� $\underline{s}(g^{-1})=\underline{s}(g)$ �  $\bar{s}(g^{-1})=\bar{s}(g)$.
\par

{\bf ����� 2.1} ����� ��㯯� $K$ �������, $g\in G,\ h\in $K. ����� $g^{-1}hg\in K$
  ⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, �����
${h\in K\cap K_{\underline{s}(g)}\cap K_{\bar{s}(g)}}$. �� �⮬, �᫨
$g^{-1}hg\in K$,  � $g^{-1}hg=h\varphi ^{{\sigma }_t{(g)}}$.

\par

{\bf �����⢨�}  �᫨ $K$  �������,  �  ���   ��� $g\in G$   �����
$K\cap gKg^{-1}=K\cap K_{\underline{s}(g)}\cap K_{\bar{s}(g)}$.

\par

{\bf ����� 2.2} ����� $K$ �������, $g\in G,h\in K$.����� $gh=hg$  ⮣�� �  ⮫쪮
⮣��, ����� �믮������ ���� �� �᫮���:
\par
i)  $\sigma _{t}(g)=0,\ h\in K\cap K_{\underline{s}(g)}\cap K_{\bar{s}(g)}$;
\par
ii) $\sigma _{t}(g)=p\neq 0,\ h\in C_{p}$.

\par

{\bf ����� 2.3} ����� $g,h\in G,gh=hg,gh$ ��᮪�⨬� � $|g|=n, |h|=m$, ��%
祬 $m\ge $n. ����� ��� ������� $\bar{h}=hg^{-1}$ ����� $|\bar{h}|=m-n$.

\par

{\bf �����⢨�} �᫨ $gh=hg, gh$ ��᮪�⨬� � $|g|=|h|$,
� $gh^{-1}\in K$.

\par
�⬥⨬ �� 䠪�, �� �᫨ $g,h\in G$ � $g$ 横���᪨ ��᮪�⨬, � ����
$|g^{2}|=2|g|$, � ��� $gh$, ��� $g^{-1}h$  ��᮪�⨬�.
\par

{\bf ����� 2.4} ����� ������� �����㯯� $F$ ��㯯� $G$ ᮤ�ন�
横���᪨ �ਢ������ ������� $g$ ����� $n \ge 1$.
����� $d=\min \{ |h| ;h\in F,|h|\ge 1 \}$
� $g_{1}\in F, |g_{1}|=d$.  ����� $g_{1}$  横���᪨ ��᮪�⨬
� ��� ��� ������� $f\in F \ |f|$ ������� �� $d$.

\par
������⥫��⢮. ���    ��࠭�祭��     ��魮��     �����
����� $gg_{1}$ ��᮪�⨬�. �᭮,�� $d\le n$. �����, �� $gg_{1}=g_{1}g$
᫥���, �� $g=\bar{g}g_{1}$, ��� $|\bar{g}|=n-d$.
 �� �����, �� $gg_{1}=\bar{g}g^{2}_{1}$, ��祬
$|\bar{g}g^{2}_{1}|=|gg_{1}|=n+d$.
 � ��㣮�  ��஭�,
$|\bar{g}g^{2}_{1}|\le |\bar{g}|+|g^{2}_{1}|=n-d+|g^{2}_{1}|$.
��� $|g^{2}_{1}|=2d=2|g_{1}|$.
\par
����� ⥯��� $f\in F, |f|=rd+s, 0\le s<d$.
���쬥� $h=g^{r}_{1}, |h|=rd$.�����
����� $fh$ ��᮪�⨬�,⮣�� $fh^{-1}\in F$,��� $|fh^{-1}|=s<d$
� ����砥� $s=0$ .
\par

{\bf �।������� 2.5} ����� $F\le G$ - �������  �����㯯�  ��㯯� $G$  �
������� ������� �� $F$, �� ᮤ�ঠ騩�� �� � ����� ᮯ�殮����  �
$K$ �����㯯�.  ����� $F$  ᮯ�殮��  �  �����㯯��  ����   $L\times V$,  ���
$V=(v),v\in G\backslash K, L\subseteq A$ ��� $L\subseteq B$, ��祬
$v$ 横���᪨ ��᮪�⨬. �᫨ $K$ �������,� ����� ����  ����  �� ��砥�:
\par
i)  $\sigma _{t}(v)=0$, $L\subseteq K\cap K_{\underline{s}(v)}\cap K_{\bar{s}(v)}$;

\par
ii) $\sigma _{t}(v)=p\neq 0,\ L\subseteq C_{p}$.

\par
������⥫��⢮. ��� ��࠭�祭�� ��魮�� ����� �����,�� � $F$
���� 横���᪨ �ਢ������ ������� ���㫥��� �����.
����� $d=\min \{ |h| ;h\in F,|h|\ge 1 \}$ � $v\in F$, $|v|=d$.
����� $v$ 横���᪨ ��᮪�⨬ � ��� ���   �������
$f\in F \ |f|$  �������  ��  d.
������稬  �१ $L=F\cap K$. ����� $g\in F,|g|=ds$,⮣�� $|v^{s}|=ds$
 �  ⠪ ��� $gv^{s}=v^{s}g$,   � $gv^{-s}\in F\cap K=L$. �������⥫쭮,
 $F=LV$,��祬 $L\cap V=1$ ( $v$ 横���᪨ ��᮪�⨬ ) � ���⮬�
$F=L\times V$.
 ��� ��� $g$ ����� ��� $g=g_{0}t^{\epsilon _{1}}\ldots
t^{\epsilon _{n}}$,  �  �� �������� �� $L$ ����⠭����� � $g$, �  ���
$L\subseteq A$ ��� $L\subseteq B$. �᫨ $K$ �������, �
ᮮ⢥�����騥 �᫮��� ���������� ᫥���� �� ����� 2.3 .
\par

{\bf ����� 2.6} ����� $g=u^{-1}k_{1}u=v^{-1}k_{2}v$ � $|g|=2|u|=2|v|$.
 ����� $v=xu$,��� $x\in K$.

\par

{\bf �����⢨�} ����� $g=u^{-1}k_{1}u=v^{-1}k_{2}v$ � $|g|=2|u|, |v|\ge |u|$.   �����
$v=\bar{v}u, |\bar{v}|=|v|-|u|$ � $\bar{v}^{-1}k_{2}\bar{v}\in K$.

\par
������᪨ �ਢ������� ������ ������� $g\in G$ �㤥�
���뢠�� ����� ��� ᮯ�殮�����  � $g$  横���᪨  �ਢ��������
�������. �����᭮ ����� �������� ��� ��।������ �������筮. ��%
��� ���������  �\-���\-��\-��  �ਢ�������  ����� $|g|_{c}$.  ����⭮,��
������� ����� 横���᪨  �ਢ�������  �����,ࠢ���  ���,⮣��  �
⮫쪮 ⮣��, ����� �� ����� � �����ன ᮯ�殮���� � $K$  ������%
�{\bf t}. �஬� ⮣�, ������� $g\in G$ 横���᪨ ��᮪�⨬ ⮣��  �  ⮫쪮
⮣��, ����� $|g|_{c}=|g|$.
\par
�����   ⥯��� $g\in G$, $|g|_{c}=0$. �����   �������� $u\in G$, ⠪��, ��
$g=u^{-1}ku$, $k\in K$ � $|g|=2|u|$.  ������稬 $S(g)=u^{-1}Ku$. �� ����� 2.6
᫥���, �� $S(g)$ ��।������ �������筮.
\par
����⨬, �� �᫨ $h\in S(g)$ � $|g|=|h|$, � $S(g)=S(h)$.
\par

{\bf ����� 2.7} ����� $g\in G, h\in K, |g|_{c}=0, gh=hg$. ����� $h\in S(g)$.

\par
������⥫��⢮. �᫨ $S(g)=K$, � �⢥ত���� �祢����. �����
$S(g)=u^{-1}Ku,|u|\ge 1.$ ����� $g=u^{-1}k_{1}u,k_{1}\in K$,
� 
$$g^{-1}hg=u^{-1}k^{-1}_{1}uhu^{-1}k_{1}u=h.$$
����� ������,  �� $uhu^{-1}\in K$, � ���� $h\in u^{-1}Ku=S(g)$ .
\par

{\bf �����⢨� 1} ����� $|g|_{c}=|h|_{c}=0, |g|\ge |h|, gh=hg$.����� $h\in S(g)$.

\par
������⥫��⢮. ����� $g=u^{-1}k_{1}u, h=v^{-1}k_{2}v, |g|=2|u|,|h|=2|v|$.
�᫨ $vu^{-1}\in K$,� $S(g)=S(h)$. ����� $vu^{-1}\not\in $K.
����� $vu^{-1}k_{1}uv^{-1}$ � $k_{2}$ ����⠭����� �
$k_{2}\in vu^{-1}Kuv^{-1}$, � ���� $h=v^{-1}k_{2}v\in S(g)$ .
\par

{\bf �����⢨� 2} �᫨ $|g|_{c}=|h|_{c}=0, |g|=|h|, gh=hg$,  � $S(g)=S(h)$.

\par

{\bf �����⢨� 3} �᫨ $|g|_{c}=|h|_{c}=0, gh=hg$, � ��� $g,h\in S(g)$,    ���

$g,h\in S(h)$.
\par

{\bf �����⢨� 4} ����� $|g|_{c}=|h|_{c}=0,gh=hg$.����� \hfill\break
$|gh|\le \max (|g|,|h|)$.

\par

{\bf �।������� 2.8} ����� $F$ --- ������� �����㯯� ��㯯� $G$ � ���
��� $g\in F$ $|g|_{c}=0$. �᫨ ����� ������⮢ �� $F$ ��࠭�祭� �
ᮢ��㯭���,� $F$ ᮤ�ন��� � �����ன ᮯ�殮����  � $K$   �����㯯�.
�᫨ �����  ����࠭�祭�, � $F$ ���� ��ꥤ������  楯�  ᢮��   ��⨭���
�����㯯, ������ �� ������ ᮯ�殮�� � �����㯯�� �� $A$ ��� �� $B$.

\par
������⥫��⢮. ������稬 �१
$F_{r}=\{ g\in F;|g|\le r\}$. $F_{r}$ ���� �����㯯�� � $G$ �
$F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq F_{2}\subseteq \ldots
\ldots
\subseteq F_{n}\subseteq \ldots
$, ��祬 $F=\bigcup^{}_{r\ge 0}F_{r}$. �����
$g_{r}\in F_{r}, |g_{r}|=\max \{ |g|;g\in F_{r}\}$. �����
$F_{r}\subseteq S(g_{r})$ .
\par

{\bf �����⢨�} ����筮 ��஦������ �������  �����㯯�  ��㯯� $G$,
������   ��   ������⮢    �㫥���    横���᪨    �ਢ�������
�����, ᮤ��\-���\-�� � �����ன ᮯ�殮���� � $K$ �����㯯�.

\par

{\bf �।�������  2.9}  ����� $K$  ---  ����筮  ��஦������  �������
��㯯�, $A$  � $B$ ---  �����㯯� ��㯯� $K$ � $\varphi :A\rightarrow B$
--- ������䨧�. ����� ⠪��
$G=<K,t;t^{-1}at=a\varphi ,a\in A>$ ���� $HNN$-���७�� ��㯯� $K$ �
�易��묨  �����㯯��� $A$  � $B$   �⭮�⥫쭮   ������䨧�� $\varphi $.
����� ��� ��� �������䨧�� $\vartheta \in \text{End}G$ ��㯯� $G$ ��������
����७��� ��⮬��䨧� $\rho \in InnG$, ⠪��,  ��
$F=K\vartheta \rho $  㤮���⢮���  �  �筮�� ������ �� ᫥����� �᫮���:
\par
  i)   $F\subseteq K$;
\par
 ii)  $F=L\times V$, ��� $V=(v), \sigma _{t}(v)=0$ � $L\subseteq K\cap K_{\underline{s}(v)}\cap K_{\bar{s}(v)}$;
\par
iii) $F=L\times V$, ��� $V=(v), \sigma _{t}(v)=p\neq 0$ � $L\subseteq C_{p}$;
\par
��祬 �� ��஬ � ���쥬 ����� $v$ 横���᪨ ��᮪�⨬.

\par
������⥫��⢮. �᫨ �� �������� $K\vartheta $ ����� �㫥��� 横���᪨
�ਢ������� �����, � �� ᫥��⢨� �� �।������� 2.8
$K\vartheta \subseteq gKg^{-1}$ ��� �����ண� $g\in G$ � ��⠫��� �����
 $\rho =\hat{g}$. �᫨ � $K\vartheta $  ��������  �������,
�� ����騩 �� � ����� ᮯ�殮���� � $K$ �����㯯�, � �� �।�������
$2.5 K\vartheta $ ᮯ�殮�� � �����㯯��, 㤮���⢮���饩 ������  ��  �᫮���
ii) ��� iii). �祢����, �� ������ �� �᫮��� �᪫�砥� ��⠫�� .
\par
\medskip
\centerline{\S 3. �᭮���� १����.}
\bigskip

����� $K$ --- ����筮 ��஦������ ������� ��㯯�, $A$ � $B$ --- �����㯯� ��㯯� $K$  �
$\varphi :A\to B$ --- ������䨧�. ����� ⠪��
$G=<K,t; t^{-1}at=a\varphi ,a\in A>$  ���� $HNN$-���७�� ��㯯� $K$ � �易��묨 �����㯯��� $A$ � $B$   �⭮�⥫쭮
������䨧�� $\varphi $. �������
$$
\text{Sur} G=\{ \vartheta \in \text{End}G;\ G\vartheta =G\}.
$$
�����㯯� $F$ ��㯯� $K$ ���뢠���� $(A,B,\varphi )$-ᮢ���⨬��, �᫨
$(F\cap A)\varphi =F\cap B$. ����祭�� ��� $(A,B,\varphi )$-ᮢ���⨬��
 �����㯯  � $K$, ᮤ�ঠ�� �����-���� �����㯯�
$H$ ��㯯� $K$,  ���� $(A,B,\varphi )$-ᮢ���⨬�� �����㯯�,
�����  ���뢠���� $(A,B,\varphi )$-���몠����
�����㯯� $H$ � ��㯯� $K$ � ������砥��� �१ $\widehat{H}$. �������  �����㯯�
$H$ � ��㯯� $K$ �㤥� ����������� $I(H)$.
\par
�����  $\text{rank}G$  ���  �ந����쭮�  ��㯯� $G$  �㤥�  ���������
�������襥 ��������� �᫮ ��஦����� ��㯯� $G$.
\par
\medskip

{\bf �।������� 3.1} ����� $\text{rank}(K/AB)\ge 2$. ����� ��� ���
$\vartheta ^{*}\in \text{Sur}G$ $K\vartheta ^{*}\subseteq gKg^{-1}$
��� ���室�饣� $g\in G$.

\par
������⥫��⢮. ����� $H=AB$.  �����  ������, �� $H$ ---
$(A,B,\varphi )$-ᮢ���\-⨬�� �����㯯� � $K$ � $\varphi $ �祢����  ��ࠧ�� ��������
������䨧� $\varphi _{H}:AH/H\to BH/H$. �� �⮬ $AH/H=BH/H=1$. �����
$$
G_{H}=<K/H,\tau ; \tau ^{-1}aH\tau =(aH)\varphi _{H}, a\in A>.
$$
���ᬮ�ਬ   �⮡ࠦ���� $k\mapsto kH,t\mapsto \tau $.   ���    �த��������    ��
�������䨧�� $\pi $ $G$ �� $G_{H}$. �� �⮬ $G_{H}=K/AB*<\tau >$ �
$\text{rank}G_{H}\ge 3$. � ��㣮� ��஭�, $G=(K\vartheta ^{*},t\vartheta ^{*})$.
��  �����, �� $K\vartheta ^{*}$ ���� ������� �����㯯� $G$.
�᫨ �� ����� ���� ࠢ���⢮ $K\vartheta ^{*}=L\times V$,
��� $L\subseteq A$ ��� $L\subseteq B$, �
$G=(A,v,t\vartheta ^{*})$ ��� $G=(B,v,t\vartheta ^{*})$,
���⮬� $G_{H}=(v\pi ,t\vartheta ^{*}\pi )$  �  $rankG_{H}\le 2$.
�������⥫쭮, $K\vartheta ^{*}$ ᮤ�ন��� � �����ன �����㯯�,
ᮯ�殮���� � $K$ .
\par

{\bf ����� 3.2} ����� $g,h\in G, |g|,|h|\ge 1$ �
$\sigma _{t}(g)\neq 0$ ��� $\sigma _{t}(h)\neq 0$.  �����
⠪�� $|gh|=|g|+|h|$. ����� �� ������� ������� $k\in K$  ⠪���,  ��
$gh=kh^{-1}g$.

\par

{\bf ����� 3.3} ����� $\vartheta ^{*}\in \text{Sur}G,
K\vartheta ^{*}=L\times U, U=(u),
|u^{2}|=2|u|,|u|\ge 1$.
����砥� ��� ��� $k\in K$ $k\vartheta ^{*}=l_{k}u^{n_{k}}$.
����� $\forall a\in A$ $n_{a}=n_{a\varphi }$.

\par

{\bf �।������� 3.4} �᫨ ������� $\vartheta ^{*}\in \text{Sur}G$, ⠪��, ��
$K\vartheta ^{*}$  �� ᮤ�ন��� � $K^{G}$ (��ଠ�쭮� ���몠��� ��㯯� $K$ 
� ��㯯� $G$), � ��㯯� $G$ 䨭�⭮ ���பᨬ��㥬�.

\par
������⥫��⢮. �᫨ $\text{rank}(K/AB)\ge 2$,  �  ᮣ��᭮  �।�������
3.1  ���  ��� $\vartheta ^{*}\in \text{Sur}G$ $K\vartheta ^{*}\subseteq K^{G}$.
�����  rank$(K/AB)\le 1$.   ������� ᭠砫�, �� �᫨
$A\vartheta ^{*}$ ��� $B\vartheta ^{*}$ �� ᮤ�ন���  � $K^{G}$,  �
����室��� $K=A=B$. �����᭮ �।������� 2.9 ��� ��࠭�祭�� ��魮��
��  ����� ����� $K\vartheta ^{*}=L \times U$, ��� $U=(u),
\sigma _{t}(u)=p\neq 0$ � $u$ 横���᪨  ��᮪�⨬.
�� �⮬ $L\subseteq C_{p}\subseteq H^{*}$. ����� $a\in A$ ⠪��, ��
$a\vartheta ^{*}=l_{a}u^{n_{a}}$ � $n_{a}\neq 0$. ������稬
$v=t\vartheta ^{*}$.    ���⭮襭�� $t^{-1}$at$=a\varphi $    ���室��    �    ᮮ⭮襭��
$v^{-1}l_{a}u^{n_{a}}v=l_{a\varphi }u^{n_{a\varphi }}$, ��祬
$n_{a}=n_{a\varphi }$ �᫥��⢨�  �����  3.3.  ����砥�
$G=(K,t)=G\vartheta ^{*}=(K\vartheta ^{*},t\vartheta ^{*})=(L,u,v)=(H^{*},u,v)$.
 $H^{*}$ --- $(A,B,\varphi )$ --- ᮢ���⨬�� �����㯯� � ��㯯� $K$,
���⮬� �� �����  ��ᬠ�ਢ���  �������䨧� $\pi $ ��㯯� $G$ �� ��㯯�
$\overline{G}$:
$$
\overline{G}=<K/H^{*},\tau ; \tau ^{-1}aH^{*}\tau =(aH^{*})\varphi _{H},a\in A>.
$$
����� ������, �� $\overline{G}=(H^{*}\pi ,u\pi ,v\pi )=(u\pi ,v\pi )$,
��祬 $u^{n_{a}}v=vu^{n_{a}}$,  � $\overline{G}$ ������ ���� 横���᪮�.
�� �������� ⮫쪮 �� $K=H^{*}=A=B$.
\par
����� $A\vartheta ^{*}\subseteq K$  � $B\vartheta ^{*}\subseteq K$.
�᫨ $K=I(AB)$,  � $K\vartheta ^{*}\subseteq K$  �
$K\vartheta ^{*}\subseteq K^{G}$. ��⠫���  ��ᬮ����  ��砩
$K=AB\times X$,   ��� $X$   ---   ��᪮��筠� 横���᪠� ��㯯�. ���
��࠭�祭�� ��魮�� $x\vartheta ^{*}=u$ �  ��  ����砥�
$G=(AB,x,t)=G\vartheta ^{*}=(H^{*},u,v)$. ��� ��㯯�
$$
\overline{G}=<K/H^{*},\tau ; \tau ^{-1}aH^{*}\tau =(aH^{*})\varphi _{H},a\in A>.
$$
����� $\overline{G}=(AB/H^{*},x\pi ,t\pi )=(u\pi ,v\pi )$. ����� ������, ��
$\overline{G}$ �⮡ࠦ����� �� ᢮������ ��㯯� ࠭��  2  �  ᠬ�  ���⮬�  �㤥�
᢮������. ����室��� $AB=H^{*}=A=B$ � ��㯯� $G$ 䨭�⭮ ���பᨬ��㥬� .
\par

{\bf �����⢨�} ����� $\vartheta ^{*}\in \text{Sur}G$, $Ker\vartheta ^{*}\neq 1$.
����� $K\vartheta ^{*}\subseteq K^{G}$.

\par

{\bf ����� 3.5} ����� $g,h\in G, |g|,|h|\ge 1, \sigma _{t}(g)\neq 0,
\sigma _{t}(h)=0.$  ����� ⠪�� $|gh|=|g|+|h|$. ����� �� ������� �������
$k\in K$  ⠪���,  �� $gh=khg$.

\par

{\bf ����� 3.6} �᫨ $\vartheta ^{*}\in \text{SurG}$, $K\vartheta ^{*}\subseteq K^{G}$,
� $AB\vartheta ^{*}\subseteq gKg^{-1}$ ���
���室�饣� $g\in G$.

\par

{\bf �����⢨�} �᫨ $\vartheta ^{*}\in \text{Sur}G$, $K\vartheta ^{*}\subseteq K^{G}$,
� $K=I(AB)$, � $K\vartheta ^{*}\subseteq gKg^{-1}$ ���
���室�饣� $g\in G$.

\par

{\bf ����� 3.7} �᫨ $K/AB\not\cong Z$, � ��� ��� $\vartheta ^{*}\in $\text{Sur}G,
⠪���, �� $Ker\vartheta ^{*}\neq 1$, ����室���
$K\vartheta ^{*}\subseteq $gKg$^{-1}$ ��� ���室�饣� $g\in G$.

\par
\medskip

{\bf ����� 3.8} ����� $F$ --- �����㯯� ��㯯� $K, g\in G, \sigma _{t}(g)\neq 0$.
����� $(F,g)\cap K\subseteq \widehat{F}$.

\par

{\bf �।������� 3.9} ����� $\vartheta ^{*}\in \text{End}G$,
$K\vartheta ^{*}\subseteq K, \sigma _{t}(t\vartheta ^{*})=1$. �����
$\vartheta =\vartheta ^{*}|_{K}\in \text{End}K$ 㤮���⢮��� ᫥���騬 �᫮���:
\par
i) �����㯯� $A$ � $B$ �����⨬� �⭮�⥫쭮 $\vartheta $,  �.�.
$A\vartheta \subseteq A$  � $B\vartheta \subseteq B$;
\par
ii) ��࠭�祭�� $\vartheta $ �� �����㯯� $A$ ����⠭���筮 � ������䨧���
$\varphi $, �.�. ��� ��� $a\in A$
$a(\vartheta \varphi )=a(\varphi \vartheta )$;
\par
�᫨ $\vartheta ^{*}\in \text{Sur}G$, � ��� $\vartheta $ ����� ���� ⠪��
\par
iii) $(A,B,\varphi )$ --- ���몠��� $K\vartheta $ � $K$ ᮢ������ � $K$, �.�.
$\widehat{K\vartheta }=K$.

\par
������⥫��⢮. ������稬 $v=t\vartheta ^{*}$. ���⭮襭��
$t^{-1}$at$=a\varphi $ ���室�� � ᮮ⭮襭��
$v^{-1}a\vartheta v=a\varphi \vartheta $. �� ����� 2.1
$a\vartheta \in K\cap K_{\underline{s}(v)}\cap K_{\overline{s}(v)}$,
��  �⮬ $v^{-1}a\vartheta v=a\vartheta \varphi $. ��� ���
$\sigma _{t}(v)=1$, � $\bar{s}(v)\ge 1$ � $a\vartheta \in A$.
�� $a$ --- �ந������ ������� �� $A$, � $A\vartheta \subseteq A$.
�������筮 $B\vartheta \subseteq B$. �᫨ $\vartheta ^{*}\in \text{SurG}$,
� ����室��� $(K\vartheta ,v)\cap K=K$ � ���⮬� $\widehat{K\vartheta }=K$ .
\par
����⨬, �� �᫨ $\vartheta \in \text{End}K$   㤮���⢮���   �᫮��� i)-iii)
�।�������, � ����� ������, �� �⮡ࠦ���� $k\mapsto k\vartheta , t\mapsto t$
�த�������  �� �������䨧�� ��㯯� $G$, ��祬 ᮮ⢥�����騩
��������䨧�  �㤥� ���쥪⨢��.
\par

{\bf ����� 3.10} ����� $K$  ---  �������  ��㯯�, $\vartheta ^{*}\in \text{Sur}G$,
��祬 $\vartheta ^{*}$ --- ⮦����\-���\-�� �� K. �����
$Ker\vartheta ^{*}=1$, �.�. $\vartheta ^{*}\in \text{Aut}G$.

\par

{\bf ����� 3.11} ����� $\vartheta ^{*}\in \text{Aut}G$, $K\vartheta ^{*}\subseteq K$,
$A\neq K,B\neq K$. ����� $K\vartheta ^{*}=K$.

\par
\medskip

{\bf �।������� 3.12}  ����� $\vartheta ^{*}\in \text{Sur}G$,
$K\vartheta ^{*}\subseteq K$, $A\neq K,B\neq K$.   �����
$Ker\vartheta ^{*}\neq 1 \Leftrightarrow  K\vartheta ^{*}\neq K$.

\par
������⥫��⢮.  ���  ��࠭�祭��   ��魮�� $\sigma _{t}(t\vartheta ^{*})=1.$
�᫨ \break
$K\vartheta ^{*}=K$,  �  �⮡ࠦ���� $\tau $,  ���  ���ண�
$t\tau =t, \tau |_{K}=(\vartheta ^{*}|_{K})^{-1}$,
�த�������  ��  ���쥪⨢����  �������䨧�� $\tau \in \text{Sur}G$,   ��   �⮬
��࠭�祭�� $\vartheta ^{*}\tau $ �� $K$ ���� ⮦���⢥��� �⮡ࠦ�����.
�� ����� 3.10 $Ker\vartheta ^{*}=1$ .
\par
\medskip

{\bf ����� 3.13} ����� $K=AB\times Z$, ��� $Z$ --- ��᪮��筠� 横���᪠�
��㯯�. ����� ⠪�� $\vartheta ^{*}\in \text{Sur}G$, $AB\vartheta ^{*}\subseteq K$,
$\sigma _{t}(t\vartheta ^{*})=1$. ����� ���
$\vartheta =\vartheta ^{*}|_{AB}$ �믮������� �᫮���:
\par
  i) $A\vartheta \subseteq A$, $B\vartheta \subseteq B$;
\par
 ii) $\forall a\in A$ $a(\vartheta \varphi )=a(\varphi \vartheta )$;
\par
iii) $(A,B,\varphi )$ --- ���몠��� $AB\vartheta $ � $AB$ ᮢ������ � $AB$;

\par

{\bf ����� 3.14} �� �� �� �᫮����, �� � � ����� 3.11, �᫨
$Ker\vartheta ^{*}\neq 1$, � $AB\vartheta \neq AB$.

\par

{\bf ���६�} ����� $K$ - ����筮 ��஦������ ������� ��㯯�, $A$ � $B$
--- �����㯯� ��㯯� $K$ � $\varphi :A\to B$ --- ������䨧�, ��祬
$A\neq K, B\neq K$. ����� ⠪�� $G=<K,t;t^{-1}at=a\varphi ,a\in A>$
���� $HNN$-���७�� ��㯯� $K$  � �易��묨 �����㯯��� $A$ � $B$
�⭮�⥫쭮 ������䨧�� $\varphi $.  ����� ��㯯� $G$ ��宯䮢� ⮣�� �
⮫쪮 ⮣��, ����� �������  �������䨧� $\vartheta $ ��㯯� $K$,
㤮���⢮���騩 ᫥���騬 �᫮���:
\par
   i) �����㯯� $A$ � $B$ �����⨬� �⭮�⥫쭮 $\vartheta $,  �.�.
$A\vartheta \subseteq A$  � $B\vartheta \subseteq B$;
\par
 ii) ��࠭�祭�� $\vartheta $ �� �����㯯� $A$ ����⠭���筮 � ������䨧���
$\varphi $, �.�. ��� ��� $a\in A$
$a(\vartheta \varphi )=a(\varphi \vartheta )$;
\par
iii) $(A,B,\varphi )$ --- ���몠��� $K\vartheta $ � $K$ ᮢ������ � $K$, �.�.
$\widehat{K\vartheta }=K$.
\par
 iv) $K\vartheta \neq K$.

\par
�����筮���. �����  ������,  ��  �⮡ࠦ���� $k\mapsto k\vartheta , t\mapsto t$
�த�������  ��  �������䨧��  ��㯯�  $G$.   ���쥪⨢�����   �⮣�
�������䨧�� ᫥��� �� �᫮��� iii) � �।������� 3.9.
���ਢ���쭮��� �� ᫥��� �� �᫮��� iv) � �।������� 3.11.
\par
����室������. ����� $\vartheta ^{*}\in \text{Sur}G$, $Ker\vartheta ^{*}\neq 1$.
�᫨ $K/AB\not\cong Z$, � �� ����� 3.7 ��� ��࠭�祭�� ��魮��
����� �����, �� $K\vartheta ^{*}\subseteq K$,
$\sigma _{t}(t\vartheta ^{*})=1$. ����� $\vartheta =\vartheta ^{*}|_{K}$.
����� �᫮��� $i)$-iii) ᫥���� �� �।������� 3.9, � �᫮��� iv) ��
�।������� 3.11.
\par
����� $K=AB\times Z$. ����� �� �।������� 3.4
$K\vartheta ^{*}\subseteq K^{G}$, � �� ����� 3.6 ����� �����
$AB\vartheta ^{*}\subseteq K$. ��� ��࠭�祭�� ��魮��
$\sigma _{t}(t\vartheta ^{*})=1$. ��।���� $\vartheta \in \text{End}K$
᫥���騬 ��ࠧ��:
$\vartheta |_{AB}=\vartheta ^{*}|_{AB}, z\vartheta =z$. �ᯮ����
����� 3.13 � 3.14, ����� 㡥������ � �믮������ ��� �᫮��� .


\centerline{\bf ���᮪ �ᯮ�짮������ ��������}

\noindent
\hangindent 0.45 cm
1. {\it ������ �., �㯯 �.} ��������ୠ� ⥮�� ��㯯. M. 1980. 445  �.

\noindent
\hangindent 0.45 cm
2. {\it ��������᪨�  �.�.}  �  ��������  �����㯯��  ��㯯  �   �����
��।����騬 ᮮ⭮襭���. �����᪨� ��⥬���᪨� ��ୠ�,  1967,
�. VIII,16,�. 1370 - 1384.

\noindent
\hangindent 0.45 cm
3. {\it �������᪨�  �.�.}  �  宯䮢���  HNN-���७��  ��㯯.  -
�����ࠨ�᪨� ��⥬�. �������, 1991, �. 61 - 63.

\noindent
\hangindent 0.45 cm
4. ���襭�� �஡���� ⥮ਨ ��㯯. ����ᨡ���, 1992.

\noindent
\hangindent 0.45 cm
5. {\it Andreadakis S., Raptis E.,  Varsos  D.} $A$  characterization  of
residually finitely generated abelian groups  // Arch.Math.  1988.
Vol. 50. p. 495-501.

\noindent
\hangindent 0.45 cm
6. {\it Andreadakis S., Raptis E., Varsos D.} Hopficity  of  certain \hfill\break
HNN-extensions    //  Communs of Algebra, 20(5). 1992. p. 1511-1533.

\noindent
\hangindent 0.45 cm
7. {\it Andreadakis S., Raptis E., Varsos D.} Residuall  finiteness  and
hopficity  of  certain HNN-extensions    //  Arch.Math.    1986.
Vol. 47. p. 1-5.

\end
