|
Кряжева А.А.
О финитной отделимости подгрупп в расщепляемых расширениях.
Моделирование и анализ информационных систем. 2015. Т.22, № 4. С.500-506.
В 1973 году Аленби и Грегорас доказали следующее утверждение. Пусть G –
расщепляемое расширение конечно порожденной группы A с помощью
группы B. 1) Если в группах A и B все подгруппы
(все циклические подгруппы) финитно отделимы, то и в группе G все
подгруппы (все циклические подгруппы) финитно отделимы; 2) если в группе A
все подгруппы финитно отделимы, а в группе B все конечно порожденные
подгруппы финитно отделимы, то в группе G все конечно порожденные
подгруппы финитно отделимы. Напомним, что группа G называется расщепляемым
расширением группы A с помощью группы B, если группа A
является нормальной подгруппой группы G, B – подгруппа
группы G, G = AB
и A \cap B = 1. Напомним также, что
подгруппа H группы G называется финитно отделимой, если для каждого
элемента g группы G, не принадлежащего подгруппе H,
существует гомоморфизм группы G на некоторую конечную группу, при котором
образ элемента g не принадлежит образу подгруппы H. В данной
работе получено обобщение теоремы Аленби и Грегораса за счет замены условия конечной
порожденности группы A более общим: для любого натурального числа n
число всех подгрупп группы A индекса n конечно. В действительности
при этом условии удалось получить необходимое и достаточное условие финитной
отделимости всех подгрупп (всех циклических подгрупп, всех конечно порожденных подгрупп)
в группе G.
Полный текст статьи (PDF, 437 Кб)
|