%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
\magnification=\magstep2
%\pagewidth{17 true cm}
%\pageheight{26 true cm}
%\vcorrection{-1.3 true cm}
%\hcorrection{-.5 true cm}
\TagsOnRight
\pretitle{\centerline{\bf Научные труды ИвГУ. Математика. Вып.~3}
           \centerline{\bf Иваново,~2000}
\vskip -.25 cm
\centerline{
-------------------------------------------------------------------------------------------- }}
\vskip 1 cm
УДК 517           % Ваш УДК}
%\leftheadtext{\underline{\phantom{====================}
%И.~В.~Томина
%\phantom{=====================}}}                        % Сокpащенный
%                                          % список авторов для колонтитула

%\rightheadtext{\underline{\phantom{==========}
%О\ продолжениях\ функций\ двух\ переменных          % Должно помещаться
                                                    %  на одной строке
%\phantom{=====}}}
\centerline{\bf И.~В.~Томина} %  Авторы  статьи
\vskip.2 cm

\topmatter
\title
\centerline{\bf О симметричном и антисимметричном}
\centerline{\bf продолжениях функций двух переменных}
\endtitle
\abstract \nofrills
                        % Пропуск строки (красная строка)

\vskip.2 cm

Приводятся необходимые и достаточные условия, обеспечивающие сохранение
гладкости функций двух переменных при симметричном или антисимметричном
продолжении через прямолинейную часть границы плоской области.
\endabstract
\endtopmatter
\document
\pageno=1
\vskip  0.5 cm
                         % Пропуск строки (красная строка)

Для функции $f(x,y)$, определенной на замкнутой области $A\subset~
\Bbb R^2$ и имеющей конечную частную производную ${{\partial f}\over {\partial x}}
(x,y)$ в каждой точке $(x,y)\in A\setminus\partial A$, значение ${{\partial f}\over 
{\partial x}}$ в точке $(x_0,y_0)\in\partial A$ определим следующим образом
(при условии существования и конечности соответствующего приведенного ниже
предела):

1) если найдется $\delta >0$ такая, что $\{(x_0+h,y_0)\mid 0\le h<\delta \}
\subset A$ или $\{(x_0+h,y_0)\mid -\delta <h\le 0\}\subset A$, то
                $$
{{\partial f}\over {\partial x}} (x_0,y_0)=
\lim\limits_{ \Sb h\to 0\\ (x_0+h,y_0)\in A \endSb} 
{{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}\over h};
		$$

2) если для каждого $\delta >0$  $\{(x_0+h,y_0)\mid 0\le h<\delta\}
\not\subset A$ и $\{(x_0+h,y_0)\mid -\delta <h\le 0\}\not\subset A$, то
                $$
{{\partial f}\over {\partial x}} (x_0,y_0)=
\lim\limits_{(A\setminus \partial A)\ni (x,y)\to (x_0,y_0)}
{{\partial f}\over {\partial x}} (x,y).
		$$
Аналогично определяются значения в точке $(x_0,y_0)\in \partial A$ функции
${{\partial f}\over {\partial y}}$, а также частных производных второго и более
высоких порядков от $f(x,y)$.

Через $C(A)$  или $C^{(0)}(A)$ обозначаем множество всех непрерывных на $A$
числовых функций. При $k\in \Bbb N$  $C^{(k)}(A)$ есть множество всех
$k$ раз непрерывно дифференцируемых на $A$ функций, то есть функций $f(x,y)
\in C(A)$, для которых все частные производные до порядка $k$ включительно
принадлежат классу $C(A)$.

Далее $A$ --- ограниченная замкнутая область в $\Bbb R^2$, граница которой
содержит отрезок $l_0$ некоторой прямой $l$, причем $l_0=A\cap l$
и $A$ лежит целиком по одну сторону от этой прямой. Через $A_l$ обозначаем
замкнутую область, получающуюся присоединением к $A$ замкнутой области,
симметричной $A$  относительно прямой $l$. Пусть $f_l^{[0]}$ и $f_l^{[1]}$ ---
соответственно симметричное и антисимметричное
продолжения функции $f(M)\equiv f(x,y)$ с $A$ на $A_l$, то есть при $i\in
\{0,1\}$  $f_l^{[i]}(M)=f(M)$ на $A$ и $f_l^{[i]}(M)=(-1)^if(M_l)$ на
$A_l\setminus A$, где $M_l$ --- точка, симметричная точке $M$ относительно
прямой $l$. Через $\nu$ обозначаем внутреннюю (по отношению к $A$) нормаль к $l$;
${{\partial ^0f}\over {\partial \nu ^0}}\equiv f$.
При $k\in\Bbb N$ будем писать $f\in Q_k(A)$, если существуют окрестность $V$
отрезка $l_0$ (являющегося замкнутым множеством) и $k$ раз непрерывно
дифференцируемая в $V$ функция $g(x,y)$ такие, что $g(x,y)=f(x,y)$ для всех
$(x,y)\in A\cap V$. В частности, если $f\in C^{(k)}(A)$ и граница $\partial A$
состоит из одного или нескольких непересекающихся гладких или кусочно-гладких
контуров класса $\Cal S^k$ ([2], с.595), то по теореме Уитни--Хестенса о
продолжении функций [2] имеем $f\in Q_k(A)$ при $V=\Bbb R^2$.
\vskip 0.1cm
{\bf Теорема 1.} {\it Пусть $k$ --- целое $\ge 0$, $i\in \{0,1\}$ и, кроме
того, при $k\ge 1$  $f\in Q_k(A)$. Следующие утверждения равносильны:

$1)$ $f_l^{[i]}\in C^{(k)}(A_l)$;

$2)$  $f\in C^{(k)}(A)$ и $\left.{{\partial ^jf}\over {\partial \nu ^j}}\right|_{l_0}
=0$ при всех $j=\overline{0,k}$ таких, что $i+j$ --- нечетное число.}

\vskip 0.2cm
\underbar{Доказательство.} Применяем метод математической индукции. При
$k=0$ утверждение теоремы очевидно. Предположим, что теорема справедлива для
некоторого целого неотрицательного $k$ и докажем, что она выполняется для
$k+1$. Введем в $\Bbb R^2$ прямоугольную декартову систему координат $Oxy$,
направив ось $Ox$ по прямой $l$, а ось $Oy$ --- перпендикулярно к ней в
направлении области $A$. Тогда
${{\partial ^0f}\over {\partial \nu ^0}}\equiv f$, ${{\partial ^jf}\over 
{\partial \nu ^j}}\equiv {{\partial ^jf}\over {\partial y^j}}$ при $j\in\Bbb N$.
Утверждение  $f_l^{[i]}\in C^{(k+1)}(A_l)$ равносильно тому, что
${{\partial f_l^{[i]}}\over {\partial x}}\in C^{(k)}(A_l)$ и
${{\partial f_l^{[i]}}\over {\partial y}}\in C^{(k)}(A_l)$, то есть
$\left({{\partial f}\over {\partial x}}\right)_l^{[i]}\in C^{(k)}(A_l)$,
$\left({{\partial f}\over {\partial y}}\right)_l^{[1-i]}
\in C^{(k)}(A_l)$ и при $i=1$  $f|_{l_0}=0$, что в силу индукционного
предположения равносильно следующему утверждению: ${{\partial f}\over {\partial
x}}\in C^{(k)}(A)$,  $\left. {{\partial ^{j+1}f}\over {\partial x\partial y^j}}\right|
_{l_0}=0$ при всех $j=\overline{0,k}$ таких, что $i+j$ --- нечетно;
${{\partial f}\over {\partial y}}\in C^{(k)}(A)$,  $\left. 
{{\partial ^{j+1}f}\over {\partial y^{j+1}}}\right|_{l_0}=0$ при всех $j=\overline{0,k}$ таких, что
$i+j$ --- четно; при $i=1$  $f|_{l_0}=0$. Но это утверждение, очевидно,
равносильно утверждению $2)$ теоремы при замене в последнем $k$ на $k+1$.


Далее, если $0<\gamma\le 1$, то через $C^\gamma (A)$ будем обозначать класс
Гельдера, состоящий из всех функций $f(x,y)$, определенных и непрерывных на
$A$ и удовлетворяющих условию $\omega_A(f;\delta)=O(\delta ^\gamma)$ при
$\delta \to +0$, где
	      $$
\omega_A(f;\delta)=\sup\limits_{ \Sb M',M''\in A\\ \rho(M',M'')\le\delta
\endSb } |f(M'')-f(M')|
	      $$
--- модуль непрерывности функции $f(x,y)$ на $A$; $\rho(M',M'')$ ---
евклидово расстояние между точками $M'$ и $M''$.

Для любого $\gamma =k+\mu$, где $k\in \Bbb N$ и $0<\mu\le1$, класс $C^
\gamma (A)$ по определению состоит из всех функций $f(x,y)$, определенных
и непрерывных на $A$ вместе со всеми частными производными до порядка $k$
включительно, при условии, что все частные производные порядка $k$ от
$f(x,y)$ принадлежат классу $C^\mu (A)$. Имеют место следующие строгие
вложения: $C^{\gamma_1}(A)\subset C^{\gamma_2}(A)$ при $\gamma_1>\gamma_2>0$,
$C^\gamma(A)\subset C^{(k)}(A)\subset C^k(A)$ при $\gamma >k$.

Пусть функция $f(M)$ непрерывна на $A$, $i\in \{0,1\}$.
Кроме того, при $i=1$ предполагаем, что $A_l$ является выпуклым множеством и
$f|_{l_0}=0$. Очевидно, функция
$f_l^{[i]}(M)$ непрерывна на $A_l$. Проверим, что при всех $\delta >0$
	     $$
\omega_A(f;\delta)\le\omega_{A_l}(f_l^{[i]};\delta)\le (1+i)\omega_A(f;\delta).
\eqno{(1)}
	     $$
Левая часть этого двойного неравенства очевидна, так как $A\subset A_l$ и
$f_l^{[i]}|_A=f$.

Докажем правую часть (1). Пусть $M'$, $M''\in A_l$ и $\rho(M',M'')\le\delta$.
Тогда если $M'$, $M''\in A$, то $f_l^{[i]}(M')=f(M')$, $f_l^{[i]}(M'')=
f(M'')$ и
	   $$
|f_l^{[i]}(M'')-f_l^{[i]}(M')|=|f(M'')-f(M')|\le \omega_A(f;\delta).
\eqno{(2)}
	   $$
Если $M'$, $M''\in A_l\setminus A$, то $f_l^{[i]}(M')=(-1)^if(M_l')$,
$f_l^{[i]}(M'')=(-1)^if(M_l'')$, $\rho(M_l',M_l'')=\rho(M',M'')\le\delta$ и
	   $$
|f_l^{[i]}(M'')-f_l^{[i]}(M')|=|f(M_l'')-f(M_l')|\le \omega_A(f;\delta).
\eqno{(3)}
	   $$
Если же одна из точек $M'$, $M''$ принадлежит множеству $A$, а другая ---
множеству $A_l\setminus A$, например, $M'\in A$, $M''\in A_l\setminus A$, то,
обозначая через $M_0$ точку пересечения прямой $l$ с прямой, cоединяющей
точки $M'$ и $M''$, получаем $f_l^{[i]}(M')=f(M')$, $f_l^{[i]}(M'')=(-1)^i
f(M_l'')$, $\rho(M',M_l'')\le \rho(M',M_0)+\rho(M_0,M_l'')=\rho(M',M'')\le
\delta$, откуда при $i=0$ находим
	   $$
|f_l^{[0]}(M'')-f_l^{[0]}(M')|=|f(M_l'')-f(M')|\le \omega_A(f;\delta),
\eqno{(4)}
	   $$
а при $i=1$ с учетом равенства $f(M_0)=0$ ($M_0\in A$ в силу выпуклости
$A_l$) получаем
	   $$
|f_l^{[1]}(M'')-f_l^{[1]}(M')|\le |f(M_l'')-f(M_0)|+|f(M_l')-f(M_0)|\le
2\omega_A(f;\delta).
\eqno{(5)}
	   $$

Из (2)---(5) вытекает правая часть (1).
\vskip 0.1cm
{\bf Теорема 2.} {\it Пусть $k$ --- целое$\ge 0$, $k<\gamma \le k+1$,
$i\in\{0,1\}$, при $i^2+k^2\ne 0$ множество $A_l$ является выпуклым, а при
$k\ge 1$  $f\in Q_k(A)$. Тогда следующие утверждения равносильны:

$1)$  $f_l^{[i]}\in C^\gamma (A_l)$;

$2)$  $f\in C^{(\gamma)}(A)$ и $\left.{{\partial ^jf}\over {\partial \nu ^j}}
\right|_{l_0}=0$ при всех $j=\overline{0,k}$ таких, что $i+j$ --- нечетное
число.}
\vskip 0.2cm
\underbar{Доказательство.} Воспользуемся методом математической индукции. В
случае $k=0$ теорема вытекает из (1). Допустим, что теорема справедлива для
некоторого целого неотрицательного $k$ и докажем, что она выполняется для
$k+1$ (в предположении выпуклости $A_l$) . Введем в $\Bbb R^2$ ту же
прямоугольную декартову систему координат $Oxy$, что и при доказательстве
теоремы 1. Пусть теперь $\gamma =k+1+\mu$, где $0<\mu \le 1$. Из определения
классов Гельдера следует, что $f_l^{[i]}\in C^\gamma (A_l)$ в том и только том
случае, когда ${{\partial f_l^{[i]}}\over {\partial x}}\in C^{\gamma -1}(A_l)$ и
${{\partial f_l^{[i]}}\over {\partial y}}\in C^{\gamma -1}(A_l)$. Так как в
рассматриваемом нами случае ${{\partial f_l^{[i]}}\over {\partial x}}=
\left({{\partial f}\over {\partial x}}\right)_l^{[i]}$,
${{\partial f_l^{[i]}}\over {\partial y}}=
\left({{\partial f}\over {\partial y}}\right)_l^{[1-i]}$ и $k<\gamma -1\le k+1$,
то с учетом индукционного предположения получаем, что $f_l^{[i]}\in C^\gamma
(A_l)$ тогда и только тогда, когда выполняются следующие три условия:
a) ${{\partial f}\over {\partial x}}\in C^{\gamma -1}(A_l)$ и
${{\partial f}\over {\partial y}}\in C^{\gamma -1}(A_l)$;
b) $\left.{{\partial ^jf}\over {\partial y ^j}}
\right|_{l_0}=0$ для всех $j=\overline{0,k+1}$ таких, что $i+j$ --- нечетное
число;
c) $\left.{{\partial ^{j+1}f}\over {\partial x\partial y ^j}}
\right|_{l_0}=0$ для всех $j=\overline{0,k+1}$ таких, что $i+j$ --- нечетное
число. Условие a) равносильно условию $f\in C^\gamma (A)$. Условие c)
является следствием условия b). Поэтому утверждение $f_l^{[i]}\in C^\gamma
(A_l)$ при $k+1<\gamma\le k+2$ равносильно тому, что $f\in C^{\gamma} (A)$ и
$\left.{{\partial ^jf}\over {\partial \nu ^j}}
\right|_{l_0}=0$ при всех $j=\overline{0,k+1}$, для которых $i+j$ нечетно.
Теорема доказана.
\vskip 0.2cm
В случае многоугольных областей часть результатов настоящей \break
статьи
рассматривалась ранее в работе [1]
и применялась в ней к исследованию собственных чисел и собственных
функций краевых задач для оператора Лапласа на некоторых плоских
многоугольниках, а также к вычислению регуляризованных следов
дискретных операторов, связанных с этими краевыми задачами.
\vskip 0.5 cm
\centerline{\bf Список использованной литеpатуpы}
\vskip 0.3 cm

\noindent
\hangindent 0.45 cm
1. {\it Томина И.В.} Регуляризованные следы степени оператора Лапласа с
потенциалом на треугольниках. Канд. дисс. Владимир. ВГПУ, 1995. 97с.


\noindent
\hangindent 0.45 cm
2. {\it Фихтенгольц Г.М.} Курс дифференциального и интегрального исчисления.
Т.1. М., 1962. 607с.

\end
E25IA*.FRM*.MAC<БA*.FRM
