Факультет математики и компьютерных наук, история

52 городская математическая олимпиада

(10 декабря 2000 г.)

Страничка разработана студенткой математического факультета Гущенковой Н.А.

Условия задач : 6 класс 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс 11 класс
Победители и призёры: 5-6 класс 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс 11 класс
Состав участников олимпиады

Список задач

6 класс

1. Имеются два сосуда емкостью 9 и 11 литров. Как можно налить с их помощью из крана 10 литров воды ( в 11-литровый сосуд) ? Примечание: c любым из сосудов разрешается проделывать следующие операции: полностью наполнять его водой, выливать из него воду в другой сосуд или в раковину.
2. На плоскости нарисован квадрат. Можно ли его разбить на 6 меньших квадратов ( не обязательно равных ) ?
3. Найти все числа, равные удвоенной сумме своих цифр.
4. Среди четырех людей нет трех с одинаковым именем, или с одинаковым отчеством, или с одинаковой фамилией, но у каждых двух совпадает или имя, или отчество, или фамилия. Может ли так быть ?
5. Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама - за 2, малыш - за 5, а бабушка - за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут ? ( Если переходят двое, то они с меньшей из скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках нельзя.)
6. Имеется много одинаковых квадратов. В вершинах каждого написаны в произвольном порядке числа 1,2,3 и 4. Квадраты сложили в стопку и нашли сумму числе попавших в каждый из четырех углов стопки. Может ли оказаться, что в каждом углу сумма равна 32?

7 класс

1. Когда пассажир проехал половину пути, он разговорился с соседом. Через некоторое время второй пассажир, посмотрев в окно, сказал:
- Нам осталось проехать половину того расстояния, которое мы проехали, разговаривая. Тогда первый посмотрел на часы и сказал:
- Если будем ехать с той же скоростью, то через час будем на месте.
Сколько времени требует весь путь ?
2. Автомат печатает на ленте идущие подряд натуральные числа:

12345678910111213…

Петя дождался того момента, когда впервые возникла последовательность цифр 8028, и обвел карандашом эти цифры. Сколько цифр автомат напечатал до этого ?
3. Перерисуйте на лист бумаги 9 точек: 5 чёрных и 4 белых, как показано на рисунке

Существует ли такой шестиугольник, что все чёрные точки лежат внутри него, а все белые вне? Если да, то изобразите его; если нет, то объясните, почему.
4. Среди учащихся 7 класса 12% болели гриппом, а остальные - за «Спартак» Сколько учеников этого класса болело за «Спартак», если в классе не более 45 человек.
5. Дядя Петя отпил шестую часть полной чашки черного кофе, долил ее молоком и размешал. Потом отпил треть чашки, снова долил молоком и размешал. Потом - половину чашки, долил и размешал. Наконец он выпил полную чашку. Чего больше выпил дядя Петя - черного кофе или молока ?
6. В некотором сосуде было n бактерий. Некоторые из этих бактерий поделились на n других. Затем все новые и новые бактерии начали делиться на n штук каждая. В какой-то момент общее число бактерий составило 66, а через некоторое время их стало 92. Сколько бактерий было в сосуде в самом начале ?
Наверх

8 класс

1. Через каждые а лет Баба Яга уменьшает свой возраст вдвое. Каким должно быть число а, чтобы ее возраст никогда не достиг 100 лет ?
2. Существует ли некоторый разносторонний треугольник, который можно разрезать на два равных треугольника ?
3. Вычислить |x+y+1|+|z| , если

(x+y)(x+z)=6
(x+y)(y+z)=3
(z+x)(y+z)=18

4. Полярник едет на собаках к своему товарищу. После первого дня пути половина собак убежала, скорость упала вдвое, и полярник опоздал на 2 дня. Если бы он проехал на полной упряжке еще 50 км, а половина собак убежала после этого, то полярник опоздал бы на 1 день. Какое расстояние проехал полярник ?
5. В произведении 24683*75348 вычеркните из сомножителей три цифры ( можно все три цифры из одного сомножителя, а можно из разных) так, чтобы новое произведение было наибольшим возможным.
6. Анна и Валентина тренируются в беге на круговой дорожке, временами меняя скорость. Они стартуют одновременно в разные стороны и заканчивают тренировку тоже одновременно там, где начали. Анна пробежала 5 кругов, а Валентина 4 круга. Сколько раз они встретились во время бега ? Встречи на старте и финише не учитывать.
Наверх

9 класс

1. На доске записано уравнение

^x²+^x+^x=0*

Первый из двух игроков называет любые три числа, второй расставляет их по своему выбору вместо звездочек. Может ли первый игрок выбрать три числа так, чтобы квадратное уравнение имело различные рациональные корни, или второй всегда может ему помешать ?
2. Доказать, что квадрат целого числа не может оканчиваться четырьмя одинаковыми цифрами, отличными от нуля. Какими тремя одинаковыми отличными от 0 цифрами может оканчиваться квадрат целого числа ?
3. В одном государстве король хочет построить 6 городов и 5 дорог между некоторыми из них так, чтобы из каждого города можно было проехать в любой другой. ( Каждая дорога соединяет два города, дороги не пересекаются и не проходят через другие города). Король хочет, чтобы кратчайшие расстояния по сети дорог между парами городов равнялись 1 км, 2 км, 3 км, …, 15 км. Помогите королю.
4. На окружности даны точки A,M,B,N в указанном порядке. Из точки М проведены хорды MA1 и MB1, перпендикулярные прямым NB и NA соответственно. Докажите, что прямые АА1 и ВВ1 параллельны.
5. Найдите все пары чисел (х, у), удовлетворяющие равенству

x⁴+1

6. На какое наименьшее число выпуклых четырехугольников можно разрезать выпуклый девятиугольник ? Ответ обоснуйте.
Наверх

10 класс

1. Четырехугольник разбит диагоналями на четыре треугольника. Доказать, что точки пересечения медиан каждого из треугольников являются вершинами параллелограмма.
2. Маша и Петя тренируются в беге на круговой дорожке, временами меняя скорость. Они стартуют одновременно в разные стороны и заканчивают тренировку тоже одновременно там, где начали. Миша за это время пробежал 15 кругов, а Маша - 10. Сколько раз за это время они встретились ? Встречи на старте и финише не учитывать.
3. Используя каждую из десяти цифр ровно один раз, составили пять двузначных чисел. Какое наименьшее значение может принимать сумма этих чисел ?
4. Пешеход шел 3,5 часа, причем за каждый промежуток времени в один час он проходил ровно 5 км. Верно ли, что он прошел 17, 5 км ?
5. Решите систему

y³-9x²+27x-27=0
z³-9y²+27y-27=0
x³-9z²+27z-27=0

6. Между какими двумя последовательными целыми числами заключено число?

11 класс

1. Между какими двумя последовательными целыми числами заключено число?

2. На белом листе бумаги нарисовали неравнобедренный остроугольный треугольник, закрасили его в синий цвет и вырезали по контуру. Как разрезать полученный треугольник на 3 треугольника так, чтобы, перевернув их, в том же контуре сложить из них треугольник белого цвета ?
3. Известно, что уравнение

при некотором значении параметра а имеет единственный корень. Найдите все такие значения параметра а.
4. Четырехугольник разбит диагоналями на четыре треугольника. Доказать, что точки пересечения медиан каждого из треугольников являются вершинами параллелограмма.
5. Решите уравнение

6. Можно ли соединить четыре резиновых кольца так, чтобы их нельзя было расцепить, но после разрезания любого из них они расцеплялись бы ?
Наверх

Победители и призёры

5-6 класс

1 место	Куцевал Виталий	6 класс	лицей №22
1 место	Кирьянов Антон	5 класс	лицей №30
2 место.	Сироткин Алексей	6 класс	лицей №35
	Сычев Денис	5 класс	лицей №33
	Козлова Наталья	5 класс	лицей №33
3 место	Лобанов Андрей	6 класс	лицей №33
3 место	Миронов Андрей	5 класс	лицей №33
Поощрительные премии
	Шумилов Александр	6 класс	школа №30
	Кувальцева Юлия	6 класс	школа №4
	Виноградова Вера	6 класс	школа №67
	Архипова Анна	6 класс	школа №5
	Киреев Ярослав	6 класс	школа №4
	Мудайар Руслан	6 класс	школа №4
	Липина Мария	6 класс	школа №5
	Баранов Андрей	6 класс	лицей №33
	Челнокова Лидия	6 класс	школа №4
	Бурдин Артём	6 класс	лицей №33
	Гамов Георгий	6 класс	школа №1
	Нефедов Данила	6 класс	школа №33

7 класс

1 место	Калибин Борис	Гармония
3 место	Горнушкина Ольга	школа №35
3 место.	Лопатин Илья	школа №21
	Сорокин Игорь	школа №22
	Слободян Александр	школа №22
Поощрительные премии.
	Куликова Евгения	лицей № 22
	Краснов Александр	школа № 63
	Баранов Олег	школа № 18
	Казаков Иван	школа № 36
	Костин Артём	школа № 26
	Крайнев Алексей	школа № 21

8 класс

1 место.	Харин Максим	лицей № 22
2 место.	Разумовский Роман	"Гармония"
3 место.	Смирнов Алексей	лицей № 22
Поощрительные премии.
	Егорова Юлия	лицей № 22
	Шуров денис	школа № 4
	Каменев Михаил	школа № 29
	Фомина Людмила	лицей № 33
	Бычков Андрей	школа № 44

9 класс

1 место.	Томин Дмитрий	лицей № 33
2 место.	Жамлиханов Тимур	лицей № 22
2 место.	Брулетова Алена	"Гармония"
3 место.	Бабенкова Юлия	лицей № 33
	Рубцов Андрей	лицей № 33
	Белов Дмитрий	лицей № 33
	Пономарёв Илья	лицей № 33
Поощрительные премии.	Тонкушин Антон	лицей № 33
	Либер Наталья	лицей № 22
	Кульгавый Александр	лицей № 33
	Капранов Владимир	лицей № 33
	Мокеичева Мария	лицей № 33
	Ефремов Алексей	лицей № 22
	Костерин Антон	лицей № 33
	Словесная Ю.	лицей № 33
	Коношко Люба	лицей № 33
	Сазанова	лицей № 33
	Лебедева	лицей № 33
	Дугина	школа № 49
	Мазурина	школа № 22
	Зуйков	школа № 30
	Боброва	школа № 22

10 класс

1 место.	Мольков Дмитрий	лицей № 33
1 место.	Рябинин Сергей	школа № 30
2 место.	Тремичев Иван	школа № 6
3 место.	Гребнев Сергей	лицей № 22
	Харьков Олег	лицей № 22
	Цыбиков Александр	лицей № 33
Поощрительные премии.	Казаков Александр	лицей № 33
	Корольков Валерий	школа № 44
	Целищев Михаил	лицей № 22
	Струнникова Ирина	лицей ИГХТУ
	Скоробогаткин Дмитрий	школа № 6
	Рубахин Александр	школа № 6
	Сычев Антон	школа № 33
	Бардин Николай	школа № 7
	Жидков Андрей	школа № 6

11 класс

1 место.	Воробушков Василий Владимирович	лицей № 33
	Моисеев Игорь Георгиевич	Гармония
	Ульянов Федор Михайлович	лицей № 33
2 место.	Никитова Анна Константинова	лицей № 33
	Кисляков Иван Юрьевич	лицей № 22
	Пирожков Алексей Александрович	лицей № 33
	Проворов Антон Александрович	лицей № 22
3 место.	Гребнов Илья Викторович	лицей № 22
	Самылин Андрей Владимирович	лицей № 33
	Куприянова Надежда Валерьевна	лицей № 33
	Панина Ирина Анатольевна	лицей № 33
	Сидун Евгения Леонидовна	лицей № 33
Поощрительные премии.	Голубев Иван Евгеньевич	лицей № 22
	Гудков Алексей Николаевич	лицей № 33
	Дьякова Ольга Владимировна	лицей № 33
	Шелест Дмитрий Сергеевич	лицей № 33

Состав участников

Школа	5 класс	6 класс	7 класс	8 класс	9 класс	10 класс	11 класс	Итого
гармония	0	3	1	1	1	2	1	9
лицей ИГХТУ	0	0	0	0	0	2	5	7
1	3	3	0	3	3	0	2	14
2	0	3	0	0	4	1	1	9
3	0	2	2	3	4	2	2	15
4	0	11	4	3	5	3	0	26
5	0	7	8	6	3	1	3	28
6	0	1	0	3	5	4	2	15
7	0	0	0	2	0	4	0	6
9	0	0	0	0	0	0	2	2
14	0	4	2	1	3	4	1	15
15	0	4	2	4	1	0	3	14
18	4	5	4	4	1	1	1	20
19	0	2	4	0	4	4	3	17
21	0	3	2	6	5	2	6	24
лицей22	5	6	3	10	12	4	8	48
23	0	0	4	4	7	0	2	17
26	0	8	3	4	2	2	0	19
27	0	0	1	2	1	0	0	4
28	0	0	1	0	0	4	0	5
29	0	0	3	1	0	0	0	4
30	2	5	5	2	1	1	2	18
31	0	0	0	0	0	5	5	5
32	0	0	1	0	0	0	0	1
лицей33	13	11	9	16	17	6	17	89
34	0	2	1	0	0	0	0	3
35	0	3	2	2	2	5	2	16
36	0	3	1	6	4	5	0	19
37	0	5	0	0	2	0	0	7
39	0	3	4	3	0	0	0	10
40	2	1	0	0	0	1	1	5
41	0	3	0	3	0	2	0	8
42	0	3	2	2	1	2	7	17
43	0	2	1	3	0	4	0	10
44	0	3	5	3	2	3	3	19
49	0	0	2	2	1	1	1	7
50	0	2	2	2	2	0	4	12
53	0	0	0	5	2	2	2	11
54	0	0	1	0	0	2	0	3
55	0	0	0	0	0	0	1	1
56	0	3	0	0	2	0	1	6
61	0	3	2	1	2	2	2	12
62	0	3	0	4	4	2	2	15
63	0	0	1	2	3	2	1	9
64	0	2	4	1	1	0	2	10
65	0	0	0	3	1	0	4	8
66	0	4	2	3	3	3	2	17
67	0	6	4	6	11	2	8	37
Итого	29	129	93	126	122	85	109	693

ИвГУ: Математический факультет. Главная страница