%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
\magnification=\magstep2
%\pagewidth{17 true cm}
%\vcorrection{-.5 true cm}
%\hcorrection{-.5 true cm}
\TagOnRight
\pretitle\centerline{\underbar{\bf Научные труды ИвГУ. Математика. Вып. 3}}
\centerline{\bf Иваново, 2000}
\vskip .4cm

УДК 514.174.6
\vskip .2cm
%\leftheadtext{Виноградова}
%\rightheadtext{Жёсткость L-разбиения}

\author
\centerline{\bf И.~Ю.~Виноградова}
\endauthor
\title 

\vskip .2cm
\centerline{\bf ЖЁСТКОСТЬ L-РАЗБИЕНИЯ }
\centerline{\bf РЕШЁТКИ  КОКСЕТЕРА-ТОДДА}

\endtitle
\abstract \nofrills

\vskip .5cm
\hangindent=0.8cm \hangafter=-5
L-разбиение решётки называется жёстким [1], если оно не сохраняется
ни при каких, кроме подобия, достаточно малых деформациях решётки.
Исследовано L-разбиение известной [4,5,6] 12-мерной решётки 
Коксетера-Тодда $K_{12}$ и доказано, что оно является жёстким.

%Библиография из 6 названий.
\endabstract
\endtopmatter
\vskip .4cm
В отличие от [5,6], решётку Коксетера-Тодда $K_{12}$, на которой 
достигается
плотнейшая из известных решётчатая упаковка шаров в пространстве $E^{12},$
рассмотрим как центрировку решётки, заданной формой
$$f_{12}=\sum_{i=1}^{12}(x^i)^2+\sum_{j=1}^6x^jx^{j+6}$$
и центрированной с минимальной базой [3], образованной шестью векторами
$$\bar\nu_j={1\over2}\bar n_j,\quad j=1,...,6,$$
где координаты векторов $\bar n_j$ суть строки таблицы 1 с соответствующими
номерами.
\vskip 0.6cm
\centerline{\bf Таблица 1}
\vskip 0.3cm
\centerline{1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1}
\centerline{0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0}
\centerline{0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0}
\centerline{0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1}
\centerline{0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1}
\centerline{0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1}
\vskip 0.4cm
На основе
 минимальной базы  составляется список из 63
центрирующих векторов, соответствующих точкам центрировки, попавшим
внутрь основного параллелепипеда, построенного на репере $E$
с метрической формой $f_{12}$. По
этому списку и форме $f_{12}$ находим, что минимум центрировки равен 1 и 
достигается  на 378 векторах, из которых 18 целых и 360 дробных. Далее
находим, что второй минимум  имеет норму $3\over 2$ и достигается на 2016
векторах, третий минимум равен 2 и достигаеся на  целых и дробных векторах
в количестве 10206(см. также [4]).

Для исследования L-разбиения полученной центрировки найдём \break
прежде всего его первичные элементы [2].

{\bf Предложение 1.} {\it Первичные элементы L-разбиения решётки $K_{12}$
состоят из 378 рёбер длиной 1, 2016 рёбер длиной $\sqrt {3\over 2}$ 
и 1701  шестимерного ортаэдра.}

$\triangleright$ Множество минимальных векторов центрировки определяет
рёбра $L$-разбиения длиной 1, 2016 векторов 
второго минимума также дают рёбра. 
Середины отрезков, соответсвующих векторам третьего минимума, как нетрудно
проверить, являются центрами 6-мерных ортаэдров --- правильных многогранников,
аналогичных октаэдру трёхмерного пространства. Таких ортаэдров всего
$10206:6=1701$. Таким образом, получено всего
$$378+2016+1701=4095=2^{12}-1$$
первичных элементов $L$-разбиения решётки $K_{12}$, то есть найден их полный 
список.
$\bullet$

{\bf Предложение 2.} {\it L-разбиение решётки Коксетера-Тодда $K_{12}$
является жёстким.}

$\triangleright$ Рассмотрим 6-ортаэдры с центрами в точках вида
${1\over 2}(1^2,0^{10})$. Таких ортаэдров всего $C^2_{12}-6=54$, каждый
из них даёт по 5 условий $L$--связи, то есть условий того, что
при их выполнении
этот ортаэдр сохранится как $L$-тело при достаточно малых деформациях
решётки. Названные выше условия связи представляют собой систему
линейных уравнений относительно коэффициентов квадратичной формы.
Получение решения этой системы не представляет
больших затруднений, несмотря на то, что ранг её равен 67. В качестве
решения получаются, с точностью до общего положительного
множителя, коэффициенты формы $f_{12}$, что и доказывает жёсткость
$L$-разбиения решётки. 
$\bullet$

Что касается $L$-многогранников решётки $K_{12}$, то их представителем
является, например, $L$-многогранник $\Pi_0$ с центром описанной сферы в точке
${1\over 6}(0,1,1,1,1,2,0,1,1,1,1,2)$. 
Многогранник имеет 81 вершину, из каждой его вершины  исходят 36 рёбер длиной 1,
32 ребра длиной $\sqrt {3\over 2}$ и 12 диагоналей, принадлежащих
6-ортаэдрам. 
 Рассмотрение 6-ортаэдров
с центрами   в точках 
$${1\over 4}(0,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,1),\enskip
{1\over 4}(1,1,1,1,0,1,0,1,0,1,1,1),$$
$${1\over 4}(0,1,0,0,0,1,0,1,1,1,0,1)$$ 
показывает, что все 
вершины одного соединены L-рёбрами со всеми вершинами двух
других и, следовательно, их  выпуклая оболочка является элементом L-разбиения,
а именно гипергранью, расположенной на 11-мерной плоскости
$$x^1+x^2-x^5-y^6+x^7+x^8-x^{11}-x^{12}=0.$$
Заметим, что построенная на этой гиперграни 
11-мерная решётка есть решётка $K_{11}$, на которой
достигается наибольшая из известных плотность решётчатых
упаковок в 11-мерном пространстве.
\vskip 0.3cm     
\centerline{\bf Список использованной литературы}
\vskip 0.2cm
1. {\it Барановский Е.~П.} Жёсткость L-разбиений решёток//XII 
Международная конференция "Проблемы теоретической кибернетики": Тезисы.
Москва, 1999. С.~18.

2. {\it Барановский Е.~П.} Разбиение евклидовых пространств на 
$L$-многогранники
некоторых совершенных решёток // Тр. МИАН\break СССР. 
1991. Т. 196. C. 27-46.


3. {\it Захарова (Новикова) Н.~В.} Центрировки 8-мерных решёток,
сохраняющие репер последовательных минимумов // Тр. МИАН\break СССР.
1980. Т. 152. С. 97-123.

4. {\it Конвей Дж., Слоэн Н.} Упаковки шаров, решётки и группы. М.,
 1990.

5. {\it Conway J.~H.,Sloane N.~J.~A.} The Coxeter-Todd lattice,
the \break Mitchell group, and related sphere packings //
Math. Pros. Cambridge Phil. Soc. 1983. V. 93. P. 421-440.

6. {\it Coxeter H.~S.~M., Todd J.~A.} An extreme duodenary form // Canad.
J. Math. 1953. V. 5. P. 384-392.

\end
\end