Факультет математики и компьютерных наук, история

48 городская математическая олимпиада

(8 декабря 1996 г.)

Подготовил Е.В.Соколов

Условия задач               :   6 класс        7 класс     8 класс     9 класс     10 класс     11 класс  
Победители и призёры:   5-6 класс     7 класс     8 класс     9 класс     10 класс     11 класс  

6 класс


1. Найти цифры, обозначенные буквами К, О, Л, Я, такие, что
+
+
+ 		К
 
 
  		О
О
 
  		Л
Л
Л
  		Я
Я
Я
Я
  1 9 9 6

2. Сейчас отцу столько лет, сколько месяцев было сыну, когда отец был старше его в 9 раз. Сколько лет сейчас отцу, если известно, что он старше сына на 26 лет и 8 мес.?
3. Найти двузначное число, которое от перестановки его цифр увеличивается в 4,5 раза.
4. В корзине у грибника белые, подосиновики и подберезовики. Белых - 10 штук, подосиновиков столько же, сколько белых и половина числа подберезовиков, а подберезовиков - сколько белых и подосиновиков. Сколько грибов в корзине?
5. Квадрат легко разделить на 9 равных квадратов. А можно ли его разделить на 8 или 10 не обязательно равных квадратов?
6. Разделить 8 одинаковых яблок на 15 человек поровну, не разделяя ни одного яблока на 15 и более равных частей.

7 класс


1. Найти наименьшее натуральное число N такое, что сумма цифр каж-дого из чисел N и N + 1 делится на 5.
2. Как разрезать прямоугольник, длина которого 9 см, а ширина 4 см, на две равные части, из которых можно составить квадрат.
3. Ваня, Вася и Валя собирают в саду яблоки. Если бы в сборе не участвовал один из них, то сбор завершился бы без Вани - за 4 часа, без Васи - за 5 часов, без Вали - за 6 часов. За сколько часов закончится сбор яблок, в котором участвуют все трое?
4. Квадрат легко разделить на 9 равных квадратов. А можно ли его разделить на 8 или 10 не обязательно равных квадратов?
5. На плоскости дан треугольник. Можно ли провести две прямые так, чтобы при пересечении треугольника и прямых образовалось 8 треугольников?
6. Доказать, что два различных натуральных числа при делении каждого из них с остатком на их разность дают одинаковые остатки, а частные отличаются на 1.

8 класс


1. Дан четырехугольник ABCD. Периметры треугольников ABC, ABD, BCD, ADC равны. Доказать, что ABCD - прямоугольник.

2. Средний возраст одиннадцати членов футбольной команды на 1 год больше, чем средний возраст десяти футболистов (без капитана). На сколько лет возраст капитана больше, чем средний возраст команды?
3. Число кончается на 2. Если эту двойку перенести в начало числа, то получится новое число, вдвое большее первого. Найти (хотя бы одно) число с таким свойством.
4. Можно ли обойти шахматную доску, выйдя из одного угла и придя в противоположный так, чтобы в каждой клетке побывать ровно один раз? За один ход разрешается переходить только в клетку, имеющую общую сторону с исходной.
5. Пусть a, b, c - положительные числа. Если c - наибольшее из них, то c2 ³   a2 - ab + b2. Когда достигается равенство?
6. В 5-угольной звезде (см.рисунок) найти сумму углов при вершинах.

9 класс


1. Можно ли разбить квадрат на 1996 квадратов? А на 1997 квадратов?
2. Даны отрезки OA, OA и OC такие, что ÐAOB = Ð BOC = 60°, и |ОА| = a, |ОВ| = b, |ОС| = c, причем точки A, B, C лежат на одной прямой. Доказать, что

3. Можно ли обойти шахматную доску, выйдя из одного угла и придя в противоположный так, чтобы в каждой клетке побывать ровно один раз. За один ход разрешается переходить только в клетку, имеющую общую сторону с исходной?
4. В квадрате ABCD взята точка P так, что величины углов ÐPAB и ÐPBA равны 15°. Доказать, что треугольник PCD равносторонний.
5. Доказать, что при любых a > 0 и b > 0 выполнено неравенство a4 + b4 > (a-b)4.
6. Решить уравнение

10 класс


1. Можно ли разбить квадрат на остроугольные треугольники?
2. Доказать, что в произвольном прямоугольном треугольнике отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной не превосходит . В каком случае достигается равенство?
3. Найти все простые числа вида 4m4 + n4, где m, n - натуральные.
4. Члены бесконечной числовой последовательности различны и являются натуральными числами отличными от 1. Доказать, что в этой последовательности бесконечно много членов, больших своих номеров.
5. Доказать, что положительные числа a, b, c являются длинами сторон некоторого треугольника тогда и только тогда, когда выполнено неравенство a2b2 + b2c2 + c2a2 > (a4 + b4 + c4)/2.
5. В круге провести 5 окружностей так, чтобы; исходный круг разделился на 9 равновеликих частей.

11 класс


1. В треугольной пирамиде высота, проведенная из вершины, попадает в точку пересечения высот треугольника, лежащего в основании. Доказать, что противоположные ребра пирамиды перпендикулярны.
2. Какое из двух чисел больше 19971995´19951997 или 19962´1996?
3. Число кончается на 2. Если эту двойку перенести в начало числа, то получится новое число, вдвое большее первого. Найти (хотя бы одно) число с таким свойством.
4. Доказать, что если A, B, C - углы треугольника, то . Когда достигается равенство?
5. Можно ли разбить квадрат на 1996 квадратов? А на 1997 квадратов?
6. В квадрате со стороной 1 лежит 1996 точек. Доказать, что среди этих точек найдутся по крайней мере две, расстояние между которыми меньше 1/30.

Победители и призеры

6 класс

1 место Белов Дмитрий школа № 33 (5 кл.)
2 место Шаповалова Валентина лицей <Гармония> (5 кл.)
3 место Мольков Дмитрий школа № 33
Рябинин Сергей школа № 4
Поощрительная премия Антонов Евгений школа № 7
Гулаев Андрей школа № 36
Ковалев Артем школа № 7
Рябиков Александр школа № 7

7 класс

1 место Ульянов Федор школа № 33
2 место Моисеев Игорь лицей <Гармония>
Шаповалова Валентина лицей <Гармония>(5 кл.)
3 место Воробушков Василий школа № 30
Гудков Алексей школа № 33
Проворов Антон школа № 64
Поощрительная премия Ананьев Сергей школа № 20
Волков Сергей школа № 6
Городенцев Василий школа № 6
Гостев Алексей школа № 6
Ершова Светлана школа № 21
Карманова Ира школа № 29
Копятин Денис школа № 22
Кузьмина Елена школа № 6
Лысов Женя школа № 22
Лютер Александр школа № 36
Мартюшов Андрей школа № 39
Никитова Анна школа № 39
Пискунова Елена школа № 30
Сизова Татьяна школа № 6
Стройнов Евгений школа № 39
Шахнис Илья школа № 29
Шуляев Алексей школа № 22
Щукина Наталья школа № 6

8 класс

1 место Васильев Дмитрий школа № 21
Жлудов Вячеслав школа № 21
2 место Бакшин Алексей школа № 30
3 место Ефремов Андрей школа № 21
Филатов Алексей школа № 30
Поощрительная премия Пояскова Анастасия школа № 22
Гадалов Александр школа № 6
Шнеерсон Вера школа № 30

9 класс

1 место Хашина Екатерина школа № 33
2 место Филатов Евгений школа № 33
3 место Моругин Сергей школа № 4
Иванов Денис школа № 22
Муницына Мария школа № 33
Филиппова Светлана школа № 33
Поощрительная премия Битеряков Олег школа № 30

10 класс

2 место Хрунов Алексей школа № 22
Тисков Александр школа № 33
3 место Рожков Сергей школа № 22
Филатов Евгений школа № 33 (9 кл.)
Поощрительная премия Антошин Дмитрий школа № 33
Губин Максим школа № 22
Жуков Олег школа № 33
Лазарук Сергей школа № 67
Чистяков Павел школа № 22

11 класс

1 место Часов Андрей школа № 22
Шаповалов Данил школа № 33 (10 кл.)
2 место Ефимов Виталий школа № 33
Зайцев Антон школа № 33
Карпов Александр школа № 22
Купцов Иван школа № 33
Мокров Александр школа № 33
Туровский Георгий школа № 33
3 место Голубев Евгений школа № 22
Цыганков Илья школа № 22
Поощрительная премия Аксименко Евгений школа № 22
Бельский Антон школа № 30
Завадский Алексей школа № 42
Касаткин Роман школа № 33
Котов Антон школа № 22
Пирогов Дмитрий школа № 33
Свислоцкая Юлия школа № 33
Всего в олимпиаде приняло участие 867 человек, в т.ч.:

ИвГУ: Математический факультет. Главная страница