Факультет математики и компьютерных наук, история

50 городская математическая олимпиада

(6 декабря 1998 г.)

Подготовил Е.В.Соколов

Условия задач               :   6 класс        7 класс     8 класс     9 класс     10 класс     11 класс  
Победители и призёры:   5-6 класс     7 класс     8 класс     9 класс     10 класс     11 класс  

6 класс


1. Белка приносит в гнездо один орех каждые 20 минут. Известно, что налегке белка пробегает 5 метров за секунду, а с орехом 3 метра за секунду. Далеко ли от гнезда до орешника?
2. Расположите числа 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9 по кругу так, что­бы сумма любых двух соседних чисел не делилась ни на 3, ни на 5, ни на 7.
3. На турнире каждый участник встретился в поединке с каж­дым из остальных. Всего было сыграно 78 поединков. Сколько было участников?
4. Имеются 9 кг крупы и чашечные весы с двумя гирями в 50 г и 200 г. За три взвешивания отвесить 2 кг этой крупы.
5. Восстановите запись, указав все решения: 
               *  *
         x
               *  *
           ________

            *  *  *
         +
            *  *
           ________

            *  *  *

7 класс


1. Восстановите запись ТЭТА + БЭТА = СУММА, где одинаковые буквы означают одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры. Укажите все решения.
2. У лифта на первом этаже 18-ти этажного дома собрались 17 школьников, которым нужно подняться наверх, причем на разные этажи. Лифтер же согласен сделать лишь один рейс на любой этаж, а дальше пусть они идут пешком. Известно, что все школьники с одинаковым неудовольствием спускаются на один этаж и с двойным неудовольствием поднимаются пешком на один этаж. Какой этаж нужно выбрать, чтобы суммарное неудовольствие было наименьшим?
3. В треугольнике ABC известны углы ÐBAC = 33° и ÐBCA = 67°. Из вершины B провели медиану и высоту и продолжили их за сторону AC на равные им расстояния. Получили точки P и Q соответственно. Найдите ÐPCQ.
4. Может ли число, десятичная запись которого состоит из 30 единиц, некоторого количества нулей и некоторого количе­ства девяток, являться полным квадратом?
5. Разрежьте квадрат на 20 равных треугольников.

8 класс


1. Найдите натуральные числа a и b, если из четырех утверждений:
  1. a+1 делится на b;
  2. a = 2b+5;
  3. a+b делится на 3;
  4. a+7b – простое число
три истинны, а одно ложно. Укажите все решения.

2. В ромбе ABCD угол A равен 60°. На стороне CD взята точка M, а на стороне AD точка N так, что в треугольнике BNM один из углов равен 60°. Докажите, что треугольник BNM равносторонний.
3. В футбольном турнире каждая из 8 участвующих команд сыграла с каждой по одному разу. Команды набрали 14, 12, 8, 8, 6, 4, 3, 1 очков. Сколько очков потеряли команды, занявшие первые четыре места? За выигрыш команда по­лучает 2 очка.
4. Докажите, что уравнение x3 + y3 = z3 не имеет решений в натуральных числах, если x+y – простое число.
5. Постройте ломаную, которая каждое свое звено пересекает три раза (все пересечения должны происходить во внутренних точках звеньев ломаной).

9 класс


1. Купец приобрел партию товара и продал ее с прибылью в m рублей. На все вырученные деньги им была куплена другая партия того же товара и продана по той же цене, что и первая партия. При этом прибыль составила n рублей. Сколько было уплачено за первую партию товара?
2. Доказать, что если рациональные числа a, b, c связаны равенством | a+c| = | b |, то уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет рациональные корни.
3. Можно ли из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 составить два различ­ных семизначных числа, из которых одно делится на другое, причем каждое из чисел содержало бы все указанные цифры?
4. В треугольнике ABC угол A равен 60°, а прилегающие к нему стороны равны 2 и 3. Разрежьте его на три части так, чтобы из них можно сложить правильный шестиугольник.
5. В звездчатом пятиугольнике ABCDE (см. рисунок) некоторые точки пе­ресечения сторон делят стороны пополам, а именно: AQ = QC, BR = RD, CR = RE, DS = SA. Докажите, что точки T и P делят сторону BE на три равные части.

10 класс


1. Одна из цифр многозначного числа – нуль. При вычеркивании этого нуля число уменьшается в девять раз. Найдите все такие числа.
2. На окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, взята произвольная точка M. Доказать, что наибольший из отрезков MA, MB, MC равен сумме двух остальных.
3. Три друга сыграли между собой матч-турнир по шахматам в 8 туров. Известно, что у первого из них выигрышей больше, чем у каждого из двух других; у второго проигрышей меньше, чем у каждого из двух других, а больше всего очков набрал третий. Постройте пример такого распределения очков в матч-турнире.
4. Известно, что а, b, с – длины сторон треугольника площадью 1, причем а ³ b ³ с. Найдите наименьшее возможное значение b.
5. Пусть an – n-ый член последовательности, определяемой следующим образом: a1 = 19, a2 = 98, an+2 = an+1 - an. Найдите a1998.

11 класс


1. Найдите все действительные решения уравнения x2 + 2x sin (xy) + 1 = 0.
2. Найдите наименьшее натуральное число, которое оканчивается на 56, делится на 56 и имеет сумму цифр, равную 56.
3. Найдите квадрат наименьших размеров, в котором можно расположить 5 кругов радиуса 1 каждый так, чтобы ника­кие два из них не имели общих внутренних точек.
4. Дан многочлен P(х) = ах2 + bх + с, где а ¹ 0. Докажите, что для любого натурального числа n не может существовать более одного многочлена Q(x) степени n, удовлетворяющего тождеству Q(P(x)) = P(Q(x)) при всех х Î R.
5. Разрежьте куб на 5 треугольных пирамид. Можно ли разрезать куб на 4 треугольные пирамиды?

Победители и призеры

6 класс

1 место Калибин Борис лицей <Гармония> (5 кл.)
2 место Фомина Людмила школа № 33
3 место Лепилов Евгений школа № 67
Поощрительная премия Лузина Анастасия школа № 22 (5 кл.)
Розов Алексей школа № 65
Слободян Александр школа № 22 (5 кл.)
Соловова Элина школа № 54 (5 кл.)
Токарева Екатерина школа № 4
Шмелев Александр школа № 22

7 класс

1 место Томин Дмитрий лицей <Гармония>
2 место Бабенкова Юлия школа № 30
Бежан Сергей школа № 64
3 место Белов Дмитрий школа № 33
Никологорская Анна лицей <Гармония>
Поощрительная премия Галкина Наталия школа № 62
Даричев Станислав школа № 62
Лебедева Анна школа № 30
Павлова Алена школа № 43
Рубцов Андрей школа № 33

8 класс

3 место Коновалов Федор школа № 22
Поощрительная премия Дюповкина Александра школа № 4
Морозов Иван школа № 6
Потемкина Татьяна школа № 4
Шаповалова Валентина лицей <Гармония>

9 класс

1 место Моисеев Игорь лицей <Гармония>
Ульянов Федор школа № 33
2 место Воробушков Василий школа № 30
Никитова Анна школа № 33
Шелест Дмитрий школа № 4
3 место Коновалова Наталья школа № 22
Поощрительная премия Бобров Сергей школа № 22
Городенцев Василий школа № 6
Гудков Алексей школа № 33
Гребнов Илья школа № 64
Самылин Андрей школа № 33
Кисляков Иван школа № 22
Куприянова Надежда школа № 33
Потапов Дмитрий школа № 1
Проворов Антон школа № 64
Чалаев Олег школа № 22

10 класс

1 место Лузина Мария школа № 22
2 место Коновалов Алексей школа № 44
Палий Анна школа № 33
3 место Бурдастых Андрей школа № 44
Кононова Марина лицей <Гармония>
Правдиков Андрей школа № 22
Поощрительная премия Зимняков Дмитрий школа № 33
Пряслов Алексей школа № 67
Смирнова Екатерина школа № 33
Федоров Максим школа № 22

11 класс

1 место Филатов Евгений школа № 22
2 место Моругин Сергей школа № 22
Силин Леонид школа № 43
Хашина Екатерина школа № 33
3 место Битеряков Олег школа № 30
Горелов Дмитрий школа № 35
Иванов Денис школа № 22
Лукин Виктор школа № 35
Смирнов Алексей школа № 33
Филиппова Светлана школа № 33
Поощрительная премия Агапов Сергей школа № 33
Васильев Алексей школа № 66
Голубев Иван школа № 33
Косарев Илья школа № 33
Ляленкова Елена школа № 43
Поштаренко Александр школа № 30
Всего в олимпиаде приняло участие 906 человек, в т.ч.:

ИвГУ: Математический факультет. Главная страница