%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
\magnification=\magstep2
%\pagewidth{17 true cm}
%\vcorrection{-.5 true cm}
%\hcorrection{-.5 true cm}
\pageno=1
\TagsOnRight
\pretitle{ \centerline{\bf \underbar
{ ����� ���� ����. ��⥬�⨪�. 2000. ���� 2}}
\vskip 1 cm
%���            % ��� ���}
%\leftheadtext{�������� �.�.}
%\rightheadtext{ �⤥������� 横���᪨� �����㯯 }
\topmatter
\author
\centerline{\bf �������� �.�.}
\endauthor
\title
\centerline{\bf �⤥������� 横���᪨� �����㯯}
\centerline{\bf ���室��� $HNN$-���७��}
\centerline{\bf  ����筮 ��஦������ �������� ��㯯}
\endtitle
\abstract \nofrills

\vskip .5 cm\noindent
�������� ᫥����� ⥮६�.
����� $G$ --- ����筮 ��஦������ ������� ��㯯�, $B$
--- �� �����㯯� � $\varphi:G \to B$ --- ������䨧�. �����
$G^*=(G,t; t^{-1}Gt=B, \varphi)$
--- ���室�饥 $HNN$-���७�� ��㯯� $G$. ������ 横���᪠� �����㯯�
��㯯� $G^*$ 䨭�⭮ �⤥���� ⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, ����� �� ����⥫�
�ࠪ�����᪮�� �����童�� �⮡ࠦ���� $\varphi$ ᢥ��ਬ�⨢��.
\endabstract
\endtopmatter
\document
\vskip .5 cm
\bigskip

\centerline{ {\bf ��������} }
\medskip

��������, �� �᫨ $G$ --- ������� ��㯯�, $A$ � $B$ --- ��������
�����㯯� ��㯯� $G$ � $\varphi:A\to B$ --- 䨪�஢���� ������䨧�, �
��㯯�  $G^*=(G, t;\ t^{-1}At=B, \varphi)$, ��஦������ ��ࠧ��騬� ��㯯� $G$
� ������⮬ $t$ � ��।��塞�� �ᥬ� ᮮ⭮襭�ﬨ ��㯯� $G$, � ⠪��
�ᥢ������묨 ᮮ⭮襭�ﬨ ���� $t^{-1}at=a\varphi$ ($a\in A$), ���뢠����
$HNN$-���७��� ������� ��㯯� $G$ � �易��묨 (� ������� ������䨧��
$\varphi$) �����㯯��� $A$ � $B$
� ��室��� �㪢�� $t$. $HNN$-���७�� ��㯯� $G$ ���뢠�� ���室�騬,
�᫨ ���� �� �易���� �����㯯, ᪠��� $A$, ᮢ������ � ������� ��㯯�� $G$.

� �拉 ࠡ��, ����饭��� �᫮��� 䨭�⭮� ���பᨬ��㥬���
$HNN$-���७��, ��������⭮ �뫮 �⬥祭� (�. ����. [5]), ��
����室��� (�� �����
������, �� �������) �᫮���� 䨭�⭮� ���பᨬ��㥬��� ��㯯� $G^*$
���� �ਢ���쭮��� ����祭�� ��� ⠪ ���뢠���� (��।������ �. ����)
$(A, B, \varphi)$-ᮢ���⨬�� ��ଠ���� �����㯯  ����筮�� ������ ��㯯�
$G$. � ࠡ�� �.~�.~��������᪮�� [2] ��������, �� � ��砥
���室�饣� $HNN$-���७��   �� �᫮��� ����뢠���� �
������� ��� 䨭�⭮� ���பᨬ��㥬���. ������� �� ����⨫, �� ���
���室�饣� $HNN$-���७�� 䠪��᪨ � �� �� �ନ��� �����
���㫨஢��� � ���਩ 䨭�⭮� �⤥������ ��� 横���᪨� �����㯯
(�. [3]). ��������, �� � ᮮ⢥��⢨� � [1] �����㯯� $X$
��㯯� $Y$ ���뢠���� 䨭�⭮ �⤥�����, �᫨ ��� ��� �������
$y\in Y\setminus X$ ������� �������䨧� $\rho$ ��㯯� $Y$ �� �������
��㯯� �� ���஬ $y\rho\notin X\rho$.

� ������ ࠡ�� ��ᬠ�ਢ����� 䨭�⭠� �⤥������� 横���᪨� �����㯯
���室��� $HNN$-���७�� $G^*$,  ������� ��㯯� $G$ ������ ����
�������� ��㯯�� � ������ �᫮� ��஦�����. ����� ��㯯�
$G^*$ ��⠡����� � ��⮬� 䨭�⭮ ���பᨬ��㥬� � ᨫ� �����⭮� ⥮६�
�.~���\-�� [4] (ࠧ㬥����, 䨭�⭠� ���பᨬ��㥬���� �� ᫥��� � ��
ࠡ��� [2]).  ��� ��
�����, 㦥 �ࠪ��᪨ �� ���室�騥 $HNN$-���७�� ��᪮��筮�
横���᪮� ��㯯� ᮤ�ঠ� 横������ ������\-��, �� ������� 䨭�⭮
�⤥�����: � �⮬ ��砥 ��㯯� $G^*$ ����� ���
$\langle a,t;\ t^{-1}at=a^k \rangle$ (� �室�� � ᥬ���⢮ ⠪ ���뢠����
��㯯 ���᫠�� -- �������), � �� $|k|>1$ �����㯯�, ��஦������ ������⮬
$a$, �� 䨭�⭮ �⤥����.
����� ���� 㪠���� �᫮���, ����室��� � ������� ��� ⮣�, �⮡�
������ 横���᪠� �����㯯� ���室�饣� $HNN$-���७�� ����筮 ��஦������
�������� ��㯯� 﫠�� 䨭�⭮ �⤥�����.

�᫨ $G$ --- ����筮 ��஦������ ������� ��㯯� � $B$ --- �����㯯� ��㯯�
$G$, ������䭠� �⮩ ��㯯�, � ������䨧�  $\varphi:G\to B$ ����
�������䨧��� ��㯯� $G$. ���⮬� �᫨ ��㯯� $G$ ���� ᢮������ ��������,
�⮡ࠦ���� $\varphi$ ����� ᯮᮡ�� ᮯ��⠢����� 楫��᫥���� �����,
�ࠪ�����᪨� �����童� ���ன ���뢠�� �ࠪ�����᪨� �����童���
�������䨧�� $\varphi$. � ��饬 �� ��砥 ��ਮ���᪠� ���� $\tau (G)$
��㯯� $G$ ᮤ�ন��� � �����㯯� $B$, � ��⮬� �⮡ࠦ���� $\varphi$
�������� ������䨧� $\overline\varphi$ 䠪��-��㯯� $G/\tau (G)$
(��饩�� ᢮������ �������� ��㯯��) �� ��
�����㯯� $B/\tau (G)$. ����� �ࠪ�����᪨� �����童���
�������䨧�� $\varphi$ �㤥� ���뢠�� �ࠪ�����᪨� �����童�
�������䨧�� $\overline\varphi$. ������ਬ�� ⠪�� 楫��᫥��� 㭨���
�����童� $f(x) = x^k + c_{k-1} x^{k-1} + \dots + c_0$
���뢠�� ᢥ��ਬ�⨢��, �᫨ �������訩 ��騩 ����⥫� ��� �����樥�⮢
$c_0, \dots ,c_{k-1}$ ࠢ�� 1.

�᭮���� १���� ࠡ��� ����� ���� ⥯��� ���㫨஢�� ᫥���騬 ��ࠧ��:

{\bf ���६�} ����� $G$ --- ����筮 ��஦������ ������� ��㯯�, $B$
--- �� �����㯯� � $\varphi:G \to B$ --- ������䨧�. �����
$G^*=(G,t; t^{-1}Gt=B, \varphi)$
--- ���室�饥 $HNN$-���७�� ��㯯� $G$. ������ 横���᪠� �����㯯�
��㯯� $G^*$ 䨭�⭮ �⤥���� ⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, ����� �� ����⥫�
�ࠪ�����᪮�� �����童�� �⮡ࠦ���� $\varphi$ ᢥ��ਬ�⨢��.
\endproclaim
\bigskip
\bigskip

\centerline{\bf \S\, 1 \ �।���⥫�� \ ����砭�� }
\bigskip

��筥� � ��㫨஢�� �鸞 �������� ����⨩ � १���⮢, �ᯮ�짮�����
������ �� ���祭�� ���பᨬ�樮���� ᢮��� $HNN$-���७�� ����
⥯��� ᢮���ࠧ�� �⠭���⮬.

��������, �०�� �ᥣ�, �� �᫨ $A$ � $B$ --- �������� �����㯯� ��㯯�
$G$ � $\varphi$ --- ������䨧�, � �����㯯� $H$ ��㯯� $G$ ���뢠����
$(A, B, \varphi)$-ᮢ����\-���, �᫨ $(H\cap A)\varphi =H\cap B$.
���祭�� �⮣� ������ ��⥪��� �� ᫥����� ���� ����砭��.

�᫨ $H$ --- $(A, B, \varphi)$-ᮢ���⨬�� ��ଠ�쭠� �����㯯� ��㯯� $G$,
� �⮡ࠦ���� $\varphi_{{}_H}$, ��।��塞�� �� �ࠢ���
$(xH)\varphi_{{}_H}=(x\varphi)H\ (x\in A)$, ���� ������䨧��� �����㯯�
$AH/H$ 䠪��-��㯯� $G/H$ �� �����㯯� $BH/H$. ���⮬� ����� ����ந��
$HNN$-���७��
$$
G^*_H=(G/H, t;\ t^{-1}AH/Ht=BH/H, \varphi_{{}_H})
$$
��㯯� $G/H$ � �易��묨 � ������� ������䨧�� $\varphi_{{}_H}$
�����㯯��� $AH/H$ � $BH/H$. ������� �������䨧� $\rho_{{}_H}$ ��㯯�
$$
G^*=(G, t;\ t^{-1}At=B, \varphi)
$$
�� ��㯯� $G^*_H$, �த�����騩
����⢥���� �⮡ࠦ���� ��㯯� $G$ �� 䠪��-��㯯� $G/H$ � ��ॢ���騩 $t$
� $t$.

� ��㣮� ��஭�, ����祭�� � ������� ��㯯�� $G$ �ந����쭮� ��ଠ�쭮�
�����㯯� $HNN$-���७�� $G^*=(G, t;\ t^{-1}At=B, \varphi)$
���� $(A, B, \varphi)$-ᮢ���⨬�� �����㯯�� ��㯯� $G$, � ��⮬�
�ந������ �������䨧� ���\-�� $G^*$ � ���� ��㯯� ��室�� �१
������� �������䨧� ���� $\rho_{{}_H}$.

�᫨ $G=A$, � ࠢ���⢮ �� ��।������ $(A, B, \varphi)$-ᮢ���⨬��
�����㯯� �ਭ����� ��� $H\varphi =H\cap B$. � �⮬ ��砥 ��� ����������� �
��㣨� �ࠪ�ਧ�樨 ⠪�� �����㯯.

{\bf �।������� 1} ����� $G$ --- ������� ��㯯�, $B \leq G$ �
$\varphi:G \to B$ --- ������䨧�. ���  �ந����쭮�
��ଠ�쭮� �����㯯� $H$ ����筮�� ������ ��㯯� $G$ ᫥���騥 �⢥ত����
ࠢ��ᨫ��:

1) �����㯯� $H$ ���� $(G,B, \varphi)$-ᮢ���⨬��;

2) �����㯯� $H$  $\varphi$-�����⨬� (�. �. $H\varphi \subseteq H$) �
$G=BH$;

3) �����㯯� $H$ $\varphi$-�����⨬� � ��� ��� ������� $g\in G$ �� ⮣�,
�� $g\varphi \in H$, ᫥��� $g\in H$.
\endproclaim

� ᠬ�� ����, �ந����쭠� $(G,B, \varphi)$-ᮢ���⨬�� �����㯯� ��㯯� $G$
�\-�����, �祢����, $\varphi$-�����⨬��. �᫨ �����㯯� $H$
$\varphi$-�����\-�\-��, � �⮡ࠦ���� $\varphi_{{}_H}$, ��ॢ���饥 ᬥ���
����� $aH$ � ᬥ��� ����� $(a\varphi)H$, ���� �������䨧��� 䠪��-��㯯�
$G/H$. �����।�⢥��� �஢������, �� �⢥ত���� 1) ����砥� ����⨢�����
�⮡ࠦ���� $\varphi_{{}_H}$, �⢥ত���� 2) --- ��� ���ꥪ⨢����� �
�⢥ত���� 3) --- ��ꥪ⨢�����, � ��⠥��� ���� ���������, ��
䠪��-��㯯� $G/H$ ����筠.
\smallskip

�� ������⥫��⢠ �।������� 1 ����砥�

{\bf �����⢨�} �᫨ $G^* = (G, t;\ t^{-1} G t = B, \varphi)$ ---
���室�饥 $HNN$-��\-�७�� ��㯯� $G$, � ��� ��
$(G,B,\varphi)$-ᮢ���⨬�� ��ଠ�쭮� �����㯯� $H$ ����筮�� ������
��㯯� $G$ �⮡ࠦ���� $\varphi_{{}_H}$ ���� ��⮬��䨧���
䠪��-��㯯� $G/H$ � ��⮬� ��㯯� $G^*_H$ ���� ��饯���騬��
���७��� ����筮� ��㯯� $G/H$ �� ����� ��᪮��筮� 横���᪮� ��㯯�,
��஦������ ������⮬ $t$.
\endproclaim

����� $G$ --- ��㯯�, $H$ --- �����㯯� ��㯯� $G$ � $\{N_i\}_{i \in I}$
--- �����஥ ᥬ���⢮ ��ଠ���� �����㯯 ��㯯� $G$. �㤥� �������, ��
�����㯯� $H$ �⤥���� ᥬ���⢮� $\{N_i\}_{i \in I}$, �᫨
$$
\bigcap _{i \in I} HN_i = H.
$$
����� ��ࠧ��, $H$ ���� 䨭�⭮ �⤥����� �����㯯�� ��㯯� $G$,
⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, ����� ��� �⤥����
ᥬ���⢮� ��� ��ଠ���� �����㯯 ����筮�� ������ �⮩ ��㯯�.

�᫨ $A$ --- �� ���� �����㯯� ��㯯� $G$, � �㤥� �������, �� �����㯯�
$H$ �⤥���� ᥬ���⢮� $\{N_i\}_{i \in I}$ ����� $A$, �᫨ ��� ���
������� $a\in A$, �� �ਭ������饣� �����㯯� $H$, �������� ������ $i\in I$
⠪��, �� $a\notin HN_i$. �᭮, �� �����㯯� $H$, �⤥����� ᥬ���⢮�
$\{N_i\}_{i \in I}$, �⤥���� �⨬ ᥬ���⢮� ����� ������ �����㯯�
��㯯� $G$.

{\bf �।������� 2} ����� $G$ --- ��㯯� � $A$ ---
��᪮��筠� 横���᪠� �����㯯� ��㯯� $G$, ��஦������ ������⮬ $a$.
����� $\{N_i\}_{i \in I}$ --- �����஥ ᥬ���⢮ ��ଠ���� �����㯯
����筮�� ������ ��㯯� $G$, ������⮥ �⭮�⥫쭮 ������� ����祭��.
����� �� �����㯯� ��㯯� $G$, ����騥 � �����㯯� $A$, �⤥���� ����� $A$
ᥬ���⢮� \linebreak $\{N_i\}_{i \in I}$ ⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, ����� ��� ���
楫��� �᫠ $m>1$ �������� ������ $i\in I$ ⠪��, �� ���冷� �������
$aN_i$ 䠪��-��㯯� $G/N_i$ ������� �� $m$.
\endproclaim

��� ������⥫��⢠ �।������� ᭠砫�, �� �ந����쭠� ���\-��㯯�, ������
� $A$, �⤥���� ����� $A$ ᥬ���⢮� $\{N_i\}_{i \in I}$, � ���
�ந����쭮�� 楫��� �᫠ $m>1$ ��ᬮ�ਬ �����㯯� $A^m$, ��஦������
������⮬ $a^m$. ��� ��� ᥬ���⢮ $\{N_i\}_{i \in I}$ ������� �⭮�⥫쭮
������� ����祭��, �������� ����� $i\in I$ ⠪��, �� �� ��������
$a, a^2,\dots , a^{m-1}$ �� �室�� � �����㯯� $A^mN_i$. ����� � 䠪��-��㯯�
$G/N_i$ ������� $aN_i$ ����� ���冷� $n$ � ����� $d=(m,n)$ --- �������訩 ��騩
����⥫� �ᥫ $m$ � $n$. ����� ��� ���室��� 楫�� �ᥫ $x$ � $y$ �����
$d=mx+ny$, � ��⮬� $a^d\in A^mN_i$. �������⥫쭮, $d=m$ � �᫮ $n$ �������
�� $m$.

���⭮, �᫨ ������� $a^x$ �� �室�� � �����㯯� $A^m$, � ������ $i\in I$
��࠭ ⠪, �� ���冷� $n$ ������� $aN_i$ 䠪��-��㯯� $G/N_i$ �������
�� $m$, � ����� ������, �� $a^x\notin A^mN_i$.
\smallskip

{\bf �।������� 3} {\rm (�. [3])} ����� $G$ --- ������� ��㯯�, $B \leq G$ �
$\varphi:G \to B$ --- ������䨧�. �����
$G^* = (G, t;\ t^{-1} G t = B, \varphi)$ --- ���室�饥 $HNN$-���७��
��㯯� $G$. ������ 横���᪠� �����㯯� ��㯯� $G^*$ 䨭�⭮ �⤥���� ⮣��
� ⮫쪮 ⮣��, ����� ������ 横���᪠� �����㯯� ��㯯� $G$ �⤥����
ᥬ���⢮� ��� $(G,B,\varphi)$-ᮢ���⨬�� ��ଠ���� �����㯯 ����筮��
������ ��㯯� $G$.
\endproclaim

�� �।������� 3 ᫥���, �� ⥮६�, ���㫨஢����� �� ��������,
ࠢ��ᨫ쭠 ᫥���饬� �⢥ত����:

{\sl ����� $G$ --- ����筮 ��஦������ ������� ��㯯�, $B$
--- �� �����㯯� � $\varphi:G \to B$ --- ������䨧�.
������ 横���᪠� �����㯯� ��㯯� $G$ �⤥����
ᥬ���⢮� ��� $(G,B,\varphi)$-ᮢ���⨬�� ��ଠ���� �����㯯 ����筮��
������ ��㯯� $G$
⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, ����� �� ����⥫�
�ࠪ�����᪮�� �����童�� �⮡ࠦ���� $\varphi$ ᢥ��ਬ�⨢��.}

��ࠢ��������� �⮣� �⢥ত���� � ⮬ ��砥, ����� ��㯯� $G$ ����
᢮������ ��������, �����뢠���� � ᫥���饬 ��ࠣ��.

\vskip 1cm
\centerline{\bf  \s 2\  ������⥫��⢮ \ ⥮६� \ ��� \ ����, \ �����}

\centerline{\bf  ������� \ ��㯯� \ ���� \ ᢮������ \ ��������}

\vskip 0.3cm
����� $G$ --- ᢮������ ������� ��㯯� � ����� $a_1,a_2,\dots ,a_n$. ���
㦥 �⬥砫��� �� ��������, �ந����쭮�� �������䨧�� $\varphi$ ��㯯� $G$
ᮯ��⠢����� 楫��᫥���� �����, $i$-�� ��ப�� ���ன ����
��᫥����⥫쭮��� ������⥫�� �⥯���� ��ࠦ���� ������� $a_i\varphi$
�१ �������� ����. ��ࠪ�����᪨� �����童� �⮩ ������ (�� ������騩
�� �롮� ���� ��㯯� $G$) �㤥� ���뢠�� �ࠪ�����᪨� �����童���
�⮡ࠦ���� $\varphi$.

��� �ந����쭮�� 楫��᫥����� �����童��
$$
f(x)=c_0x^m+c_1x^{m-1}+\cdots +c_{m-1}x+c_m
$$
��� ���筮 ��।������ ���
���祭�� $f(\varphi)$ �� �������䨧�� $\varphi$: ��� ��� ������� $g\in G$
$$
gf(\varphi)=(g^{c_0})\varphi^m\cdot(g^{c_1})\varphi^{m-1}\cdots
(g^{c_{m-1}}\varphi)\cdot g^{c_m}.
$$
�����童� $f(x)$ �㤥� ���뢠�� ������஬ ������� $g$ (�⭮�⥫쭮
�������䨧�� $\varphi$), �᫨ $gf(\varphi)=1$.
�� ⥮६� ������⮭� -- ���� �ࠪ�����᪨� �����童� �⮡ࠦ����
$\varphi$ ���� ������஬ ��� ������⮢ ��㯯� $G$, � ��⮬� � �������
������� $g\in G$ ������� ������� $h(x)$ �������襩 ������⥫쭮� �⥯���.
����� ������, �� ��᪮��� $G$ ��� ���祭��, ��� ������� ����� ���
���� ��魮�� ����� �ਬ�⨢�� �����童��� (��������, �� 楫��᫥���
�����童� ���뢠���� �ਬ�⨢��, �᫨ �������訩 ��騩 ����⥫� ��� ���
�����樥�⮢ ࠢ�� 1). �ᯮ���� ����� ����⢥���� �������� ��㯯� $G$ �
�������� ����࠭�⢮ ��� ����� $\Bbb Q$ �樮������ �ᥫ � ����ᮬ
$a_1,a_2,\dots ,a_n$, ����㤭� ������, �� �����童� $h(x)$ ����
����⥫�� � ����� �����童��� $\Bbb Q[x]$ �ࠪ�����᪮�� �����童��
�⮡ࠦ���� $\varphi$, � ⠪ ��� $h(x)$ �ਬ�⨢��, � � ����⢨⥫쭮��
��������� ����� ���� 㦥 � ����� $\Bbb Z[x]$. ��᪮��� �ࠪ�����᪨�
�����童� �⮡ࠦ���� $\varphi$ 㭨�७, � � �����童� $h(x)$ ����
㭨���.

����� ��ࠧ��, ��� ��� ������� $g\in G$ ������� �������, ��騩��
㭨��� �����童��� � ����騩 ���������� �⥯��� �।� ��� ���㫥���
������஢ �⮣� �������; �� �㤥� ���뢠�� ��� ��������� ������஬
������� $g$. �஬� ⮣�, ����� ��������, ᭮�� �ᯮ���� ���������� ��㯯�
$G$ � �������� ����࠭�⢮ ��� ����� $\Bbb Q$, �� ����� ����⥫�
�ࠪ�����᪮�� �����童�� �⮡ࠦ���� $\varphi$ ���� ������஬
�����ண� �������筮�� ������� ��㯯� $G$.

{\bf �।������� 4} ����� $G$ --- ᢮������ ������� ��㯯� � ������
�᫮� ��஦�����, $B$ --- �����㯯� ��㯯� $G$ � $\varphi:G \to B$ ---
������䨧�. �᫨ ������ 横���᪠� �����㯯� ��㯯� $G$ �⤥���� ᥬ���⢮�
��� $(G,B,\varphi)$-ᮢ���⨬�� �����㯯 ����筮�� ������,
� �ந������ 㭨��� ������� ��� �������筮�� ������� ��㯯� $G$
ᢥ��ਬ�⨢��.
\endproclaim

\demo{������⥫��⢮} ����� $a$ --- ��������� ������� ��㯯� $G$ � �����
$f(x)=x^k+c_{k-1}x^{k-1}+\cdots +c_1x+c_0$ --- ������� ������� $a$.
����� $d\geq 1$ --- �ந������ ��騩 ����⥫� �ᥫ
$c_0, c_1, \dots , c_{k-1}$ � $c_i=dc'_i$ ($i=0,1,\dots ,k-1$). ���
�ந����쭮� $(G,B,\varphi)$-ᮢ���⨬�� �����㯯� $H$ ����筮�� ������
��㯯� $G$ ������稬 �१ $m$ �������襥 ������⥫쭮� �᫮ ⠪��, ��
������� $a^m$ �ਭ������� �����㯯� $H$. ����� $t\geq 1$ --- ��騩 ����⥫�
�ᥫ $d$ � $m$ � $d=td_1$, $m=tm_1$. ����� ��� ��� $i=0,1,\dots , k-1$
�믮����� ࠢ���⢮ $c_im_1=mc'_id_1$.

��� ��� $a\varphi^k \cdot a^{c_{k-1}}\varphi^{k-1}\cdots a^{c_1}\varphi
\cdot a^{c_0} = 1$, �����

$
a^{m_1}\varphi^k=\left(a^{c_{k-1}m_1}\varphi^{k-1}\cdots a^{c_1m_1}\varphi
(a^{c_0m_1}\right)^{-1} =
$

$
= \left(a^{c'_{k-1}m}\varphi^{k-1}\cdots a^{c'_1m}\varphi
(a^{c'_0m}\right)^{-d_1},
$

� �� �।������� 1 ᫥���, �� ������� $a^{m_1}$ �ਭ������� �����㯯� $H$.
���⮬� $t=1$, ⠪ �� �᫠ $d$ � $m$ ������� �����.

����� ��ࠧ��, ��� �� $(G,B,\varphi)$-ᮢ���⨬�� �����㯯� $H$ ����筮��
������ ��㯯� $G$ ���冷� ������� $a$ �� ����� $H$ ���� �᫮�, �������
����� � $d$. �ਬ������ �।������� 2 � �����㯯� $A$, ��஦������
������⮬ $a$, ���� ⥯��� $d=1$.
\enddemo

{\bf �।������� 5} ����� $G$ --- ᢮������ ������� ��㯯� � ������
�᫮� ��஦�����, $B$ --- �����㯯� ��㯯� $G$ � $\varphi:A \to B$ ---
������䨧�. �ந����쭠� ���ᨬ��쭠� 横���᪠� �����㯯� ��㯯� $G$
�⤥���� ᥬ���⢮� ��� $(G,B,\varphi)$-ᮢ���⨬�� �����㯯 ����筮��
������.
\endproclaim

\demo{������⥫��⢮}�����, ��� ���筮, ��� ������⥫쭮�� 楫��� �᫠ $m$ $G^m$ ������砥�
�����㯯� ��㯯� $G$, ������� �� �ᥢ�������� ������⮢ ���� $g^m$, ���
$g\in G$. �祢����, �� �� ⠪�� �����㯯� ���� $\varphi$-�����⨬��,
� �᫨ �᫮ $m$ ������� ���� � �����ᮬ �����㯯� $B$ ��㯯� $G$, �
�믮����� ࠢ���⢮ $G=BG^m$. ����� ��ࠧ��, �� �।������� 1 ᫥���, ��
�᫨ �᫮ $m$ ������� ���� � �����ᮬ �����㯯� $B$ ��㯯� $G$, �
�����㯯� $G^m$ ���� $(G,B,\varphi)$-ᮢ���⨬��.

�।������� ⥯���, �� ������� $a$ ��㯯� $G$ ��஦���� ���ᨬ�����
横������ �����㯯� $A$. ����� � ��㯯� $G$ ������� ⠪�� ����
$a_1,a_2,\dots ,a_n$, �� $a=a_1$. �᫨ �������
$g=a_1^{k_1}a_2^{k_2}\cdots a_n^{k_n}$ �� �ਭ������� �����㯯� $A$, �
$k_i\neq 0$ ��� �����ண� ����� $i>1$. �᫨ ⥯��� �᫮ $m$ �� ����
����⥫�� $k_i$ � ������� ���� � �����ᮬ �����㯯� $B$ ��㯯� $G$, �
�����㯯� $G^m$ ���� $(G,B,\varphi)$-ᮢ���⨬�� � $g\notin AG^m$.
\enddemo

��ࠢ��������� ᫥���饣� �⢥ত���� �஢������ �����\-।\-�⢥���.

{\bf �।������� 6} ����� $G$ --- ᢮������ ������� ��㯯� � ������
�᫮� ��஦�����, $B$ --- �����㯯� ��㯯� $G$ � $\varphi:G \to B$ ---
������䨧�. ����� $f(x)=x^k+c_{k-1}x^{k-1}+\cdots +c_1x+c_0$ --- ���������
������� ������� $a$ ��㯯� $G$. ����� ��⥬� ������⮢
$a, a\varphi , \dots , a\varphi^{k-1}$
��⠢��� ���� �������襩 $\varphi$-�����⨬�� �����㯯� ��㯯� $G$,
ᮤ�ঠ饩 ������� $a$.

��� ������� 楫��� �᫠ $m\geq k$ ��।����, �����, ��᫥����⥫쭮��� �ᥫ
$u_0^{(m)}, u_1^{(m)},\dots u_{k-1}^{(m)}$, ������� $u_i^{(k)}=-c_i$
($i=0,1,\dots ,k-1$) �
$$
u_0^{(m+1)}=-c_0u_{k-1}^{(m)}, \quad
u_i^{(m+1)}=u_{i-1}^{(m)}-c_iu_{k-1}^{(m)}\ (i=1,2,\dots ,k-1).
$$
����� ��� ��� $m\geq k$ ����� ���� ࠢ���⢮
$$
a\varphi^m=a^{u_0^{(m)}}(a\varphi)^{u_1^{(m)}}
\cdots (a\varphi^{k-1})^{u_{k-1}^{(m)}}.
$$
\endproclaim

{\bf �।������� 7} ����� $G$ --- ᢮������ ������� ��㯯� � ������
�᫮� ��஦�����, $B$ --- �����㯯� ��㯯� $G$ � $\varphi:G \to B$ ---
������䨧�. �᫨ ��������� �������� ��� ������⮢ ��㯯� $G$ �����
ᢥ��ਬ�⨢�묨 �����童����, � ������ 横���᪠� �����㯯� ��㯯� $G$
�⤥���� ᥬ���⢮� ��� $(G,B,\varphi)$-ᮢ���⨬�� �����㯯
����筮�� ������ ��㯯� $G$.
\endproclaim
\demo{������⥫��⢮} ����� �।������� 5 �����筮 ��������, �� �� \linebreak
�����㯯� �ந����쭮� ���ᨬ��쭮� 横���᪮� �����㯯� $A$ ���\-�� $G$
�⤥���� ����� $A$ ᥬ���⢮� ��� $(G,B,\varphi)$-ᮢ���⨬�� �����㯯
����筮�� ������ ��㯯� $G$. ��� �⮣�, � ᢮� ��।�, � ᨫ� �।������� 2
�����筮 ��� ��� 楫��� �᫠ $m\geq 1$ ����ந��
$(G,B,\varphi)$-ᮢ���⨬�� �����㯯� ����筮�� ������ ��㯯� $G$, ��
����� ���ன ���冷�
��஦���饣� ������� $a$ �����㯯� $A$ ࠢ�� $m$.

����� $f(x)=x^k+c_{k-1}x^{k-1}+\cdots +c_1x+c_0$ --- ���������
������� ������� $a$ � ����� $A_{\varphi}$ ������砥� ����������
$\varphi$-�����⨬�� �����㯯� ��㯯� $G$, ᮤ�ঠ��� ������� $a$. ����� �
ᮮ⢥��⢨� � �।�������� 6 ��⥬� ������⮢
$a, a\varphi , \dots , a\varphi^{k-1}$ ��⠢��� ���� �⮩ �����㯯�.
������稬 �१ $H$ ᮢ��㯭���� ��� ⠪�� ������⮢ $g\in G$, ��
$g\varphi^s\in A_{\varphi}^m$ ��� �����ண� $s\geq 0$. �祢����, �� $H$
--- $\varphi$-�����⨬�� �����㯯� ��㯯� $G$. �������, �� ���冷� ������� $a$
�� ����� $H$ ࠢ�� $m$.

����� $a^t\in H$ ��� �����ண� 楫��� �᫠ $t$. �� ����砥�, �� ���
���室�饣� �᫠ $s\geq 0$ ������� $(a\varphi^s)^t$ �室�� � �����㯯�
$A_{\varphi}^m$. �᫨ $0\leq s\leq k-1$, � $a\varphi^s$ ���� ������⮬
���� $a^m, (a\varphi )^m, \dots , (a\varphi^{k-1})^m$ �����㯯�
$A_{\varphi}^m$ � ��⮬� �᫮ $t$ ������� �� $m$. �᫨ �� $s\geq k$, �
����� �।������� 6 ��ࠦ���� ������� $a\varphi^s$ �१ ���� �����㯯�
$A_{\varphi}$ ����� ���
$$
a\varphi^s=a^{u_0^{(s)}}(a\varphi)^{u_1^{(s)}}
\cdots (a\varphi^{k-1})^{u_{k-1}^{(s)}}.
$$
���⮬� �᫮���  $(a\varphi^s)^t\in A_{\varphi}^m$ ����砥�, �� ������ ��
�ᥫ
$$
u_0^{(s)}t, u_1^{(s)}t,\dots u_{k-1}^{(s)}t
$$
������ �������� �� $m$.
��� ��� �����童� $f(x)$ ᢥ��ਬ�⨢��, ����� ������, �� �������訩 ��騩
����⥫� �ᥫ $u_0^{(s)}, u_1^{(s)},\dots u_{k-1}^{(s)}$ ࠢ�� 1. ���⮬�
�᫮ $t$ ������� �� $m$.

����� ��ࠧ��, ���冷� ������� $a$ (� ��⮬� � ��� ������� ����
$a\varphi^s$) �� ����� �����㯯� $H$ ࠢ�� $m$. �� �� �����㯯� ����� ��
����� ����筮�� ������ � ��㯯� $G$. ��� ���࠭���� �⮣� ������⪠
��ᬮ�ਬ 䠪��-��㯯� $G/H$. ����� $T/H$ --- ��ਮ���᪠� ���� ��㯯�
$G/H$; �⬥⨬, �� �� �������� ���� $a\varphi^s$ �ਭ������� �����㯯� $T$
��㯯� $G$. ��� �����ன �����㯯� $B$ ��㯯� $G$ ����� ���� ࠧ�������
��㯯� $G/H$ � ��אַ� �ந�������� $G/H=B/H\times T/H$. ����� ���
�ந����쭮�� 楫��� �᫠ $k>0$ �����
$$
(G/H)/(G/H)^k=(B/H)/(B/H)^k\times (T/H)/(T/H)^k,
$$
� ��⮬� �� $k$, ࠢ��� ���浪� ��㯯� $T/H$, ����祭�� �����㯯 $(G/H)^k$
� $T/H$ ��㯯� $G/H$ ���� �����筮� �����㯯��. ��� ���
$(G/H)^k=G^kH/H$, ��� ᫥���, �� $G^kH\cap T=H$, � ��⮬� ���冷� ��
����� �����㯯� $G^kH$ �ந����쭮�� ������� $g\in T$ ᮢ������ � ���
���浪�� �� ����� �����㯯� $H$. �᭮, �� �����㯯� $G^kH$ ����
$\varphi$-�����⨬�� � ����� ������ ������ � ��㯯� $G$.
������稬 ⥯��� �१ $M$ ᮢ��㯭���� ��� ⠪�� ������⮢ $g\in G$, ��
$g\varphi^s\in G^kH$ ��� �����ண� $s\geq 0$. �祢����, �� $M$ ---
$(G,B,\varphi)$-ᮢ���⨬�� �����㯯� ����筮�� ������ ��㯯� $G$, ���冷�
������� $a$ �� ����� ���ன ࠢ�� $m$.
\enddemo

� ��砥, ����� ��㯯� $G$ ���� ᢮������ ��������, �⢥ত���� ⥮६�
᫥��� �� �।������� 4 � 7.
\bigskip
\bigskip

\centerline{ {\bf \S\, 3. �����襭�� \ ������⥫��⢠ \ ⥮६�} }
\bigskip

��������� � ��饩 ���樨, ����� ������� ��㯯� ���� �ந����쭮�
�������� ��㯯�� � ������ �᫮� ��஦�����, ������� ᫥���饥
�⢥ত����, �।�⠢���饥 � ��।������ ᠬ����⥫�� �����.

{\bf �।������� 8} ����� $G$ --- 䨭�⭮ ���பᨬ��㥬�� ��㯯� �
$H$ --- ����筠� ��ଠ�쭠� �����㯯� ��㯯� $G$. �� (�� ����筮��஦�����
��� �� 横���᪨�) �����㯯� ��㯯� $G$ ����� 䨭�⭮ �⤥���묨 ⮣�� �
⮫쪮 ⮣��, �����
�� (ᮮ⢥��⢥���, �� ����筮��஦����� ��� �� 横���᪨�) �����㯯�
䠪��-��㯯� $G/H$ 䨭�⭮ �⤥����.
\endproclaim

� ᠬ�� ����, �।������� ᭠砫�, �� �� �����㯯� ������ �� 㪠������
� ��㫨஢�� ����ᮢ 䨭�⭮ �⤥���� � ��㯯� $G$. ��� �ந����쭮�
�����㯯� $X$ 䠪��-��㯯� $G/H$ ����� 㪠���� ⠪�� �����㯯� $A$ ��㯯�
$G$, �� $X=AH/H$, ��祬 $A$ ����� ����� ����筮 ��஦������ ���
横���᪮�, �᫨ ᮮ⢥�����騬 ᢮��⢮� �������� �����㯯� $X$.
�᫨ ⥯��� ������� $Hg$ 䠪��-��㯯� $G/H$ �� �室�� � �����㯯� $AH/H$,
� ������� $g$ ��㯯� $G$ �� �ਭ������� �����㯯� $AH$. ���⮬� �����㯯� $A$
�� ᮤ�ন� �� ������ ������� ���� $gh$, ��� $h\in H$, � ⠪ ��� ᥬ���⢮
⠪�� ������⮢ ����筮, �������� ��ଠ�쭠� �����㯯� $N$ ����筮�� ������
��㯯� $G$ ⠪��, �� ��� ��� $h\in H$ ������� $gh$ �� �ਭ�������
�����㯯� $AN$. �� ����砥�, �� $g\notin ANH$, � ��⮬� ������� $Hg$
䠪��-��㯯� $G/H$ �� �室�� � �����㯯� $AH/H\cdot NH/H$, ��祬 $NH/H$
--- ��ଠ�쭠� �����㯯� ����筮�� ������ ��㯯� $G/H$. �������⥫쭮,
�����㯯� $X$ 䨭�⭮ �⤥����.

� ��㣮� ��஭�, ��᪮��� ��㯯� $G$ ���� 䨭�⭮ ���பᨬ��㥬��,
� �� �����㯯� $H$ ����筠, �������� ��ଠ�쭠� �����㯯� $K$ ����筮��
������ ��㯯� $G$ ⠪��, �� $K\cap H=1$. ����� $K$ ������� � 䠪��-��㯯�
$G/H$ � ��⮬� ��᫥��� �� ��� ᢮��⢮ 䨭�⭮� �⤥������ ���
�����㯯 ᮮ⢥�����饣� �����. ��� ��� �� ᢮��⢮ ��᫥����� ⠪��
�����묨 ���७�ﬨ, �ࠢ������ � ���⭮� �⢥ত����.
\smallskip

�����稬 ⥯��� ������⥫��⢮ ⥮६�. ����� $G$ --- ����筮 ��஦������
������� ��㯯�, $B$ --- �����㯯� ��㯯� $G$ � $\varphi:G\to B$ ---
������䨧�. �祢����, �� ��ਮ���᪠� ���� $T$ ��㯯� $G$ ᮤ�ন��� �
�����㯯� $B$ � $T\varphi=T$. �������⥫쭮, �����㯯� $T$ ����
$(G,B,\varphi)$-ᮢ���⨬�� � ����ਠ�⭮� �����㯯�� ��㯯�
$G^*=(G,t;\ t^{-1}Gt=B, \varphi)$, � ��⮬� ��㯯�
$$
G^*_T=(G/T, t;\ t^{-1}AT/Tt=BT/T, \varphi_{{}_T})
$$
ᮢ������ � 䠪��-��㯯�� $G^*/T$. �� �।������� 8 ⥯��� ᫥���, ��
������ 横���᪠� �����㯯� ��㯯� $G^*$ ���� 䨭�⭮ �⤥����� ⮣��
� ⮫쪮 ⮣��, ����� 䨭�⭮ �⤥���� ������ 横���᪠� �����㯯� ��㯯�
$G^*_T$, ��饩�� $HNN$-���७��� ᢮������ ��������
��㯯� $G/T$.

\vskip 1 cm
\centerline{\bf ���᮪ �ᯮ�짮������ ���p���p�}

1. {\it ����楢 �.�.} � �������䨧��� �� ������ ��㯯�// �祭. ���. ��. ���.
��-�. �������,1958,�.58. N5. �.49 -- 60.

2. {\it ��������᪨� �.�.} ����⭠� ���பᨬ��㥬���� ���室���
HNN-���\-�\-��� ��㯯 // ���. ��⥬. ���. 1992. �. 44.
�. 842 -- 845.

3. {\it ��������᪨� �.�.}  �� �⤥������ 横���᪨� �����㯯 ���室�饣�
 $HNN$-���७�� ��㯯// ��� ᡮ୨�, �.

4. {\it Hall P.} On the finiteness of certain soluble groups//Proc. London
Math. Soc. 1959. V. 9. N 36. P. 595 -- 622.

5. {\it Shirvani M.} On residually finite HNN-extensions//Arch. Math. 1985.
V.44. P. 110 -- 115.

\end
