%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
\magnification=\magstep2
%\pagewidth{17 true cm}
%\pageheight{26 true cm}
%\vcorrection{-1.3 true cm}
%\hcorrection{-.5 true cm}
\TagsOnRight
\pretitle{\centerline{\bf ����� ���� ����. ��⥬�⨪�. ��.~3}
           \centerline{\bf �������,~2000}
\vskip -.25 cm
\centerline{
-------------------------------------------------------------------------------------------- }}
\vskip 1 cm
��� 511           % ��� ���}

%\leftheadtext{\underline{\phantom{=====================}
%�.~�.~�����
%\phantom{=====================}}}                        % ���p�饭��
%                                             % ᯨ᮪ ���஢ ��� �������㫠

%\rightheadtext{\underline{\phantom{===============}
%�\ �ਣ��������᪨�\ �鸞�                          % ������ ���������
%\phantom{============}}}                                   %  �� ����� ��ப�
%

\centerline{\bf �.~�.~�����}                        %  �����  ����
\vskip.2 cm

\topmatter
\title
\centerline{\bf � �ਣ��������᪨� �鸞� �}
\centerline{\bf ��࠭�祭�묨 ᭨�� ����묨 �㬬���}
\endtitle
\abstract \nofrills

                        % �ய�� ��ப� (��᭠� ��ப�)

����� $p\neq 1$ --- ���⭮� ����ࠫ쭮� �᫮, $D$ --- ᨬ����筮�
�⭮�⥫쭮 0 � �� ᮤ�ঠ饥 0 ������⢮ 楫�� �ᥫ, � ���஬ ��ࠧ�訬�
�ࠢ����� $x_1+x_2+\dots +x_p=0$. �����뢠����, �� �ਣ��������᪨� ��
(��) � ᯥ��஬ $D$, ����騩 ��࠭�祭��� ᭨�� �����᫥����⥫쭮���
������ �㬬, ���� �冷� ���� �㭪樨 �� $L^p(-\pi,\pi)$. �� $p=3$
�� �⢥ত���� �������� ࠭�� �.~�.~�����. �������� � ���������
������� ��㣨� १����� �.~�.~�����.
\endabstract
\endtopmatter
\document
\pageno=1
\vskip  0.5 cm
                         % �ய�� ��ப� (��᭠� ��ப�)

����� $p$ --- ���⭮� ����ࠫ쭮� �᫮, �⫨筮� �� 1. ���� �����
$\{n_k\}_{k=1}^\infty$ ���� $p$--��᫥����⥫쭮���, � ����, �� ��।������,
��ண� ��������� ��᫥����⥫쭮��� ����ࠫ��� �ᥫ, ���������
᫥���騬 "$p$--᢮��⢮�": ��� ��� $s=1,2,\dots,p-1$ � ���� ����ࠫ���
�ᥫ $k_1,k_2,\dots,k_p$ �믮������ ��ࠢ���⢮ $n_{k_1}+n_{k_2}+\dots
+n_{k_s}\neq n_{k_{s+1}}+n_{k_{s+2}}+\dots +n_{k_p}$. � ��⭮��,
$p$--��᫥����⥫쭮���� ���� ��������᪠� �ண���� $\{q^k\}_{k=1}^
\infty$, ��� $p\le q\in \Bbb N$. ����⢨⥫쭮, ��
����� �ᥫ $q^{k_1}+q^{k_2}+\dots +q^{k_s}$ � $q^{k_{s+1}}+q^{k_{s+2}}+
\dots +q^{k_p}$ � ����樮���� ��⥬� ��᫥��� � �᭮������ $q$ �㬬� �� ���
ࠢ�� ᮮ⢥��⢥��� $s$ � $p-s$; ⠪ ��� $s\neq p-s$ ����� ���⭮�� $p$,
� $q^{k_1}+q^{k_2}+\dots +q^{k_s}\ne q^{k_{s+1}}+q^{k_{s+2}}+\dots +q^{k_p}$.
����⨬, �� ᮣ��᭮ ����让 ⥮६� ��ଠ, ���������� �.~����ᮬ � 1995 �.,
��᫥����⥫쭮��� ���� $\{k^n\}_{k=1}^\infty$ ����
3--��᫥����⥫쭮���� �� �� ����ࠫ쭮� $n\ge 3$.

����� $\{A_k\}_{k=1}^\infty$ � $\{B_k\}_{k=1}^\infty$ --- �����--���� ���
��᫥����⥫쭮�� ����⢥���� �ᥫ. �������� $c_k=A_k-B_ki$ ��
$k\in\Bbb N$; $g_m(t)=\sum_{k=1}^mc_ke^{in_kt}$, $S_m(t)=\sum_{k=1}^m
(A_k\cos n_kt+B_k\sin n_kt)$ �� ��� $m\in\Bbb N$ � $t\in \Bbb R$; $\rho_m=
-\min\limits_tS_m(t)$, $\rho=\varliminf\limits_{m\to \infty}\rho_m$. ��
�� $m\in\Bbb N$ �� ��।������ $S_m$ ᫥��� $\int_{-\pi}^\pi S_m(t)\, dt
=0$. ���⮬� $\forall m\in\Bbb N$  $\rho_m\ge 0$, ��㤠 ����砥� $0\le \rho
\le +\infty$.

�� $\beta \ge 1$ �१ $\|f\|_\beta$ ������砥� ᫥������
���� �㭪樨 $f$ � ����客�� ����࠭�⢥ $L^\beta (-\pi,\pi)$:
            $$
\|f\|_\beta=\left({1\over {2\pi}}\int\limits_{-\pi}^\pi |f(t)|
^\beta\, dt\right)^{1/\beta }.
            $$

���ᬮ�ਬ ��
	    $$
\sum\limits_{k=1}^\infty (A_k\cos n_kt+B_k\sin n_kt).
\eqno {(1)}
	    $$
\vskip .2cm
{\bf ���६� 1.} {\it �᫨ $\rho\ne +\infty $, � �� $(1)$ ���� �� ����
�㭪樨 �� $L^p(-\pi,\pi)$.}
\vskip .2cm
����⨬, �� �᫮��� $\rho\ne +\infty $ ����砥�, �� � �� (1) �������
��࠭�祭��� ᭨�� �����᫥����⥫쭮��� ������ �㬬.

�� $p=3$ ⥮६� 1 �������� ࠭�� � [3]. �� ������⥫��⢥ ⥮६� 1
�� �ᯮ��㥬 � ࠧ������ ���室 [3].

\comment
�� $n_k=q^k$, ��� $p\le q\in\Bbb N$, �� ⥮६� 1 ᫥���, �� �� (1) ����
�� ���� �㭪樨, �ਭ������饩 $L^\beta (-\pi,\pi)$ �� ��� $\beta\in
[1,+\infty )$. ��᫥���� १���� �����⥭ � ������� ��㣨� ��⮤�� � [1].
\endcomment
\vskip .2cm
{\bf ���६� 2.} {\it �ਢ�� $z=g_m(t)$ � �������᭮� ���᪮�� $z=x+yi$
���ᥪ����� � ��
������⮩ ���㯫�᪮���� $x\cos\alpha +y\sin\alpha \ge R_p$, ��� $\alpha
\in\Bbb R$ �
           $$
R_p=\max\left\{ {{\|g_m\|_p}\over {4p}},\quad {{\tau_p\|g_m\|_p^p}\over 
{(2p)^p\|g_m\|_{p-1}^{p-1}}\right\}}
	   $$
�� $\tau_3=1$ � $\tau_p=1/2$ ��� $p=5,7,9,\dots$.}
\vskip .2cm
�� $p=3$ ⥮६� 2 ����� १�����, ����祭�� � ⥮६� 1 ���� [3] �
� ᫥��⢨� � ���.

���室�� � ������⥫���� ⥮६ 1 � 2.
\vskip .2cm
{\bf �����.} {\it �� �� $m\in\Bbb N$ �ࠢ������ ᫥���騥 �⢥ত����:}

$1)$  $\int\limits_{-\pi}^\pi S_m^p(t)\, dt=0;$

$2)$  $\|S_m\|_p^p\le 2\rho _m\|S_m\|_{p-1}^{p-1};$

$3)$   $\|S_m\|_p\le 2\rho _m.$
\vskip .2cm
\underbar{������⥫��⢮.}  ��� ���  $S_m=\text{\, Re\,}g_m=(g_m+\overline
{g_m})/2$, � ����砥� $2^pS_m^p=(g_m+\overline{g_m})^p=g_m^p+\overline{g_m}^
p+Q_m$,
��� �� ��� $t\in\Bbb R$
	   $$
\multline
Q_m(t)=\sum\limits_{s=1}^{p-1}C_p^s\sum \Sb 1\le k_1\le m\\ \cdots  \cdots
\cdots \cdots \cdots \\ 1\le k_p
\le m \endSb
c_{k_1}c_{k_2}\dots c_{k_s}\overline{c_{k_{s+1}}}\text{ }
\overline{c_{k_{s+2}}}\dots \overline{c_{k_p}}\times 
$$ $$
\times \exp [i(n_{k_1}+n_{k_2}+\dots +n_{k_s}-n_{k_{s+1}}-n_{k_{s+2}}-
\dots -n_{k_p})t].
\endmultline
           $$

��᪮��� ᯥ��� �ਣ��������᪮�� �����童�� $g_m^p$ ������⥫��, ᯥ���
�ਣ��������᪮�� �����童�� $\overline{g_m}^p$ ����⥫��, � � ᨫ�
$p$--᢮��⢠ ��᫥����⥫쭮�� $\{n_k\}_{k=1}^\infty$ ᯥ���
�ਣ��������᪮�� �����童�� $Q_m$ ⠪�� �� ᮤ�ন� 0, � �ࠢ������
�⢥ত���� 1).
�����, �� �� $m\in\Bbb N$ � ��⮬ ��ࠢ���� $\rho_m\ge 0$ � $S_m+\rho_m
\ge 0$ ��室�� 
$$
|S_m|^p=S_m^{p-1}|S_m|=S_m^{p-1}|(S_m+\rho_m)-\rho_m|\le
$$ $$
S_m^{p-1}(S_m+2\rho_m)=S_m^p+2\rho_mS_m^{p-1},
$$
���⮬�
	    $$
\int\limits_{-\pi}^\pi |S_m(t)|^p\, dt\le
\int\limits_{-\pi}^\pi S_m^p(t)\, dt+
2\rho_m\int\limits_{-\pi}^\pi S_m^{p-1}(t)\, dt.
	    $$
�ਬ���� �⢥ত���� 1) �����, ����砥� �⢥ত���� 2).

�⢥ত���� 3) ᫥��� �� �⢥ত���� 2) � �祢������ ��ࠢ���⢠
$\|S_m\|_{p-1}\le \|S_m\|_p$. ����� ��������.

�� $p=3$ �⢥ত���� 1) � 2) �����, �� ������, ᮤ�ঠ��� � [3].

\vskip .2cm
\underbar{������⥫��⢮ ⥮६� 1.} ����� $0\le \rho <+\infty $. ��� ���
$\rho=\varliminf\limits_{m\to \infty}\rho_m$, � ��� ��� $\varepsilon >0$
������� ��ண� ��������� ��᫥����⥫쭮��� ����ࠫ��� �ᥫ
$\{j_m\}_{m=1}^\infty$ ⠪��, �� $\rho_{j_m}\le\rho +\varepsilon$  $\forall
m\in\Bbb N$. ���⮬� �� �⢥ত���� 3) ����� ᫥��� $\|S_{j_m}\|_p\le 2(\rho
+\varepsilon )$  $\forall m\in\Bbb N$. ��᪮��� $m\le ~j_m$ �� ���
$m\in\Bbb N$, � $S_m(t)$ ���� ���筠� �㬬� �� ���� �㭪樨 $S_{j_m}(t)$.
�� ⥮६� �.~���� ([2], c.120) �� ��� $m\in\Bbb N$ �ࠢ������ ��ࠢ���⢮
$\|S_m\|_p\le K_p\|S_{j_m}\|_p$, ��� ����ﭭ�� $K_p$ ������ ⮫쪮 �� $p$.
��� ��室�� $\|S_m\|_p\le 2(\rho +\varepsilon)K_p$ �� ��� $m\in\Bbb N$
� $\varepsilon >0$. ���室� � �।��� �� $\varepsilon \to +0$, ����砥�
$\|S_m\|_p\le 2\rho K_p$ �� ��� $m\in\Bbb N$, � ���� ���� ������ �㬬
�� (1) ࠢ����୮ ��࠭�祭�. �� ⮣�� ᮣ��᭮ �����, �ਢ�������� �
[2] �� �.98, �� (1) ���� �冷� ���� �㭪樨 �� $L^p(-\pi,\pi)$.
���६� ��������.

\vskip .2cm
\underbar{������⥫��⢮ ⥮६� 2.}  �������� 
$$
 g_{m\alpha}(t)=-e^{-\alpha i}
 g_m(t)=x_{m\alpha}(t)+iy_{m\alpha}(t),
$$ 
⠪ ��  $g_m(t)\equiv x_m(t)+iy_m(t)=
-g_{m0}(t)$; $x_m(t)\equiv S_m(t)$. �� ⥮६� �.~���� ([1], c.566)
����� $\|y_{m\alpha}\|_p\le V_p\|x_{m\alpha}\|_p$, ��� ����ﭭ�� $V_p$
������ ⮫쪮 �� $p$, ��祬 ᮣ��᭮ �業�� �. �⥩�� ([1], �.567)
$V_p\le 2p$. ���⮬� $\|g_{m\alpha}\|_p\le (2p+1)\|x_{m\alpha}\|_p$.
�����᭮ [3] �믮������ � ����� �筠� �業�� $\|g_{m\alpha}\|_p\le 2p
\|x_{m\alpha}\|_p$. ��� ��� $\|g_{m\alpha}\|_p=\|g_m\|_p$, � ��� ᫥���
$\|g_m\|_p\le 2p\|x_{m\alpha}\|_p$.
�ਬ���� �⢥ত���� 2) � 3) ����� � �ਣ��������᪮�� �����童��
$x_{m\alpha}(t)$, ��室�� 
$$
\max\limits_t [x_m(t)\cos\alpha +y_m(t)\sin\alpha ]=
-\min\limits_t x_{m\alpha}(t)\equiv \rho_{m\alpha}\ge
$$ $$
{1\over 2}\max\left\{\|x_{m\alpha}\|_p,\,\|x_{m\alpha}\|_p^p/\|x_{m\alpha}\|_
{p-1}^{p-1}\right\}.
$$ 
��᪮��� 
$$
\|x_{m\alpha}\|_p\ge\|g_m\|_p/(2p)
$$
 � 
$$
\|x_{m\alpha}
\|_{p-1}=\|(g_{m\alpha}+\overline{g_{m\alpha}})/2\|_{p-1}\le\|g_{m\alpha}\|_
{p-1}=\|g_m\|_{p-1},
$$
 ��祬 �� $p=3$ ᮣ��᭮ ��⮣����쭮�� $g_{m\alpha}$
� $\overline{g_{m\alpha}}$ � $L^2(-\pi,\pi)$ �ࠢ������ ࠢ���⢮
$\|x_{m\alpha}\|_2^2=\|g_m\|_2^2/2$, � $\rho_{m\alpha}\ge R_p$.
���६� ��������.
\vskip 0.5 cm
\centerline{\bf ���᮪ �ᯮ�짮������ ���p���p�}
\vskip 0.3 cm
\noindent
\hangindent 0.45 cm
1. {\it ��� �.�.} �ਣ��������᪨� ���. �., 1961. 936 �.

\noindent
\hangindent 0.45 cm
2. {\it ������ �.} ��� ���� � ᮢ६����� ���������. �.2. �., 1985.
\newline 400 �.

\noindent
\hangindent 0.45 cm
3. {\it ���� �.�.} � �ਣ��������᪨� �鸞� � ������⥫�묨 ���묨
�㬬��� // ��. �����. 1997. �. 218. �. 444 --- 447.
\end
E25IA*.FRM*.MAC<�A*.FRM��������������������
