Лобачевский

Пространство Лобачевского - вокруг нас!!!

Среди пяти аксиом Евклида пятая резко выделяется своей неочевидностью.
Она больше похожа на теорему: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит ровно одна прямая, параллельная данной.

Многие учёные пытались вывести пятую аксиому из первых четырех.

Среди них древнегреческие математики Птолемей (II в.) и Прокл (V в.), иранские математики Ибн аль-Хайсам (конец X — начало XI вв.), Омар Хайям (2-я половина XI — начало XII вв.) и Насир ад-Дин ат-Туси (XIII в.), немецкие математики Клавиус (1574) и Ламберт (около 1766, опубликовано в 1786), итальянские математики Катальди (1603), Борелли (1658), Дж. Витале (1680), Саккери (1733), английский математик Валлис (1663, опубликовано в 1693), французские математики Герсонид (XIV век) и Лежандр (1800).

Но у них ничего не вышло.

Возникла мысль, что можно построить геометрию, где через точку, не лежащую на прямой, проходят по крайней мере две прямые, ей параллельные. 23 февраля 1826 года на заседании математического факультета Казанского университета российский математик Николай Иванович Лобачевский заявил, что пятый постулат не может быть доказан на основе других посылок евклидовой геометрии, и что допущение постулата, противоположного постулату Евклида, позволяет построить геометрию столь же содержательную и свободную от противоречий, как и евклидова.

Одновременно к аналогичным выводам пришёл Янош Бойяи, а Карл Фридрих Гаусс пришёл к таким выводам ещё раньше.
Однако труды Бойяи не привлекли внимания, и он вскоре оставил эту тему, а Гаусс вообще воздерживался от публикаций.
В итоге Лобачевский выступил как первый наиболее яркий и последовательный пропагандист новой геометрии.

В геометрии Лобачевского прямые на плоскости либо пересекаются, либо параллельны, либо являются расходящимися.
В геометрии Лобачевского сохраняются все теоремы, которые можно доказать без использования аксиомы параллельности.
Теорема о сумме углов треугольника – первая теорема, при доказательстве которой используется аксиома параллельности.
Здесь нас ожидает первый «сюрприз»: в геометрии Лобачевского сумма углов любого треугольника меньше 180°.
Разность между 180° и суммой углов треугольника в геометрии Лобачевского называется дефектом этого треугольника.
Площадь треугольника связана с его дефектом:

S=k∙D,

где S и D означают площадь и дефект треугольника, а число k зависит от выбора единиц измерения площадей и углов и не зависит от выбранного треугольника.
Так как дефект любого треугольника меньше 180^o, то площади треугольников в геометрии Лобачевского ограничены некоторой константой.
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то в геометрии Евклида третьи углы тоже равны, и эти треугольники подобны.
В геометрии Лобачевского нет подобных треугольников.
В геометрии Лобачевского имеет место четвертый признак равенства треугольников: если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Модели геометрии Лобачевского дали доказательство её непротиворечивости, точнее показали, что геометрия Лобачевского столь же непротиворечива, как геометрия Евклида.

Петербургский ученый А.А.Фридман в 1922 обнаружил, что Вселенная расширяется, и является пространством Лобачевского.
Отклонения геометрии Лобачевского от евклидовой геометрии растут с увеличением размеров.
Но в пределах солнечной системы, и даже нашей галактики, они так малы, что погрешность измерений не позволяет их обнаружить.
Вот почему, живя в пространстве Лобачевского, мы пользуемся геометрией Евклида!

По материалам "Википедии"

На экзамене:

- Сформулируйте аксиому параллельных Евклида!
- Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну прямую, параллельную данной, если проводить ровно!
- Как???
- Нам так на лекции рассказывали, я могу конспект показать!
Читает:
- Через точку, не лежащую на прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной.

- Прямые b и d параллельны или нет?
- b параллельна, а d – нет!