|
Азаров Д.Н.
Некоторые аппроксимационные свойства разрешимых групп конечного ранга.
Чебышевский сборник. 2014. Т.15, Вып.1. С.7-18.
Получено обобщение одной классической теоремы Шмелькина о полициклических группах.
А.Л.Шмелькин доказал, что если G - полициклическая группа, то она почти
аппроксимируема конечными p-группами для любого простого числа p.
Напомним, что группа G называется аппроксимируемой конечными p-группами,
если для каждого неединичного элемента a группы G существует гомоморфизм
группы G на конечную p-группу, при котором образ элемента a отличен
от 1. Группа G называется почти аппроксимируемой конечными p-группами,
если она содержит подгруппу конечного индекса, которая аппроксимируема конечными
p-группами.
Одним из обобщений понятия полициклической группы является понятие разрешимой
группы конечного ранга. Напомним, что группа G называется группой конечного
ранга, если существует целое положительное число r такое, что любая конечно
порожденная подгруппа группы G порождается не более чем r элементами.
Для разрешимой группы конечного ранга получено следующее необходимое и достаточное
условие аппроксимируемости конечными \pi-группами для подходящего конечного
множества \pi простых чисел.
Группа G конечного ранга аппроксимируема конечными \pi-группами
для некоторого конечного множества \pi простых чисел тогда и только
тогда, когда G является редуцированной поли-(циклической, квазициклической,
рациональной) группой. Напомним, что группа G называется редуцированной,
если в ней нет неединичных полных подгрупп. Группу H мы называем полной,
если в ней из любого элемента h можно извлечь корень любой натуральной степени.
Доказано, что если разрешимая группа конечного ранга аппроксимируема конечными
\pi-группами для некоторого конечного множества \pi простых чисел,
то она почти аппроксимируема конечными нильпотентными \pi-группами.
Доказано также следующее обобщение сформулированной выше теоремы Шмелькина.
Пусть \pi - фиксированное конечное множество простых чисел. Разрешимая
группа G конечного ранга почти аппроксимируема конечными \pi-группами
тогда и только тогда, когда G - редуцированная поли-(циклическая,
квазициклическая, рациональная) группа, не содержащая \pi-полных элементов
бесконечного порядка.
Напомним, что элемент g группы G называется \pi-полным, если
для каждого \pi-числа m из элемента g можно извлечь в группе
G корень m-й степени.
Полный текст статьи (PDF, 127 Кб)
|