%\input amsppt.sty
%\documentstyle{amsppt}
\magnification=\magstep2
%\pagewidth{17 true cm}
%\vcorrection{-.5 true cm}
%\hcorrection{-.5 true cm}
\TagsOnRight
\pretitle{ \centerline{\bf \underbar
{ Научные труды ИвГУ. Математика. 2000. Выпуск 3}}
\vskip 1 cm
УДК 512.54
\vskip .3 cm
%\leftheadtext{А.~В.~Якушев}
%\rightheadtext{расщепляющиеся расширения групп}
\topmatter
\author 

\centerline{\bf А.~В.~Якушев}
\endauthor
\title

\centerline{\bf Аппроксимируемость конечными p-группами}
\centerline{\bf расщепляющихся расширений групп}
\endtitle
\abstract \nofrills

\vskip .3 cm
Получено достаточное условие аппроксимируемости конечными
$p$-группа\-ми расщепляющихся расширений групп. С его помощью доказано, что
группа $P(n,\varepsilon) = \langle x, y;\ y^{-2}xy^{2} =
x^{\varepsilon}y^{-1}x^{n}y \rangle$, где $n\in \Bbb Z$ и
$\varepsilon =\pm 1$, аппроксимируема конечными $p$-группами тогда и только
тогда, когда  числа $n+\varepsilon-1$ и $n-2$  делятся на $p$.
\endabstract
\endtopmatter
\document
\vskip .5 cm

\centerline{1. Введение.}
\bigskip
Напомним, что группа $G$ называется расщепляющимся расширением своей
нормальной подгруппы $A$ при помощи подгруппы $B$, если
$G = BA$ и $B\cap A = 1$. В этом случае сопряжение элементом
$b\in B$ определяет автоморфизм группы $A$, и сопоставляя элементу $b$ этот
автоморфизм, получаем гомоморфизм $\theta$ группы $B$ в группу
$\text{Aut}\,A$ всех автоморфизмов группы $A$. $\theta$ называется
гомоморфизмом, сопровождающим рассматриваемое расширение, и хорошо известно,
что группа $G$ однозначно определяется группами $A$ и $B$ и отображением
$\theta$.

А.~И.~Мальцев [1] доказал, что расщепляющееся расширение $G$ конечно
порожденной финитно аппроксимируемой группы $A$ при помощи финитно
аппроксимируемой группы $B$ является финитно аппроксимируемой группой.

В данной работе рассматривается аппроксимируемость группы $G$ конечными
$p$-группами. Для формулировки результатов договоримся о следующих
обозначениях.
\par
Пусть $A$ --- некоторая группа и $\varPhi$ --- подгруппа группы автоморфизмов
группы $A$. Тогда для произвольной $\varPhi$-допустимой нормальной подгруппы
$N$ группы $A$ и для любого $\varphi\in \varPhi$ отображение
$\varphi_{{}_N}:A/N\to A/N$, определяемое по правилу
$(aN)\varphi_{{}_N} = (a\varphi)N \ (a\in A)$,
является автоморфизмом фактор-группы $A/N$, а отображение
$\rho_{{}_N}:\varphi\mapsto \varphi_{{}_N}$ определяет гомоморфизм группы
$\varPhi$ в группу автоморфизмов $\text{Aut}\,(A/N)$ группы $A/N$.
Образ группы
$\varPhi$ относительно $\rho_{{}_N}$ будем обозначать символом
$\varPhi_{{}_N}$.
Если еще $p$ --- некоторое простое число, то
$\Cal N_p(A,\varPhi)$ будет обозначать семейство всех
таких нормальных $\varPhi$-допустимых подгрупп $N$ конечного $p$-индекса
группы $A$, что группа $\varPhi_{{}_N}$ является $p$-группой.

Следующее утверждение принадлежит Д.~И.~Молдаванскому (не опубликовано):

{\bf Теорема 1} Пусть группа $G$ является расщепляющимся
расширением груп\-пы $A$ при помощи группы $B$ с сопровождающим гомоморфизмом
$\theta$ и пусть $\varPhi = B \theta$. Группа $G$ аппроксимируется конечными
$p$-группами тогда и только тогда, когда группа $B$ аппроксимируется
конечными $p$-группами и пересечение всех подгрупп семейства
$\Cal N_p(A,\varPhi)$ совпадает с единичной подгруппой группы $A$.


В самом деле, необходимость очевидна, так как пересечение с подгруппой $A$
любой нормальной подгруппы конечного $p$-индекса группы $G$
входит в семейство $\Cal N_p(A,\varPhi)$.

Пусть $g\in G$ и $g\neq 1$. Если $g\notin A$, то  в группе $G/A$
найдется нормальная подгруппа $N/A$ конечного $p$-индекса такая, что
$gA\notin N/A$. Тогда элемент $g$ не входит в нормальную подгруппу $N$
конечного $p$-индекса группы $G$.

Пусть теперь $g\in A$ и пусть подгруппа $N$
из семейства $\Cal N_p(A,\varPhi)$ не содержит элемента $g$.
Тогда $M =\text{Ker}\, (\theta \rho_{{}_N})$ является нормальной
подгруппой конечного $p$-индекса группы $B$ и взаимный коммутант $[M,A]$
подгрупп $M$ и $A$ содержится в подгруппе $N$. Отсюда следует, что
$MN$ нормальная подгруппа группы $G$, имеющая, к тому же, конечный $p$-индекс
в группе $G$. Легко видеть также, что $MN\cap A = N$, и
потому $g\notin MN$.
Таким образом, группа $G$ аппроксимируется конечными $p$-группами.
\medskip

Непосредственное применение в конкретных ситуациях критерия, доставляемого
теоремой 1, может быть связано со значительными трудностями технического
характера, и основная цель данной работы --- указать следующее простое
достаточное условие аппроксимируемости расщепляющегося расширения конечными
$p$-группами:

{\bf Теорема 2} Пусть группа $G$ является расщепляющимся
расширением конечно порожденной группы $A$ при помощи группы $B$ с
сопровождающим гомоморфизмом $\theta$ и пусть $\varPhi = B \theta$. Если
группы $A$ и $B$ аппроксимируемы конечными $p$-группами и подгруппа $A^pA'$
группы $A$ принадлежит семейству $\Cal N_p(A,\varPhi)$ (т. е.
$\varPhi_{A^pA'}$ является $p$-группой), то группа $G$ аппроксимируется
конечными $p$-группами.


Этот результат применяется к описанию аппроксимируемых конечными $p$-группами
некоторых групп с одним определяющим соотношением. Речь идет о группах вида

$$
P(n,\varepsilon) = \langle x, y;\ y^{-2}xy^{2} =
x^{\varepsilon}y^{-1}x^{n}y \rangle,
$$
\noindent где $n\in \Bbb Z$ и $\varepsilon =\pm 1$ . Этот класс групп был
рассмотрен в работе [2]. Там отмечено, в частности, что группа $G$ с одним
определяющим соотношением тогда и только тогда обладает единственной
нормальной подгруппой $N$,
фактор-группа по которой бесконечная циклическая, являющейся, к тому же,
свободной группой ранга 2, когда группа $G$ изоморфна некоторой группе
$P(n,\varepsilon)$. Поэтому из теоремы А.~И.~Мальцева, приведенной выше, следует,
что каждая группа $P(n,\varepsilon)$ финитно аппроксимируема.
Здесь будет доказана

{\bf Теорема 3} Группа $P(n,\varepsilon)$ аппроксимируема
конечными $p$-груп\-па\-ми тогда и только тогда, когда  числа
$n+\varepsilon-1$ и $n-2$  делятся на $p$.

Более подробно, если группа $P(n,1)$ аппроксимируема
конечными $p$-груп\-па\-ми, то $p=2$, и аппроксимруемость ее конечными 2-группами
имеет место тогда и только тогда, когда число $n$ является четным. Группа
$P(n,-1)$ аппроксимируема конечными $p$-группами тогда и только тогда, когда
число $n-2$ делится на $p$.

\bigskip
\bigskip
\centerline{\bf 2. Доказательство теоремы 2.}
\bigskip

Следующее утверждение может быть доказано непосредственной индукцией
(см. также следствие к лемме 3.7 из [3]):

{\bf Лемма 2.1} Если автоморфизм $\varphi$ группы $G$ действует
тождественно в фак\-тор-груп\-пе $G/G'$ группы $G$ по ее коммутанту, то $\varphi$
действует тождественно и в каждом факторе $\gamma_n(G)/\gamma_{n+1}(G)$
нижнего центрального ряда группы $G$.


{\bf Лемма 2.2} Автоморфизм $\varphi$ конечной $p$-груп\-пы $G$
является $p$-эле\-ментом, если $p$-элементом является индуцированный им
автоморфизм $\varphi_{{}_{G'}}$ фактор-груп\-пы $G/G'$.

В самом деле, очевидные индуктивные соображения приводят
к су\-ще\-с\-т\-во\-ванию целого числа $n\geq 0$ такого, что для любого
элемента $g\in G$ имеет место сравнение
$g\varphi^{p^n} \equiv g\pmod {\gamma_c(G)}$,
где $c$ --- класс нильпотентности группы $G$. Иначе говоря, для некоторого
$x\in \gamma_c(G)$ имеет место равенство $g\varphi^{p^n} = gx$, и так как
ввиду леммы 2.1 автоморфизм $\varphi^{p^n}$ действует тождественно на
подгруппе $\gamma_c(G)$, то для любого целого числа $k \geq 1$ имеем
$g(\varphi^{p^n})^k = gx^k$. Поэтому, если порядок подгруппы $\gamma_c(G)$
равен $p^r$, то $\varphi^{p^{n+r}} = 1$.

{\bf Лемма 2.3} Автоморфизм $\varphi$ конечной абелевой
$p$-группы $G$ является $p$-элементом, если $p$-элементом является
индуцированный им автоморфизм $\varphi_{{}_{G^p}}$ фактор-группы $G/G^p$.

Пусть, в самом деле, группа $G$ является прямым произведением $m$
(неединичных) циклических групп с порождающими $a_1, a_2,\dots ,a_m$ и пусть
для некоторых целых чисел $\beta_{ij}$
$$
a_i\varphi = a^{\beta_{i1}}_1a^{\beta_{i2}}_2\cdots a^{\beta_{im}}_m \quad
(i = 1,\dots ,m).
$$
Фактор-группа $G/G^p$ является линейным пространством над полем
$\Bbb Z_p$ с базисом $a_1,\dots , a_m$, а индуцированный автоморфизм
$\varphi_{{}_{G^p}}$ является оператором этого пространства,
матрица которого в базисе $a_1,\dots , a_m$ совпадает с $B = (\beta_{ij})$.
Поэтому из условия леммы вытекает, что найдется такое целое число
$n\geq 1$, что $B^{p^n} \equiv E\pmod p$ (где $E$ --- единичная матрица).
Легко видеть, что тогда для любого
целого числа $s \geq 1$ имеет место сравнение
$B^{p^{n+s-1}} \equiv E\mod p^s$.

Пусть, с другой стороны, $p^r$ --- экспонента группы $G$ и пусть $A$ ---
свободная группа ранга $m$ многообразия абелевых групп экспоненты $p^r$ с
множеством свободных порождающих $x_1,x_2,\dots ,x_m$. Пусть $\psi$ --- такой
эндоморфизм группы $A$, что
$$x_i\psi =
x^{\beta_{i1}}_1x^{\beta{i2}}_2\cdots x^{\beta{im}}_m (i = 1,\dots ,m).$$
Из предыдущего следует, что $\psi$ является автоморфизмом группы $A$, причем
$\psi^{p^{n+r-1}} = 1$.
Если теперь $\rho$ --- гомоморфизм группы $A$ в группу $G$,
переводящий элементы $x_1, x_2,\dots , x_m$ в элементы $a_1, a_2,\dots, a_m$
соответст\-вен\-но, то $\psi\rho = \rho\varphi$ и потому для
любого $k \geq 1$ $\psi^k\rho = \rho\varphi^k$. Так как отображение
$\rho$ сюрьективно, то  $\varphi^{p^{n+r-1}} = 1$.
\smallskip

Из лемм 2.2 и 2.3, очевидно, следует

{\bf Лемма 2.4} Автоморфизм $\varphi$ конечной $p$-группы $G$
является $p$-эле\-ментом, если $p$-элементом является индуцированный им
автоморфизм $\varphi_{{}_{G^pG'}}$ фактор-группы $G/G^pG'$.


Перейдем теперь непосредственно к доказательству теоремы 2. \break
Ввиду теоремы 1 нам достаточно показать, что если $A$ --- конечно порожденная
группа, аппроксимируемая конечными $p$-группами, и $\varPhi$ --- некоторая
подгруппа группы автоморфизмов группы $A$, то пересечение всех подгрупп
семейства $\Cal N_p(A,\varPhi)$ совпадает с единичной подгруппой группы $A$
при условии, что это семейство содержит подгруппу $A^pA'$.

Пусть $a$ --- неединичный элемент группы $A$ и пусть нормальная подгруппа
$N$ конечного $p$-индекса группы $A$ не содержащит элемент $a$.
Так как фактор-группа $A/N$ является нильпотентной и удовлетворяет тождеству
$x^{p^n} = 1$ для некоторого целого $n>0$, то $N$ содержит подгруппу
$M = A^{p^n}\gamma_{c+1}(A)$ (где $c$ --- класс нильпотентности $A/N$).
Покажем, что $M\in\Cal N_p(A,\varPhi)$.
Поскольку подгруппа $M$ является $\varPhi$-допустимой и имеет конечный
$p$-индекс в группе $A$, для этого достаточно понять, что все элементы группы
$\varPhi_{{}_M}$ являются $p$-элементами.

Пусть $H = A/M$. Так как $H^pH' =A^pA'M/M$ и
$M\subseteq A^pA'$, то $H/H^pH'\simeq A/A^pA'$.
Для произвольного автоморфизма $\varphi$ из группы $\varPhi$
автоморфизм $\varphi_{{}_M}$ группы $H$ индуцирует в фактор-группе $H/H^pH'$
автоморфизм, соответствующий при изоморфизме группы $H/H^pH'$
на группу $A/A^pA'$, автоморфизму $\varphi_{{}_{A^pA'}}$. Так как по
предположению $\varphi_{{}_{A^pA'}}$ является $p$-элементом группы
$\text{Aut}\, A/A^pA'$, то автоморфизм группы \break
$H/H^pH'$, индуцированный
автоморфизмом $\varphi_{{}_M}$, является $p$-элементом.
В силу леммы 2.4 $p$-элементом является и автоморфизм $\varphi_M$.
Теорема 2 доказана.

\bigskip
\bigskip
\centerline{\bf 3. Доказательство теоремы 3.}
\bigskip
В следующих двух леммах $w(x,y)$ будет обозначать слово вида
$$
w(x, y) = y^{-m_1}x^{n_1}y^{m_1}y^{-m_2}x^{n_2}y^{m_2}\cdots
y^{-m_s}x^{n_s}y^{m_s},
$$
\noindent где $ s\geq 1$ и $m_1,m_2\dots m_s, n_1,n_2\dots n_s$ ---
некоторые целые числа. Полагаем также $u=\sum_{i=1}^sn_i$ и
$v=\sum_{i=1}^sn_im_i$.

{\bf Лемма 3.1} Пусть элементы $a$ и $b$ конечной $p$-группы $G$
удовлетворяют равенству $w(a,b) = 1$, причем $p$ делит число $u$ и
не делит число $v$. Тогда для некоторого целого числа $k$, сравнимого с
единицей по модулю $p$, в группе $G$ выполнено равенство
$b^{-1}ab = a^k$.


\demo{Доказательство} Это утверждение докажем индукцией по классу
ниль\-по\-тен\-т\-ности $c$ группы $G$. При $c = 1$ группа $G$ является абелевой, и
в этом случае можно положить $k = 1$.

Пусть $c > 1$ и $Z$ --- центр группы $G$. Из индуктивного предположения
следует, что для некоторого числа $k_1$, сравнимого с 1 по модулю $p$, и
некоторого элемента $z\in Z$ в группе $G$ выполнено равенство
$b^{-1}ab= a^{k_1}z$. Тогда для любого числа $t\geq 0$ имеем
$b^{-t}ab^t= a^{k_1^{t}}z^{k_1^{t-1}+\cdots +k_1+1}$,
и потому элемент $w(a,b)$ принимает вид $a^mz^n$, для некоторых чисел $m$
и $n$, сравнимых по модулю $p$ с числами $u$ и $v$ соответственно. Так как
число $n$ не делится на $p$, то из равенства $z^n=a^{-m}$ для некоторого
числа $l$ получаем равенство $z=a^{-lm}$. Очевидно теперь, что
число $k=k_1-lm$ является искомым.
\enddemo

{\bf Лемма 3.2} Пусть в группе
$G = \langle x, y;\ w(x, y) = 1 \rangle$ элемент $[[x, y], x]$ отличен от 1.
Если группа $G$ аппроксимируема конечными $p$-группами, то $p$ делит
числа $u$ и $v$.


\demo{Доказательство} Так как неабелева группа $G$ аппроксимируема конечными
$p$-группами, она обладает гомоморфизмом на неабелеву конечную $p$-группу $H$.
Поскольку, далее, фактор-группа неабелевой нильпотентной группы по ее
коммутанту не может быть циклической группой, группа $H/H'$ является прямым
произведением двух неединичных циклических $p$-групп, и потому существует
гомоморфное отображение группы $G$ на конечную абелеву группу, при котором
элемент $x$ переходит в элемент порядка $p$. Поэтому $p$ делит $u$. Если
бы число $v$ не делилось бы на $p$, то в силу леммы 3.1 элемент
$[[x, y], x]$ при любом гомоморфизме группы $G$ на конечную $p$-группу
отображался бы в единицу, что противоречит условиям леммы.
\enddemo
\par
Переходя теперь непосредственно к доказательству теоремы 3, заметим, прежде
всего, что группа
$P(n,\varepsilon)$ имеет представление вида
$$
P(n,\varepsilon) = \langle x,y;\ w(x,y) = 1 \rangle,
$$
рассматриваемого в лемме 3.2, где
$w(x,y)=y^{-2}x^{-1}y^2x^{\epsilon}y^{-1}x^ny$ и потому
$u= n+\epsilon-1$ и $v=n-2$. Легко видеть, кроме того, что в этой
группе элемент $[[x,y],x]$ отличен от единицы. Поэтому необходимость условий
теоремы 3 следует из леммы 3.2.

Для доказательства достаточности условий перейдем к другому представлению
группы $P(n,\epsilon)$. Введя образующие $a_1$ и $a_2$ вместе с определяющими
соотношениями $a_1=x, \ a_2=y^{-1}xy$, получим представление этой группы вида
$$
\langle a_1, a_2, y; \ y^{-1}a_1y=a_2, y^{-1}a_2y=a^{\varepsilon}_1a^n_2
\rangle.
$$
Отсюда видно, что группа $P(n,\varepsilon)$ является расщепляющимся
расширением свободной группы $A$, свободно порождаемой элементами
$a_1, a_2$, при помощи бесконечной циклической группы $B$ с порождающим $y$.
При этом, сопровождающий гомоморфизм  $\theta$ отображает группу $B$ на
циклическую подгруппу $\varPhi$ группы автоморфизмов группы $A$,
порожденную автоморфизмом $\varphi$, который элемент $a_1$ переводит в
элемент $a_2$, а элемент $a_2$ --- в элемент $a^{\epsilon}_1a^n_2$.
Матрица автоморфизма фактор-группы $A/A^pA'$, индуцированного автоморфизмом
$\varphi$, имеет вид $M = \pmatrix 0&1 \\ \varepsilon&n\endpmatrix$,
и легко видеть, что если $p$ делит числа $n+\epsilon-1$ и $n-2$, то
$M^{p} \equiv E \pmod p$.
Следовательно, $\varPhi_{A^pA'}$ является $p$-группой, и так как свободные
группы аппроксимируемы конечными $p$-группами при любом простом $p$,
требуемое утверждение вытекает из теоремы 2.

\vskip 1 cm
\centerline{\bf Список использованной литеpатуpы}
\bigskip
\noindent 
\hangindent 0.5cm
1. Мальцев А. И. О гомоморфизмах на конечные группы //
Учен. Зап. Ивановск. пед. ин-та. 1958. Т. 18. С. 49--60.

\noindent 
\hangindent 0.5cm
2. Холл Ф. Нильпотентные группы //  Математика. Пер. сб-к
переводов иностр. статей. 1968. Т. 12, N 1. С. 3--36.

\noindent 
\hangindent 0.5cm
3.  Brunner A. M.,  Mccool T. and  Pietrowski A.
Groups which are an infinite cyclic extension of a
unique base group // J. Austral. Math. Soc. 23 (Ser A).
1977. 499-503.

\end
