%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
\magnification=\magstep2
%\pagewidth{17 true cm}
%\pageheight{26 true cm}
%\vcorrection{-1.3 true cm}
%\hcorrection{-.5 true cm}
\TagsOnRight
\pretitle{\centerline{\bf ����� ���� ����. ��⥬�⨪�. ��.~3}
           \centerline{\bf �������,~2000}
\vskip -.25 cm
\centerline{
-------------------------------------------------------------------------------------------- }}
\vskip 1 cm
��� 514.752.432
\vskip .3 cm

\centerline{\bf �.~�.~��ਭ��, �.~�.~��ਭ��, �.~�.~���⮡�த��}
\vskip.2 cm
%\leftheadtext{\it �.~�.~��ਭ��,\  �.~�.~��ਭ��,\  �.~�.~���⮡�த��}
%\rightheadtext{\it �ਢ���� \ � \ ���祭�� \ ��������᪨�}

\topmatter
\title
\centerline{\bf �ਢ���� � ���祭�� ��������᪨�}
\centerline{\bf  �� �����孮�� ��饭��}
\endtitle
\abstract \nofrills

\vskip .3 cm\noindent
����祭� �p��� ��� �p������ � �p�祭�� ��������᪨� �� ����p孮��
�p�饭��. ��� �ᥢ����p� (����p孮�� �����p���) p��ᬮ�p��� �����
���ᨬ���樨 �p�⪨ (��⥣p��� �� �p�祭��) ��������᪨�.
\endabstract
\endtopmatter
\document
\vskip  0.5 cm
\pageno=1
%\def\ln{\text{\rm ~ch}}
\def\ctg{\text{\rm ~ctg}}

\centerline{\bf ��������}
\vskip  0.3 cm
�  �ਫ�������  ����७樠�쭮�  ������ਨ   ���    ��室���� \break
������� �ਢ���� � ���祭�� �ਢ�� �� �����孮��.    ���ਬ��,
⠪�� ����� ��������� �� ��᫥������� ����������⢨�  �த�⮢
��拉���  �  ��ਢ����묨  �����孮��ﬨ  �����������   ���મ�,
㯫�⭨⥫�� � �.�.  ��� �����⭮,  ���������� ��  �⮬  ���⪠
�த�� �易�� � ���祭��� �ਢ��,  �����  �����孮��  ���ன
��� ��६�頥��� [2, 4].  ������ �ਢ묨 ����� ���� ��������᪨�,
���ᮤ஬� � �.�.

�������  ࠡ��  ����饭�  ���祭��  �ਢ����    �    ���祭��
��������᪨�  ��  �����孮��  ��饭��,    �  ��⭮��,     ��
�ᥢ�����. ���ᬮ�७� ���⥩�� ����� � ���ᨬ���樨  ���⪨
( ��⥣ࠫ� �� ���祭�� ) ����� ��������᪮� �� �ᥢ�����.
\head

{\bf \S~1
����� ��� �ਢ���� � ���祭��
�ਢ�� �� �����孮�� ��饭��}
\endhead

������  ࠡ��  [3],  �������  �����孮���  ��饭��   �ࠢ������
[2, ��㫠 (1.9)]

$$
S: \vec r(s,v)=(\varphi(s)\cos v, \varphi(s)\sin v,\psi(s)),\eqno(1.1)
$$
��� $s$ -- ����ࠫ�� ��ࠬ��� �� ��䨫� �⮩ �����孮�� -- �ਢ��

$$
\gamma: x = \varphi(s), z = \psi(s).\eqno(1.2)
$$
� ��� ���न���� �������� ��� �����孮�� $S$  ��ࠦ�����
��㫠�� [3, ���� (2.4) � (2.5)]:

$$
\text{I} = ds^2 + [\varphi(s)]^2dv^2,\eqno(1.3)
$$
$$
\text{II} = [\varphi^\prime(s)\psi^{\prime\prime}(s) -
\varphi^{\prime\prime}(s)\psi^\prime(s)]ds^2  +
\varphi(s)\psi^\prime(s)dv^2. \eqno(1.4)
$$
����� ��ࠧ��, ���㫥�� �����樥��� ��� ��������� �� \linebreak
����� ���:
$$
E=1,\ G=[\varphi(s)]^2,\ L=\varphi^\prime(s)\psi^{\prime\prime}(s) -
\varphi^{\prime\prime}(s)\psi^\prime(s),\
N = \varphi(s)\psi^\prime(s).\eqno(1.5)
$$

�믨襬  �⫨��  ��  ���  ����    �ந������    ��    ���
�����樥�⮢, ����� �室�� � ���� ��� �ਢ���� � ���祭��:
$$
G_s=\frac{\partial G}{\partial s}=2\varphi(s)\varphi^\prime(s),\eqno(1.6)
$$
$$
L_s=\frac{\partial L}{\partial s}=
\varphi^\prime(s) \psi^{\prime\prime\prime}(s)-
\varphi^{\prime\prime\prime}(s) \psi^\prime(s).\eqno(1.7)
$$

����� �ਢ�� $l$ �� �����孮�� $S$ ������ �ࠢ������
$$
l:\ v = v(s).\eqno(1.8)
$$
����� �� �ਢ���� � ���祭�� ��ࠦ����� ��㫠�� [3, ���� (5.5) � (6.9)]:
\def\1{\left}
\def\2{\right}
$$
\aligned k_1(s)&=\1(1+G{v^\prime}^2\2)^{-3/2}\1\{\1(1+G{v^\prime}^2\2)
\1(L+N{v^\prime}^2\2)^2 +$$ $$
 &+\1. \frac1{4G}\1. \1[2Gv^{\prime\prime}+
G_sv^\prime\1(2+G{v^\prime}^2\2)\2]^2\2\}^{1/2},
\endaligned  \eqno(1.9)
$$
$$
k_2(s)&=
\frac{\1(1+G{v^\prime}^2\2)^{-3}}{4\sqrt{G}k_1^2(s)}
\1. \1\{\1(2v^{\prime\prime}+2\frac{G_s}{G}v^\prime+
G_s{v^\prime}^3\2)\times
$$ $$
&\times\1(2GL_s+6GNv^\prime v^{\prime\prime}
%$$ $$
%&
+\1. 3G_sN{v^\prime}^2\2)
%$$ $$
%&
-\1(L+N{v^\prime}^2\2)\times$$ $$
&\times\1[v^\prime\1(6GG_sv^\prime v^{\prime\prime}+4GL^2+\1. 3G_s{v^\prime}^2\2)
%$$ $$
%&
+\1.
\1.
4Gv^{\prime\prime\prime}+6G_sv^{\prime\prime}-$$ $$
&\1. \1. \1. -\1(G_s^2+4N^2 \2){v^\prime}^3-12LNv^\prime \2] \2\},
\eqno(1.10)
$$

��� ���堬� ������祭� �ந������ �� ��ࠬ���� $s$:

$$
v^\prime = {{dv}\over {ds}},\ v^{\prime\prime} = {{d^2v}\over {ds^2}},\
v^{\prime\prime\prime} = {{d^3v}\over {ds^3}} \eqno(1.11)
$$
%\end

\head
{\bf \S~2   �ࠢ����� ��������᪨�.}
\endhead

�᫨  $(u,v)$ - ���न����  ��    �����孮��,    �    �ࠢ�����
��������᪨� ����� ���� ����ᠭ� � ���� [1, �.~532]

$$ {{d^2v}\over {du^2}} = \Gamma^1_{22}\1({{dv}\over {du}}\2)^3+\1(2\Gamma^1_{12}-
\Gamma^2_{22}\2)\1({{dv}\over {du}}\2)^2+\1(\Gamma^1_{11}-2\Gamma^2_{12}\2){{dv}\over {du}}-
\Gamma^2_{11},\eqno(2.1) $$

��� $\Gamma^i_{jk}$ - ᨬ���� �����䥫�.

��� �����孮�� ��饭�� (1.1) � ���न���� $(s,v)$ ����� [2]

$$ \Gamma^1_{11} = \Gamma^2_{11} = \Gamma^1_{12} =  \Gamma^2_{22}= 0,
 \ \Gamma^2_{12} = {{G_s}\over {2G}}, \ \Gamma^1_{22} = -{{G_s}\over {2}}\eqno(2.2)  $$

���⮬� �ࠢ����� (2.1) � �⮬ ��砥 ����� ���

$$
{{d^2v}\over {ds^2}}+{{G_s}\over {G}}{{dv}\over {ds}}+{{1}\over {2}}G_s\1(
{{dv}\over {ds}}\2)
^3 = 0\eqno(2.3) $$

� १���� ������

$$ p = {{dv}\over {ds}}\eqno(2.4) $$

�ࠢ����� (2.3) �८�ࠧ���� � ᫥���饬�

$$ p^\prime+{{G_s}\over {G}}p+{{1}\over {2}}G_sp^3 = 0.\eqno(2.5) $$

��᫥���� �ࠢ����� �।�⠢��� ᮡ�� �ࠢ����� ���㫫� � �����
��⥣������ ������� ᯮᮡ��. ������� ����� ������� � ����:

$$ p = [G(CG-1)]^{-{{1}\over {2}}}, \ C = const.\eqno(2.6) $$

����� �襭�� �ࠢ����� (2.3) �।�⠢����� ᫥���騬 ��⥣ࠫ��

$$ v = v(s) = \int_{s_0}^s [G(CG-1)]^{-{{1}\over {2}}}ds.\eqno(2.7) $$

��� ��।������ ����⠭�� $C$ ������� ��砫쭮� �᫮���

$$ \left.{{dv}\over {ds}}\right|_{s=s_0} = p_0\eqno(2.8) $$

����� �� $(2.6)$ � $(2.8)$ ����稬

$$ C = {{1+G_0p_0^2}\over {G_0^2p_0^2}}, \ G_0 = G(s_0).\eqno(2.9) $$

����� ��ࠧ��, ������ ��������᪠� �� �����孮�� ��饭�� �����
���� ������ ��㫮�  (2.7) �  ����⠭⮩  (2.9),    ���  �㭪��
\linebreak
$G= G(s)$ ��।����� � ᯨ᪥ (1.5).

�믨襬 �ந������  �㭪樨  (2.7),  �室�騥  �  ����  ���
���祭�� � �ਢ����:

$$   v^\prime={{dv}\over {ds}}=\1[G(CG-1)\2]^{-{{1}\over {2}}},\eqno(2.10) $$

$$  v^{\prime\prime}
={{d^2v}\over {ds^2}}=-{{1}\over {2}}G_s(2CG-1)[G(CG-1)]^{-{{3}\over {2}}},\eqno(2.11)
$$

$$ \aligned v^{\prime\prime\prime}={{d^3v}\over {ds^3}}={{1}\over {4}}[G(CG-
&1)]^{-{{5}\over {2}}}[G_s^2(8C^2G^2-8CG+3)-$$ $$
&-2GG_{ss}(2C^2G^2-3CG+1)].\endaligned \eqno(2.12)
$$

�� �⮬
$$    G_{ss} = {{\partial ^2G}\over {\partial s^2}} =
2[(\varphi^\prime(s))^2+\varphi(s)\varphi^{\prime\prime}(s)]\eqno(2.13)
$$

\head
{\bf \S~3  �ਬ��: �ਢ���� � ���祭�� ��������᪨� �� �ᥢ�����.}
\endhead

�����孮���  �����ࠬ�  (�ᥢ�����)  ����砥���  �   १���� \break
��饭�� �ࠪ����

$$ \cases{ x = f(u) = a\sin u, \cr
           z = g(u) = a\1(\cos u +\ln \tg{{u}\over {2}}\2),
              {{\pi}\over {2}}\leq u < \pi, \cr}
\eqno(3.1) 
$$

\noindent �⭮�⥫쭮 �� Oz.

������ ����ࠫ�� ��ࠬ��� �� �ਢ�� (3.1):

$$ s = s(u) = \int_{u_0}^u\sqrt{[f^\prime(t)]^2+[g^\prime(t)]^2}dt.\eqno(3.2) $$

��אַ� ���᫥��� �ਢ���� � ��㫥

$$ s = a\ln{{\sin u_0}\over {\sin u}}.\eqno(3.3) $$

�� ${{\pi}\over {2}}\leq u_0 \leq u< \pi$  $s$  �ਭ�����
���祭�� �� �����אַ� $[0,\infty].$ �� (3.3) ����砥�

$$ \sin u =\sin u_0\cdot e^{-{{s}\over {a}}}, \
\cos u = -\sqrt{1-\sin^2 u_0\cdot e^{-{{2s}\over {a}}}}.\eqno(3.4) $$

�㭪�� $g(u)$ �८�ࠧ���� � ����:

$$ z = g(u) = a\1[\cos u+{{1}\over {2}}\ln\1({{1-\cos u}\over {1+\cos u}}\2)\2].
\eqno(3.5)
$$

�� ��� (3.1), (3.4), (3.5) ����砥�

$$ \cases{ x = a\sin u_0 e^{-{{s}\over {a}}},\cr
           z = a\1[t+{{1}\over {2}}\ln\1({{1-t}\over {1+t}}\2)\2],\cr }
eqno(3.6) 
$$

\noindent ��� $t = \cos u = -\sqrt{1-\sin^2u_0 e^{{{2s}\over {a}}}}.$

������� $u_0 = {{\pi}\over {2}},$ ����稬  �����⥫쭮�  ��ࠦ����
��� �ࠢ����� �ࠪ���� �१ ����ࠫ�� ��ࠬ���:

$$ \cases{ x = \varphi(s) = ae^{-{{s}\over {a}}}, \cr
           z = \psi(s) = a\2[t+{{1}\over {2}}\ln\1({{1-t}\over {1+t}}\2)\2],\cr}
\eqno(3.7) 
$$

\noindent ��� $$ t = -\sqrt{1-e^{-{{2s}\over {a}}}}.\eqno(3.8) $$

�ᯮ����  ����祭��  �ࠢ�����  �ࠪ����,  ������    ��ࠦ����
�����樥�⮢  ���������  ��  �ᥢ������  �  ��   ��������
�ந�������, ����室���� ��� ���᫥��� �ਢ���� �  ���祭��.  ��
(1.5) � (3.7) �����

$$ G = a^2e^{-{{2s}\over {a}}}.\eqno(3.9) $$

������ �ந������ �� �㭪権 (3.7), ����稬

$$ \varphi^\prime(s) = -e^{-{{s}\over {a}}}, \
   \varphi^{\prime\prime}(s) = {{1}\over {a}}e^{-{{s}\over {a}}}, \
   \varphi^{\prime\prime\prime}(s) = -{{1}\over {a^2}}e^{-{{s}\over {a}}}.
   \eqno(3.10) $$

$$ \psi^\prime(s) = \sqrt{1-e^{-{{2s}\over {a}}}}, 
$$ $$
   \psi^{\prime\prime}(s) = {{e^{-\frac{2s}{a}}}\over 
   {a\sqrt{1-e^{-\frac{2s}{a}}}}}, 
   \eqno(3.11)
$$ $$
   \psi^{\prime\prime\prime}(s) = {{2-e^{-\frac{2s}{a}}}\over 
   {\1(1-e^{-{{2s}\over {a}}}\2)^{{3}\over {2}}e^{{{2s}\over {a}}}a^2}}}.
$$

����� ��� �ந������� �㭪樨 $\psi(s)$ ����� ���� ��९�ᠭ� �
����� ���⮬ ����:
$$ \psi^\prime(s) &= -t, \
   \psi^{\prime\prime}(s) = -{{e^{-\frac{2s}{a}}}\over {at}}, \
   \psi^{\prime\prime\prime}(s) = {{1+t^2}\over 
{t^3e^{\frac{2s}{a}}a^2}}. \eqno(3.12)
$$

\noindent ��� $t$ ��ࠦ����� ��㫮� (3.8).

�ᯮ���� ��ࠦ���� (1.5), (3.10) � (3.11), ����稬

$$ L = -{{e^{-\frac{s}{a}}}\over {a\sqrt{1-e^{-\frac{2s}{a}}}}},\eqno(3.13) $$
$$ N = ae^{-{{s}\over {a}}}\sqrt{1-e^{-{{2s}\over {a}}}}.\eqno(3.14) $$

����७���� (3.9) � (3.13), ����稬

$$
G_s = -2ae^{-{{2s}\over {a}}},\ \
   G_{ss} = 4e^{-{{2s}\over {a}}}, \eqno(3.15)
$$

$$
L_s = {{e^{-\frac{s}{a}}}\over {a^2\1(1-e^{-\frac{2s}{a}}\2)^{\frac{3}{2}}}}.
 \eqno(3.16)
$$

����� ��ࠧ��,  �ਢ���� � ���祭�� ��������᪨� ��  �ᥢ�����
��������� ����⠭�����  �  ����  (1.9)  �  (1.10)  ���
(2.10), (2.11), (2.12), (2.9), (3.9), (3.13) - (3.16).

\head
{\bf \S~4 ���⪠ ����� ��������᪨�.}
\endhead

��  ᪮�즥���  ⥪�⨫쭮��  �த��  (���,      �����)    ��
��ਢ������ �����孮�� �� �����稢�����.   ��  ����  �ப�
�ᯮ������ �� �஥��஢���� �  ᮢ��襭�⢮�����  ⥪�⨫���
��設. � ��⭮��, 祬 ����� �����祭� ����, ⥬ ��� ��筥�.  �
�裡 � ᪠�����  ������  ���祭��  �����  �����  ���ᨬ���樨
���⪨ (���� �����祭����) �� ����஢����  ���  �����孮��.
�� �⮬  ����⥫쭮,    �⮡�  ����  ����������⢨�  �த��  �
�����孮���� �뫠 �������.

� ����⢥ ���⪨ ����� ����� ��⥣ࠫ �� ���祭��  �ਢ��,    ��
���ன ᪮�짨�  �த��,    ��  �⮩  �ਢ��  �  �।����  ����
����������⢨� �த�� � �����孮����.  �� �⮬,  �᫨  �த��
�������� �� �����孮�� ᢮�����,  � ����� ����������⢨�  �㤥�
��������᪮� [2].

����� $v = v(s), s \in [s_0, s_1] \eqno(4.1)$
-- �ਢ�� �� �����孮��.  ����� ���⪠ �㤥�  ��ࠦ�����
᫥���騬 ��⥣ࠫ��:

$$
T = \int_{s_0}^{s_1} k_2(s) \sqrt{1+\1({{dv}\over {ds}}\2)^2}}ds, \eqno(4.2)
$$

\noindent ��� $k_2 = k_2(s) $ -- ���祭�� �ਢ�� (4.1).
� ��⭮��,  ���⪠
��� ��������᪮� �� �����孮�� ��饭�� (1.1) ����砥���  ��
����⠭���� � (4.2) ��� (1.10) � (2.10).

���ᬮ�p�� ᫥������ ������.
����� $l_{\gamma}, \ 0< \gamma < {{\pi}\over {2}}$  --  ᥬ���⢮
��������᪨�  ��  �ᥢ�����  (\S~3),
��室���  ���  㣫��  $\gamma$  �  ��ࠫ����  (ᠬ��    ������),
ᮮ⢥�����饩 ���祭�� ��ࠬ��� $s_0 = 0$ (�. ����
(3.7 - 3.8)). ������ �� ��� ��������᪨� ᭠砫�  �����������
����� �� �����ன �窨 ������,  � ��⥬ ���� ���� (���. 1).
���ᬮ�ਬ ����� ����� �㣨 $AB$ ��  ��砫쭮�  �窨  ��  �窨
������. ��� ���� �㭪樥� 㣫� $\gamma$:
$$
T = T(\gamma),\ \  0< \gamma < {{\pi}\over {2}}. \eqno(4.3)
$$
\vskip 5 cm
\centerline{���.~1 }

��� ��� �� $\gamma = 0$  �  $\gamma = {{\pi}\over {2}}$
��������᪠�  ����, ᮮ⢥��⢥���, ��ࠫ�����  �
��ਤ����� ,  � ���⪠ ����� ���  ���⪠  ���
�ਢ�� ࠢ�� ���. ���⮬� ������ ����⢮���� ����६�  �㭪樨
$T(\gamma)$  ��  ���ࢠ��  $(0,{{\pi}\over {2}}).$  ����� ��⮨� �
��宦����� 㣫� $\gamma$, �� ���஬ ���⨣����� ���ᨬ� ���⪨.

������ ���孨� �।�� $s_1$ ��⥣ࠫ� (4.2),   ᮮ⢥�����騩
�窥 ������ $B$. � �⮩ �窥 ${{dv}\over {ds}} = \infty$.
���뢠� (2.10), ����稬:
$G(s_1) = 1/C$. ���, ᮣ��᭮ (3.9),
$$
e^{{{-2s_1}\over {a}}} = {{1}\over {C}}.
$$
���⮬�
$$
s_1 = {{a}\over {2}} \ln C. \eqno(4.4)
$$
����⠭� $C$ ��ࠦ����� �� (2.9) � (3.9). ������� $s_0 = 0$,
����稬
$$
C = {{1+a^2p_0^2}\over {a^4p_0^2}}.
$$

��� ��� $s$ ��ࠦ��� �����, � $v$ -- 㣮�, �
$$
\left. \ctg \gamma = {{adv}\over {ds}}\right|_{s=0} = ap_0.
$$

���⮬�
$$
C = {{1+\ctg^2 \gamma}\over {a^2 \ctg^2 \gamma}}  =  {{1}\over {a^2\cos^2
\gamma}}. \eqno(4.5)
$$

����⠢��� (4.5) � (4.4), ����稬
$$
s_1 = - a\ln(a\cos \gamma).
$$

���᫥��� �� ��� �����뢠��, �� �� $a = 1$ ���祭�� 㣫�,  ��
���஬ ���⨣����� ���ᨬ� ���⪨, ࠢ�� $\gamma = 39,2^{\circ}$.
���᫥��� �ந��������� � �筮���� �� 0,001.
 %\pagebreak

\vskip 0.5 cm
\centerline{\bf ���᮪ �ᯮ�짮������ ���p���p�}
\vskip 0.3 cm

\noindent
\hangindent 0.45 cm
1. {\it ���  �.,  ���  �.}  ��ࠢ�筨�  ��  ��⥬�⨪�  (���   ������
ࠡ�⭨��� � ������஢).
�., 1973. 832 �.

\noindent
\hangindent 0.45 cm
2. {\it ����订 �.~�.} ��堭��� ⥪�⨫쭮� ��� � ⪠��.
�., 1980. 160 �.

\noindent
\hangindent 0.45 cm
3. {\it ��ਭ�� �.~�., ���⮡�த�� �.~�.} �ਢ����  �  ���祭��  �ਢ��  ��
�����孮�� ��饭��.
�������, 1998. 13~�. ���.~�~������ 17.02.98, $\No$~477-B98.

\noindent
\hangindent 0.45 cm
4. {\it ���⮡�த�� �.~�.} ���ࠡ�⪠ ������ �᭮� �ନ஢����
⥪�⨫��� ���ਠ��� � ������  �����  �  �࠭ᯮ��஢����:
���. ����. ��. ���. �������. 1997. 496~�.
\end
